Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan

7/30/2019 Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan

1/16

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT yang telah menolong hamba-Nya menyelesaikan

makalah ini dengan penuh kemudahan. Tanpa pertolongan Allah SWT mungkin penyusun

tidak akan sanggup menyelesaikannya dengan baik.

Makalah ini disusun agar pembaca dapat mengetahui proses pemecahan dan

pengayakan yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai sumber. Makalah ini

di susun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diri penyusun

maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan

dari Tuhan akhirnya Makalah ini dapat terselesaikan.Makalah ini memuat tentang Penggunaan Aplikasi Turunan dan sengaja dipilih

karena menarik perhatian penulis untuk dicermati dan perlu mendapat dukungan dari semua

pihak yang peduli terhadap dunia Kesehatan Penyusun juga mengucapkan terima kasih

kepada guru/dosen pembimbing yang telah banyak membantu penyusun agar dapat

menyelesaikan Makalah ini.

Semoga Makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada pembaca.

Walaupun Makalah ini memiliki kelebihan dan kekurangan. Penyusun mohon untuk saran

dan kritiknya.

Wassalam

Penulis


2/16

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah

cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga.Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai

bentuk dan aljabaradalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan sertaaplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidangsains,ekonomi,dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkandengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yangsaling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbangmenuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus

mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Turunan merupakan salah satu bagian dari kalkulus yang mempunyai peranan yangsangat besar baik dalam bidangbidang lain maupun dalam matematika itu sendiri. Denganmempelajari turunan, maka dapat mempermudah kita dalam menyelesaikan masalahmasalahyang berkaitan dengan fungsi, integral dan bidang kalkulus lainnya. Turunan juga dapatdigunakan untuk dapat menggambarkan grafik suatu fungsi aljabar yaitu denganmenggunakan penerapannya. Untuk menentukan turunan suatu fungsi biasanya digunakankonsep limit.
http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latinhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/0,999...#Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomihttp://id.wikipedia.org/wiki/Teknikhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)http://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latinhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/0,999...#Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomihttp://id.wikipedia.org/wiki/Teknikhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)http://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika


3/16

BAB 2

PEMBAHASAN

APLIKASI TURUNAN

I.1 Maksimum dan Minimum

Definisi:

Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung titik c. Kita katakan bahwa:

f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S;

f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S;

f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum.

Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif.

Teorema A

Teorema keberadaan maksimum-minimum jika f pada selang tutup [a,b], maka f

mencapai nilai maksimum dan minimum disana.

Dimana terjadinya nilai ekstrim?

Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didedinisikan pada selang tertutup seringkaliterjadi pada titik-titik ujung.

Jika c sebuah titik tempat f(c) = 0 kita sebut c titik stasioner. Pada titik stasionergrafik f mendatar, karena garis singgung mendatar.

Jika c adalah titik didalam I tempat f aksen tidak ada, kita sebut c titik singular yangberupa titik tempat grafik f berpojok tajam, garis singgung tegak, atau berupa loncatan atau

didekatnya grafik bergoyang sanagt buruk. Sembarang titik dalam daerah asal fungsi f yangtermasuk salah satu dari tipe ini disebut titik kritis f.Teorema BTeorema titik kritis:Andaikan f terdefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika (c) adalah nilai ekstrim,maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:

Titik ujung dari I; Titik stasioner dari f(f(c)=0); atau Titik singular dari f(f(c) tidak ada)

Bukti:


4/16

f (c) berupa nilai maksimum f pada Idan andaikan c bukan titik ujung ataupun titiksingular. Karena f(c) adalah nilai maksimum, maka f(x) f(c) untuk semua x dalam I yaituf(x) f(c) 0

Jadi jika x < c, sehingga x-c < 0 maka (1) f(x) f(c) 0 x c sedangkan jika x > c, maka:(2) f(x) f(c) 0 x c Tetapi f(c) ada, karena c bukan titik singular. Akibatnya bila kita

biarkan x c dalam (1) dan x c+ dalam (2), kita memperoleh masing-masing f(c) 0 danf(c) 0. kita simpulkan

bahwa f(c) = 0.

4.2 Kemonotonan dan kecekungan

Definisi:

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dapat katakan

bahwa:

f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 < x2 f(x1) < f(x2)

f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 < x2 f(x1) > f(x2)

f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I.

Turunan pertama dan kemonotonan

Turunan pertama f(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik fdititik x. Kemudian jika f(x) > 0 maka garis singgung naik kekanan. Dan jika f(x) < 0 makagaris singgung turun kekanan.Teorema ATeorema kemonotonan:Andaikan f kontinue pada selang I dan terdefinisikan pada setiap titik-dalam dari I.

Jika f(x) > 0 semua x titik-dalam I, maka f naik pada I. Jika f(x) < 0 semua x titik-dalam I, maka f turun pada I

Turunan kedua dan kecekungan

Suatu fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang bergoyang. Jika garissinggung berbelok secara tetap dalam arah yang berlawanan arah outaran jarum jam, kitakatakan bahwa grafik cekung ke atas, dan jika garis singguang berbelok searah putaran jarum

jam, maka grafik cekung ke arah bawah.

Definisi kecekungan


5/16

Andaikan f terdiferensialkan pada selang terbuka I, kita mengatakan bahwa f (dan grafiknya)cekung ke atas pada I jika f naik pada I, dan kita mengatakan bahwa f cekung ke bawah padaI jika f turun pada I.Teorema A

Teorema kecekungan:Andaikan f terdeferensiasikan dua kali pada selang buka I. Jika f(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I. Jika f(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.

Titik balik

Andaikan f kontinue di c, kita sebut (c.f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung keataspada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.

4.3 Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi

Andaikan S daerah asal dari f, mengandung titik c, dapat dikatakan bahwa:

f(c) adalah suatu nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang

berisi c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) simbol gabungan S;

f(c) adalah suatu nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang

berisi c sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) simbol gabungan S;

f(c) adalah suatu nilai ekstrim lokal dari f jika kedua-duanya adalah sebuah nilai

maksimum lokal atau sebuah nilai minimum lokal.

Teorema A

Uji turunan pertama:

Andaikan f kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c.

Jika f(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),maka f(c) adalah nilai maksimum lokal.

Jika f(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b),maka f(c) adalah nilai minimum lokal.

Jika f(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Bukti (i)

Karena f(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c), maka menurut teorema kemonotonan f naik pada(a,c].


6/16

Karena f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f turun pada [c,b). Jadi f(x) < f(c) untuksemua x dalam (a,b), kecuali tentu saja di x = c. Kita menyimpulkan bahwa f(c) adalahmaksimum lokal. Demikian juga untuk bukti (ii) dan (iii).

Teorema B

Uji Turunan kedua:

Andaikan f dan f ada pada setiap titik selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikanf(c) = 0.

Jika f(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f. Jika f(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

1. Kemonotonan dan Kecekungan

Definisi :

Andaikanfterdefinisi pada selangI(terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :

i. fadalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 f(x1) < f(x2)

ii. fadalah turun pada Ijika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalamI, x1 > x2

f(x1) > f(x2)iii. fmonoton murni padaIjika ia naik padaIatau turun padaI

Teorema A

(Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkanpada setiap titik dalam dariI

i. Jikaf(x) > 0 untuk semua titik dalam x dariI, makafnaik padaIii. Jikaf(x) < 0 untuk semua titik dalam x dariI, makafturun padaI

Turunan Pertama dan Kemonotonan

Ingat kembali bahwa turunan pertama f(x) memberi kita kemiringan dari garissinggungfdititik x, kemudian jikaf(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jikaf(x) 0 ntuk semua x dalam (a,b) makafcekung ke atas pada (a,b)

ii. Jikaf(x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) makafcekung ke bawah pada (a,b)

Titik Balik

Andaikanfkontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafikfjikafcekungke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar Cmenunjukkan sejumlah kemungkinan.

Gambar

soal :Jika f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?Penyelesaian:Mencari turunan f

f(x) = 3x2 + 12x + 9= 3 (x2 + 4x + 3)= 3 (x+3)(X+1)


8/16

Kita perlu menentukan (x +3) (x +1) > 0 dan (x +3) (x + 1) < 0 terdapat titik pemisah-3 dan -1, membagi sumbux atas tiga selang ( -, -3), (-3, -1) dan (-1, ). Dengan memakaititik uji -4, -2, 0 didapat f`(x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f`(x) < 0 pada selangtengah.

Jadi, f naik pada (-, -3] dan [-1, ) dan turun pada [-3, -1]

Grafikf(-3) = 3 f(-1) = -1 f(0) = 3

2. Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi :

Andaikan S, daerah asalf, memuat titik c. kita katakan bahwa :

i. f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikiansehinggaf(c) adalah nilai maksimumfpada (a,b) Sii. f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian

sehinggaf(c) adalah nilai minimumfpada (a,b) Siii. f(c) nilai ekstrim lokalfjika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal

Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrimdiganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika turunan adalah positif padasalah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyaiekstrim lokal.

GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL

Teorema A

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka(a,b) yang memuat titik kritis c.

i. Jika f(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),makaf(c) adalah nilai maksimum lokalf

ii. Jika f(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b),makaf(c) adalah nilai minimum lokalf

iii. Jikaf(x) bertanda sama pada kedua pihak c, makaf(c) bukan nilai ekstrim lokalf.

Teorema B


9/16

(Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikanf danfada pada setiap titik dalamselang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikanf(c) = 0

i. Jikaf(c) < 0,f(c) adalah nilai maksimum lokalf

ii. Jikaf(c) > 0,f(c) adalah nilai minimum lokalf

Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.

soal :Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum darif(x) =x3 3x2+4 pada ( -, ).

Penyelesaian :f(x) = 3x2 6x = x(3x 6)x=0 dan x= 2

f(2) = 0

f(0) = 4

fungsi memiliki nilai maksimum 4

(pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2)

5. Penerapan Ekonomik

Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsepkalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barangtahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan

bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = xp(x), banyak satuan kali harga tiap satuan.

Untuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya totalC(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuksebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya.

P(x) = R(x) C(x) = x p(x) C(x)

Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.

Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x)pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,..dan sebagai akibatnya, grafiknyaakan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titik-titiktersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C,dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.

Penggunaaan Kata Marjinal


10/16

Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakanmemproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jikafungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai C/X

pada saat x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai Lim

Pada saat x = 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn Cterhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatanmarjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.

soal :

Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi400satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanyamemerlukan biaya Rp. 1960.

6. Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

Definisi-definisi Cermat Limit bila x Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut.

Definisi:

(Limit bila x ). Andaikan f terdefinisi pada [c,) untuk suatu bilangan c. kita katakan

bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing >0, terdapat bilangan M yang xberpadanan sedemikian sehingga

X > M f(x) - L <

Definisi:

(Limit bila x -). Andaikan f terdefinisi pada ( -, c] untuk suatu bilangan c. kita katakanbahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing >0, terdapat bilangan M yang x -

berpadanan sedemikian sehinggaX < M f(x) L <


11/16

Definisi:

(Limit-limit takterhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = jika untuk tiap bilangan

xc+ positif M, berpadanan suatu >0 demikian sehingga 0 < x c < f(x) > M

Hubungan Terhadap Asimtot

Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalahasimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafasyang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika Lim f(x) = b atauLim f(x) = b x x - , Garis y = 0 adalah asimtot horizontal.

7. Penggambaran Grafik Canggih

Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik,

khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kitadapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik.

Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung ke atas.

POLINOM. Polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yangberderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalka 3 sampai 6. kitadapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.

FUNGSI RASIONAL. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom,lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan

perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.

RINGKASAN METODE. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapatpengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangatmembantu.

soal :Sketsakan grafik f(x) = (2x5 30x3)/108

penyelesaian :karena f(-x) = -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap titikasal. Dengan menetapkan f(x) = 0 berarti {2x5 30x3}/108 = 0 dan x3(2x2 30)/108 = 0

kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan 15 3,85 Kemudian kita deferensialkan f(x) = (10x4 90x2)/108 = {10x2 (x2-9)}/108

kita peroleh titik kritis -3, 0, 3

f(-3) = 3 f(0) = 0 f(3) = 12

kemudian kita deferensialkan kembali f(x) = (40x3 -180x)/108 = {x(40x2-180)}/108


12/16

kita peroleh x = -2.1 x = 2.1 x = 0

f(-2.1) = 1.8 f(2.1) = -1. f(0) = 0

8.Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus tidak begitu penting, tetapi seringkali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa geometri,teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami.

GAMBAR 1 dan 2

Teorema A

(Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] danterdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan cdalam (a,b) dimana

f(b) f(a) / b a =f(c) atau secara setara, dimanaf(b) f(a) =f(c) (b-a)

Teorema B

Jika F(x) = G(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian

sehingga F(x) = G(x) + CUntuk semua x dalam (a,b)

soal:Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x2 3 pada [1,3]

penyelesaian :

f(x) = 2x dan {f(3) f(1)}/ 3 1 = {6 (-2)}/2 = 8/2 = 4, mjadi kita harus menyelesaikan 2C= 4 maka C = 2

jawaban tunggal adalah C = 2


13/16


14/16

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

BEBERAPAAPLIKASITURUNAN

1. KOEFISIEN ARAH GARIS SINGGUNG, (GARISNORMAL, GARIS SINGGUNG, SUB-NORMAL,

SUB-TANGEN).

2. LIMITDENGANBENTUKTAKTENTU (DALILLHOSPITAL)

3. LAJUPERUBAHAN

4. MAKSIMA & MINIMA

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah

cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga.Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai

bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta

aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains,ekonomi, dan

teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan

aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dankalkulus integralyang

saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbangmenuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan

limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latinhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/0,999...#Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomihttp://id.wikipedia.org/wiki/Teknikhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)http://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latinhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Turunanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/0,999...#Deret_dan_barisan_takterhinggahttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ilmuhttp://id.wikipedia.org/wiki/Ekonomihttp://id.wikipedia.org/wiki/Teknikhttp://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_elementerhttp://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensialhttp://id.wikipedia.org/wiki/Integralhttp://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_dasar_kalkulushttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)http://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika


15/16

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Edwin J. 2003.Kalkulus jilid 1. Jakarta: Erlangga

Sari, Intan. 2009. Penggunaan turunan.

http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/ (diakses

tanggal 22 April 2012)

Setiawan. 2004.PDF Pengantar kalkulus. http://Depdiknas.yogyakarta.com/

(diakses taggal 22 April 2012)

Sutrisno,agung. 2009. Matematika dasar.WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM

(diakses tanggal 22 April 2012)
http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/http://depdiknas.yogyakarta.com/http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/http://depdiknas.yogyakarta.com/


16/16

Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan

Documents

Transcript of Makalah Kalkulus Aplikasi Turunan