BAB I

BAB IPENDAHULUAN1.1LATAR BELAKANGBelakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadi didasarkan pada penalaran penalaran yang logis atas sistem matematis.

Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi dan bagian matematik ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika.

Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran kebenaran yang dapat dibuktikan secara matematis. Meskipun tanpa perhitungan melalui angka-angka atau dengan statistik, tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya.

Berbagai macam peralatan elektronik yang ada di sekitar kita, merupakan contoh nyata dari kemampuan manusia dalam menerapkan disiplin ilmu logika matematika di berbagai bidang kehidupan. Diantaranya seperti listrik, komputer, televisi dan radio dikembangkan atas dasar dan aturan logika matematika sederhana yang dibentuk dalam sebuah rangkaian elektronik yaitu menggunakan rangkaian benar yang biasanya dinyatakan dengan on dan off.

Berikut ini akan penulis uraiakan salah satu sub pokok kajian logika matematika tentang konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Kajian lokasi ini semua terlepas dari pernyataan pernyataan yang konkret. Biasanya pernyataan pernyataan tersebut ditulis dengan huruf p dan q dengan suatu ketentuan umum mengenai tabel kebenaran yang biasa ditulis dengan huruf B dan pernyataan yang salah dengan huruf S

1.2TUJUANMakalah ini disusun dengan maksud untuk memberikan tambahan pengetahuan sekaligus sebagai tugas matakuliah itu sendiri.

BAB 2PEMBAHASAN2.1 PENGERTIAN LOGIKABerasal dari bahasa yunani LOGOS yang berarti kata, ucapan, atau alasan.Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran.Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol logika secara intensif.Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar.Logika Matematika atau Logika Simbolialah logikayang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.

Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.

I.PENGHUBUNG KALIMATSatu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi laindisebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Dalam logika dikenal 5 buah penghubung,antara lain:

SimbolArtiBentuk

Tidak/Not/NegasiTidak.

Dan/And/Konjungsi..dan..

Atau/Or/Disjungsiatau.

ImplikasiJika.maka.

Bi-Implikasi..bila dan hanya bila..

II.HUKUM-HUKUM LOGIKADisebut jugahukum-hukum aljabar proposisi.

1.Hukum identitas:

pFppTp

2.Hukumnull/dominasi:

pFFpTT

3.Hukum negasi:

p~pTp~pF4.Hukum idempoten:

pppppp

5.Hukum involusi (negasi ganda):

~(~p)p

6.Hukum penyerapan (absorpsi):

p(pq)pp(pq)p

7.Hukum komutatif:

pqqppqqp

8.Hukum asosiatif:

p(qr)(pq)rp(qr)(pq)r

9.Hukum distributif:

p(qr)(pq)(pr)

p(qr)(pq)(pr)

10.Hukum De Morgan:

~(pq)~p~q~(pq)~p~q

2.2KALIMATPERNYATAANKalimat PernyataanPengertian Kalimat Pernyataan adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Contoh 1 (Pernyataan yang benar) :

a.Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam

b.Jika x =2, maka 2x =4

c.2 adalah bilangan asli

Contoh 2 (Pernyataan yang salah) :

a.Batuadalah bendacair

b.Setiap bilangan prima adalah ganjil

Contoh 3 (Bukan pernyataan) :

a.x +3=0

b.Rapikan tempat tidurmu!

Istilah-istilah lain untuk pernyataan adalah kalimat matematika tertutup,kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement, atauproposisi. Sedangkan istilahlain untukkalimat yang bukan pernyataan adalah kalimat matematika terbuka atau kalimat terbuka. Namun ada beberapa ahli logika dalam bukunya yangmembedakanistilah pernyataan dan istilah proposisi. Hal ini berhubungan dengan pemakaiannya. Istilah pernyataan (statement) digunakan untukmenyatakan, sedangkan istilah proposisi (proposition) digunakan untuk kalimat tertutup.Akan tetapi pada umumnya paraahli logika tidak membedakan pengertian pernyataan dan pengertian proposisi. Dalam makalahini istilah proposisi tetap diartikan sebagai kalimat tertutup, sedangkan kalimatpernyataan akan dipakai untuk keperluan tertentu umumnya sama seperti buku-buku lainnya, bahwa istilah kalimat pernyataantidak dibedakan dengan pengertian proposisi.

Latihan1.Tulislah masing-masing tiga buah contoh

a.Penyataan yang benar

b.Pernyataan yang salah

c.Bukan pernyataan

2.Tentukan kalimat Pernyataan yang bernilai Benar (b) dan Salah (s)!

a.Surabayamendapat julukan kota pahlawan

b.Ada dua belas bulan dalam setahun

c.75 habis dibagi 4

d.Bunga Mawar berwarna merah

e.Tokyo adalah ibu kota negara Jepang

3.Tentukan Kalimat Bukan Pernyataan, Pernyataan Benar, PernyataanSalah

a.Bunga Melatiberwarnaputih

b.3x + 4 =8

c.Pagi ini hujan turun

d.Kemarin saya pergi kerumah nenek

e.Mobil itu beroda satu

2.3KALIMAT TERBUKAPengertian Kalimat Terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel.Dalam matematika yang dimaksud dengan kalimat terbuka adalah kalimat yang belum mempunyai nilai kebenaran. Dalam kehidupan sehari-hari kalimat terbuka biasanya berbentuk kalimat tanya atau kalimat perintah. Sedangkan dalam matematika kalimat terbuka berbentuk persamaan atau pertidaksamaan.

ContohKalimatTerbuka:a.Manusia makan nasib.7x 1 = 12c.x2 16 > 0

Perhatikan kalimat terbuka x2 5x + 4 = 0

Perhatikan kalimat berikut ini :

a.Manusia makan nasi.

b.. . . memakai sepatu.

c.4 + x = 7

d.4 + . . . = 7

e.p < 5

Kalimat-kalimat seperti a sampai dengan e di atas disebut kalimat terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka kalimat yang terjadi dapat disebut kalimat tertutup.

Definisi :Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja ataubernilai salah saja (pernyataan).Kalimat terbuka seperti c, d, dan e, disebut kalimat matematika (ada yang menyebut kalimat bilangan). Kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda = seperti kalimat c dan d disebut persamaan. Kalimat e yang menggunakan tanda atau

Jika variabel pada kalimat matematika itu sudah diganti dengan konstanta dan kalimat matematika itu menggunakan tanda = maka kalimat yang terjadi disebut kesamaan. Sedang kalimat matematika yang tidak mengandung variabel dan menggunakan tanda atau disebut ketidaksamaan.

Di atas telah diberikan definisi-definisi dari pernyataan, variabel, konstanta, dan kalimat terbuka. Pernyataan yang menjelaskan istilah-istilah di atas disebut kalimat definisi. Pada kalimat definisi tidak boleh terdapat kata-kata yang belum jelas artinya, apalagi kata yang sedang didefinisikan.

Beberapa istilah yang perlu diketahui.

1.VariabelHuruf x disebut variable. Sebuah variable mewakili sembarang anggota dalam semesta pembicaraan ( himpunan pengganti ).

Misalkan himpunan pengganti adalah :

{ 1 , 2 , 3 , 4 } maka :

x = 1 =>12 5.1 + 4 = 0 ( benar )

x = 2 =>22 5.2 + 4 = 0 ( salah )

x = 3 =>32 5.3 + 4 = 0 ( salah )

x = 4 =>42 5.4 + 4 = 0 ( benar )

Pengganti variable yang menyebabkan kalimat terbuka bernilai benar disebut penyelesaian, dan himpunan semua penyelesaian itu disebuthimpunanpenyelesaian.Pada contoh diatas HP = { 1 , 4 }

2.KonstantaPada kalimat x2 5x + 4 = 0 , bilangan-bilangan 1 , 5 , 4 dan 0 disebutkonstanta. Suatu konstanta hanya mewakili anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

2.4INGKARANA.PengertianNegasiatauingkaranadalah pernyataan yang bernilai benar jika pernyataan semula salah, dan sebaliknya.

B. CaraMenentukanNegasiUntukmenentukannegasidarikalimat, ada 2 hal yang harusdipenuhi.Pertamastrukturkalimat.Antarakalimatsemuladengannegasinyaharusmenunjukkanperlawanan.Keduabenarsalahnyajugaharusberlawanan.Jikakalimatsemulabernilaibenar,makanegasinyaharusbernilaisalahdemikiansebaliknya.Atasdasaritu, makadalammenentukannegasi, kitatidakbiashanyamengandalkanlawankata.Kalaudalambahasa Indonesia, naiklawannyaturun.Dalammatematika, itusalah.Naiklawannyatidaknaik.Sepintastampaknyasama, tapiitusangatbeda.

Contoh:

Ada orang berkacamata> 5

q: 5 - 2 = 3

p^q: 2 + 3 > 5 dan 5 - 2 = 3

CONTOH SOAL:

Buatlah bentuk konjungsi dari p dan q, serta tentukan nilai kebenaranya!1.p: 5adalah bilangan prima

q: 5adalah bilangan ganjil

2.p: -2 + 3 = 1q:6 4 < 23.p : -3 > -7q : 3 < 5Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!

1.3x - 2x = x dan 3 adalah bilangan prima2.2 + 5 = 7 dan 7 adalah bilangan genap3.5 = -5 dan 3 < 64.2 x 3 = 6 dan 7 x 2 >14

2.6DISJUNGSIDua pernyataan dapat digabungkan oleh perkataan atau (maksudnya dan atau) sehingga menjadi pernyataan majemuk yang disebut disjungsi dari pernyataan semula. Bila dua pernyataan itu ialah p dan q maka disjungsi dari p dan q ditulis pvq, dibaca p atau q.

Definisi :Bila p atau q atau kedua-duanya merupakan pernyataan yang benar, maka pvq merupakan pernyataan yang benar ; yang lainnya salah.

Jadi dijungsi dari dua pernyataan itu salah bila kedua komponen pernyataannya merupakan pernyataan-pernyataan yang salah.

Contoh :

1.Adi duduk di kelas III SMU atau Adi berusia 18 tahun

2.Pak Budi berumur 50 tahun atau 51 tahun

Kedua kalimat tersebut merupakan disjungsi. Disjungsi contoh a disebutdisjungsi inklusif, (karena Adi mungkin kelas III SMU dan umurnya 18 tahun terjadi bersama-sama). Pada contoh b, tak mungkin terjadi keduanya (bila umur pak Budi 50 tahun, tak mungkin 51 tahun). Disjungsi seperti ini dinamakandisjungsi eklusif. Dalam matematika yang banyak dipakai adalahdisjungsi inklusif.

Tabel disjungsi eklusif:

PQpvq

BBS

BSB

SBS

SSB

Pqpvq

BBB

BSB

SBB

SSS

Tabel disjungsi inklusif:

Nilai dan tabel kebenaran disjungsi :Sebuah hotel mencari karyawan yang pandai menari atau pandai menyanyi

Misalkan:p = pandai menari

q = pandai menyanyi

maka tabel pelamar (yang dapat mendaftar atau tidak) adalah:

Pqp v q

BBB

BSB

SBB

SSS

Si A: pandai nari & nyanyi

Si B: hanya pandai nari

Si C: hanya nyanyi

Si D: tak pandai nari & nyanyi

B: diterimaS: ditolak

Dari tabel dapat dilihat suatu disjungsi bernilai salah jika kedua komponennya bernilai salah.

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut!

p: Surabaya adalah ibukota Jawa Timur.

q: Surabaya adalah kota pahlawan.

Dua pernyataan itu dapat dirangkai dengan menggunakan kata sambung ataumenjadi :Surabaya adalah ibukota Jawa Timur atau Surabaya adalah kota pahlawan

Dua pernyataan yang dirangkai dengan cara seperti itu disebut disjungsi. Jadi dapat disimpulkan bahwa Disjungsi merupakan pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan qyang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.

Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dapat ditulis sebagai berikut :p v q(dibaca p atau q)

Ada dua macam jenis disjungsi, yaitu disjungsi eksklusif dan disjungsi inklusif.Disjungsi Eksklusif adalah dijungsi yang bersifat menyisih, dapat dituliskan sebagai pvq (dibaca : p atau q, tetapi tidak p dan q). Disjungsi Inklusif yaitu disjungsi yang bersifat mencakup, dapat dituliskan sebagai p v q (dibaca p atau q, atau p dan q).

Nilai kebenaran disjungsi p v q dapat ditentukan melalui definisi berikut.:

p v q benar, jika salah satu diantara p dan q benar atau p dan q dua-duanya benar

p v q salah, jika p da q dua-duanya salah

Berdasarkan definisi diatas, tabel kebenaran disjungsi p v q dapat ditunjukkan seperti pada tabel berikut ini:

Tabel nilai kebenaran Disjungsi

Pq(pvq)

BBB

BSB

SBB

SSS

Contoh: Semua bilangan prima adalah ganjil atau semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X

Jawab :

p: Semua bilangan prima adalah ganjilq: Semua grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X

(p v q): Semua bilangan prima adalah ganjil atau semua grafik fungsi kuadrat memotongsumbu X2.7IMPLIKASII.PengertianImplikasi(KondisionalatauProposisiBersyarat)Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata JIKA sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata MAKA sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan IMPLIKASI/PERNYATAANBERSYARAT/KONDISIONAL/HYPOTHETICALdengan notasi"".

Proposisi p disebutanteseden (premis / hipotesa / kondisi)dan proposisi q disebutkonsekuen (konklusi / kesimpulan).Sedangkan bentuk proposisinya adalah jika p,maka q dan ditulis dengan notasipq.Notasi tersebut dapat dibaca:

1.Jika p maka q

2.q jika p

3.p adalah syarat cukup untuk q

4.q adalah syarat perlu untuk p

II.ContohImplikasia.p : saya lulus ujian

q :saya mendapat hadiah dari ayah

bentuk implikasi: Jika saya lulus ujian, maka sayamendapat hadiah dari ayah

b.p : suhu mencapai 80C

q :udara terasa panas

bentuk implikasi: Jika suhu mencapai 80C, makaudara akan terasa panas

c.p : Dia tidak mendaftar ulang

q : Dia dianggap mengundurkan diri

bentukimplikasi:Jika dia tidak mendaftar ulang, maka dia dianggap mengundurkan diri

d.p : kita tidak mengerjakan tugas

q : kita tidak mendapatkan nilai

bentuk implikasi:Jika kita tidak mengerjakan tugas, maka kita tidak akan mendapatkan nilai

III.TabelKebenaranImplikasi

pQpq

BBB

BSS

SBB

SSB

Penjelasan (dengan contoh)

Dosen:Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda akan mendapat nilai A untuk kuliah ini.

Apakah dosen anda mengatakan kebenaran atau diaberbohong? Mari kita tinjau empat kasus berikut ini:

Kasus 1:Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) dan anda mendapat nilai A untuk kuliah tersebut(konklusi benar).

\pernyataan dosen benar.

Kasus 2:Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar)tetapi anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah).

\dosen berbohong (pernyataannya salah).

Kasus 3: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda mendapat nilai A (konklusi benar).

\dosen tidak dapat dikatakan salah (Mungkin ia melihat kemampuan anda secara rata-rata bagus sehingga ia tidak ragu memberi nilai A).

Kasus 4: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah).

\dosen benar.

Cara-cara mengekspresikan implikasipq:

(a)Jikap, makaq

(b)Jikap,q(c)pmengakibatkanq(p implies q)

(d)qjikap(e)phanya jikaq(f)psyarat cukup untukq(hipotesis menyatakansyarat cukup(sufficient condition))

(g)qsyarat perlu untukp(konklusi menyatakansyarat perlu(necessary condition)

(h)qbilamanap(q whenever p)

Contoh :Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk:

(a)Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.

(b)Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.

(c)Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

(d)Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok.

(e)Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan.

(f)Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.

2.7BIIMPLIKASII.Pengertian BiimplikasiBiimplikasiadalah gabungan dua pernyataan dengan bentuk kondisional (sebab-akibat), dimana sebab dan akibatnya dapat dipertukarkan. Pernyataan sebabnya mengakibatkan pernyataan akibat dan juga sebaliknya. Untuk membedakannya dengan implikasi, operator biimplikasi dilambangkan dengan , sedangkan pengalimatannya menggunakan bentuk .(pernyataan pertama)jika dan hanya jika. (pernyataan kedua). Dalam keseharian biimplikasi biasanya memakai bentuk pengalimatan jika (pernyataan pertama)maka (pernyataan kedua),demikian pula sebaliknya.

Dalam pengertian lain disebutkan bahwa,adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung logika " jika dan hanya jika " dan diberi lambang "" atau " ".

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis " pq " atau"p q" dibaca "p jika dan hanya jika q " dan sering juga dibaca " p equivalen q " dimana p adalah syarat perlu dan cukup bagi q.

II.Tabel nilai kebenaran biimplikasipQpq

BBB

BSS

SBS

SSB

Biimplikasidapat dikatakan berasal dariimplikasi p q dankonversnya, yaitu q p.Dibentuk konjungsi antara implikasi dan konversnya tersebut, yaitu (p q) (q p).

Tabel kebenaran dari konjungsi (p q) (q p)

Pqp qq p(p q) (q p)

BBBBB

BSSBS

SBBSS

SSBBB

Memperhatikan nilai-nilai kebenaran dari(p q) (q p) nilai-nilai kebenaran p dan q pada tabel diatas kita dapat menyimpulkan bahwa nilai kebenaran dari (p q) (q p) hanya B apabila nilai kebenaran dari p sama dengan nilai kebenaran q, dan bernilai S apabila nilai-nilai kebenaran dari p dan q berbeda.

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari Biimplikasi berikut:

(1)8 + 7 = 15 jika dan hanya jika 15 2 + 8

(2)7 membagi habis 15 jika dan hanya jika 7 suatu bilangan prima.

(3)Tutik adalah presiden RI jika dan hanya jika Semarang Ibu Kota RI

(4)16 kelipatan 8 jika dan hanya jika 7 faktor dari 16

Penyelesaian:

(1)B, karena 8 + 7 = 15 bernilai benar dan 15 2 + 8 juga bernilai benar.

(2)S, karena 7 membagi habis 15 bernilai salah dan 7 suatu bilangan prima bernilai benar.

(3)B, karena Tutik adalah presiden RI bernilai salah dan Semarang Ibu Kota RI bernilai salah.

(4)S, karena 16 kelipatan 8 bernilai benar dan7 faktor dari 16 bernilai salah.

II.Negasi Dari Suatu BiimplikasiJika biimplikasi semula dinyatakan sebagai p q maka ~ (p q) bukan ~p ~q.

Biimplikasi p q adalah singkatan dari (p q) (q p) maka

~ (p q) = ~ [(p q) (q q)]

= ~(p q) (p q)

= (p ~q) (q ~p)

Tabel nilai kebenaran negasi biimplikasi:

PQ~p~qp qp ~qq ~p~ (p q)(p ~q) (q ~p)

BBSSBSSSS

BSSBSBSBB

SBBSSSBBB

SSBBBSSSS

Contoh:

Tuliskan negasi dari biimplikasi berikut ini!

(1)7 suatu bilangan prima jika dan hanya jika 7 membagi habis 42

(2)Amin dibelikan sepeda jika dan hanya jika Amin tidak nakal

Penyelesaian:

(1)7 suatu bilangan prima dan tidak membagi habis 42, atau 7 membagi habis 42 dan 7 bukan suatu bilangan prima.

(2)Amin dibelikan sepeda dan Amin nakal atau Amin tidak nakal dan Amin tidak dibelikan sepeda.

2.8KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISIDari pernyataan yang berupa implikasi pq dapat dibuat pernyataan implikasi baru sebagai berikut :

A.KonversKonvers adalah sebuah proposisi yang timbul dari mempertukarkanhal lain, seperti dengan menempatkan predikat untuksubjek, dan subjek predikat.

Jika suatu bentuk implikasi pq diubah menjadi qp disebut konvers.

Contoh :

Tentukankonversdari pernyataan berikut:

a)Jikakamu rajin belajarmakaakan naik kelas.

b)Jika habis dibagi 2 maka bilangan itu adalah bilangan genap.

Penyelesaian :

a)Jikanaik kelasmakakamu rajin belajar.

b)Jika bilangan itu adalah bilangan genap maka habis dibagi 2.

B.InversInvers adalah sebuah proposisi dengan arti berlawanan dari sesuatu.

Jika suatu bentuk implikasi pq diubah menjadi ~ p~ q disebut invers.

Contoh :

Tentukan invers dari pernyataan berikut :

a)Jika turun hujan maka ayah tidak dapat berangkat kerja.

b)Jika cuaca mendung maka saya membawa payung.

Penyelesaian :

a)Jika tidak turun hujan maka ayah dapat berangkat kerja.

b)Jika cuaca tidak mendung maka saya tidak membawa payung.

C.KontraposisiKontraposisi adalah sebuah proposisi yang menyangkal subyek asli dari bertentangan predikat.

Jika suatu bentuk implikasi pq diubah menjadi ~ q~ p disebut kontraposisi.

Contoh :

Tentukan kontraposisi dari pernyataan berikut :

a)(pq) (pq)

b)Jika Sari makan maka dia menjadi kenyang.

Penyalesaian :

a)~( pq)~(pq)

b)Jika Sari tidak kenyang maka dia tidak makan.

Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi,Perhatikan tabel kebenaran di bawah ini :

PQImplikasi

pqKonvers

qpInvers

~p~qKontraposisi

~q~p

BBBBBB

BSSBBS

SBBSSB

SSBBBB

Dari tabel di atas ternyata :

Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya atau ditulis :

pq ~q~p

Dengan kata lain jika implikasi bernilai benar maka kontraposisinya juga bernilai benar atau jika implikasi bernilai salah maka kontraposisinya juga bernilai salah.

Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya atau ditulis :

qp ~p~q

Dengan kata lain jika konvers bernilai benar maka inversnya juga bernilai benar atau jika konvers bernilai salah maka inversnya juga bernilai salah.

Contoh :

Tentukan konvers, invers, dan kotraposisi dari pernyataan berikut ini :

1.Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga bahan pokok naik.

2.Jika x 4 maka x 16

Penyelesaian:

1.Konvers: jika harga bahan pokok naik maka harga bahan bakar minyak naik.

Invers: jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga bahanpokoktidak naik.

Kontraposisi : jika harga bahan pokok tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.

2.Konvers: jika x2 16 maka x 4

Invers: jika x 4 maka x2 16

Kontraposisi: jika x2 16 maka x 4

2.9PENARIKAN KESIMPULANSuatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi.

a)Argumenadalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan penarikan kesimpulan

b) Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitupremis(pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuahkonklusi(kesimpulan).

Bila konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, bila konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.

1. Modus PonensJikabenar dan p benar maka q benar.Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut

Premis1:pq: BenarPremis2 :p: Benar

Jadi:q: Benar(Konklusi)Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai. Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasimerupakan tautologi.Tautologiadalah sebuah pernyataanmajemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran daripernyataan-pernyataan komponennya.

Tabel nilai kebenaran dariPq

INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HPG410~1\\AppData\\Local\\Temp\\msohtmlclip1\\01\\clip_image027.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HPG410~1\\AppData\\Local\\Temp\\msohtmlclip1\\01\\clip_image031.gif" \* MERGEFORMATINET

BBBBB

BSSSB

SBBSB

SSBSB

Dari table tampak bahwamerupakantautologi, jadi argumen tersebut sah.

Contoh :

1.Jika Siti naik kelas maka Siti dibelikan sepeda.

Siti naik kelas.

Siti dibelikan sepeda

2. Modus TollensJikabenar danbenar maka p benar.

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:

Premis1:pq: BenarPremis2:~q: BenarJadi:~p: Benar(Konklusi)Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai,sah atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel nilai kebenaranPq~p~q

INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HPG410~1\\AppData\\Local\\Temp\\msohtmlclip1\\01\\clip_image042.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\HPG410~1\\AppData\\Local\\Temp\\msohtmlclip1\\01\\clip_image046.gif" \* MERGEFORMATINET

BBSSBSB

BSSBSSB

SBBSBSB

SSBBBBB

Dari tabeltampak bahwamerupakan tautologi. Jadimodus tollens merupakan argumentasi yang sah .

Contoh :

1.Jika Andilulus ujian maka Andi memperoleh hadiah

Andi tidak lulus ujian

3. SilogismeDari premis-premisdandapat ditarik konklusi. Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

Premis1:pq: BenarPremis2:qr: Benar

Jadi:pr: Benar(Konklusi)Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagaisah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel nilai kebenaran.

pQr

BBBBBBBB

BBSBSSSB

BSBSBBSB

BSSSBSSB

SBBBBBBB

SBSBSBSB

SSBBBBBB

SSSBBBBB

Dari tabel tampak bahwamerupakantautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.

Contoh:

1.Jika Rina sakit maka Rina menangis

Rina tidak menangis

Jawab :

Rina tidak sakit (modus tollens)

p: Rina sakitq : Rina menangis.

~q : Rina tidak menangis.

~p : Rina tidak menangis.

2.Jika Ani rajin belajar maka Ani naik kelas.

Jika Ani naik kelas maka Ani memperoleh hadiah.

Jawab:

Jika Ani rajin belajar maka Ani memperoleh hadiah ( silogisme)

p: Ani rajin belajar q: Ani naik kelas

q: Ani naik kelas r: Ani memperoleh hadiah

p: Ani rajin belajar r: Ani memperoleh hadiah

3.Jika Bu tutik tidak mengajar maka Bu Tutik pergi kuliah

Bu Tutik tidak mengajar

Jawab :

Bu Tutik pergi kuliah (modus ponens)

p: Bu Tutik tidak mengajar q: Bu Tutik pergi kuliah

p: Bu Tutik tidak mengajar

q: Bu Tutik pergi kuliah

BAB IIIPENUTUP3.1KESIMPULANMakalah ini dimulai dengan pembahasan mengenai pengertian logika, karena pengetahuan tentang logika ini sangat sering digunakan di dalam kehidupan nyata sehari-hari, di dalam mata pelajaran matematika sendiri maupun mata pelajaran lainnya. Isi makalah ini tidak hanya menekankan pada penghafalan rumus atau teorema semata-mata, namun sudah berusaha untuk memberi kemudahan bagi para pembaca. Sebagai contoh, tabel kebenaran untuk pq tidak langsung diberikan dengan begitu saja, namun dengan contoh yang menurut penulis dapat memberi kemudahan bagi para pembaca untuk lebih memahaminya. Begitu juga tentang valid atau tidak validnya suatu argumen atau suatu penarikan kesimpulan.

3.2SARANDiharapkan mahasiswa berikutnya dapat mengembangkan makalah ini supaya lebih sederhana dan lebih mudah dimengerti. Diharapkan mahasiswa dapat memahamai mata kuliah logika matematika dan mengaplikasikannya dalam kehidupan nyata.

DAFTAR PUSTAKAwww.4shared.com/office/.../makalah_pembelajaran_logika_ma.htmlm4ri4ni.files.wordpress.com/2011/12/logika-matematika1.docucu-syarief.blogspot.com/.../makalah-tentang-logika-matematika.html

ebookbrowse.com/ma/makalah-logika-matematika