MAKALAHTEORI GRAPHOperasi Aljabar Graph dan Pewarnaan GraphDosen Pengampuh : Eka Meiliza S.Pd,M.Pd

Disusun oleh :

Kelompok 4 (Semester V1 B)

Hardi ApriadiIlayaniJumiatiMaisahMegawati

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUANINSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SULTHAN THAHA SAIFUDDINJAMBI2015

A. OPERASI ALJABAR GRAPHBerdasarkan definisi graph (yang terdiri dari 2 himpunan) dan operasi pada himpunan, maka pada graf juga dapat dilakukan operasi-operasi. Terdapat beberapa cara untuk memperoleh graph baru dengan melakukan suatu operasi tersebut terhadap dua graph.Bila diketahui 2 buah graph : G1(V1,E1) dan G2(V2,E2), maka :1. Gabungan G1 G2 adalah graph dengan himpunan V nya = V1 V2 dan himpunan E nya = E1 E2.Dimana gabungan dua graph adalah penggabungan graph yang satu dengan yang lainnya dimana bentuk graph yang sudah tersedia tidak boleh diputar atau dirubah posisinya.Contoh : =

2. Irisan G1 G2 adalah graf dengan himpunan V = V1 V2 dan himpunan E = E1 E2.Irisan dua graf yaitu antara graf yang satu dengan graf yang lainnya memiliki titik dan rusuk yang seletak.Contoh :

=

3. Selisih G1 - G2 adalah graf dengan himpunan V nya = V1 dan himpunan E nya = E1- E2Sedangkan Selisih G2 G1 adalah graf dengan himpunan V nya = V2 dan himpunan E nya = E2 E14. Penjumlahan Ring G1 G2 adalah graf yang dihasilkan dari (G1 G2) (G1 G2) atau (G1 - G2) (G2 - G1).Penjumlahan dua graf adalah penggabungan titik pada graf 1 kesemua titik pada graf ke 2Contoh selisih dan penjumlahan pada graf :

G1 G2

Maka :

5. Komplemen

Graf F disebut komplement dari graf G bila V(F)=V(G) dan uv E(F) jika dan hanya jika uvE(G). Komplemen dari graf G dinotasikan dengan .Graf komplemen yaitu rusuk yang tidak menghubungkan titik yang satu dengan yang lainnya pada suatu graf.

B. PEWARNAAN GRAFPewarnaan graf adalah memberi warna pada titik-titik didalam graf sedemikian sehingga setiap dua titik yang bertetangga mempunyai warna yang berbeda.Ada tiga macam persoalan perwarnaan graf yaitu :1. Pewarnaan simpul Pewarnaan simpul (vertex coloring) adalah member warna pada simpul-simpul suatu graf sedemikian sehingga tidak ada dua simpul bertetangga mempunyai warna yang sama. Contoh :

2. Pewarnaan sisi Pewarnaan sisi (edge coloring) adalah memberi warnaberbeda pada sisi yang bertetangga sehingga tidak ada dua sisi yang bertetangga mempunyai warna yang sama. Contoh :

3. Pewarnaan Bidang Pewarnaan bidang adalah memberi warna pada bidang sehingga tidak ada bidang yang bertetangga mempunyai warna yang sama. Pewarnaan bidang hanya bisa dilakukan dengan membuat graf tersebut menjadi graf planar terlebih dahulu. Graf planar adalah graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi yang tidak saling memotong (bersilangan), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Setelah terbentuk graf planar, lalu memberikan warna berbeda untuk setiap bidang yang berdekatan. Dan jumlah warna yang digunakan harus sedikit mungkin.

Gambar Contoh pewarnaan bidang

Dalam pewarnaan graf, jumlah warna yang digunakan untuk mewarnai simpul, sisi, maupun bidang diusahakan sesedikit mungkin. Jumlah warna minimum yang dapat digunakan tersebut disebut bilangan kromatik graf G, disimbolkan dengan (G). Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan (G) = k.Algoritma Welch PowellAlgoritma Welch-Powell dapat digunakan untuk mewarnai sebuah graf G secara efisien. Algoritma ini tidak selalu memberikan jumlah warna minimum yang diperlukan untuk mewarnai G, namun algoritma ini cukup praktis untuk digunakan dalam pewarnaan simpul graph. Algoritma Welch-Powell dapat dinyatakan sebagai berikut: 1. Urutkan simpul-simpul dari G dalam derajat yang menurun.2. Gunakan satu warna untuk mewarnai simpul pertama (yang mempunyai derajat tertinggi) dan simpul-simpul lain (dalam urutan yang berurut) yang tidak tertetangga dengan simpul pertama ini.3. Mulai lagi dengan simpul derajat tertinggi berikutnya di dalam daftar terurut yang belum diwarnai dan ulangi proses pewarnaan simpul dengan menggunakan warna kedua.4. Ulangi penambahan warna-warna sampai semua simpul telah diwarnai. Contoh : Warnailah graph G di bawah ini dengan menggunakan Algoritma Welch Powell. v1 v2

V6 v7 v3 v5 v4 GDengan langkah langkah sebagai berikut :1. Urutkan titik dari G, seperti pada tabelTitikv1v3v5v7v2v4v6

Derajat5444333

warnaabbccad

2. Dari tabel diperoleh v1 mempunyai derajat tertinggi yaitu 5, warnai titik v1 dengan warna a dan warnai titik lain (yaitu titik v4) yang tidak berhubungan langsung dengan titik v1 dengan warna a.3. Lanjutkan mewarnai titik yang mempunyai derajat tertinggi berikutnya yaitu titik v3 (dengan derajat 4) dengan warna b, dan cari titik lain yang tidak berhubungan langsung dengan titik v3 yaitu titik v5, kemudian warnai titik v5 dengan warna yang sama dengan titik v3 yaitu warna b.4. Lanjutkan mewarnai titik yang mempunyai derajat tertinggi berikutnya yaitu titik v7 (dengan derajat 4) dengan warna c, dan cari titik lain yang tidak berhubungan langsung dengan titik v7 yaitu titik v2, kemudian warnai titik v2 dengan warna yang sama dengan titik v7 yaitu warna c.5. Kemudian warnai titik terakhir yang belum terwarnai yaitu titik v6 dengan warna d.

v1(a) v2(c)

V6 (d) v7 (c) v3 (b) v5(b) v4(a)

Graph G di atas dapat diwarnai dengan menggunakan 4 warna berarti (G) = 4