MAKALAH MATEMATIKA

BILANGAN BULAT, GENAP, DAN GANJIL

Disusun oleh :

EKA LESTARI ( 1B / K7112073 )

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

1i

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT, Alhamdulillah

berkat Rahmat dan Hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah ini.

Shalawat serta salam semoga senantiasa dilimpahkan kepada Nabi Muhammad

SAW, sebagai pembawa risalah Allah terakhir dan penyempurna seluruh risalah-

Nya.

Akhirnya dengan segala kerendahan hati izinkanlah penulis untuk

menyampaikan terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada

semua pihak yang telah berjasa memberikan motivasi dalam rangka

menyelesaikan makalah ini.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang terkait,

yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan makalah ini. Semoga

kebaikan yang diberikan oleh semua pihak kepada penulis menjadi amal sholeh

yang senantiasa mendapat balasan dan kebaikan yang berlipat ganda dari Allah

Subhana wa Ta’ala. Amin.

Akhir kata, penulis menyadari bahwa masih terdapat kekurangan dalam

laporan ini, untuk itu saran dan kritik yang sifatnya membangun sangat penulis

harapkan.

Surakarta, 06 Oktober 2012

Penulis

1

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i

KATA PENGANTAR ..................................................................................... ii

DAFTAR ISI ................................................................................................... iii

BAB I PENDAHULUAN.............................................................................. 1

A. Latar Belakang Masalah....................................................................... 1

B. Rumusan Masalah................................................................................ 1

C. Tujuan................................................................................................... 2

D. Manfaat................................................................................................. 2

BAB II PEMBAHASAN................................................................................. 3

A. Bilangan Bulat...................................................................................... 3

1. Pengertian......................................................................................... 3

B. Operasi Bilangan Bulat........................................................................ 3

1. Operasi Penjumlahan....................................................................... 3

2. Operasi Pengurangan....................................................................... 3

3. Operasi Perkalian............................................................................. 5

4. Opersai Pembagian.......................................................................... 5

C. Bilangan Ganjil dan Genap................................................................. . 7

BAB III PEBUTUP.......................................................................................... 10

A. Kesimpulan........................................................................................... 10

B. Saran..................................................................................................... 10

DAFTAR PUSTAKA....................................................................................... 11

1iii

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk

pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan

untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang

bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun

lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif,

bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan

dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai

operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan

menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya

ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai

masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh

operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,

perpangkatan, dan perakaran.

Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan

dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan

menggunakan sifat-sifat sebelumnya. Akan terlihat bahwa sistem

bilangan bulat mempunyai kelebihan jika dibandingkan dengan sistem

bilangan cacah, misalnya untuk setiap bilangan bulat mempunyai

invers penjumlahan, sehingga akan selalu mungkin melakukan operasi

pengurangan. Tetapi operasi pembagian dalam sistem bilangan bulat

hanya mungkin dalam hal-hal khusus.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, dapat di rumuskan permasalahan : Apa

yang di maksud dengan sisem bilangan bulat, ganjil, dan genap ?

1

C. Tujuan

Tujuan pembuatan makalah ini adalah untuk mengetahui:

1. Pengertian bilangan bulat, ganjil, dan genap.

2. Sifat dan operasi dalam bilangan bulat, ganjil, dan genap.

D. Manfaat

Manfaat pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Sebagai referensi untuk mengetahui pengertian bilangan bulat, ganjil,

dan genap..

2. Sebagai wacana bagi masyarakat untuk mengenal bilangan dan

menambah pengetahuan yang berkaitan dengan bilangan.

3. Bisa dijadikan sebagai bahan kajian belajar dalam rangka

meningkatkan prestasi diri pada khususnya dan meningkatkan kualitas

pendidikan pada umumnya.

12

BAB II

PEMBAHASAN

A. Bilangan bulat

1. Pengertian

Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal,

misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan

riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.

Notasi Himpunan : B = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.

Dalam bentuk garis bilangan

B. Operasi Bilangan Bulat

Jika n bilangan bulat, maka n(-n) + n = 0. Bilangan (-n) disebut lawan dari

(invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan.

Definisi diatas menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat n ada dengan

tunggal bilangan bulat (-n) sedemikian hingga n + (-n) = (-n) + n = 0. Lawan dari

(-n) adalah – (-n) sehingga (-n) + (-(-n)) + (-n) = 0.

Karena (-n) + n = n + (-n) = 0 dan (-(-n)) = n. Jadi lawan dari (-n) adalah n.

1. Operasi Penjumlahan

a. Tertutup a + b bilangan bulat

b. Komutatif a + b = b + a

c. Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c)

d. Identitas a + 0 = a

e. Invers a + (-a) = 0

2. Operasi Pengurangan

Lawan (invers) a – b = a + (-b)

Catatan : Penjumlahan 2 bilangan bulat

1. (-a) + (-b) = - (a + b) penjumlahan 2 bilangan negatif

2. (-a) + b = b – a jika a < b

13

3. a + (-b) = a – b jika b < a

Bukti bahwa (-a) + (-b) = - (a + b)

Misalkan a dan b bilangan – bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan jumlah

dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b).

c + b = ((-a) + (-b)) + b sifat kesamaan

c + b = (-a) + ((-b) + b) sifat asosiatif penjumlahan

c + b = (-a) + 0 invers penjumlahan

(c + b) + a = (-a) + a sifat kesamaan

(c + b) + a = 0 invers penjumlahan

c + (b + a) = 0 sifat asosiatif penjumlahan

c + (a + b) = 0 sifat komutatif penjumlahan

(c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b) sifat kesamaan

c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b) sifat asosiatif

c + 0 = – (a + b) invers penjumlahan

Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = – (a + b).

Bukti bahwa (-a) + b = b – a .

Penjumlahan dua bilangan bulat, yang satu positif dan yang lain negatif, kita

jelaskan sebagai berikut : Misal a dan b dua bilangan cacah dengan a < b, berarti

ada bilangan asli c sedemikian hingga a + c = b dan menurut definisi pengurangan

bilangan cacah, a + c = b sama artinya dengan b – a = c

(-a) + b

= (-a) + (a + c)

= ((-a) + a) + c asosiatif penjumlahan

= 0 + c invers penjumlahan

= c = b - a

Jadi terbukti bahwa (-a) + b = b – a.

Contoh operasi penjumlahan dan pengurangan:

Buktikan jika r + t = s + t dengan r, s, t adalah bilangan bulat, maka r = s.

Jawab :

r + t = s + t pernyataan

r + t + (-t) = s + t + (-t) sifat penjumlahan pada kesamaan ( di tambah –t)

14

r + (t + (-t)) = s + (t + (-t)) sifat asosiatif penjumlahan

r + 0 = s + 0 invers penjumlahan

r = s kesimpulan

3. Operasi Perkalian

a. Tertutup a x b bilangan bulat

b. Komutatif a x b = b x a

c. Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c)

d. Identitas a x 1 = a

e. Distributif a (b + c) = ab + ac

a (b - c) = ab – ac

f. Invers a x 0 = 0

Catatan :perkalian bilangan bulat

(-a) x b = -ab

(-a) x (-b) = ab

4. Operasi Pembagian

Kebalikan (invers) dari perkalian

a : b = a x 1/b

Perkalian bilangan bulat

Kita telah mempelajari perkalian bilangan cacah, selanjutnya pengetahuan itu

dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat, kita dapat

melakukan perkalian bilangan bulat yang salah satu atau kedua-duanya bilangan

bulat negatif.

Tetapi sebelum kita membicarakan hal itu terlebih dahulu kita buktikan suatu sifat

konselasi (penghapusan) dari penjumlahan yaitu:

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a + c = b + c maka a = b.

bukti

a + c = b + c

(a + c) + (-c) = (b + c) + (-c) (sifat kesamaan)

a + (c + (-c)) = b + (c + (-c) (assosiatif penjumlahan)

a + 0 = b + 0 (invers penjumlahan)

a = b

15

Berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan

bulat yang satu negatif dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah bilangan

cacah, maka a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negatif.

Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) = -(a x b).

bukti :

a x (b + (-b)) = a x 0

(a x b) + (a x (-b)) = 0

(a x (-b)) + (a x b) = 0

((a x (-b)) + (a x b)) + (-(a x b)) = 0 + (-(a x b))

(a x (-b)) + ((a x b) + (-a(a x b))) = -(a x b)

a x (-b) + 0 = -(a x b)

a x (-b) = -(a x b)

Mengingat sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka :

(-a) x b = b x (-a)

= – (b x a)

= -(a x b)

Pembagian bilangan bulat

Seperti halnya pembagian bilangan cacah, pembagian bilangan bulat juga

didefinisikan dengan perkalian.

Telah dibuktikan bahwa (-a) x b = a x (-b) = -(a x b) dan seterusnya kita tulis

dengan –(ab), maka :

1) –(ab) : a = (-b) 3) -(ab) : (-a) = b

2) –(ab) : b = (-a) 4) -(ab) : (-b) = a

Demikian pula karena (-a) x (-b) = a x b maka:

5) ab : (-a) = (-b)

6) ab : (-b) = (-a)

Contoh operasi perkalian dan pembagian :

Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

Jawab :

(-a)(b + (-c))

= (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan

1

6

= (-(ab)) + ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac

= ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian

=ac – ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)

Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

C. Bilangan Ganjil dan Genap

1. Pengrtian

Bilangan ganjil adalah suatu bilangan yang jika dibagi dua maka bersisa 1. Bilangan genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Dengan demikian, 0 termasuk bilangan genap. Karena 0 habis dibagi dua. Umumnya bilangan genap dituliskan dengan bentuk rumus , dengan k sebarang bilangan bulat.Dan bilangan ganjil dituliskan dengan bentuk atau juga bisa dituliskan , dengan k sebarang bilangan bulat. Dari perumusan tersebut dapat diambil suatu keunikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. Jumlah dua bilangan ganjil artinya penjumlahan dari yang hasilnya adalah . Misalkan , maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai . dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan ganjil berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap.

Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari yang hasilnya adalah . Misalkan , maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai . dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

Misalkan :

Jumlah 2 bilangan genap pertama: 2 + 4 = 6 –> 6 = 2 x 3

Jumlah 3 bilangan genap pertama: 2 + 4 + 6 = 12 –> 12 = 3 x 4

Jumlah 4 bilangan genap pertama: 2 + 4 + 6 + 8 = 20 –> 20 = 4 x 5

Jumlah 5 bilangan genap pertama: 2 + 4 + 6  + 8 + 10 =30  –> 30 = 5 x 6

Jumlah 6 bilangan genap pertama: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +12 = 42 –> 12 = 6 x 7

Bagaimana kalau ada 10 bilangan genap pertama? Ya benar, jumlah 10 bilangan genap pertama adalah 10 x 11 = 110

Bagaimana kalau ada 15 bilangan genap pertama? Ya benar, jumlah 15 bilangan genap pertama adalah 15 x 16 = 240

17

Jadi, kalau ada n bilangan genap pertama, jumlah n bilangan genap pertama tersebut adalah n( n+1)

Bilangan ganjil ditambah bilangan genap adalah bilangan ganjil.

Jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap artinya penjumlahan dari yang hasilnya adalah

. Misalkan. , maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai . dimana ini merupakan rumus untuk bilangan ganjil. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap akan menghasilkan bilangan ganjil.

Misalkan :

Jumlah 2 bilangan ganjil pertama: 1 + 3 = 4 –> 4 = 2 x 2 = 22

Jumlah 3 bilangan ganjil pertama: 1 + 3 + 5 = 9 –> 9 = 3 x3 = 32

Jumlah 4 bilangan ganjil pertama: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 –> 16 = 4 x4 = 42

Jumlah 5 bilangan ganjil pertama: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 –> 25 = 5 x 5 = 52

Jumlah 6 bilangan ganjil pertama: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 –> 36 = 6 x6 = 62

Bagaimana kalau ada 10 bilangan ganjil pertama? Ya benar, jumlah 10 bilangan ganjil pertama adalah 10 x 10 = 100

Bagaimana kalau ada 15 bilangan ganjil pertama? Ya benar, jumlah 15 bilangan ganjil pertama adalah 15 x 15 = 225

Jadi, kalau ada n bilangan ganjil pertama, jumlah n bilangan ganjil pertama tersebut adalah n².

Perkalian dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan ganjil artinya perkalian antara . Dimana hasilnya adalah . Hasil terakhir dapat ditulis sebagai . Misalnya . maka bentuk adalah rumus untuk bilangan ganjil. Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Perkalian dua bilangan genap adalah bilangan genap

Perkalian antara bilangan genap dengan bilangan genap artinya perkalian antara . Dimana hasilnya adalah . Hasil terakhir dapat ditulis sebagai .

18

Misalnya . maka bentuk adalah rumus untuk bilangan genap. Sehingga hasil kali antara bilangan genap dengan bilangan genap adalah bilangan genap.

Bilangan ganjil dikali bilangan genap adalah bilangan genap.

Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan genap artinya perkalian antara . Dimana hasilnya adalah . Hasil terakhir dapat ditulis sebagai . Misalnya . maka didapatkan bentuk . dan bentuk adalah rumus untuk bilangan genap. Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan genap adalah bilangan genap

Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Kuadrat dari bilangan ganjil artinya perkalian antara . Dimana hasilnya adalah . Hasil terakhir dapat ditulis sebagai . Misalnya . maka bentuk adalah rumus untuk bilangan ganjil. Sehingga kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap

Kuadrat dari bilangan genap artinya perkalian antara . Dimana hasilnya adalah . Hasil terakhir dapat ditulis sebagai . Misalnya . maka bentuk adalah rumus untuk bilangan genap. Sehingga kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap.

19

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan negatif. Dan Bilangan bulat memiliki beberapa macam operasi bilangan yang terdiri atas operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian

B. Saran

Konsep dasar tentang bilangan bulat perlu diterapkan terlebih dahulu

kepada siswa agar siswa dapat dengan mudah mempelajari materi bilangan bulat.

110

DAFTAR PUSTAKA

Zholieh. 2011. “Jumlah bilangan” (Online), http://dumatika.com/jumlah-n-bilangan-ganjil-dan-genap/, ( diakses tanggal 7 Oktober 2012 )

Soewito, Madja dkk.1992. Pendidikan Matematika 1.Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi : Proyek Pembinaan Tenaga Kependidikan

Asimtot. 2010. “ Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap”(Online) http://asimtot.wordpress.com/2010/06/09/bilangan-ganjil-dan-bilangan-genap/, ( diakses tanggal 7 Oktober 2012)

111