1

2. Persamaan Non Linier2. Persamaan Non Linier

2.1 Fungsi Kuadrat2.2 Profit (Keuntungan), Cost

(Harga/Biaya) dan Revenue (Pendapatan/Pajak)

2.3 Logaritma dan Notasi Indeks2.4 Fungsi Logaritma dan Fungsi

Eksponensial

2

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi KuadratBentuk Umum dari fungsi kuadrat dapat digambarkan sebagai :

y = f(x) = ax2 + bx + c (2.1.1)

Dengan, y = variabel terikat x = variabel bebas a, b, dan c adalah konstanta, a ≠ 0

Untuk mendapatkan akar – akarnya, maka f(x) = 0.

Contoh 1 :Carilah akar – akar dari f(x) = x2 – 9.

Jawab : x2 – 9 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ±3.

3

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi KuadratPenyelesaian Umum dari persamaan (2.1.1) dapat diturunkan sebagai :

x1,2 =

(a) Jika D = b2 – 4ac >0 (disebut juga sebagai Diskriminan),mempunyai dua penyelesaian,

x1 = dan x2 =

2a4acbb 2 −±−

2a4acbb 2 −+−

2a4acbb 2 −−−

4

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi Kuadrat

5

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi Kuadrat(b). Jika D = b2 – 4ac = 0, maka mempunyai

tepat satu penyelesaian,

x1,2

(c). Jika D = b2 – 4ac < 0, maka tidak mempunyai penyelesaian.

Contoh 2Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut :(a) 2x2 – 19x – 10 = 0 (c) 4x2 + 12x +9 = 0(b) x2 + x +1 = 0 (d) x2 – 3x + 10 = 2x + 4

2ab

2a0b

2a4acbb 2 −=±−=−±−=

6

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi Kuadrat

7

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi Kuadrat

8

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi KuadratContoh 3. Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat, f(x) = x2 .Untuk mendapatkan nilai – nilai yang tepat dalam mensketsa grafiknya, gunakan tabulasi data seperti berikut :

x f(x)

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

9

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi KuadratContoh 4, Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut :

f(x) = –x 2+ 8x–12 .Jawab :Diketahui - Konstanta a = -1, maka grafik kurvanya menghadap kebawah (U terbalik).- Konstanta c = -12, maka titik perpotongan kurva di x=0 dan y = -12.- Nilai – nilai akarnya adalah :

Jadi x1= 2 dan x2= 6. - Selanjutnya untuk mendapatkan nilai simterik kurva di x, makax t=½(2 + 6) = 4, sehingga f(4) = –4 2+ 8(4)–12 = 4, jadi nilai

maksimumnya di titik y = 4 atau menggunakan rumus (–b/2a, –D/4a)

2-168

1-212-1-488

x2

1,2±−=

−±−=

10

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi KuadratSketsa grafiknya :

11

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi KuadratContoh 5, Diberikan fungsi permintaan (Demand) dan penawaran (Supply) sebagai berikut :

P= –Q d2– 10Qd +150

P= Q s2+ 14Q s + 22

Jawab :Diketahui fungsi keseimbangan (equil ibrium)

Q s=Qd

Maka, Q2+ 14Q +22 = –Q2– 10Q +150

⇒ Q2+ 12Q – 64 = 0

⇒ Q1 = - 16 dan Q2 = 4

( )( )( ) 2

4001212

64-141212Q2

1,2±−=−±−=

12

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi KuadratNilai kuantitas Q = 4, itu disubtitusi ke persamaan fungsi permintaan (Demand) :

P= –(4) 2– 10(4) +150 = 94dan penawaran (Supply) :

P= 42+ 14(4)+22 = 94 Begitu pula untuk Q = – 16 maka,

P= –(–16) 2– 10(–16) +150 = 54dan penawaran (Supply) :

P= –162+ 14(–16)+22 = 54 Titik (4, 94) dan (-16, 54), merupakan perpotongan kurva, dalam ilmu ekonomi, hanya nilai positif yang dianggap terdefinisi, atau dapat ditarik suatu kesimpulan.

13

2.1 2.1 Fungsi KuadratFungsi Kuadrat

Gambar Grafiknya Contoh 5:

–Qd2– 10Qd+150 = 0

Qs2+ 14Qs+ 22 = 0

14

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Definisi :⇔ Profit (Keuntungan) dirumuskan sebagai

π = TR – TC(2.2.1)

⇔ Cost (Harga/Biaya), TC = FC + (VC)Q,

(2.2.2)TVC = (VC)Q,

(2.2.3)⇔ Revenue (Pendapatan/Pajak)

TR = PQ(2.2.4)

Contoh 6,Diberikan fungsi permintaan

P = 100 – 2QTunjukkan TR sebagai fungsi dari Q dan sketsalah grafiknya,(a) Berapakal nilai Q, jika TRnya nol?,(b) Berapa nilai maksimum TR?

15

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Jawab :Secara umum fungsi permintaan linier dapat ditunjukkan sebagai :

P = aQ + b (a<0, b>0) Jadi fungsi total Revenue,

TR = PQ = (aQ + b)Q = aQ 2 + bQ

(2.2.5)dengan P = 100 – 2Q, Jadi,

TR = (100 – 2Q)Q = 100Q – 2Q 2

(2.2.6)Karena a = –2 , maka bentuk grafiknya U terbalik.- Jika TR = 0, maka Q1 = 0, dan Q2 = 50 yang merupakan akar

– akar persamaan.- Titik simetrik persamaan di Q t = ½(0+50) = 25, dengan

TR = 100(25) – (25)2 = 1250.

16

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Grafik fungsinya sebagai berikut :

17

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Dari Persamaan (2.2.2) dan (2.2.3) diketahui :TC = FC + (VC)Q, danTVC = (VC)Q,

Dimana, TC = Total Cost, FC = Fixed Cost (Biaya Tetap) VC = Variabel CostTVC = Total Variabel Cost,

Maka, fungsi rata – rata Biaya (Average Cost/AC) ,dirumuskan sebagai biaya total dibagi dengan kuantitas barang yang keluar,

QTCAC =

Q(VC)QFC +=

VCQFC

Q(VC)Q

QFC +=+=

18

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Contoh 7,DiBerikan Biaya Tetap 1000, dan Biaya Variabel 4 Perunit, tunjukkan TC dan AC sebagai fungsi dari Q, sketsalah grafiknya ? JawabDiketahui,

FC = 1000, VC = 4,Dari persamaan (2.2.2) diketahui TC = FC + (VC)Q maka,

TC = 1000 + 4QDan

QTCAC =

Q4Q1000 +=

4Q1000 +=

19

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Grafik TC dan Q dapat ditunjukkan berikut ini:

20

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Q AC

100 14

250 8

500 6

1000 5

2000 4.5

Grafik AC dan Q dapat ditunjukkan berikut ini:

21

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Secara umum, variabel biaya (VC) adalah konstanta dalam fungsi total biaya :

TC = FC + (VC)Q, sebagai fungsi linier, dimana FC merupakan intersept dan VC sebagai slope atau kemiringan. Untuk fungsi rata – rata biaya,

Dapat dicatat bahwa jika Q kecil, maka FC/Q membesar, jadi grafik Q mendekat ke nol. Q merupakan fungsi menurun, sedangkan FC/Q, fungsi naik. Sederhananya VC bergantung pada Q, dengan nilai VC merupakan sumbu asimptotik datar.

VCQFCAC +=

22

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Grafik AC dan Q :

23

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Jika grafik TR dan TC disketsa dalam satu diagram, maka bentuknya akan seperti berikut :

24

2.2 2.2 Revenue, Cost dan Revenue, Cost dan ProfitProfit

Dari gambar tersebut di atas dapat dijelaskan bahwa, dua kurva berpotongan di dua titik, A dan B, berpasangan dengan kuantitas QA

dan QB.