Dalam matematika, deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin.

PENDAHULUAN

Dengan n! melambangkan faktorial n dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (x − a)0 dan 0! didefinisikan sebagai 1. Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah persekitaran sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat

Yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

Pembahasan DERET TAYLOR

Contoh Soal Deret Taylor dan Penjelasannya:

1. Tentukan Deret Taylor dari dengan menggunakan

Jawaban dari Soal diatas :

Maka Ditemukan Deret Taylor Sebagai Berikut :

Bentuk umum dari deret taylor untuk fungsi, misal perhatikan dan pahami :

Untuk itu bentuk dari diubah menjadi

---------------------------

Sehingga didapat deret taylor =

/x/<1

Contoh Soal Deret Taylor dari fungsi sebelumnya serta Penjelasannya:

Tentukan Deret Taylor dari dengan menggunakan

Jawab :

Dari situ dapat disimpulkan

Didapat deret taylor sebagai berikut:

1. Kombinasi = = = =

Contoh : = = = = =10

Untuk deret

Rumus diatas untuk menentukan Deret Taylor dari fungsi Kombinasi itu sendiri.

Pembahasan Fungsi Kombinasi

Contoh soal dari fungsi Kombinasi, perhatikan dan pahami:

1.

= + + +

Jadi, dari contoh tersebut dapat diketahui Deret Taylor untuk

adalah

1. Fungsi pembangkit biasa (FPB) dari an di definisikan sbb:

2. Fungsi pembangkit Exportert (FPE) dari an didefinisikan sbb:

FUNGSI PEMBANGKIT MEMPUNYAI 2 PENGERTIAN:

Pembahasan fungsi pembangkit

Contoh soal : Tentukan fungsi pembangkit FPB & FPE jika diketahui :

Catatan :

Jawab :

Jawaban untuk yang

Jadi FPB & FPE untuk contoh soal tersebut adalah :

FPB FPE

Fungsi pembangkit digunakan untuk merepresentasikan barisan secara efisien dengan mengkodekan unsur barisan sebagai koefisien dalam deret pangkat suatu variabel x .

Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk:– memecahkan berbagai masalah counting, – memecahkan relasi recurrence, dan – membuktikan identitas kombinatorik.

Definisi dan contohDefinisi. Fungsi pembangkit (generating function) untuk barisan bilangan real: a0, a1, …, ak, … adalah deret pangkat tak hingga:

.......)(0

10

k

kk

kk xaxaxaaxG

Contoh 1. a. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 5 adalah

0

)3(k

kxk

k

k

k x

0

3

0

5k

kx

b. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = k+3 adalah

c. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 3k adalah

Teorema 1

Contoh 2. Misal f(x) = 1/(1-x)2. Tentukan koefisien a0, a1, … dalam ekspansi f(x) = akxk.Solusi.

.)1(1)1(

1

)1(

1

)1(

1

00 02

k

k

k

kk

j

xkxxxx

Jadi, ak = k+1.

.)()(

dan)()()(

Maka,.)(dan)(Misal

0 0

0

00

k

kk

j jkj

k

k kk

k

k kk

k k

xbaxgxf

xbaxgxf

xbxgxaxf

Koefisien Binomial DiperluasMisalkan u bilangan real dan k bilangan bulat tak negatif. Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan sebagai: 

.0jika,1

,0jika,!

)1)...(1(

k

kk

kuuu

k

u

Contoh 3. Tentukan nilai dari:a.

5

2/1

.4!3

)4)(3)(2(

3

2

3

2

.!5

)42/1)(32/1)(22/1)(12/1)(2/1(

5

2/1

b.

Teorema Binomial Diperluas

Teorema 2. Misal x bilangan real dengan |x| < 1 dan

u bilangan real. Maka,

.)1(

0

k

ku xk

ux

Catatan.Jika u bilangan bulat positif maka Teorema Binomial Diperluas menjadi Teorema Binomial.

Contoh 4Tentukan fungsi pembangkit untuk

(1+x)-n dan (1-x)-n, dengan n bilangan bulat positif.

Solusi.

k

k

kn

k

kn

xkknCx

xk

nx

),1()1()1( Maka,

.)1(2,TeoremaMenurut

0

0

0

),1()1(

:xdgnxmenggantiDengan

k

kn xkknCx

Masalah Counting dan Fungsi Pembangkit

Contoh 5. Tentukan banyaknya solusi dari n1 + n2 + n3 = 17, bila n1, n2 dan n3 bilangan bulat taknegatif dengan 2 n1 5, 3 n2 6 dan 4 n3 7.Solusi.Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x17 dalam ekspansi:

(x2+x3+x4+x5) (x3+x4+x5+x6) (x4+x5+x6+x7).Setiap bentuk x17 dalam perkalian ini didapat dengan mengalikan

xn1 pada faktor pertama dengan xn2 pd faktor kedua dan xn3 pada faktor ketiga

yang memenuhi: n1 + n2 + n3 = 17.Bila dihitung, didapat koefisien x17 adalah 3. Jadi, ada tepat 3 solusi.

Contoh 6

Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue?

Solusi.Misalkan cn: banyaknya cara membagikan n kue.Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak ada suatu faktor yang berbentuk:

(x2 + x3 + x4)dalam fungsi pembangkit barisan {cn}. Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya adalah:

(x2 + x3 + x4)3.Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari x8, yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8 kue kepada 3 anak tadi.

1. Tentukan koefisien x10 dalam deret pangkat fungsi-fungsi berikut ini:

a. 1/(1+x)2

b. 1/(1-2x)

c. x4/(1-3x)3

2. Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara

mendistribusikan 25 donat identik kepada 4 polisi sehingga setiap polisi

mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7 donat.

Latihan soal