GEOMETRI POSTULAT EUCLID SACCHERI

OLEH :

PRAMITHA SARI

DOSEN PENGAMPU : 1. DR. YUSUF HARTONO

2. DR. NILA KESUMAWATI, M.Si.

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2O12 / 2013

A. Giovanni Girolamo Saccheri (5 September 1667 – 25 Oktober 1733)

Saccheri lahir di San Remo, Genoa (sekarang Italia). Saccheri adalah anak

dari seorang pengacara. Dia mulai ikut pelatihan akademik dengan Yesuit di

Genoa pada tahun 1685 dan 5 tahun kemudian terdaftar di Kampus Jesuit Brera

untuk belajar filsafat dan teknologi. Salah seorang guru, seorang penyair dan ahli

matematika yang bernama Tommaso Ceva, yakin untuk mengarahkan energi

Saccheri ke arah matematika dan menjadi pembimbing akademik. Dengan

bimbingan Ceva, Saccheri menerbitkan buku pertamanya, “Quaesita Geometrica”

pada tahun 1693.

Ia ditahbiskan sebagai imam pada tahun 1694 di Como, Italia. Pada tahun

yang sama, Saccheri mulai mengajar filsafat di Universitas Turin sampai 1697.

Selama tinggal disana, ia menerbitkan “Logica Demonstrativa”, salah satu

karyanya yang paling penting.

Pada tahun 1697 Saccheri berganti pekerjaan lagi, kali ini ia pindah ke

Universitas Jesuit Pavia (juga dikenal sebagai Universitas Ticinese), di tempat

itulah mana ia mengajar selama sisa hidupnya. Dua tahun kemudian, ia menjadi

pimpinan di bidang matematika yang diangkat oleh Senat Milan. Pada 1708,

Saccheri menerbitkan “Neo Statica” yang berhubungan dengan mekanika.

Kemudian karya lainnya“Euclides ab Omni Naevo Vindicatus” mencoba untuk

membuktikan postulat paralel Euclid.

Saccheri meninggal di Milan, Italia pada tanggal 25 Oktober 1733. Dalam

karyanya sintesis, Saccheri memberikan analisa lengkap tentang masalah

kesejajaran dalam hal segiempat.

B. Segiempat Saccheri dalam Geometri Hiperbolik

Saccheri menarik garis yang tegak lurus pada ujung-

ujung dua buah segmen garis yang saling sejajar.

Bangun yang terbentuk ini disebut sebagai segiempat

saccheri (Saccheri Quadrilateral) pada gambar1.

A B

C D

Gambar 1

Teorema 1

Segiempat saccheri adalah segiempat ABCD dengan AB sebagai alasnya,

AD dan BC adalah kaki-kakinya sedemikian sehingga AD = BC. A dan B

merupakan sudut siku-siku. A dan B dinamakan sudut alas dan C dan D

dinamakan sudut puncak.

Misalkan ABCD adalah segiempat Saccheri dengan AD = BC dan A =

B = 90o. Saccheri mampu membuktikan C = D. Dan selanjutnya

mempertimbangkan tiga kemungkinan mengenai sudut C dan sudut D (gambar 2).

(a) Hipotesis sudut siku-siku ( C = D = 90o)

(b) Hipotesis sudut tumpul ( C = D > 90o)

(c) Hipotesis sudut lancip ( C = D < 90o)

Gambar 2

Jika postulat kesejajaran Euclide diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-

siku benar (karena postulat kesejajaran Euclide berakibat bahwa jumlah sudut

sebarang segiempat adalah 360o).

Dasar argumen Saccheri sebagai berikut: Dengan menunjukkan bahwa

hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip keduanya menimbulkan suau

kontradiksi, berarti postulat kesejajaran Euclide benar.

Dengan menggunakan serangkaian teorema secara hati-hati, Saccheri

mampu membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul menimbulkan suatu

kontradiksi. Selanjutnya dalam membuktikan hipotesis sudut lancip, Saccheri

tidak sampai pada suatu kontradiksi, meskipun dia berpikiran seharusnya terjadi

kontradiksi, hingga sampai saat ini teori Saccheri tentang hipotesis sudut lancip

bebas dari kontradiksi dalam geometri Euclide. Kegagalan Saccheri dalam

menangani postulat kesejajaran Euclide telah membuat suatu lompatan logis

dalam geometri non-Euclide.

Teorema 2

Sudut puncak Saccheri adalah sama (Dengan menggunakan kelima

postulat).

Bukti: Pertimbangkan DAB dan CBA

DAB = CBA = 90, AD = BC, AB adalah garis lurus.

Dengan SAS postulat, DAB dan CBA adalah kongruen.

Pertimbangkan ACD dan BDC

Dimana AD = BC, AC = BD, CD adalah garis lurus.

Dengan SSS postulat, ACD dan BDC adalah kongruen.

Juga ACD = BDC, sehingga OD = OC dan OB = OA.

Teorema 3

Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari dasar dan puncak tegak

lurus terhadap keduanya (gambar 4).

Bukti: M adalah titik tengah AB dan N adalah titik tengah DC. Dengan

teorema sebelumnya OD = OC, DN = CN, dan ON = OM.

Dengan SSS postulat, OCN dan ODN adalah kongruen. Sehingga CNO =

DNO = 90, yaitu ON tegak lurus terhadap CD.

Demikian pula, OAM dan OBM adalah kongruen. Sehingga OAM =

OBM = 90, yaitu OM tegak lurus terhadap AB.

Selain itu, CNO = DON, COB = DOA, BOM = AOM.

Jadi, CON + COB + BOM = DON + DOA + AOM = 180.

MON adalah garis lurus, dimana MN tegak lurus terhadap AB dan CD.

Teorema 4

Pada segiempat Saccheri, sudut-sudut atasnya sama besar.

Bukti:

Misal diketahui segiempat ABCD.

Tarik diagonal AC dan BD sehingga terbentuk dua segitiga, yaitu ABD

dan BAC.

Pandang ABD dan BAC

AD = BC .... Definisi 1

A = B .... Definisi 1

AB = AB .... Refeksif

Berdasarkan sisi-sudut-sisi maka ABD BAC akibatnya AC = BD

Pandang ACD dan BDC

AD = BC .... Definisi 1

AC = BD .... Akibat ABD BAC

Gambar 4

O

A

D

B

C N

M

DC = DC .... Refeksif

Berdasarkan sisi-sudut-sisi maka ACD BDC akibatnya D = C.

Jadi, terbukti bahwa sudut-sudut atas segiempat Saccheri sama besar.

Teorema 5

Pada segiempat Saccheri, sudut-sudut atasnya lancip.

Bukti:

Berdasarkan Akibat 1 Teorema 3, yaitu jumlah besar sudut-sudut dalam

segiempat kurang dari 360 maka

A + B + C + D < 360

90 + 90 + C + D < 360 .... Definisi 1

C + D < 180

2C < 180 .... Teorema 4

C < 90

Jadi, terbukti bahwa C dan D adalah lancip. (terbukti)

Latihan soal:

1. Buktikan bahwa besar sudut pada segiempat ABCD ini berjumlah

2. Buktikan bahwa sudut pada segitiga siku-siku di bawah ini adalah

Bukti:

3. Lukislah dengan berlainan pihak dengan dari sisi , dan

bersesuaian dengan . Buktikan bahwa ADCE adalah persegipanjang.

Jawab:

1. Bukti

Diberikan segiempat ABCD.

Hubungkan dua titik sudut yang tidak segaris, misal B dan D maka

terbentuk dua segitiga, yaitu dan

Sehingga diperoleh:

.

Jadi Jumlah besar sudut-sudut segiempat .3600

2. Bukti:

Misal adalah segitiga siku-siku, yang siku-siku di

Ada persegi panjang dengan Kemudian

hubungkan titik dengan titik .

Misal: adalah jumlah besar sudut-sudut pada segitiga

Maka (karena adalah persegipanjang).

Andai , maka

Jadi ,

sehingga jumlah besar sudut segitiga siku-siku adalah .

3.

Karena jumlah sudut adalah , maka:

Karena

Maka kita peroleh:

dan

Tetapi

, dan

Jadi

Berarti E persegipanjang.

REFERENSI

http://academic.brcc.edu/ryanl/modules/geometry/quadrilaterals/quad_sacc.html

diakses tanggal 14 September 2012

http://en.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Girolamo_Saccheri diakses tanggal 14

September 2012

http://web.mnstate.edu/peil/geometry/c2euclidnoneuclid/6Saccheri.htm diakses

tanggal 14 September 2012