Matematika Diskrit

Matematika Diskrit

4. TEORI BILANGAN

Kuliah 7

Dr.-Ing. Erwin Sitompulhttp://zitompul.wordpress.com

7/2Erwin Sitompul Matematika Diskrit

Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal.Misalnya: 8 ; 21 ; 8765 ; –34 ; 0.

Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil, yang mempunyai pecahan desimal.Misalnya: 8,0 ; 34,25 ; 0,02.

Bilangan Bulat


Misalkan a dan b bilangan bulat, a 0. Maka a habis membagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.

Notasi: a | b jika b = ac, c Z dan a 0.

Sifat Pembagian Pada Bilangan Bulat

Contoh:(a) 4 | 12 karena 12/4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4 3.

(b) 4 | 13 karena 13/4 = 3,25 (bukan bilangan bulat).


Teorema Euclidean 1:Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0.Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga m = nq + rdengan 0 r < n.

Teorema Euclidean

Contoh:(a) 1987/97 = 20, sisa 47

1987 = 9720 + 47

(b) 25/7 = 3, sisa 425 = 73 + 4

(c) –25/7 = –4, sisa 3–25 = 7(–4) + 3Tetapi bukan –25 = 7(–3) – 4,karena remainder r = –4 (sementara syarat 0 r < n)


Pembagi Bersama Terbesar (PBT)

Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol.

Pembagi bersama terbesar (PBT, greatest common divisor) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a dan d | b.

Dalam hal ini dituliskan bahwa PBT(a,b) = d.

Contoh:Tentukan PBT(45,36) ! Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9.

Dengan cara enumerasi di atas, didapatkan PBT(45,36) = 9.


Teorema Euclidean 2:Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0,sedemikian sehingga m = nq + r, 0 r < n.

Maka PBT(m,n) = PBT(n,r).

Contoh:Ambil nilai m = 66, n = 18,

66 = 183 + 12

Maka PBT(66,18) = PBT(18,12) = 6

Pembagi Bersama Terbesar (PBT)


Algoritma Euclidean

TujuanAlgoritma untuk mencari PBT dari dua buah bilangan bulat.

Penemu Euclid, seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritma tersebut dalam bukunya, “Element”.


Algoritma Euclidean

Bila m dan n adalah bilangan bulat tak negatif dengan m n, misalkan r0 = m dan r1 = n.

Lakukan pembagian berikut secara berturut-turut untuk memperoleh:

r0 = r1q1 + r2 0 r2 r1,r1 = r2q2 + r3 0 r3 r2,

ri–2 = ri–1qi–1 + ri 0 ri ri–1,ri–1 = riqi + 0

Menurut Teorema Euclidean 2,PBT(m,n) = PBT(r0,r1) = PBT(r1,r2) = … = PBT(ri–2,ri–1) = PBT(ri–1,ri) = PBT(ri,0) = ri

Jadi, PBT dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari runtunan pembagian tersebut, yaitu ri.

…


Algoritma Euclidean

Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (m n). Algoritma Euclidean berikut mencari pembagi bersama terbesar dari m dan n.

Algoritma Euclidean1. Jika n = 0 maka m adalah PBT(m,n); STOP. Jika n 0, lanjutkan ke Langkah 2.2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya.3. Ganti nilai m dengan nilai n, dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali ke Langkah 1.


Contoh:Ambil m = 80, n = 12, dengan demikian syarat m n dipenuhi.

80 = 126 + 8

12 = 81 + 4

8 = 42 + 0

n = 0 m = 4 adalah PBT(80,12) = 4; STOP.

Algoritma Euclidean


Kombinasi Linier

PBT(a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier (linear combination) dari a dan b dengan koefisien-koefisennya yang dapat dipilih bebas.

Contoh: PBT(80,12) = 4, maka 4 = (–1)80 + 712

Koefisien, dapat dipilih bebas

Teorema Kombinasi Linier:Misalkan a dan b bilangan bulat positif, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBT(a,b) = ma + nb.


Kombinasi LinierContoh:Nyatakan PBT(312,70) = 2 sebagai kombinasi linier dari 312 dan 70!

Solusi: Terapkan Algoritma Euclidean untuk memperoleh PBT(312,70) = 2 sbb:

312 = 470 + 32 (1) 70 = 232 + 6 (2) 32 = 56 + 2 (3) 6 = 32 + 0 (4)

Susun (3) menjadi 2 = 32 – 56 (5)

Susun (2) menjadi 6 = 70 – 232 (6)

Masukkan (6) ke (5) menjadi2 = 32 – 5(70 – 232) = 132 – 570 + 1032 = 1132 – 570 (7)

Susun (1) menjadi32 = 312 – 470 (8)

Masukkan (8) ke (7) menjadi2 = 1132 – 570 = 11(312 – 470) – 570

= 11312 – 4970

Jadi, PBT(312, 70) = 2 = 11312 – 4970


Aritmatika Modulo

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif, maka

a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m

a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m Hasil dari modulo m terletak di dalam himpunan { 0,1,2,…,m–1 }


Kongruen

Amati 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3. Maka dikatakan 38 13 (mod 5).Cara baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5.

Misalkan a dan b bilangan bulat dan m > 0. Jika m habis membagi a – b, maka a b (mod m).

Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a b (mod m).


Kongruen

Contoh: 17 2 (mod 3)

3 habis membagi 17–2 = 15

–7 15 (mod 11) 11 habis membagi –7–15 = –22

12 2 (mod 7) 7 tidak habis membagi 12–2 = 10

–7 15 (mod 3) 3 tidak habis membagi –7–15 = –22


Kongruen

Contoh: 17 2 (mod 3) 17 = 2 + 53 –7 15 (mod 11) –7 = 15 + (–2)11

Contoh: 23 mod 5 = 3 23 3 (mod 5) 6 mod 8 = 6 6 6 (mod 8) 0 mod 12 = 0 0 0 (mod 12) –41 mod 9 = 4 –41 4 (mod 9) –39 mod 13 = 0 –39 0 (mod 13)

a b (mod m) dapat dituliskan sebagai a = b + km (k adalah bilangan bulat).

a mod m = r dapat juga ditulis sebagai a r (mod m).


Teorema Kongruen:Misalkan m adalah bilangan bulat positif.1. Jika a b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat,

makai. (a + c) (b + c) (mod m)ii. ac bc (mod m)iii. ap bp (mod m) , p bilangan bulat tak-negatif

2. Jika a b (mod m) dan c d (mod m), makaiv. (a + c) (b + d) (mod m)v. ac bd (mod m)

Kongruen


KongruenContoh: Misalkan 17 2 (mod 3) dan 10 4 (mod 3), maka menurut Teorema Kongruen, 17 + 5 2 + 5 (mod 3) 22 7 (mod 3) 175 25 (mod 3) 85 10 (mod 3) 17 + 10 2 + 4 (mod 3) 27 6 (mod 3) 1710 24 (mod 3) 170 8 (mod 3)


Bilangan PrimaBilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika

pembaginya hanya 1 dan p.

Contoh: 23 adalah bilangan prima, karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.

Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite).

Contoh: 20 adalah bilangan komposit, karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.


Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBT(a,b) = 1.

Relatif Prima

Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga ma + nb = 1.

Contoh: 20 dan 3 relatif prima, sebab PBT(20,3) = 1. 7 dan 11 relatif prima, karena PBT(7,11) = 1. 20 dan 5 tidak relatif prima, sebab PBT(20,5) = 5 ≠ 1.

Contoh: Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBT(20,3) =1,

sehingga dapat ditulis 220 + (–13)3 = 1 (m = 2, n = –13). Bilangan 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBT(20,5) ≠ 1,

sehingga 20 dan 5 tidak dapat dituliskan m20 + n5 = 1.


Inversi Modulo

Di dalam aritmatika bilangan riil, inversi (balikan, inverse) dari perkalian adalah pembagian.

Contohnya, inversi 4 adalah 1/4, sebab 4 1/4 = 1.

Di dalam aritmatika modulo, masalah menghitung inversi modulo lebih sukar.

Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka terdapat inversi (balikan) dari a modulo m.

Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat x sedemikian sehingga ax 1 (mod m).


Inversi Modulo

Contoh: Tentukan balikan dari 4 (mod 9) !

Solusi: Karena PBT(4,9) = 1, maka inversi dari 4 (mod 9) ada.Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa

9 = 24 + 1.Susun persamaan di atas menjadi –24 + 19 = 1.Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa–2 adalah inversi (balikan) dari 4 (mod 9).

Periksa bahwa –24 1 (mod 9)

12

4 (mod 9) 1 2 4 (mod 9)

1 8 (mod 9)


Inversi Modulo

Catatan: Setiap bilangan yang kongruen dengan –2 (mod 9) adalah juga inversi dari 4.

Contoh: 7 –2 (mod 9) 9 habis membagi 7 – (–2) = 9 –11 –2 (mod 9) 9 habis membagi –11 – (–2) = –9 16 –2 (mod 9) 9 habis membagi 16 – (–2) = 18

12

4 (mod 9) 1

2 (mod 9)4

1 1 17 (mod 9) , 11 (mod 9) , 16 (mod 9)

4 4 4



Solusi: Karena PBT(17,7) = 1, maka inversi dari 17 (mod 7) ada.Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa

17 = 27 + 3 (1) 7 = 23 + 1 (2) 3 = 31 + 0 (3)

Susun (2) menjadi 1 = 7 – 23 (4)Susun (1) menjadi

3 = 17 – 27 (5)Masukkan (5) ke (4)

1 = 7 – 2(17 – 27) 1 = –217 + 57

Inversi Modulo

Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa –2 adalah inversi (balikan) dari 17 (mod 7) Periksa –217 1 (mod 7)



Solusi: Karena PBT(18,10) = 2 ≠ 1, maka inversi dari 18 (mod 10) tidak ada.

Inversi Modulo


Kongruensi LinierKongruensi linier berbentuk:

ax b (mod m),dimana m > 0, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah variabel bilangan bulat. Pemecahan:

ax = b + km x = (b + km) / aCobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang

memberikan hasil x bilangan bulat.


Kongruensi Linier

Contoh: Tentukan solusi untuk 4x 3 (mod 9) !

Solusi: 4x 3 (mod 9) x = (3 + k9 ) / 4

k = 0 x = (3 + 09) / 4 = 3/4 bukan solusik = 1 x = (3 + 19) / 4 = 3 solusik = 2 x = (3 + 29) / 4 = 21/4 bukan solusik = 3, k = 4 tidak memberi solusik = 5 x = (3 + 59) / 4 = 12 solusi…k = –1 x = (3 – 19) / 4 = –6/4 bukan solusik = –2 x = (3 – 29) / 4 = –15/4 bukan solusik = –3 x = (3 – 39) / 4 = –6 solusi…k = –7 x = (3 – 79) / 4 = –15 solusi…Nilai-nilai x yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …


Contoh: Tentukan solusi untuk 2x 3 (mod 4) !

Solusi: 2x 3 (mod 4) x = (3 + k4 ) / 2 Oleh karena k4 adalah selalu bilangan genap, maka 3 + k4

akan selalu memberikan hasil bilangan ganjil. Bila bilangan ganjil dibagi 2, maka hasilnya akan selalu

bilangan pecahan. Dengan demikian, tidak ada nilai x yang memenuhi

2x 3 (mod 4).

Kongruensi Linier


Kongruensi Linier

Contoh: Tentukan x sedemikian hingga 3x 4 (mod 7) !

Solusi: 3x 4 (mod 7) (3)–13x (3)–14 (mod 7) x (3)–14 (mod 7) x –24 (mod 7) x –8 (mod 7)

x 6 (mod 7)

x = {..., –8, –1, 6, 13, 19, ...}

1 1(3) (mod 7)

3y

3 1 (mod 7)y 2y


Aplikasi Teori Bilangan: ISBN ISBN (International Standard Book Number)

Kode ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya 0–3015–4561–9.

ISBN terdiri atas empat bagian kode: Kode yang mengidentifikasikan bahasa Kode yang mengidentifikasikan penerbit Kode unik untuk buku tersebut Karakter uji pada posisi terakhir (berupa angka

atau huruf X)


10

0 (mod 11)ii i

ix

Karakter uji dipilih sedemikian hingga

Aplikasi Teori Bilangan: ISBN

9

mod 11 ii i

ix

karakter uji

Contoh: ISBN 0–3015–4561–8 0 : kode kelompok negara berbahasa Inggris, 3015 : kode penerbit 4561 : kode unik buku yang diterbitkan 8 : karakter uji. Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut: 10 + 23 + 30 + 41 + 55 + 64 + 75 + 86 + 91 = 151Jadi, karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8


Contoh: ISBN 978-3-8322-4066-0

Mulai Januari 2007 digunakan ISBN dengan 13 digit Cara perhitungan menjadi berbeda dan dipergunakan

modulo 10

Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut: 91 + 73 + 81 + 33 + 81 + 33 +

21 + 23 + 41 + 03 + 61 + 63 = 100Jadi, karakter ujinya adalah 100 + x13 0 (mod 10)

x13 = 0

Aplikasi Teori Bilangan: ISBN

13ganjil genap

3 0 (mod 10)i ii i

x x x


Pekerjaan Rumah (PR7)

Tentukan PBT(216,88) dan nyatakanlah PBT tersebut sebagai kombinasi linier 216 dan 88.

No.1:

No.2: Diberikan sebuah kode ISBN-13: 978-0385510455. Periksalah apakah kode tersebut sahih atau tidak. Petunjuk: Periksa karakter uji dari ISBN tersebut.


Pekerjaan Rumah (PR7)

New

Tentukan solusi untuk 5x 7 (mod 11) !No.1:

No.2: Bila diberikan kode ISBN-10: 0072880082, periksa apakah kode ini adalah valid atau tidak. Petunjuk: Periksa karakter uji dari kode ISBN tersebut.

No.3: Sukarela untuk tambahan 20 poin

Kode ISBN-13: 978-007289A054 adalah valid. Berapakah nilai dari A?

Matematika Diskrit

Documents

Transcript of Matematika Diskrit