Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

18
Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot http://minilabdocx.blogspot .com .com WAWASAN MATEMATIKA WAWASAN MATEMATIKA DAN DAN WAWASAN PENDIDIKAN WAWASAN PENDIDIKAN MATEMATIKA MATEMATIKA

Transcript of Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Page 1: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

WAWASAN MATEMATIKAWAWASAN MATEMATIKADAN DAN

WAWASAN PENDIDIKAN WAWASAN PENDIDIKAN MATEMATIKAMATEMATIKA

Page 2: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

Matematika, bagi kebanyakan orang merupakan beban berat, ilmu yang Matematika, bagi kebanyakan orang merupakan beban berat, ilmu yang terkunci dengan tujuh segel, yang dihadapi tanpa ada hubungan dengan terkunci dengan tujuh segel, yang dihadapi tanpa ada hubungan dengan kehidupan sehari-hari. Tetapi bagi sebagian kecil orang, matematika kehidupan sehari-hari. Tetapi bagi sebagian kecil orang, matematika merupakan suatu kesenangan mental yang mengandung sifat ilmiah, merupakan suatu kesenangan mental yang mengandung sifat ilmiah, suatu kunci untuk memahami gejala-gejala alam, teknik dan suatu kunci untuk memahami gejala-gejala alam, teknik dan bermasyarakat. Mengapa terdapat dua macam pendapat yang bermasyarakat. Mengapa terdapat dua macam pendapat yang sedemikian besar perbedaannya? Jawaban pertanyaan ini adalah sedemikian besar perbedaannya? Jawaban pertanyaan ini adalah bagaimana cara matematika diajarkan. Adalah tidak benar bahwa hasil bagaimana cara matematika diajarkan. Adalah tidak benar bahwa hasil belajar seseorang dalam matematika hanya karena mempunyai atau belajar seseorang dalam matematika hanya karena mempunyai atau tidak mempunya bakat, dan rajin atau tidak rajinnya dalam mata tidak mempunya bakat, dan rajin atau tidak rajinnya dalam mata pelajaran matematika, tetapi .(Hermann Meier, Kompedium Didaktik pelajaran matematika, tetapi .(Hermann Meier, Kompedium Didaktik Matematika).Matematika).

Telah disepakati bahwa karakteristik matematika diantaranya adalah Telah disepakati bahwa karakteristik matematika diantaranya adalah 1.1. memiliki objek abstrakmemiliki objek abstrak2.2. bertumpu pada kesepakatanbertumpu pada kesepakatan3.3. berpola pikir deduktifberpola pikir deduktif4.4. memiliki simbol yang kosong dari artimemiliki simbol yang kosong dari arti5.5. memperhatikan semesta pembicaraanmemperhatikan semesta pembicaraan6.6. konsisten dalam sistemnya.konsisten dalam sistemnya.

Page 3: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

• Matematika yang diajarkan di sekolah adalah Matematika yang diajarkan di sekolah adalah bagian-bagian dari matematika yang dipilih bagian-bagian dari matematika yang dipilih berdasarkan atau berorientasi pada kepentingan berdasarkan atau berorientasi pada kepentingan kependidikan dan perkembangan IPTEK. Bagian kependidikan dan perkembangan IPTEK. Bagian matematika yang dipilih matematika yang dipilih diantaranya adalah diantaranya adalah matematika yang dapat menatamatematika yang dapat menata nalar, membentuk nalar, membentuk kepribadian, menanamkan nilai-nilai, memecahkan kepribadian, menanamkan nilai-nilai, memecahkan masalah, dan melakukan tugas tertentumasalah, dan melakukan tugas tertentu. Hal ini . Hal ini menunjukkan bahwa matematika sekolah tidaklah menunjukkan bahwa matematika sekolah tidaklah sepenuhnya sama dengan matematika sebagai sepenuhnya sama dengan matematika sebagai ilmu. Dikatakan demikian karena tidak sepenuhnya ilmu. Dikatakan demikian karena tidak sepenuhnya sama, yaitu memiliki perbedaan antara lain (1) sama, yaitu memiliki perbedaan antara lain (1) penyajian, (2) pola pikir, (3) keterbatasan semesta, penyajian, (2) pola pikir, (3) keterbatasan semesta, (4) dan tingkat keabstrakan.(4) dan tingkat keabstrakan.

Page 4: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

Tujuan pendidikan matematika SMP adalah:Tujuan pendidikan matematika SMP adalah:• melatih cara berpikir dan bernalar dalam melatih cara berpikir dan bernalar dalam

menarik kesimpulanmenarik kesimpulan• mengembangkan aktivitas kreatif yang mengembangkan aktivitas kreatif yang

melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba.dan dugaan, serta mencoba-coba.

• Mengembangkan kemampuan memecahkan Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah.masalah.

• Mengembangkan kemampuan menyampaikan Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan-informasi atau mengkomunikasikan gagasan-gagasan.gagasan.

Page 5: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

Kemampuan Umum Hasil Belajar Matematika Menurut Kemampuan Umum Hasil Belajar Matematika Menurut WinterWinter

1.1. Mampu berargumentasi, didalamnya tercakup pendasaran, Mampu berargumentasi, didalamnya tercakup pendasaran, penyusunan secara logis, penataan secara berurutan, pengujian penyusunan secara logis, penataan secara berurutan, pengujian kembali, pengamatan sepenuhnya, tetap berpegang pada kembali, pengamatan sepenuhnya, tetap berpegang pada kesepakatan, bersedia mendengar argumen orang lain, dan bersedia kesepakatan, bersedia mendengar argumen orang lain, dan bersedia menerima argumentasi yang tak dapat dibantah lagi.menerima argumentasi yang tak dapat dibantah lagi.

2.2. Kreatif, didalamnya tercakup besedia untuk menemukan jalan Kreatif, didalamnya tercakup besedia untuk menemukan jalan pemecahan soal, membuat variasi, membuat alternatif, dan pemecahan soal, membuat variasi, membuat alternatif, dan mengadakan kemungkinan-kemungkinan baru.mengadakan kemungkinan-kemungkinan baru.

3.3. Mampu mematematisasikan situasi (kehidupan nyata), didalamnya Mampu mematematisasikan situasi (kehidupan nyata), didalamnya tercakup menangkap dan menguraikan situasi, memperoleh data, dan tercakup menangkap dan menguraikan situasi, memperoleh data, dan merumuskan saling keterkaitan hubungan situasi, dan memilih cara merumuskan saling keterkaitan hubungan situasi, dan memilih cara kerja penyelesaian masalah.kerja penyelesaian masalah.

Page 6: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

KAJIAN TEORIKAJIAN TEORI

• Robert M. Gagne, secara garis besar ada dua macam Robert M. Gagne, secara garis besar ada dua macam objek yang dipelajari siswa dalam matematika, yaitu objek yang dipelajari siswa dalam matematika, yaitu ubjek-objek langsung (direct objects) dab objek-objek ubjek-objek langsung (direct objects) dab objek-objek tak langsung (indirect obeject). tak langsung (indirect obeject).

• Objek-objek langsung dari pembelajaran matematika Objek-objek langsung dari pembelajaran matematika tardiri atas fakta-fakta matematika, keterampilan-tardiri atas fakta-fakta matematika, keterampilan-keterampilan (prosedur-prosedur) matematika, konsep-keterampilan (prosedur-prosedur) matematika, konsep-konsep matematika, dan prinsip-ptinsip matematika.konsep matematika, dan prinsip-ptinsip matematika.

• Objek-objek tak langsung dari pembelajaran Objek-objek tak langsung dari pembelajaran matematika meliputi kemampuan berpikir logis, matematika meliputi kemampuan berpikir logis, kemampuan memecahkan masalah, kemampuan kemampuan memecahkan masalah, kemampuan berpikir analitis, sikap positif terhadap matematika, berpikir analitis, sikap positif terhadap matematika, ketelitian, ketekunan, kedisiplinan, dan hal-hal lain yang ketelitian, ketekunan, kedisiplinan, dan hal-hal lain yang secara implisit akan dipelajari jika siswa mempelajari secara implisit akan dipelajari jika siswa mempelajari matematika. matematika.

Page 7: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

• Penjelasan tentang objek-objek langsung dari matematika Penjelasan tentang objek-objek langsung dari matematika 1.1. Fakta-fakta matematika adalah konvensi-konvensi Fakta-fakta matematika adalah konvensi-konvensi

(kesepakatan) dalam matematika yang dimasukkan untuk (kesepakatan) dalam matematika yang dimasukkan untuk memperlancar pembicaraan-pembicaran (semesta) dalam memperlancar pembicaraan-pembicaran (semesta) dalam matematika. Menurut Gagne, fakta hanya dapat dipelajari matematika. Menurut Gagne, fakta hanya dapat dipelajari dengan dipakai berulang-ulang dan dihapal. Misal lambang dengan dipakai berulang-ulang dan dihapal. Misal lambang untuk bilangan tujuh adalah “7” dan lambang untuk operasi untuk bilangan tujuh adalah “7” dan lambang untuk operasi penjumlahan adalah “+”.penjumlahan adalah “+”.

2.2. keterampilan-keterampilan matematika adalah operasi-operasi keterampilan-keterampilan matematika adalah operasi-operasi dan prosedur-prosedur dalam matematika, yang masing-dan prosedur-prosedur dalam matematika, yang masing-masing merupakan suatu proses untuk mencari atau masing merupakan suatu proses untuk mencari atau memperoleh suatu hasil tertentu.memperoleh suatu hasil tertentu.

3.3. Konsep-konsep matematika. Konsep adalah suatu ide abstrak Konsep-konsep matematika. Konsep adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan orang untuk mengklarifikasikan apakah yang memungkinkan orang untuk mengklarifikasikan apakah sesuatu objek tertentu merupakan contoh atau bukan contoh sesuatu objek tertentu merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut. Suatu konsep yang berada dalam dari ide abstrak tersebut. Suatu konsep yang berada dalam lingkup ilmu matematika disebut konsep matematika. Contoh lingkup ilmu matematika disebut konsep matematika. Contoh konsep matematika diantaranya : segitiga, kubus, persamaan, konsep matematika diantaranya : segitiga, kubus, persamaan, bilangan cacah, variabel, konstanta, pangkat, perkalian, dan bilangan cacah, variabel, konstanta, pangkat, perkalian, dan lain-lain.lain-lain.

4.4. Prinsip-prinsip matematika. Prinsip adalah suatu pernyataan Prinsip-prinsip matematika. Prinsip adalah suatu pernyataan yang bernilai benar yang memuat dua konsep atau lebih dan yang bernilai benar yang memuat dua konsep atau lebih dan menyatakan hubungan antar konsep-konsep tersebut. menyatakan hubungan antar konsep-konsep tersebut.

Page 8: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

Menurut Gagne, kegiatan belajar matematika tediri atas empat fase Menurut Gagne, kegiatan belajar matematika tediri atas empat fase yang terjadi secara berurutan, yaitu :yang terjadi secara berurutan, yaitu :

1.1. Fase aprehensi, yaitu siswa menyadari adanya rangsangan yang Fase aprehensi, yaitu siswa menyadari adanya rangsangan yang terkait dengan kegiatan belajar yang ia lakukan. Rangsangan terkait dengan kegiatan belajar yang ia lakukan. Rangsangan tersebut bisa berupa materi pelajaran yang ada pada halaman tersebut bisa berupa materi pelajaran yang ada pada halaman sebuah buku, sebuah soal yang diberikan guru sebagai pekerjaan sebuah buku, sebuah soal yang diberikan guru sebagai pekerjaan rumah, atau seperangkat alat peraga yang berguna untuk membantu rumah, atau seperangkat alat peraga yang berguna untuk membantu dalam pemahaman konsep tersebut.dalam pemahaman konsep tersebut.

2.2. Fase akuisisi, yaitu pemerolehan, penyerapan, atau internalisasi Fase akuisisi, yaitu pemerolehan, penyerapan, atau internalisasi terhadap fakta, keterampilan, konsep, atau prinsip yang menjadi terhadap fakta, keterampilan, konsep, atau prinsip yang menjadi sasaran dari berbagai kegiatan belajar tersebut.sasaran dari berbagai kegiatan belajar tersebut.

3.3. Fase penyimpanan, yaitu siswa menyimpan hasil kegiatan belajar Fase penyimpanan, yaitu siswa menyimpan hasil kegiatan belajar yang diperoleh dalam ingatan jangka pendek dan ingatan jangka yang diperoleh dalam ingatan jangka pendek dan ingatan jangka panjang.panjang.

4.4. Fase pemanggilan, yaitu berusaha memanggil kembali hasil-hasil Fase pemanggilan, yaitu berusaha memanggil kembali hasil-hasil belajar yang diperoleh dan telah disimpan dalam ingatan, baik belajar yang diperoleh dan telah disimpan dalam ingatan, baik menyangkut fakta, keterampilan, konsep, maupun prinsip. Fase ini menyangkut fakta, keterampilan, konsep, maupun prinsip. Fase ini terjadi biasanya ketika siswa mengerjakan soal-soal latihan, pada terjadi biasanya ketika siswa mengerjakan soal-soal latihan, pada saat tes, tau pada saat mempelajari materi berikutnya yang ada saat tes, tau pada saat mempelajari materi berikutnya yang ada kaitannya dengan materi pelajaran yang telah dipelajari sebagai kaitannya dengan materi pelajaran yang telah dipelajari sebagai prasyarat.prasyarat.

Page 9: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

HAKIKAT MATEMATIKAHAKIKAT MATEMATIKA

• Apakah matematika itu?Apakah matematika itu?• Berbagai jawaban muncul tentang pengertian matematika, dipandang dari Berbagai jawaban muncul tentang pengertian matematika, dipandang dari

pengetahuan dan pengalaman dari masing-masing yang berkepentingan.pengetahuan dan pengalaman dari masing-masing yang berkepentingan.• Beberapa pengertian yang muncul :Beberapa pengertian yang muncul :

- Matematika adalah bahasa numerik- Matematika adalah bahasa numerik- Matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat kabur, majemuk, - Matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat kabur, majemuk, dan emosionaldan emosional- Matematika adalah berpikir logis- Matematika adalah berpikir logis- Matematika adalah sarana berpikir- Matematika adalah sarana berpikir- Matematika adalah logika pada masa dewasa- Matematika adalah logika pada masa dewasa- Matematika adalah sains mengenai kuantitas dan besaran- Matematika adalah sains mengenai kuantitas dan besaran- Matematika adalah sains yang bekerja menarik kesimpulan-kesimpulan yang - Matematika adalah sains yang bekerja menarik kesimpulan-kesimpulan yang perluperlu- Matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif- Matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif- dan lain-lain- dan lain-lain

Beberapa pengertian yang muncul diatas berfokus pada tinjauan pembuat Beberapa pengertian yang muncul diatas berfokus pada tinjauan pembuat pengertian itu.pengertian itu.

Page 10: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

MENYELESAIKAN MENYELESAIKAN MASALAH PEMBUKTIAN MASALAH PEMBUKTIAN

DAN DAN MENUNJUKKAN BENAR ATAU MENUNJUKKAN BENAR ATAU

SALAHNYA SALAHNYA SUATU PERNYATAAN MATEMATIKASUATU PERNYATAAN MATEMATIKA

Page 11: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

• Langkah-langkah yang digunakan dalam pembelajaran matematika Langkah-langkah yang digunakan dalam pembelajaran matematika ketika akan menemukan atau membuktikan suatu pernyataan ketika akan menemukan atau membuktikan suatu pernyataan matematika adalah :matematika adalah :– terjemahkan setiap istilah dengan definisinyaterjemahkan setiap istilah dengan definisinya– analisa arti dari hipotesis dan kesimpulananalisa arti dari hipotesis dan kesimpulan– coba membuktikan dengan menggunakan salah satu dari metoda coba membuktikan dengan menggunakan salah satu dari metoda

pembuktianpembuktian• Jika pernyataan berupa implikasi; coba buktikan dengan bukti Jika pernyataan berupa implikasi; coba buktikan dengan bukti

langsung. Bila gagal, coba dengan bukti tak langsung. Bila tidak langsung. Bila gagal, coba dengan bukti tak langsung. Bila tidak berhasil juga coba dengan bukti kontradiksi.berhasil juga coba dengan bukti kontradiksi.

• Apa pun metoda yang digunakan, dalam melakukan proses Apa pun metoda yang digunakan, dalam melakukan proses pembuktian diperlukan pembuktian diperlukan titik awaltitik awal..

Proses maju: Proses maju: hipotesis hipotesis aksioma & teoremaaksioma & teorema kesimpulan kesimpulan

Namun seringkali, proses maju sukar untuk digunakan dalam Namun seringkali, proses maju sukar untuk digunakan dalam pembuktian sesuatu yang tidak sederhana. Sehingga kita harus pembuktian sesuatu yang tidak sederhana. Sehingga kita harus mengkombinasikan dengan mengkombinasikan dengan proses mundurproses mundur..

Page 12: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

Contoh 1:Contoh 1:Tunjukkan bahwa jika segitiga siku-siku RST Tunjukkan bahwa jika segitiga siku-siku RST dengan sisi tegak r, s, dan sisi miring t dengan sisi tegak r, s, dan sisi miring t mempunyai luas t2/4, maka segitiga tersebut mempunyai luas t2/4, maka segitiga tersebut sama kaki.sama kaki.Solusi.

B: Segitiga RST sama kaki.B1: r = s

B2: r-s = 0

A: Segitiga RST dengan sisi r, s dan sisi miring t dengan luas t2/4.

A1: rs/2 = t2/4

A2: (r2+s2) = t2.

A3: rs/2 = (r2+s2)/4

A4: (r2-2rs+s2) = 0

A5: (r-s)2 = 0.r

t

s

Page 13: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

• Contoh 2.Contoh 2.

Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan real positif x Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan real positif x dan y yang berbeda berlaku dan y yang berbeda berlaku

(x+y)/2 > (x+y)/2 > xxy.y.

Solusi. Solusi. • B: (x+y)/2 > B: (x+y)/2 > xxyy• B1: (x+y)B1: (x+y)2 2 /4 > xy/4 > xy• B2: (x+y)B2: (x+y)22 > 4xy > 4xy• B3: xB3: x22 +2xy+y +2xy+y22 > 4xy > 4xy• B4: xB4: x22 - 2xy+y - 2xy+y22 > 0 > 0• B5: (x-y)B5: (x-y)22 > 0 > 0• B6: x B6: x y. y.

Bukti.Bukti.

Karena x dan y berbeda maka Karena x dan y berbeda maka (x-y)(x-y)22 > 0. > 0.

Ini berarti xIni berarti x22 +2xy+y +2xy+y22 > 4xy. > 4xy. Sehingga, (x+y)Sehingga, (x+y)22 > 4xy yang > 4xy yang memberikan (x+y)/2 > memberikan (x+y)/2 > xxy.y.

Page 14: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

Contoh 3:Contoh 3:Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan bulat positif berlaku:Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan bulat positif berlaku:1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/61²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6

• Bukti dengan induksi matematika:Bukti dengan induksi matematika:n=1 n=1 1² = 1(1+1)(2.1+1)/6=1 benar 1² = 1(1+1)(2.1+1)/6=1 benarn=2 n=2 1²+2² = 2(2+1)(2.2+1)/6=5 benar 1²+2² = 2(2+1)(2.2+1)/6=5 benarn=k n=k 1²+2²+3²+…+k² = k(k+1)(2.k+1)/6 anggap benar 1²+2²+3²+…+k² = k(k+1)(2.k+1)/6 anggap benarAkan dibuktikan bahwa untuk n=k+1 Akan dibuktikan bahwa untuk n=k+1

1²+2²+3²+…+k²+(k+1)²=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6 adalah 1²+2²+3²+…+k²+(k+1)²=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6 adalah benarbenar

1²+2²+3²+…+k² = k(k+1)(2.k+1)/61²+2²+3²+…+k² = k(k+1)(2.k+1)/61²+2²+3²+…+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²1²+2²+3²+…+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²

= (k+1)(k(2k+1)/6 + 6(k+1)/6)= (k+1)(k(2k+1)/6 + 6(k+1)/6)= (k+1)(2k²+k+ 6k+6)/6= (k+1)(2k²+k+ 6k+6)/6

= (k+1)(k+2)(2k+3)/6= (k+1)(k+2)(2k+3)/6= (k+1)(2k²+7k+6)/6= (k+1)(2k²+7k+6)/6

= (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6= (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6

Terbukti BenarTerbukti Benar

Page 15: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

• Pembuktian LangsungPembuktian Langsung

Sebelumnya sudah dibuktikan teorema bahwa : 1+2+3+…+n=n(n+1)/6Sudah diketahui bahwa (n+1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1(n+1)3 – n3 = 3n2 + 3n + 1n3 – (n-1)3 = 3(n-1)2 + 3(n-1) + 1(n-1)3 – (n-2)3 = 3(n-2)2 + 3(n-2) + 1

33 – 23 = 3.22 + 3.2 + 123 – 13 = 3.12 + 3.1 + 1

……………………………..

+(n+1)3 – 13 = 3(12+22+32+....+n2) + 3(1+2+3+…+n) + nn3 +3n2+3n = 3(12+22+32+....+n2) + 3n(n+1)/2 + n

3(12+22+32+....+n2) = n3 + 3n2 + 3n - 3n(n+1)/2 - n Kalikan 26(12+22+32+....+n2) = 2n3 + 6n2 + 6n - 3n(n+1) - 2n6(12+22+32+....+n2) = 2n3 + 6n2 + 6n - 3n2 -3n - 2n6(12+22+32+....+n2) = 2n3 + 3n2+ n6(12+22+32+....+n2) = n(2n2 + 3n + 1)6(12+22+32+....+n2) = n(n+1)(2n+1)12+22+32+....+n2 = n(n+1)(2n+1)/6

Terbukti benar

Page 16: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

Contoh 4:Contoh 4:Tentukan bilangan prima terkecil yang dapat membagi Tentukan bilangan prima terkecil yang dapat membagi

9999999999 + 99 + 99999999

Solusi

1. Bahwa setiap bilangan ganjil jika dipangkatkan dengan sembarang bilangan asli hasilnya adalah bilangan ganjil:

Maka 9999999999 dan 99999 adalah bilangan ganjil

2. Bahwa jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap

Maka 999Maka 9999999 + 99 + 99999999 adalah bilangan adalah bilangan genapgenap3. Bahwa setiap bilangan genap habis dibagi 2Maka 999Maka 9999999 + 99 + 99999999 adalah bilangan genap dan habis adalah bilangan genap dan habis dibagi 2dibagi 24. Bahwa 2 merupakan bilangan prima terkecil

Maka bilangan prima terkecil yang dapat membagi 999Maka bilangan prima terkecil yang dapat membagi 9999999 + 99 + 99999999 adalah 2 adalah 2

Page 17: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

• --Diketahui segitiga ABC dengan sudut A dua kali sudut B. Buktikan bahwa pada segitiga tersebut berlaku: a2 = b (b + c)

Bukti:

A B

C BAC = 2ABC

Tarik garis AD sedemikian sehingga BAD=CAD dengan D berada pada BC.

Dapat dipastikan bahwa BAD=ABC sehingga ABD merupakan segitiga sama kaki dan AD=BD.

D

Menurut aturan segitiga bahwa AB=c, BC=a, dan AC=b. Jika BD=AD=x maka CD=a-x Perhatikan segitiga ABC dan segitiga ADC. DAC=ABC, ACD=ACB, dan dipastikan ADC=BAC. Menurut konsep kesebangunan jika dua segitiga memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka kedua segitiga pasti sebangun. karena ABC sebangun ADC, sehingga berlaku: AB/AD = BC/AC = AC/CD

- c/x = a/b = b/(a-x)b.c = a.x

x = bc/a …. 1) c/x = a/ba/b = b/(a-x)

b2 = a(a - x) b2 = a2 - axb2= a2 - a. bc/a Dari …1)a2= b2 + bca2= b(b + c) Terbukti

Page 18: Wawasan matematika dan wawasan pendidikan matematika

Minilabdocx Minilabdocx http://minilabdocx.blogspot.comhttp://minilabdocx.blogspot.com

TERIMA KASIH…TERIMA KASIH…MAAF ATAS SEGALA MAAF ATAS SEGALA

KEKURANGANKEKURANGAN

SELESAISELESAI