BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar BelakangKomputasi sebetulnya bisa diartikan sebagai cara untuk menemukan pemecahan masalah dari data input dengan menggunakan suatu algoritma. Hal ini ialah apa yang disebut dengan teori komputasi, suatu sub-bidang dari ilmu komputer dan matematika. Selama ribuan tahun, perhitungan dan komputasi umumnya dilakukan dengan menggunakan pena dan kertas, atau kapur dan batu tulis, atau dikerjakan secara mental, kadang-kadang dengan bantuan suatu tabel. Namun sekarang, kebanyakan komputasi telah dilakukan dengan menggunakan komputer.

Secara umum iIlmu komputasi adalah bidang ilmu yang mempunyai perhatian pada penyusunan model matematika dan teknik penyelesaian numerik serta penggunaan komputer untuk menganalisis dan memecahkan masalah-masalah ilmu (sains). Dalam penggunaan praktis, biasanya berupa penerapan simulasi komputer atau berbagai bentuk komputasi lainnya untuk menyelesaikan masalah-masalah dalam berbagai bidang keilmuan, tetapi dalam perkembangannya digunakan juga untuk menemukan prinsip-prinsip baru yang mendasar dalam ilmu.

Bidang ini berbeda dengan ilmu komputer (computer science), yang mengkaji komputasi, komputer dan pemrosesan informasi. Bidang ini juga berbeda dengan teori dan percobaan sebagai bentuk tradisional dari ilmu dan kerja keilmuan. Dalam ilmu alam, pendekatan ilmu komputasi dapat memberikan berbagai pemahaman baru, melalui penerapan model-model matematika dalam program komputer berdasarkan landasan teori yang telah berkembang, untuk menyelesaikan masalah-masalah nyata dalam ilmu tersebut.

Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier.

Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien daripada metode iteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.

2. Rumusan Masalah1. Bagaimana cara menyelesaikan soal dengan menggunakan model iterasi Gauss-Seidel?2. Bagaimana cara mengaplikasikan metode iterasi Gauss-Seidel?

3. Tujuan1. Untuk mengetahui cara menyelesaikan soal dengan menggunakan model itersi Gauss-

Seidel

2. Untuk mengetahui aplikasi model iterasi Gauss-Seidel

BAB IIISI

Iterasi gauss-seidel

Metode Iterasi Gauss-Seidel hampir sama dengan metode Iterasi Jacobi. Perbedaannya hanya terletak pada penggunaan nilai elemen vektor xbaru yang langsung digunakan pada persamaan dibawahnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan sistem persamaan linear berikut, yang diturunkan dari contoh terdahulu

Pada baris pertama, x1baru dihitung berdasarkan x2

lama dan x3lama . Kemudian x1

baru tersebut langsung dipakai pada baris kedua untuk menghitungx2

baru. Selanjutnya x1baru dan x2

baru digunakan pada baris ketiga untuk mendapatkan x3

baru . Begitu seterusnya hingga x4baru pun diperoleh pada baris

keempat. Sistem persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam indeks k seperti dibawah ini

dimana k adalah jumlah iterasi.

Misalnya kita tentukan nilai-nilai awal x(0) sebagai berikut x1(0) = 0, x2

(0) = 0, x3(0) = 0 dan

X4(0) =0. Atau dinyatakan seperti ini x(0) = (0; 0; 0; 0)t . Maka pada k = 1 kita akan memperoleh

nilai-nilai x(1) sebagai berikut

x1(1) = 0, 6000

x 2(1) = 2, 3272

x 3(1) = −0, 9873

x 4(1) = 0, 8789

Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k = 2. Begitu seterusnya proses ini diulang-ulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya sampai x(k) mendekati solusi yang sesungguhnya, yaitu

x = (1; 2; −1; 1)

Marilah kita amati hasil seluruh iterasi. Tabel di bawah ini menampilkan hasil perhitungan hingga iterasi yang ke-5. Kita bisa saksikan bahwa dibandingkan dengan iterasi Jacobi, problem sistem persamaan linear yang sama, bisa diselesaikan oleh metode iterasi Gauss-Seidel hanya dalam 5 kali iterasi. Dari kasus ini, bisa kita simpulkan bahwa iterasi Gauss-Seidel bekerja lebih

efektif dibandingkan iterasi Jacobi. Ya.., memang secara umum demikian, akan tetapi ternyata ditemukan kondisi yang sebaliknya pada kasus-kasus yang lain.

Script iterasi Gauss-Seidel

Pembuatan script iterasi Gauss-Seidel dimulai dari sistem persamaan linear yang telah dibahas di atas, yaitu

Pada pembahasan iterasi Jacobi, saya telah membuat matrik J berisi konstanta yang menemani variabel x. Matrik J ini akan saya gunakan lagi untuk menyusun script metode iterasi Gauss-

Kemudian matrik J dipecah menjadi matrik L dan matrik U, dimana J = L + U

Sampai disini saya nyatakan matrik L, matrik U dan vektor u sebagai berikut

Karena matrik L dan U berasal dari matrik J, maka pembuatan script iterasi Gauss-Seidel akan saya mulai dari script perhitungan matrik J yang telah dibuat sebelumnya. Inilah script untuk membuat matrik J,

Untuk memperoleh matrik L, pertama-tama matrik J dicopy ke matrik L. Kemudian seluruh elemen segitiga di atas elemen diagonal diganti dengan angka nol. Proses ini dilakukan mulai

dari baris ke-34 hingga ke-43.

Proses perhitungan mulai dari baris ke-35 hingga ke-43 akan disederhanakan dengan langkah-

langkah berikut. Saya munculkan indeks p,

Dengan adanya indeks p, bagian looping dapat dimodifikasi menjadi

Kemudian, berdasarkan indeks p, dibuatlah proses looping,

Selanjutnya, angka 3 dan 4 dapat diganti dengan variabel n agar bisa digabung dengan script

utamanya. Perhatikan baris ke-35 dan ke-36 pada script berikut

OK, dengan demikian matrik L telah terbentuk dan tersimpan di memory komputer. Sekarang kita akan membentuk matrik U. Prosesnya sama seperti saat pembentukan matrik L, yaitu di- mulai dengan mencopy matrik J ke dalam matrik U. Perhatikan mulai dari baris ke-41 berikut

ini,

Kemudian, indeks p dimunculkan mulai diantara baris ke-42 hingga ke-50,

Selanjutnya, berdasarkan indeks p dibuatlah proses looping yang baru

Akhirnya, script ini digabungkan ke script utamanya setelah mengganti angkan 3 dan 4 dengan

variabel n.

Secara umum, script iterasi Gauss-Seidel yang saya tuliskan disini hampir sama dengan iterasi jacobi. Perbedaan kecil-nya terletak pada bagian nilai update, dimana elemen xbaru hasil perhitungan dilibatkan langsung untuk menghitung elemen xbaru selanjutnya.

Perumusan metode Iterasi Gauss-Seidel dapat dinyatakan sebagai berikut:

dimana i=1,2,3,...,n.

6.4.2 Algoritma

• Langkah 1: Tentukan k=1

• Langkah 2: Ketika (k ≤ N ) lakukan Langkah 3-6

– Langkah 3: Untuk i=1,...,n, hitunglah

– Langkah 4: Jika x − XO < ∈, maka keluarkan OUTPUT (x1, ..., xn ) lalu STOP

– Langkah 5: Tentukan k=k+1

– Langkah 6: Untuk i=1,...n, tentukan X Oi = xi

• Langkah 7: OUTPUT (’Iterasi maksimum telah terlampaui’) lalu STOP

Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran

6.5 Iterasi dengan Relaksasi

Metode Iterasi Relaksasi (Relaxation method ) dinyatakan dengan rumus berikut:

dimana i=1,2,3,...,n.

Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan contoh berikut, diketahui sistem persamaan linear Ax = b yaitu

memiliki solusi (3, 4, −5)t . Metode Gauss-Seidel dan Relaksasi dengan ω = 1, 25 akan digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan x(0) = (1, 1, 1)t . Untuk setiap nilai

k = 1, 2, 3, ..., persamaan Gauss-Seidelnya adalah

Sedangkan persamaan untuk metode Relaksasi dengan ω = 1, 25 adalah

Tabel 6.4: Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel

Dari kasus ini, bisa kita simpulkan bahwa iterasi Relaksasi memerlukan proses iterasi yang lebih singkat dibandingkan iterasi Gauss-Seidel. Jadi, pada kasus ini (dan juga secara umum), Relaksasi lebih efektif dibandingkan Gauss-Seidel. Pertanyaannya sekarang, bagaimana menen- tukan nilai ω optimal?

Metode Relaksasi dengan pilihan nilai ω yang berkisar antara 0 dan 1 disebut metode under- relaxation, dimana metode ini berguna agar sistem persamaan linear bisa mencapai kondisi konvergen walaupun sistem tersebut sulit mencapai kondisi konvergen dengan metode Gauss- Seidel. Sementara bila ω nilainya lebih besar dari angka 1, maka disebut metode successive over-relaxation (SOR), yang mana metode ini berguna untuk mengakselerasi atau mempercepat kondisi konvergen dibandingkan dengan Gauss-Seidel. Metode SOR ini juga sangat berguna untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang muncul dari persamaan diferensial-parsial tertentu.

6.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi

• Langkah 1: Tentukan k=1

• Langkah 2: Ketika (k ≤ ) lakukan Langkah 3-6

– Langkah 3: Untuk i=1,...,n, hitunglah

– Langkah 4: Jika x − XO < ∈, maka keluarkan OUTPUT (x1, ..., xn ) lalu STOP

– Langkah 5: Tentukan k=k+1

– Langkah 6: Untuk i=1,...n, tentukan X Oi = xi

• Langkah 7: OUTPUT (’Iterasi maksimum telah terlampaui’) lalu STOP

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Model itrasi Gauss-Seidel lebih praktis dan efektif dibandingkan dengan model iterasi Jacobi dalam pengerjaannya, terlebih dalam perhitungan manual bukan matlab.

Daftar Pustaka

Komputasi-proses—matlab.pdf

http://id.wikipedia.org/wiki/Iterasi_Gauss-Seidel

http://id.wikipedia.org/wiki/Komputasi