Makalah Postulat Kesejajaran Euclid1

TUGAS MATA KULIAH GEOMETRI

POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDs

DOSEN PENGAMPU :Dr. YUSUF HARTONO, M.ADra. NYIMAS AISYAH, M.Pd

KELOMPOK :

BAMBANG RIYANTO NIM : 20082012001OKTIANA DWI PUTRA H NIM : 20082012012

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS SRIWIJAYA2008 / 2009

Presented by: Bambang Riyanto and Oktiana Dwi Putra H; Mahasiswa Prodi Magister Pendidikan Matematika Unsri

1

POSTULAT KESEJAJARAN EUCLID

Euclid adalah seorang ahli logika ternama telah menyatakan bahwa perubahan

perkembangan teori geometri non Euclid dapat kontradiksi dengan postulat kesejajaran

Euclid. Seiring dengan kepercayaan ahli matematika bahwa geometri non Euclid hanya

memungkinkan untuk teori ruang dan yang menjelaskan segala sesuatunya secara fisik.

Tetapi posisi unik geometri Euclid di abad 19 telah diserang oleh penemuan geometri non

Euclid. Dan banyak ahli matematika sangat terguncang. Ide tentang kealamian geometrid

an posisi unik geometri Euclid yang telah di lakukan sepanjang dua ribu tahunan,

akhirnya runtuh pada decade 1820-1830.

Awal abad 19 ahli matematika yang berkompeten berhasil diyakinkan bahwa

masalahnya tentang postulat telah diselesaikan dan hanya sedikit memiliki kekurangan

dalam pembuktiannya. Kegagalan setiap percobaan dalam membuktikan postulat

kesejajaran tersebut membawa pada perngakuan bahwa postulat kesejajaran tidaklah

pasti. Dan bahwa teori geometri lainnya (non Euclid )bias saja digunakan. Selanjutnya

dalam bab ini akan dijelaskan 3 upaya penting dalam membuktikan postulat kesejajaran

Euclid.

1. Struktur Geometri Bidang Euclid

Postulat sejajar Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :

“ Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua

sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari

180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”

Sejumlah asumsi/postulat untuk geometri bidang Euclid , yaitu :

1. Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama

yang lainnya

2. Jika kesamaan di tambahkan dengan kesamaan maka jumlahnya akan sama

3. Jika kesamaan di kurangi dengan kesamaan maka selisihnya akan sama

4. Keseluruhan akan lebih besar dari bagiannya

5. Bangun geometric dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya

6. Setiap sudut memiliki bisector ( garis bagi )

7. Setiap segmen memiliki titik tengah


2

8. Dua titik hanya berada pada satu-satunya garis

9. Sembarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan

segmen yang diberikan

10. Lingkaran dapat di gambarkan dengan sembarang titik pusat dan radius yang

diketahui

11. Semua sudut siku-siku sama besar

Dari postulat-postulat ini, dapat di deduksi sejumlah teorema dasar

diantaranya :

1. Sudut bertolak belakang sama besar

Bukti 1 :

1.Lukis garis l dan m sejajar

2.Garis transversal h memotong

tegak lurus l dan m di P dan Q

3. P = Q (postulat ke 11)

4. P = 1 (postulat ke 11)

5. P dan 1 dua sudut bertolak

belakang, jadi sudut bertolak

belakang sama besar (terbukti)

Bukti 2 :

1. Ada B sehingga B € g

2. Ada C sehingga C € g

3. Analog untuk D dan E € l

4. BAD + BAE = 180° (Postulat

garis pelurus)

CAE + BAE = 180°

5. ( BAD + BAE ) – ( CAE +

BAE ) =180° - 180° (postulat 3)

BAD - CAE = 0

BAD = CAE

(terbukti sudut bertolak belakang

sama besar)


2

1

mO

lO

Q

P

h

E

g

B

DC

A

l

3

2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS)

Bukti : Sifat kongruensi segitiga (ASA )

1. Lukis ΔABC dan ΔPQR sehingga A= P

B = Q dan AB = PQ

2. Pindahkan Δ ABC pada Δ PQR sehingga A

berimpit dengan P, B berimpit Q dan AB

berimpit pada PQ maka C berimpit pada R

dan C = R ( postulat 5)

3. Teorema kesamaan sudut alas segitiga sama kaki dan konversinya

Bukti :

Diberikan Δ ABC dgn AC = BC, akdib

A = B

1.Lukis garis bagi C (aksioma 6)

2.Perpanjang garis bagi tersebut hingga

memotong AB di D (aksioma 9)

3.Dalam Δ ACD dan Δ BCD, AC=BC, 1= 2

(aksioma 6), CD=CD (berimpit), sehingga Δ

ACD kongruen dengan Δ BCD (S-A-S)

4.Jadi A = B (sudut yang berkoresponden

sama besar) (terbukti )

Dan sebaliknya jika diberikan Δ ABC dengan A = B maka AC = BC

Bukti :

1. Lukis garis bagi C sehingga 1 = 2 (aksioma 6)

2. Karena A = B dan 1 = 2 maka ADC = BDC

3. Δ ADC kongruen dengan Δ BDC sehingga AC = BC (terbukti)

4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut

5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal


C R

1 2

4

A

B

B QP

C

A D

P

DB

6. Pembentukan suatu sudut yang sama, dengan sudut, dengan titik sudut dan sisi yang

telah diberikan sebelumnya

7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada

sisi segitiga yang di ketahui

TEOREMA 1 : Teorema Sudut Eksterior (luar)

Sudut eksterior segitiga akan lebih besar daripada sudut interior (dalam)

terpencil (berjauhan) manapun.

Bukti :

ABC = Segitiga sembarang

D = Perpanjangan AB melalui B

Akdib : ACB < CBD

Bukti :

1. E pada BC sehingga BE = EC

( aksioma 7 )

2. F pada perpanjangan AE shg AE = EF

(aksioma 7)

3. AEC = FEB (bertolak belakang)

( postulat 1 )

Jadi Δ AEC kongruen dengan Δ FEB

( SAS )

ACE = FBE

FBE < EBD

ACE < EBD

Jadi ACB < CBD terbukti


F

E

C

A

5

C

TEOREMA 2 :

Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sehingga membentuk pasangan

sudut interior dalam berseberangan maka garis tersebut sejajar.

BUKTI :

1. Diberikan garis l dan m

2. Garis transversal h memotong l dan m

di A dan B sehingga membentuk

pasangan sudut interior dalam

berseberangan yaitu 1 dan 2

yang sama besar

3. Misal l dan m tidak sejajar berarti akan bertemu di C dan terbentuk Δ ABC

(hipotesis)

4. C terletak di depan sisi AB

5. 1 < 2 (menurut teorema 1)

6. Hal ini kontradiksi dengan

1 = 2

7. Jadi garis l dan m sejajar (terbukti)

Corollary 1 : Dua garis tegak lurus terhadap garis yang sama pasti sejajar

Bukti :

Akdib bahwa jika l tegak lurus m dan l

tegak lurus n maka m sejajar n

Bukti :

1. l tegak lurus m → 1 = 2

( keduanya sudut siku-siku )

2. l tegak lurus n → 3 = 4


h

1

2

l

B

A

m

n3

2

m1l

l

4

6

3. 2 = 3 (keduanya siku-siku)

3. Karena 2 dan 3 dua sudut

berseberangan maka m dan n sejajar

(teorema 2) (terbukti)

Corollary 2 : Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis melalui titik

eksternal

Bukti :

Akdib bahwa ada tepat satu l sehingga l tegak lurus g , A € l , A € g

Bukti :

1. Anggap ada l ≠ m sehingga l tegak lurus g ,

m tegak lurus g , A € l dan A € m

2. Ada tepat satu P sehingga P = ( l , g )

Ada tepat satu Q sehingga Q = ( m , g )

3. Terbentuk Δ APQ

4. Padahal : APR > AQP

5. APR = AQP (Aksioma 11, sudut

siku-siku sama besar)

6. Jadi l = m

Kesimpulan : Ada tepat satu l sehingga l tegak lurus g , A € l , A € g ( terbukti ).

Corollary 3 : ( Eksistensi garis sejajar )

Jika titik P tidak berada pada garis l maka akan ada setidaknya satu

garis yang melalui P yang sejajar dengan l


Q

A

pR

7

m l

g

lQ

Bukti :

1. Lukis garis l

2. Titik P di luar garis l

3. Lukis garis dari P yang tegak lurus l dan memotong l di Q

4. Melalui titik P lukis garis m yang tegak lurus PQ

5. m sejajar l ( corollary 1 )

TEOREMA 3

Jumlah dua sudut pada segitiga kurang dari 180°

BUKTI :

ABC = segitiga sembarang

Akdib : B + C < 180°

Perpanjang AB melalui B hingga D maka

sdt CBD = sdt eksterior Δ ABC

CBD > ACB (teorema 1)

CBD > ACB dan CBD = 180° - CBA

180° - CBA > ACB

180° > CBA + ACB

Atau 180° > B + C

B + C < 180 ° ( TERBUKTI)


mP

D

C

BA

8

h

Ekivalensi Postulat Euclid Dan Playfair

Postulat Euclid :

“ Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut

interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis

tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”

Postulat Playfair :

“ Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut”

Mengasumsikan postulat sejajar Euclid kita deduksi postulat Playfair

1.Diberikan garis l dan titik P bukan pada l

2.Akan ada garis melalui P sejajar l (corollary

3), misal m

3.Dari P ditarik garis tegak lurus l dengan kaki

Q

4. Lukis garis n melalui P (n≠m)

5. Jika 1 adalah siku-siku maka n

berimpit dengan m (berlawanan dengan

asumsi) maka 1 = lancip

Jadi 1 + Q < 180°

Mengasumsikan postulat Playfair kita deduksi postulat sejajar Euclid

1. Diberikan garis l dan m

2. l dan m di potong oleh garis transversal h

di P dan Q sehingga membentuk sudut

interior 1 dan 2

1 + 2 < 180° (postulat Euclid)

1 + 3 = 180° jadi 2 < 3

3. QPR = 3 (berseberangan)

4. QPR > 2 sehingga RP ≠ m


l

n

m

Q

P

12

R P

Q1

2

3

m

l

9


10

Makalah Postulat Kesejajaran Euclid1

Documents

Transcript of Makalah Postulat Kesejajaran Euclid1