Matempenyelesaian PDB orde 1

download Matempenyelesaian PDB orde 1

of 22

Transcript of Matempenyelesaian PDB orde 1

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    1/22

    MATEMATIKA TEKNIK

    Pertemuan 2

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    2/22

    PENYELESAIAN PDB O

    Integrasi Langsung

    Pemisahan Varibel

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    3/22

    PERSAMAAN DIFERENSIAL BIAS

    Bentuk sederhana persamaan diferensial orde 1 adalah :

    Fungsi y dapat dicari dengan cara mengintegralkanf(x), yaitu :

    Namun demikian pada kebanyakan, persamaan diferensial yang di

    soal umumnya tidak sesederhana itu bentuknya.

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    4/22

    INTEGRASI LANG

    Jika PDB dapat disusun dalam bentuk

    , maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.

    Contoh

    Maka

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    5/22

    CONTOH

    Untuk mencari fungsiy (x), persamaan tersebut diintegralkan l

    Maka :

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    6/22

    CONTOH

    Maka

    Sehingga solusi umumnya

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    7/22

    LATIHAN

    Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan integrasi lang

    1.

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    8/22

    PEMISAHAN VARIABEPERSAMAAN DIFERENSIAL TER

    Sebuah persamaan diferensial terpisahkan (PDT) adalah setiap per

    diferensial yang dapat ditulis dalam bentuk berikut

    Bentuk PDT di atas dapat dirubah menjadi PDT berikut dimana kovariabelx dan komponen variabel terikaty terpisahkakan dengan ta

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    9/22

    PEMISAHAN VARIABEPERSAMAAN DIFERENSIAL TER

    Memecahkan persamaan diferensial dipisahkan cukup mudah, yaitu

    melakukan integrasi pada ruas kanan dan kiri dari persamaan di atas

    menjadi seperti berikut:

    Setelah diintegralkan akan diperoleh jawaban dari PDT tsb apakah smplisit atau eksplisit. Perlu dicatat tidak semua solusi persamaan dif

    disebut eksplisit

    eksplisit jika dapat dituliskan dalam bentuk

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    10/22

    Jika persamaan diferensial berbentuk

    yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau p

    dan fungsi y, maka penyelesaian PD dengan cara memisahkan variabelnya sehi

    kita kumpulkan dengan dy dan faktor x dengan dx.

    Contoh

    Pisahkan variabel sehingga Integralkan kedua ruas

    Hasilnya

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    11/22

    CONTOH

    Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemis

    variabel :

    Pisahkan variabel sehingga

    Integralkan kedua ruas

    Hasilnya cukup ditulis SOLUSI UMUM

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    12/22

    Kita perlu mengetahui tentang interval val iditasbagi banyak solus

    interval validitas adalah kisaran nilai (domain) variabel independen

    ini, di mana solusi tersebut valid (terdefinisikan). Dengan kata lain

    untuk menghindari pembagian dengan nol, bilangan kompleks, log

    angka negatif atau nol, dll Sebagian besar solusi yang akan kita dap

    persamaan diferensial dipisahkan tidak akan berlaku untuk semua n

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    13/22

    CONTOHCari solusi dari PDberikut dan tentukan interval vali ditas nya!

    Solusi

    Karena diketahui kondisi tambahanbahway(1)=1/25 maka dari solusi

    implisit di atas dapat diaplikasikan

    sebagai berikut:

    Dengan dem

    solusi spesifsebabagai be

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    14/22

    LANJUTAN

    Selanjutnya kita perlu mencari interval validitasnya dari solusi PDT tsb. Pertam

    ada pembagian oleh nol; yaitu pada saat

    karena hal ini akan menyebakan pembagian dengan bilangan NOL. Ini akan m

    kemungkinan interval validitas, yaitu:

    Namun hanya satu dari 3 kemungkinan interval validitas yang memenuhi syara

    nilai x=1 dari kondisi inisial yaituy(1)=1/25. Sehingga interval validitasnya ad

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    15/22

    LATIHAN

    Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemis

    1.

    2.

    3.

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    16/22

    PERSAMAAN DIFERENSIA

    Sebuah persamaan diferensial dengan bentuk :

    dinamakan persamaan diferensial eksak (exact differential equation) jika terdap

    sedemikian rupa sehingga pada daerah tert

    Oleh karenanya, persamaan di atas dapat ditulis kembali menjadi :

    Solusi dari persamaan ini adalahf (x,y) k , k adalah nilai konstanta tertentu

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    17/22

    Apabila maka persamaan diferensial

    dikatakan eksak jika dan hanya jika

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    18/22

    CONTOH

    Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solu

    diferensial tersebut :

    enguji sifat eksak

    Terbukti

    Fungsi diferensialnya adalah :

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    19/22

    LANJUTAN

    dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan :

    Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah :

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    20/22

    CONTOH

    Buktikan bahwa persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solu

    diferensial tersebut :

    Menguji sifat eksak

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    21/22

    LANJUT

    adalah merupakan persamaan diferensial bersifat eksak. Fungsi diferensialnya a

    dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan :

    Oleh karenanya, solusi umum persamaan diferensial

    tersebut adalah :

  • 7/24/2019 Matempenyelesaian PDB orde 1

    22/22

    BERIKUTNYA

    PERSAMAAN DIFERENSIAL TIDAK EKSAK

    PERSAMAAN BERNAULLI

    MINGGU DEPAN