KUANTOR UNIVERSAL DAN EKSISTENSIAL

Mari Belajar MatematikaBy : Yessy Anggraeni Kusuma103174021Pendidikan matematikaFMIPAUniversitas Negeri SurabayaPernyataanAdalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah.Contoh: Menara itu tinggi. Jumlah hari ada 7. Tangkaplah orang itu! Berapa Umurmu sekarang? (Pernyataan)(Pernyataan)(Bukan Pernyataan)(Bukan Pernyataan)

Lambang suatu pernyataan dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c,,p,q,r,dan seterusnya.Contoh:Pernyataan 4 adalah bilangan genap dapat dilambangkan dengan memakai huruf p.Ditulis:P : 4 adalah bilangan genap.Lambang dan Nilai Kebenaran Suatu PernyataanContoh:1. (p) = B dibaca niali kebenaran pernyataan p adalah B atau pernyataan p mempunyai nilai kebenran B.2. q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis (q) = S.Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf Yunani (dibaca: tau)Sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran s (salah).Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar),

Nilai Kebenaran Suatu PernyataanNilai benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai:Dasar Empiris:Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hariContoh:1. Ibukota jawa Timur adalah Surabaya, meupakan pernyataan benar.2. Air adalah benda padat, merupkana pernyataan salah.Dasar Tak Empiris:Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika.Contoh:1. Nilai x untuk persamaan 3x 1 = 5 adalah 2, merupakan pernyataan benar.2. Jika x > 1, maka x > 2 merupakan pernyataan salah.Ingkaran atau Negasi Suatu Pernyataanp~pBSSBAdalah pernyataan yang menyangkal atau mengingkari pernyataan awalIngkaran suatu pernyatan menyatakan kebalikan dari pernyataan itu sendiri berarti nilai kebenarannya adalah terbalikJika p bernilai benar, maka ~p bernilai salahJika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.Dari suatu pernyataan p dapat dibentuk ingkaran p atau negasi p, dilambangkan oleh ~p, dengan cara menambahkan kalimat tidak benar bahwa di depan pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan perkataan tidak atau bukan di dalam pernyataan p. Tabel KebenaranContoh: p : 2 + 3 = 5~p : 2 + 3 5q : Semua bilangan prima adalah ganjil~q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil atau~q : Ada bilangan prima yang tidak ganjilKalimat TerbukaAdalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya ( benar atau salah ). Tetapi apabila variabel diganti nilai tertentu akan menjadi suatu pernyataan. Contoh:2x + 3 = 11 (kalimat terbuka)Y 3 < 4 (kalimat terbuka)Perhatikan contoh!!Jika x diganti 3, diperoleh 2(3) + 3 = 11, merupakan pernyataan salah.Jika x diganti 4, diperoleh 2(4) + 3 = 11, merupakan pernyataan benar.Nilai pengganti x = 4 mengubah kalimat terbuka 2x + 3 = 11 menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 4 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka itu. KesimpulanKalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian dari terbuka itu.

Pernyataan Majemuk- Kebenaran Suatu Pernyataan Majemuk- Negasi Suatu Pernyataan majemukKebenaran Suatu Pernyataan Majemuk- Disjungsi- Konjungsi - Implikasi- BiimplikasiDisjungsiAdalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q dengan kata hubung atau. Notasinya:p v q Dibaca: p atau qTabel Kebenaran disjungsipqp v qBBBBSBSBBSSSContoh: Tentukan nilai kebenaran dari:6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima.Jawab:Misal: p : 6 adalah bilangan genap q : 13 adalah bilanagn primap bernilai benar dan q bernilai benar sehingga pernyataan 6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima bernilai benar

Contoh:13 bilangan prima dan 132 = 169Jawab: Misal: p : 13 bilangan prima Q : 132 = 169p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga pernyataan 13 bilangan prima dan 132 = 169 berniai benar.

Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut:Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan primaJawab: Misal: P : 3 + 2 = 5Q : 5 adalah bilangan primaJika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan primaBBImplikasi ini bernilai benar karena alasan benar dan kesimpulan benarContoh: 161/2 = 4 jika dan hanya jika 16log 4 = 1/2Jawab:Misal: p :161/2 = 4 Q : 16log 4 = 1/2161/2 = 4 jika dan hanya jika 16log 4 = 1/2BBMerupakan biimplikasi yang benarTentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut: Negasi Suatu Pernyataan Majemuk- Negasi Konjungsi- Negasi Disjungsi- Negasi Implikasi- Negasi BiimplikasiKlik salah satuKonvers, Invers, dan KontraposisiDari suatu implikasi p q dapat dibentuk implikasi lain:q p, yang disebut konvers dari p q.~p ~q, yang disebut invers dari p q.~q ~p, yang disebut kontraposisi dari p q.p qq p~p ~q~q ~pkonverskonversinversinversKontraposisip~pq~qp qq p~p ~q~q ~pBSBSBBBBBSSBSBBSSBBSBSSBSBSBBBBBContoh:Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi!Jika harga minyak naik, maka harga barang naik.Konversnya (q p) : jika haga barang naik maka harga minyak naik.Invernya (~p ~q) : jika harga minyak tidak naik maka harga barang tidak naik.Kontraposisi (~q ~p) : jika harga barang tidak naik mak harga minyak tidak naik.Tautologi dan KontradiksiTautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar.Kontradiksi adalah Pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.1. Tautologi

Pqp q- (p q)p v (p q)BBBSBBSSBBSBSBBSSSBBTautologi dan Kotradiksi2. Kontradiksi

pqp qp V q-(p V q)(p q) -(p V q)BBBBSSBSSBSSSBSBSSSSSSBSKuantor Universal dan Kuantor Eksistensial- Kuantor Universal- Kuantor EksistensialPernyataan Semua siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C pandai ekuivalen dengan pernyataan implikasi :Jika x adalah siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C maka x adalah siswa pandai

Beberapa siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C pandaiPernyataan ini mengandung arti bahwa dari himpunan siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C secara keseluruhan, ada yang pandaiBeberapa dinamakan kuantor eksistensial ditulis x dan dibaca ada suatu x atau terdapat suatu xJika dihubungkan dengan menggunakan pendekatan himpunan, perhatikan himpunan-himpunan berikutU = himpunan semua siswa SMPN 1 PonorogoA = himpunan semua siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C B = himpunan semua siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8 yang pandai

Pernyataan Beberapa siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C pandai ekuivalen dengan pernyataan :Sekurang-kurangnya ada seorang siswa SMPN 1 Ponorogo kelas 8-C yang pandai

Ingkaran Pernyataan Berkuantor

a. Ingkaran dari pernyataan untuk semua x, sehingga berlaku p(x) adalah ada x, sehingga berlaku bukan p(x), ditulis [(x) p(x)] (x) p(x)Contoh :Ingkaran dari pernyataan Semua makhluk hidup akan mati adalah Tidak benar bahwa semua makhluk hidup akan mati atau Beberapa makhluk hidup tidak akan mati

b. Ingkaran dari pernyataan ada x sehingga berlaku p(x) adalah untuk semua x berlaku bukan p(x), ditulis [(x) p(x)] (x) p(x)Contoh : Ingkaran dari Beberapa siswa memakai kerudung adalah Tidak benar bahwa beberapa siswa memakai kerudung atau Semua siswa tidak memakai kerudung

Penarikan Kesimpulan- Prinsip Modus Ponens- Prinsip Modus Tolens- Prinsip SilogismeSILOGISME

Premis 1: p qPremis 2: q r Kesimpulan: p rDalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan menjadi[(p q) ^(q r)] (p r)

Tabel Kebenaran

Contoh :

Premis 1: Jika kamu belajar, maka kamu pintar (benar)Premis 2: Jika kamu pintar, maka kamu naik kelas (benar)Kesimpulan: jika kamu belajar, maka kamu naik kelas (benar)

MODUS PONENS

Premis 1: p qPremis 2: pKesimpulan: qDalam bentuk implikasi, modus ponens dapat dituliskan menjadi[(p q) ^ p] q

Tabel Kebenaran

ContohPremis 1: Jika kamu belajar, maka kamu naik kelas (benar)Premis 2: Kamu belajar (benar)Kesimpulan: kamu naik kelas (benar)

MODUS TOLLENS

Premis 1: p qPremis 2: qKesimpulan: pDalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan menjadi [(p q) ^ q] p

Tabel Kebenaran

Contoh : Premis 1 : Jika hari ini hujan, maka saya memakai jas hujan (benar)Premis 2: Saya tidak memakai jas hujan (benar)Kesimpulan: hari ini tidak hujan (benar)

PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA

Bukti LangsungPenarikan kesimpulan dengan silogisme, modus ponens, dan modus tollens merupakan beberapa contoh dari pembuktian sifat matematika dengan bukti langsung.

Bukti Tidak Langsunga.Bukti dengan kontraposisiImplikasi p q dapat dibuktikan dengan kontraposisinya, yaitu dengan membuktikan q p . Metode ini didasarkan pada dalil atas teorema bahwa suatu implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya.b.Bukti dengan kontradiksiJika kita ingin membuktikan sebuah pernyataan tunggal p. Kita dapat membuktikannya dengan cara menunjukkan bahwa p salah. Oleh karena p salah, maka p haruslah benar. Pembuktian sifat matematika dengan cara ini disebut bukti tak langsung dengan kontradiksi.

Contoh : Dengan menggunakan bukti tak langsung, buktikan bahwa Jika n bilangan bulat ganjil, maka n ganjilJawab :p : Jika n bilangan bulat ganjil, maka n ganjil adalah suatu implikasiMaka p : n bilangan bulat ganjil dan n genapJelas bahwa p : n bilangan bulat ganjil dan n genap adalah pernyataan yang salah. Dengan demikian, pernyataan p : Jika n bilangan bulat ganjil, maka n ganjil adalah benar

TERIMA KASIH