Mate III ING Semana 11
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Matemática III (ING) Semana 11
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MATE 3
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Matemática III (ING)
Semana 11
Integrales Impropias de Primera Especie
b
ab
a
dxxfdxxf lim
Integrales Impropias de Primera Especie
b
aa
b
dxxfdxxf lim
Si el límite es un número real, se dice que la integral impropia
converge; de lo contrario, se dice que la integral diverge.
Integrales Impropias de Primera Especie
0
0
x
x
dxxfdxxfdxxf
¿Cómo se observa este caso en forma gráfica?
Calcular, si existe:
1 2
1) dx
xa
dxx
b
1
1)
2
3 21)
( 2)
xc dx
x
0
2 ) dxed
x
Ejemplos
Integrales Impropias de Segunda Especie
¿Cómo calcula la siguiente integral?
2
1 1
2dx
x
x
Integrales Impropias de Segunda Especie
1. Si la asíntota se encuentra en x = a
b
a
b
adxxfdxxf
0
lim
2. Si la asíntota se encuentra en x = b
b
a
b
adxxfdxxf
0
lim
Calcular, si existe:
Ejemplos
2
1 1
3 ) dx
xa
2
4 1
2 ) dx
x
xb
dx
x
xc
221
)
5
11
23 ) dx
x
xd
2
113
2 ) dx
xx
xe
6
3 3
23 ) dx
x
xf
Ejercicios:
Muestre la región limitada por , el eje x,
0 < x ≤ 1 y determine el área de dicha región.
x
1y 1.
1dx
1-3x
3x4xx 23
2. Calcule:
¿Para qué valor de k la integral impropia
0
3
2
11
3dx
x
k
x
x
3.
converge a cero?
La definición de Euler de la función Gamma es:
0
t1x dtet)x(
Aplicando la definición para x = 1
0
t11 dtet)1(
0
t dte)1(
b
0
t
belim)1(
)eelim()1( 0b
b
1)1(
)10()1(
Aplicando la definición para x = 2
0
t12 dtet)2(
0
t dtet)2(
b
0
tt
bdteetlim)2(
1)2(
Método: integración por partes
b
0
tt
beetlim)2(
1
e
1tlim)2(
b
0
tb
L´Hopital
Aplicando la definición para x = 3
0
t13 dtet)3(
0
t2 dtet)3(
b
0
tt2
bdtet2etlim)3(
2)3(
Método: integración por partes
1)2(
202e
tlim)3(
b
0
t
2
b
L´Hopital
1)1(1)2(
Así tenemos que:
1x2)2(2)3(
1x2x3)3(3)4(
1x2x3x4)4(4)5(
Zn!n)1n(
Por este motivo a la función gamma se la denomina
“función factorial generalizada”
)(
Ejemplo 1.
0
t5 dtet
x – 1 = 5 x = 6
Luego: !5)6(dtet )(De
0
t5
0
t50 dtetb)
x – 1 = 50 x = 51
Luego: !50)51(dtet )(De
0
t50
Determinar el valor de:
a)
Calcular:
0
x24122 dxex22
Hacemos:
2/1
2
tx
dtdxx4
x4
dtdx
00
2 tx2
0
x24122dxex2
2
0 2/1
t
412/1
22
2
t4
dte
2
t2
Ejemplo 2.
0
t
20
0 2
22x24122 dte
2
t
2
2dxex2
2
0
t20
0 202
22x24122 dtet
22
2dxex2
2
Luego: x – 1 = 20 x = 21
!20)21(dtet )(De
0
t20
!20dxex20
x24122 2
A partir de ahora:
0
t2/1 dtet)2/1(
Será considerado como dato y tiene un valor de:
)2/1(
Calcule:
a)
0
t dtet
x – 1 = 1/2 x = 3/2
Luego:
)2/1(2
1)2/3(dtet )(De
0
t
2
1)2/3(dtet:decirEs
0
t
Ejemplo 3.
)2/5(
)2/3(2
3)2/5( )(De
b)
4
3
22
3)2/5(
)2/7(
)2/5(2
5)2/7( )(De
c)
8
15
4
3
2
5)2/7(
Calcular:
0
x dxe2
Sustitución:2/1tx
dtt2
1dx 2/1
00
2 tx
0
2/1t
0
x dtt2
1edxe
2
0
t2/1
0
x dtet2
1dxe
2
)2/1(
2dxe
0
x2
Ejemplo 4.
