UKURAN PENYEBARAN

Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran baik

parameter atau statistic untuk mengetahui

seberapa besar penyimpangan data dengan nilai

rata-rata hitungnya.

Mengapa kita mempelajari ukuran penyebaran tersebut?

Karena kita merasa bahwa mengetahui nilai tengah saja

kurang cukup, tanpa disertai dengan pengetahuan

tentang seberapa besar data tersebut menyebar disekitar

nilai tengahnya. Dengan memahami unsur penyebaran

data diharapkan kita tidak menarik kesimpulan yang

salah.

1. RANGE (JARAK)

Range adalah ukuran yang paling sederhana dari

ukuran penyebaran. Range merupakan perbedaan

antar nilai terbesar dan terkecil dalam suatu

kelompok data baik data populasi atau sampel.

Semakin kecil ukuran range menunjukkan karakter

yang lebih baik, karena data mendekati pada nilai

pusat dan kompak.

a. Data yang tidak dikelompokkan

Range = Nilai terbesar – Nilai terkecil

Tahun Pertumbuhan Ekonomi (%)

Negara

Maju

Negara

industry

baru

Negara

Asean

Indonesi

a

1994 3,2 7,6 6,4 7,5

1995 2,6 7,3 6,6 8,2

1996 3,2 6,3 7,1 7,8

1997 3,2 6,0 3,8 4,9

1998 2,2 -1,5 -9,4 -13,7

1999 2,0 2,1 1,1 4,8

2000 2,3 4,5 3,0 3,5

2001 2,1 5,6 4,5 3,2

Tahun Pertumbuhan Ekonomi (%)Negara Maju

Negara industry baru

Negara Asean

1994 3,2 7,6 6,41995 2,6 7,3 6,61996 3,2 6,3 7,11997 3,2 6 3,81998 2,2 -1,5 -9,41999 2 2,1 1,12000 2,3 4,5 32001 2,1 5,6 4,5max 3,2    min 2    

range 1,2    

Dari nilai range menunjukkan, bahwa yang terkecil

negara maju, kemudian negara industry baru, negara

Asean, dan akhirnya Indonesia. Besarnya range

menunjukkan selisih nilai terbesar dan terkecil sehingga

juga menunjukkan fkultuasi. Oleh sebab itu, dapat

disimpulkan karena Indonesia mempunyai range

pertumbuhan ekonomi terbesar maka flultuasi dan

gejolak ekonomi yang terjadi juga paling besar. Sedang

Negara maju dengan range 1,2% berarti fluktuasi

perekonomian tidak terlalu besar, dan hal ini

menunjukkan terjadinya gejolak yang positif atau

negative tidak terlalu besar. Perekonomian suatu negara

yang sudah dalam kondisi matang, cenderung akan lebih

stabil.

b. Data yang dikelompokkan

Range adalah selisih antar batas atas dari kelas

tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah.

Kelas

ke-

Interval Jumlah

frekuensi

1 160 - 303 3

2 304 - 447 4

3 448 - 591 9

4 592 - 735 3

5 736 - 879 1

Range = 879 – 160 = 718

2. DEVIASI RATA-RATA

a. Data yang tidak dikelompokkan

Merupakan rata-rata hitung dari nilai mutlak

deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-

rata hitungnya.

MD = Σ |X -X|

N

MD : deviasi rata-rata

X : nilai setiap data pengamatan

X : nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan

N : jumlah data atau pengamatan dalam

sampel/populasi

Σ : lambang penjumlahan

|| : lambang nilai mutlak

Tahun Pertumbuhan

ekonomi (%)

Negara

Maju

Indonesia

1994 3,2 7,5

1995 2,6 8,2

1996 3,2 7,8

1997 3,2 4,9

1998 2,2 -13,7

1999 2,0 4,8

2000 2,3 3,5

2001 2,1 3,2

Tahun Pertumbuhan Ekonomi (%)Negara Maju

|X -X| Nilai mutlak

1994 3,2 0,6 0,61995 2,6 0 01996 3,2 0,6 0,61997 3,2 0,6 0,61998 2,2 -0,4 0,41999 2 -0,6 0,62000 2,3 -0,3 0,32001 2,1 -0,5 0,5Jumla

h20,8   3,6

Rata-rata

2,6   0,45

Jadi nilai deviasi rata-rata pertumbuhan ekonomi Negara

maju adalah 0,45

b. Deviasi rata-rata untuk data berkelompok

dirumuskan sebagai berikut:

MD = Σ f|X -X|

N

MD : deviasi rata-rata

F : jumlah frekuensi setiap kelas

X : nilai setiap data pengamatan

X : nilai rata-rata hitung dari seluruh nilai pengamatan

N : jumlah data atau pengamatan dalam

sampel/populasi

Σ : lambang penjumlahan

|| : lambang nilai mutlak

Interval Nilai tengah kelas

Jumlah frekuensi

160 - 303 231,5 3304 - 447 375,5 4448 - 591 519,5 9592 - 735 663,5 3736 - 879 807,5 1

Interval Nilai tengah kelas (X)

Jumlah frekuensi (F)

F . X |X -X| F|X -X|

160 - 303

231,5 3 694,5 252 756

304 - 447

375,5 4 1502 108 432

448 - 591

519,5 9 4675,5 36 324

592 - 735

663,5 3 1990,5 180 540

736 - 879

807,5 1 807,5 324 324

Jumlah     9670   2376Rata-rata

    483,5   118,8

Kerjakan untuk menghitung deviasi pertumbuhan

ekonomi Indonesia!

3. VARIANS DAN STANDAR DEVIASI

Varians & standar deviasi adalah sebuah

ukuran penyebaran yang menunjukkan standar

penyimpangan atau deviasi data terhadap nilai

rata-ratanya.

Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat

setiap data terhadap rata-rata hitungnya.

Varians

Varians populasi

Varians sampel

(deviasi kuadrat dari setiap (deviasi kuadrat dari setiap (Data terhadap rata-rata hitung semua Data terhadap rata-rata hitung data dalam populasi) semua data dalam sampel)

a. Data yang tidak dikelompokkan

Varians populasi

σ2 = (xΣ - µ)2

N

σ2 : varians populasi

X : nilai setiap data pengamatan

µ : nilai rata-rata hitung dari dalam populasi

N : jumlah data atau pengamatan dalam populasi

Σ : lambang penjumlahan

Tahun Pertumbuhan Ekonomi (%)Negara Maju

(X - µ) (X - µ)2

1994 3,2 0,6 0,361995 2,6 0 01996 3,2 0,6 0,361997 3,2 0,6 0,361998 2,2 -0,4 0,161999 2 -0,6 0,362000 2,3 -0,3 0,092001 2,1 -0,5 0,25Jumla

h20,8   1,94

Rata-rata

2,6   0,2425

Jadi varians pertumbuhan ekonomi untuk Negara sebesar

0,2425.

Kerjakan untuk menghitung varians pertumbuhan

ekonomi Indonesia!

Standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians

dan menunjukkan standar penyimpangan data

terhadap nilai rata-ratanya.

σ = √ (Σ X - µ)2

N

Diketahui bahwa σ2 untuk Negara maju adalah 0,2425

berapa standar deviasinya?

Varians sampel

s2 = (xΣ - x)2

n -1

s 2 : varians sampel

X : nilai setiap data pengamatan

X : nilai rata-rata hitung dari dalam sampel

N : jumlah data atau pengamatan dalam sampel

Σ : lambang penjumlahan

b. Data yang dikelompokkan

s2 = f( xΣ – x )2

n -1

Sedang untuk standar deviasi data berkelompok

adalah sebagai berikut:

s = √ f( xΣ – x )2

n -1

Interval

Nilai tengah kelas (X)

Jumlah frekuensi (F)

F . X (X -X) (X -X)^2

f(X -X)^2

160 - 303

231,5 3 694,5 252 63504 190512

304 - 375,5 4 1502 108 11664 46656

447448 - 591

519,5 9 4675,5 36 1296 11664

592 - 735

663,5 3 1990,5 180 32400 97200

736 - 879

807,5 1 807,5 324 104976 104976

Jumlah     9670     451008Rata-rata

    483,5     23737,26

Jadi varians sebesar 23.737,26. Berapa standar

deviasinya?

MAKNA & KEGUNAAN STANDAR DEVIASI

Standar deviasi digunakan untuk membandingkan

penyebaran atau penyimpangan dua kelompok data atau

lebih. Apabila standar deviasinya kecil, maka hal tersebut

menunjukkan nilai sampel dan populasi berkumpul atau

mengelompok di sekitar nilai rata-rata hitungnya. Artinya

karena nilainya hampir sama dengan nilai rata-rata, maka

disimpulkan bahwa anggota sampel atau populasi

mempunyai kesamaan. Sebaliknya, apabila nilai

deviasinya besar, maka penyebarannya dari nilai tengah

juga besar. Hal tersebut menunjukkan adanya nilai-nilai

ekstrem baik yang tinggi maupun rendah. Standar deviasi

yang besar juga menunjukkan adanya perbedaan jauh

diantara anggota populasi. Oleh sebab itu, satandar

deviasi yang tinggi biasanya dipandang kurang baik bila

dibandingkan dengan standar deviasi rendah.