PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE-2

MAKALAHPERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-2

Nama: Imam PrihatnoKelas: Matematika 2013 ANIM: 1137010027

Jurusan Matematika Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati BandungPERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE-208/25/2015

2015

[Type here][Type here][Type here]KATA PENGANTAR

Alhamdulillah Puji dan syukur selalu saya panjatkan kepada Allah SWT., yang telah melimpahkan banyak berkah dan karunianya, sehingga saya bisa menyelesaikan tugas makalah ini. Tak lupa shalawat serta salam selalu terlimpah curahkan kepada junjungan Nabi besar kita, Muhammad SAW., kepada keluarganya, sahabatnya, beserta para tabiin-tabiinya.Makalah ini dibuat untuk menyeslesaikan tugas Persamaan Diferensial Biasa mengenai Persamaan Diferensial Biasa Orde-2. Materi-materi diambil dari hasil pembelajaran penulis terhadap referensi-referensi yang penulis dapatkan, baik berupa buku pembelajaran, internet, dan sumber-sumber lainnya. Penyusunan makalah ini dibuat semata-mata untuk membagi ilmu yang penulis punya kepada para pembaca. Saya mengucapakna terima kasih kepada teman-teman yang telah membantu dalam penyusun makalah ini. Meskipun makalah yang dibuat masih jauh dari sempurna, tetapi penulis harapkan dengan dibuatnya makalah ini bisa membantu pembaca dalam pembelajaran materi yang berkenaan. Dan juga kritik dan saran dari pembaca akan membantu penulis agar bisa membuat makalah yang lebih baik lagi. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih dan semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua.

Bandung, 25 Agustus 2015

Penulis

DAFTAR ISIKATA PENGANTARiDAFTAR ISIiiBAB 1 PENDAHULUAN1A. Latar Belakang1B. Rumusan Masalah2C. Tujuan Penulisan2BAB 2 ISI3A. Pembahasan3a. Persamaan Diferensial Biasa Orde-2 Linier3b. Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde-2 Homogen Koefisien Konstan3c. Persamaan Diferensial Biasa Orde-2 Non-Homogen Koefisien Tak Tentu12c.1. Metoda Koefisien Tak Tentu12c.2. Metoda Variasi Parameter15 BAB 3 PENUTUP19A. Kesimpulan19B. Saran20DAFTAR PUSTAKAiii

BAB 1PENDAHULUANA. Latar BelakangKehidupan di alam semesta mempunyai berbagai masalah yang harus diselesaikan pemecahannya. Berbagai ilmu satu per satu membuat sebuah pemecahan untuk berbagai masalah kehidupan ini. Dengan banyak keterbatasan setiap ilmu membuat pemecahan dengan cara sesederhana mungkin. Dengan cara membuat formulasi, pernyataan, teori, dan lain sebagainya. Dan salah satu ilmu tersebut adalah ilmu matematika. Matematika membuat formulasi tertentu dari setiap masalah yang dihadapi. Proses penyederhanaan masalah dilakukan dengan membuat rekayasa yang dibuat sedemikian rupa dari masalah aslinya sehingga menghasilkan sebuah model matematika berbentuk formula atau persamaan tertentu. Setiap model matematika yang dibuat kemudian dikaji kembali sifat-sifatnya. Apakah model matematika bisa sesuai dengan permasalahan atau bahkan sebaliknya. Maka pada makalah ini akan dikaji ilmu matematika mengenai Persamaan Diferensial Biasa Orde-2.Persamaan diferensial biasa orde-2 merupakan bagian dari persamaan diferensial dengan orde atau pengkat derajat 2. Adapun kebutuhan akan ilmu ini adalah seperti pada permasalahan kecepatan dan percepatan suatu partikel yang melibatkan konsep turunan dalam penyelesainnya. Sehingga diperlukan sebuah pemecahan yang sesederhana mungkin dalam penyelesainnya, yakni dengan menggunakan persamaan diferensial. Seperti pada pernyataan di atas bahwa pada makalah ini yang akan dikaji adalah mengenai persamaan diferensial biasa orde-2.

B. Rumusan Masalah1. Apakah solusi umum yang diperoleh berkorespondensi dengan persamaan diferensial yang diberikan?2. Apakah solusi umum yang diperoleh bisa dibuktikan kebebasan kelinearannya?3. Apakah solusi partikular yang dihasilkan dari metode koefisien tak tentu dan metode koefisien variasi parameter mempunyai hasil yang sama?

C. Tujuan Penulisan1. Untuk mengetahui apakah solusi umum yang diperoleh merupakan solusi yang berkorespondensi dengan persamaan diferensial yang diberikan. 2. Untuk mengetahui solusi umum dari persamaan diferensial orde-2 linier dengan menggunakan metode koefisien tak tentu dan metode variasi parameter.3. Untuk mengetahui solusi khusus dari solusi umum yang ada dengan menggunakan operasi baris elementer atau eliminasi gauss.4. Untuk membuktikan kebebasan kelinearan suatu solusi basis yang membentuk solusi umum dan solusi khusus.

BAB 2ISIA. Pembahasana. Pesamaan Diferensial Biasa Linier Orde-2 Sistem dari suatu Persamaan Diferensial (PD) orde-2 mempunyai bentuk umum, atau (1) Persamaan (1) dikatakan linier jika fungsi mempunyai bentuk,(2)dan jika linier di dan . Pada persamaan (2) dan adalah fungsi spesifik dari variabel bebas tetapi tidak bergantung pada . Maka Pada kasus ini bisa kita tulis persamaan (1) sebagai berikut(3)Jika nilai maka suatu Persamaan Diferensial linier orde-2 disebut Persamaan Diferensial linier orde-2 homogen, yakni dengan bentuk umum(4)Sebagai contoh adalah sebuah persamaan diferensial linier orde-2 homogen. Sedangkan adalah persamaan diferensial linier orde-2 non-homogen.b. Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde-2 Homogen Koefisien Konstan.Pandang persamaan diferensial orde-2 homogen dengan koefisien konstan(5) Misalkan kita coba suatu solusi dari bentuk umum , kemudian setelah disubstitusi pada persamaan (4) dengan , dan , di mana , persamaan (4) akan menjadi Karena tidak pernah sama dengan nol untuk semua nilai . Maka akan diperoleh sebuah persamaan karakteristik sebagai berikut(6) Agar solusi bisa terpenuhi, maka nilai harus dicari terlebih dahulu sebagai akar karakteristik yang diperoleh dari persamaan karateristik di atas.Ada beberapa kasus yang dihadapi ketika mencari nilai akar-akar karakteristik.1. Kasus akar karakteristik real berbeda (. Dari kasus tersebut, diperoleh suatu solusi umum berikut,(7) dimana dan kita sebut dengan solusi basis, yakni dan Teorema 1.1. Akar-Akar Karakteristik Real Berbeda

Misalkan dan merupakan akar-akar karakteristik dari persamaan karakteristik persamaan diferensial

dimana , maka diperoleh suatu solusi umum

#Contoh 1.1.Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut Penyelesaian:persamaan karakeristik dan Solusi basis dan Jadi, diperoleh solusi umum persamaan diferensial Cek solusi umum apakah berkorespondensi dengan persamaan deferensialDiketahui bentuk solusi umum, dengan solusi basis dan Diferensialkan solusi basis hingga orde 2 ;; ;Substitusikan pada persamaan diferensial di atas Maka, solusi umum berkorespondensi dengan persamaan diferensial yang diberikan.

2. Kasus akar karakteristik kembar (.Dari kasus tersebut, diperoleh suatu solusi umum berikut(8)Teorema 1.2. Akar-Akar Karakteristik Kembar

Misalkan dan merupakan akar-akar karakteristik dari persamaan karakteristik persamaan diferensial

dimana , maka diperoleh suatu solusi umum

#Contoh 1.2.Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut Penyelesaian:persamaan karakeristik Solusi basis dan .Jadi, diperoleh solusi umum Cek solusi umum apakah berkorespondensi dengan persamaan deferensialDiketahui bentuk solusi umum, dengan solusi basis dan Diferensialkan solusi basis hingga orde 2 ;; ;Substitusikan pada persamaan diferensial di atas Maka, solusi umum berkorespondensi dengan persamaan diferensial yang diberikan.

3. Kasus akar karakteristik kompleks (.Dari kasus tersebut, misalkan akan diperoleh suatu solusi umum berikut, (9) dengan solusi basis, , bagian Real., bagian Imaginer.

Teorema 1.3. Akar-Akar Karakteristik Kompleks

Misalkan dan merupakan akar-akar karakteristik dari persamaan karakteristik persamaan diferensial

dimana , maka diperoleh suatu solusi umum

#Contoh 1.3.Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut Penyelesaian:persamaan karakeristik Solusi basis dan Jadi, diperoleh solusi umum Cek solusi umum apakah berkorespondensi dengan persamaan deferensialDiketahui bentuk solusi umum, dengan solusi basis dan Diferensialkan solusi basis hingga orde 2 Substitusikan pada persamaan diferensial di atas Maka, solusi umum berkorespondensi dengan persamaan diferensial yang diberikan.

Eksistensi dan Ketunggalan Masalah Nilai Awal. Perhatikan masalah nilai awal, Dengan adalah konstanta sembarang.

Jika dan masing-masing kontinu pada selang buka interval yang memuat titik . Maka terdapat tepat satu solusi pada masalah ini, dan solusi tersebut mempunyai solusi tunggal pada interval .

Kita tegaskan bahwa teorema mengatakan 3 hal:1. Masalah nilai awal mempunyai suatu solusi; dengan kata lain, terdapat solusi.2. Masalah nilai awal hanya mempunyai satu solusi; hal ini disebut solusi unik.3. Solusi terdefinisi seluruhnya pada interval dimana koefisiennya kontinu dan pada akhirnya 2 kali diturunkan disana.#Contoh 1.4.Untuk contoh sederhana misalkan suatu persamaan diferensial diketahui dengan masalah nilai awal .Penyelesaian:persamaan karakteristik: dan Sehingga, diperoleh solusi umum berikut Kemudian dicari solusi khusus (a) (b) Lalu eliminasi pers. (a) dan (b) Substitusikan pada pers. (a) Jadi, solusi khusus untuk persamaan diferensial adalah Prinsip Superposisi. Pada teorema ini bisa kita lihat bahwa jumlah atau superposisi, dari dua atau lebih solusi pada persamaan diferensial linier homogen juga sebuah solusi.

Teorema 1.4. Prinsip Superposisi-Persamaan Homogen

Misalkan adalah solusi dari persamaan diferensial th-order pada interval I. maka kombinasi linear.Dimana adalah konstanta sembarang, dan juga sebuah solusi pada interval.

Kebebasan Linier dan Wronskian. Dengan koefisien konstanta sembarang dari solusi umum persamaan (5), solusi dan dengan Wronskian tak nol disebut dengan solusi basis dari persamaan (5).Misalkan dan adalah dua solusi dari suatu persamaan (5). Tunjukan bahwa dan adalah solusi basis jika . (10) Karena fungsi eksponensial tidak pernah sama dengan nol, dan karena kita mengasumsikan bahwa , hal itu mengikuti bahwa adalah tidak sama dengan nol untuk setiap nilai . Akibatnya, dan merupakan solusi basis. dan dikatakan bebas linier, jika dan hanya jika determinan dari Wronskian tidak sama dengan nol. Cek solusi basis pada Contoh 1.1.Diketahui dan Karena , maka solusi basis dan bebas linier.

c. Persamaan Diferensial Biasa Orde-2 Non-Homogen Koefisien Tak TentuPandang persamaan diferensial orde-2 non-homogen koefesien tak tentu(11)Teorema 1.5. Solusi Umum Persamaan Diferensial Orde-2 Tak Homogen

Jika adalah suatu solusi dari persamaan diferensial linier orde-2 tak homogen,

dan adalah solusi umum persamaan diferensial homogen dengan dan adalah solusi basis dari persamaan diferensial homogen, maka solusi umum persamaan diferensial tak homogennya adalah

disebut juga dengan solusi partikular.

c.1. Metoda Koefisien Tak TentuPilh suatu untuk menjadi solusi particular bersesuaian dengan

1

*Note: Solusi Partikular tidak boleh muncul pada solusi homogennya atau solusi partikular bernilai sama dengan nol. Jika hal ini terjadi, maka kalikan solusi particular dengan faktor atau sehingga tidak memuat solusi homogennya.#Contoh 1.5.Tentukan solusi umum dari suatu persamaan diferensial berikut dengan menggunakan metoda koefisien tak tentu dan metoda variasi parameter. Penyelesaian: (Metoda Koefisien Tak Tentu). Dicari solusi homogen dari persamaan diferensial persamaan karakteristik dan Sehingga diperoleh solusi umum homogen berikut Kemudian, dicari solusi partikular dari persamaan diferensialJika , maka pilih .

substitusikan pada persamaan diferensial Sehingga diperoleh solusi particular berikut Jadi, solusi umum pada persamaan diferensial adalah

(Metoda Variasi Parameter). Karena solusi homogen sudah dicari, yakni maka, selanjutnya mencari solusi partikular dengan Diketahui solusi basis dan . Kemudian cari Wronskian Misal , maka .

Misal , maka . Sehingga, diperoleh solusi partikular Jadi, solusi umum persamaan diferensial dengan menggunakan metoda koefisien tak tentu dan metoda variasi parameter menghasilkan nilai yang sama, yakni

c.2. Metoda Variasi ParameterJika dan merupakan dua solusi basis yang bebas linier dari persamaan (11), maka solusi partikularnya mempunyai bentuk umum berikut:(12)Jika diketahui solusi homogen adalah,dengan adalah suatu fungsi terhadap . Maka asumsikan bahwa dan (13)

Kita misalkan (14) Sehingga, dari pers. (14) kita peroleh (15) Selanjutnya, dengan menurunkannya kembali, keita peroleh(16) Sekarang, substitusikan pada persamaan (11). Maka diperoleh

(17)Persamaan (14) dan (17) membentuk sistem dua persamaan aljabar linier untuk fungsi tidak diketahui dan . Dengan memecahkan sistem pada persamaan (14) dan (17) kita peroleh, (18) Dimana adalah Wronskian dari dan . Pembagian dengan Wronskian hanya bisa dilakukan jika dan adalah sebuah solusi basis yang bebas linier. Dengan menggunakan integral, maka akan diperoleh fungsi dan dengan rumus berikut,, (19)

#Contoh 1.6.Tentukan solusi umu dari persamaan diferensial berikut Penyelesaian: Dicari solusi homogen dari persamaan diferensial Persamaan karakteristik Sehingga diperoleh solusi umum homogen berikut Kemudian, dicari solusi partikularDiketahui dan sebagai solusi basis. Sedangkan,

Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial adalah

BAB 3PENUTUPA. KesimpulanPersamaan Diferensial Biasa (PDB) orde-2 linier mempunyai bentuk umum , dimana fungsi dan dengan variabel bebas akan berperan penting dalam membuat solusi. Adapun persamaan diferensial biasa orde-2 linier dibagi menjadi homogen dengan koefisien konstan dan tak homogen dengan koefisien tak tentu. Penyelesaian keduanya menggunakan cara yang berbeda. Jika persamaan diferensial homogen memfokuskan pada persamaan karakteristik yang terbentuk dari persamaan diferensial sehingga bisa memperoleh suatu solusi homogeny (. Sedangkan persamaan diferensial tak homogen mempunyai dua metoda untuk menyelesaikannya, yaitu metoda koefisien tak tentu dan metoda variasi parameter. Kedua metoda ini memfokuskan pada fungsi dengan menggunakan prediksi solusi tertentu pada . Dan yang sudah dicari nilainya akan menghasilkan solusi persamaan diferensial tak homogen atau disebut juga solusi partikular. Serta solusi umum yang terbentuk merupakan penjumlahan dari solus homogen dan solusi partikular itu sendiri.Pembuktian bahwa solusi umum merupakan solusi dari persamaan diferensial, bisa kita lakukan dengan menurunkan solusi umu sebanyak 2 kali karena persamaan diferensial yang dibahas adalah PDB orde-2. Kemudian tinggal lakukan substitusi pada persamaan diferensial yang diberikan. Jika homogen maka substitusi pada persamaan harus menghasilkan nilai nol, sedangkan jika tak homogen maka harus menghasilkan nilai . Kemudian uji kebebasan linier bisa dilakukan pada solusi basis, yang mana Wronskian yang dihitung tidak menghasilkan nilai sama dengan nol.Dan kedua metoda yang digunakan untuk menghitung persamaan diferensial tak homogen dengan koefisien tak tentu, harus menghasilkan solusi homogeny, solusi partikular, dan solusi umum yang sama. Karena meskipun cara metoda berbeda, tetepi solusi yang dihasilkan haruslah sama. Serta adanya masalah nilai awal adalah untuk membuat solusi khusus yang dihasilkan dari solusi umum yang lebih spesifik. B. Saran Pada makalah ini mengenai Persamaan Diferensial Biasa Orde-2 hanya mengkaji masalah sistem linier, masih mengkaji beberapa kasus yang sederhana. Untuk penulisan makalah selanjutnya disarankan untuk menambah kajian pada sistem non-linier dengan materi yang lebih padat. Dan mengkaji pula kasus-kasus yang ada pada sistem non-linier serta metoda-metoda penyelesaiannya.

DAFTAR PUSTAKA[1]. Redjeki P, Sri. 2009. Diktat Kuliah MA2271 Metoda matematika. FMIPA ITB. [2]. Zill, Dennis G. 2009. A First Course in Differential Equations with Modeling Applications 9th Ed. California: Brooks/Cole. [3]. Boyce, William E, and Richard C. DiPrima. 2005. Elementary Differential Equation and Boundary Value Problems 8th Ed. USA: John Wiley & Sons, Inc.[4]. Canada, A., et al. 2004. AHandbook of Differential Equations Ordinary Differential Equations Vol. 1. USA: ELSEVIER Inc.[5]. Fachmi. 2012. Kalkulus (Lanjut). Teknik Informatika FIK Univeritas Indonusa Esa Unggul. (Online) http://esa148.weblog.esaunggul.ac.id/wp-content/uploads/sites/65/2014/10/PD-ORDE-2.pdf. Diakses pada: 22 Agustus 2015.