PENGGARIS DAN JANGKA

1. PENDAHULUAN

Selama lebih dari 2000 tahun, matematika hampir identik dengan geometri Euclid

Elements, sebuah buku yang ditulis sekitar 300 SM dan digunakan pada matematika

di sekolah sampai abad ke-20. geometri euclid, seperti yang sekarang dianggap

menjadi fondasi semua ilmu pasti.

Sebuah cara yang naif untuk menggambarkan geometri Euclid adalah mengatakan itu

menyangkut angka geometris yang dapat dibentuk oleh penggaris dan jangka. Euclid

mengasumsikan bahwa mungkin untuk menggambar garis lurus antara dua titik yang

diberikan, dan untuk menggambar sebuah lingkaran dengan pusat dan jari-jari

tertentu. Semua proposisinya membuktikan tentang gambar yang dibentuk dari garis

lurus dan lingkaran. Dengan demikian, untuk memahami geometri Euclid, salah satu

yang dibutuhkan adalah beberapa gagasan tentang ruang lingkup bentuk penggaris

dan jangka.

2. PEMBAHASAN

1.1 Bentuk aksioma Euclid

Asumsi-asumsi Euclid yang menjadi aksiomanya, adalah:

1. Menggambar garis lurus antara dua titik.

2. Memperpanjang ruas garis lurus tanpa batas.

3. Lingkaran dapat digambar dengan titik pusat dan jari-jari tertentu.

Saat ini kita mengganti Aksioma 1 dan 2 oleh aksioma tunggal yaitu garis dapat

ditarik melalui dua titik.

Penggaris (straightedge) dalam hal ini tidak seperti mistar tidak memiliki skala dan

karenanya hanya dapat digunakan untuk menggambar garis, tidak untuk pengukuran.

Euclid memisahkan fungsi pengukuran dari fungsi menggambar garis lurus dengan

memberikan fungsi pengukuran hanya untuk jangka. Jangka digunakan untuk

menggambar lingkaran melalui titik B, dengan menggunakan titik A sebagai titik

pusat (Gambar 1).

Gambar 1. Menggambar lingkaran

Jangka harus memutar tepat pada A setelah awalnya ditetapkan pada dua titik A dan

B. Dengan demikian, menenetapkan panjang jari-jari AB dan memungkinkan panjang

ini akan ditransfer ke tempat lain.

Jangka juga memungkinkan kita untuk menambah atau mengurangi panjang |CD|

(garis CD) dengan panjang |AB| (garis AB), dengan mengatur jari-jari jangka menjadi

|AB|. Dan menggambarkan lingkaran dengan pusat D seperti tampak pada gambar 2.

Gambar 2. Menambah dan mengurangi panjang

Dengan menambahkan panjang tetap berulang-ulang, seseorang dapat mebentuk

sebuah "skala" pada garis tertentu, secara efektif membuat penggaris. Proses ini

menunjukkan bagaimana kekuatan mengukur panjang berada di jangka.

1.2 Bentuk Ecluid dari segitiga sama sisi

Membangun sebuah segitiga sama sisi dengan sisi AB membutuhkan tiga langkah:

1. Gambar lingkaran dengan pusat A dan jari-jari AB.

2. Gambar lingkaran dengan pusat B dan jari-jari AB.

3. Tarik garis dari A dan B ke titik potong dua lingkaran yaitu titik C.

Hasilnya adalah segitiga ABC dengan sisi AB, BC, dan CA pada Gambar 3.

Gambar 3. Membentuk segitiga sama sisi

Sisi AB dan CA memiliki panjang yang sama karena keduanya adalah jari-jari

lingkaran pertama. Sisi AB dan BC panjangnya sama karena keduanya adalah jari-jari

lingkaran kedua. Oleh karena itu, ketiga sisi segitiga ABC adalah sama.

Contoh ini menunjukkan hubungan antara

Aksioma bentuk, yang menjamin adanya susunan garis dan lingkaran

(awalnya dua lingkaran pada jari-jari AB dan kemudian garis BC dan CA ),

Aksioma geometris, yang menjamin adanya titik yang diperlukan untuk

langkah-langkah selanjutnya dalam pembangunan (titik potong C dari dua

lingkaran),

dan logika, yang menjamin bahwa kesimpulan tertentu mengikuti. Dalam

kasus ini, kita menggunakan prinsip logika yang mengatakan bahwa hal-hal

yang sama dengan hal yang sama (baik |BC| dan |CA| sama dengan |AB|)

adalah sama satu sama lain (jadi |BC| = |CA|) .

Latihan

Dengan memperluas bentuk Euclid dari segitiga sama sisi, buatlah:

1.2.1 Sebuah segienam beraturan.

1.2.2 Sebuah ubin pada bidang dengan segitiga sama sisi.

1.2.3 Sebuah ubin pada bidang oleh segi enam biasa (garis putus-putus pada

Gambar 1.5).

1.3 Beberapa bentuk dasar

Bentuk segitiga sama sisi hadir pertama dalam elemen karena beberapa bentuk lain

akan mengikuti. Diantaranya adalah bentuk untuk membagi dua ruas garis dan

membagi dua sudut. ("Membagi dua" adalah dari bahasa Latin untuk "memotong

dua.")

Membagi ruas garis

Untuk membagi ruas garis AB, gambar dua lingkaran dengan jari-jari AB seperti di

atas, tapi sekarang tinjau kedua titik dari titik potong mereka, yaitu C dan D. Garis

CD menghubungkan titik-titik yang membagi dua ruas garis AB (Gambar 1.6).

Perhatikan juga bahwa CD tegak lurus terhadap AB, sehingga bentuk ini dapat

diadaptasi untuk membentuk garis tegak lurus.

Untuk membentuk garis tegak lurus terhadap garis L pada titik E di garis,

pertama gambar sebuah lingkaran dengan pusat E, memotong L pada A dan

B. Kemudian garis CD dibentuk pada Gambar 1.6 tegak lurus melalui E.

Untuk membentuk garis tegak lurus terhadap garis L melalui titik E tidak pada

L, lakukan hal yang sama, hanya pastikan bahwa lingkaran dengan pusat E

cukup besar untuk memotong garis L di dua titik berbeda.

Membagi sudut

Membagi dua suatu sudut POQ (Gambar 1.7), pertama gambar sebuah lingkaran

dengan pusat O potong OP di A dan OQ di B. Kemudian garis tegak lurus CD yang

membagi dua ruas garis AB juga membagi dua sudut POQ.

Tampak dari dua bentuk yang membagi dua ruas garis dan membagi dua sudut adalah

masalah yang hampir sama. Euclid membagi sudut sebelum ruas garis, tapi dia

menggunakan dua bentuk yang sama (Elements, Proposisi 9 dan 10 dari Buku I).

Namun, perbedaan antara ruas-ruas garis dan sudut muncul ketika kita mencoba

pembagian menjadi tiga atau lebih. Ada sebuah alat sederhana untuk membagi ruas

garis agar memiliki bagian yang sama-parallel lines-namun tidak ada alat yang sesuai

untuk membagi sudut.

Membentuk garis sejajar terhadap garis melalui titik tertentu

Kita menggunakan dua bentuk garis tegak lurus yang disebutkan di atas-untuk titik

yang tidak pada garis dan titik pada garis. Diberikan garis L dan titik P di luar L,

pertama bentuk garis M tegak lurus L melalui P. Kemudian bentuk garis tegak lurus

ke M melalui P, yang sejajar dengan L melalui P.

Membagi ruas garis menjadi n bagian yang sama

Diberikan ruas garis AB, gambar garis L lain melalui A dan tandai n berturut-turut,

jarak titik yang sama A1, A2, A3, ..., An sepanjang L dengan menggunakan jangka atur

untuk beberapa jari-jari. Gambar 1.8 menunjukkan kasus n = 5. Kemudian hubungkan

An ke B, dan gambar garis sejajar BAn melalui A1, A2, ..., An-1. Garis-garis sejajar

tersebut membagi AB menjadi n bagian yang sama.

Bentuk ini tergantung pada properti dari garis sejajar terkadang dikaitkan dengan

Thales (matematikawan dari Yunani tahun 600 SM): garis sejajar memotong setiap

baris, mereka menyeberangi garis dalam jarak proporsional. Contoh yang paling

umum digunakan untuk teorema ini ditunjukkan pada Gambar 1.9, di mana terdapat

garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga memotong dua sisi lainnya secara

proporsional.

Garis L sejajar dengan sisi BC memotong sisi AB menjadi dua bagian AP dan PB,

sisi AC menjadi AQ dan QC, dan |AP|/|PB| = |AQ|/|QC|.

Teorema Thales ini adalah kunci untuk menggunakan aljabar dalam geometri. Pada

bagian berikutnya kita lihat bagaimana hal itu dapat digunakan untuk memperbanyak

dan membagi ruas garis, dan dalam Bab 2 kita menyelidiki bagaimana hal itu

mungkin berasal dari prinsip-prinsip fundamental geometris.

Latihan

1.3.1 Periksa bentuk dirimu sendiri bentuk dari garis tegak lurus dan garis sejajar

jelaskan dengan kata-kata di atas.

1.3.2 Dapatkah Anda menemukan bentuk langsung dari garis sejajar?

Garis tegak lurus memberikan bentuk poligon penting yang lainnya–persegi.

1.3.3 Berikan bentuk dari persegi dalam bentuk ruas garis.

1.3.4 Berikan bentuk ubin persegi pada pesawat.

Pertama mungkin mencoba untuk menggunakan pembagian ruas garis menjadi n

bagian yang sama untuk membagi sudut menjadi n bagian yang sama seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 1.10. Kita menandai A pada OP dan B pada jarak yang

sama pada OQ seperti sebelumnya, dan kemudian mencoba untuk membagi POQ

sudut dengan membagi ruas garis AB. Namun, metode ini salah untuk pembagian ke

dalam tiga bagian.

1.3.5 Jelaskan mengapa pembagian AB menjadi tiga bagian yang sama (tiga bagian)

tidak selalu membagi sudut POQ menjadi tiga bagian yang sama. (Petunjuk:

Pertimbangkan kasus di mana POQ hampir garis lurus.)

Versi teorema Thales yang diberikan di atas (mengacu pada Gambar 1.9) memiliki

bentuk yang ekuivalen yang sering berguna.

1.3.6 Jika A, B, C, P, Q seperti pada Gambar 1.9, sehingga |AP|/|PB|=|AQ|/|QC|,

tunjukkan bahwa persamaan ini setara dengan |AP|/|AB|=|AQ|/|AC|.

1.4 Perkalian dan Pembagian

Tidak hanya bisa menambah dan mengurangi ruas garis (Bagian 1.1), dapat juga

mengalikan dan membagi mereka. Hasil kali ab dan hasil bagi a/b dari ruas-ruas garis

a dan b diperoleh dengan bentuk penggaris dan jangka di bawah ini. Bahan utamanya

adalah garis sejajar, dan sifat geometris utama yang terlibat adalah Teorema Thales

pada proporsionalitas dari ruas garis yang dipotong oleh garis-garis sejajar.

Untuk memulai, perlu untuk memilih ruas garis sebagai satuan panjang, 1, yang

memiliki sifat 1a = a untuk setiap panjang a.

Hasil kali ruas garis

Untuk mengalikan ruas garis b oleh ruas garis a, pertama kita buat sembarang

segitiga UOA dengan |OU| = 1 dan |OA| = a. Kemudian kita memperpanjang OU

dengan panjang b ke B1 dan buat garis sejajar terhadap UA melalui B1. Misalkan

garis sejajar ini memenuhi perpanjangan OA pada C (Gambar 1.11). Dengan teorema

Thales, |AC|= ab.

Hasil bagi ruas garis

Untuk membagi ruas garis b oleh ruas garis a, kita mulai dengan segitiga UOA yang

sama dengan |OU| = 1 dan |OA| = a. Kemudian kita memperpanjang OA dengan jarak

b ke B2 dan buat garis sejajar ke UA melalui B2. Misalkan garis sejajar ini memenuhi

perpanjangan OU di D (Gambar 1.12). Dengan teorema Thales, |UD| = b/a.

Jumlah operasi dari Bagian 1.1 memungkinkan kita untuk membuat ruas n satuan

panjang, untuk setiap n bilangan asli, hanya dengan menambahkan ruas 1 untuk

dirinya sendiri n kali. Operasi pembagian kemudian memungkinkan kita untuk

membangun sebuah ruas dengan panjang m/n, untuk setiap bilangan asli m dan n ≠ 0.

Ini adalah apa yang kita sebut dengan panjang rasional. Sebuah penemuan besar dari

Pythagoras adalah bahwa beberapa panjang tidak rasional, dan bahwa beberapa

darinya "irasional" panjang dapat dibuat dengan penggaris dan jangka. Tidak

diketahui bagaimana Pythagoras membuat penemuan ini, tetapi memiliki hubungan

dengan teorema Thales, seperti akan kita lihat pada bagian berikutnya.

Latihan

Latihan 1.3.6 menunjukkan bahwa jika PQ sejajar dengan BC di Gambar 1.9, maka

|AP|/|AB| = |AQ|/|AC|. Artinya, kesejajaran menyiratkan sisi proporsional (kiri dan

kanan). Latihan berikut menunjukkan hal yang sebaliknya: sisi proporsional

menyiratkan kesejajaran, atau (ekuivalen), ketidaksejajaran menyiratkan sisi

nonproportional.

1.4.1 Menggunakan Gambar 1.13, atau sebaliknya, tunjukkan bahwa jika PR tidak

sejajar dengan BC, maka |AP|/|AB| ≠ |AR|/|AC|.

1.4.2 Simpulkan dari Latihan 1.4.1 bahwa jika P adalah titik pada AB dan Q adalah

titik pada AC, maka PQ sejajar dengan SM jika dan hanya jika |AP|/|AB| =

|AQ|/|AC|.

"hanya jika" yang ditunjukkan Latihan 1.4.2 mengarah ke dua teorema terkenal,

teorema Pappus dan Desargues, yang memainkan peran penting dalam dasar

geometri. Kita akan bertemu mereka dalam bentuk yang lebih umum nanti. Dalam

bentuk yang paling sederhana, mereka adalah teorema tentang garis sejajar.

1.4.3 (Pappus dari Alexandria, sekitar 300 M) Misalkan A, B, C, D, E, F kebohongan

alternately pada garis L dan M seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.14.

Gunakan Teorema Thales untuk menunjukkan bahwa jika AB sejajar dengan

ED dan FE sejajar dengan BC maka

Menyimpulkan dari Latihan 1.4.2 bahwa AF sejajar dengan CD.

1.4.4 (Girard Desargues, 1648) Misalkan titik A, B, C, A, B’, C’ berbaring di garis

con-saat L, M, N seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.15. (Segitiga ABC

dan A B? C? Dikatakan "dalam perspektif dari O.")

Gunakan Teorema Thales untuk menunjukkan bahwa jika AB sejajar dengan A? B?

dan BC sejajar dengan B C, maka |?? OA | | OC | = | OA |? | OC? |. Menyimpulkan

dari Latihan 1.4.2 bahwa AC sejajar dengan A C??.

1,5 Similartriangles

Segitiga ABC dan A B? C? disebut sama jika sudut yang sesuai mereka adalah sama,

yaitu, jika

sudut di A = sudut di A? (=

α

mengatakan),

sudut di B = sudut di B? (= Β

mengatakan),

sudut di C = sudut di C? (=

γ

mengatakan).

Ternyata sudut yang sama menyiratkan bahwa semua pihak yang proporsional,

sehingga kita dapat mengatakan bahwa salah satu segitiga adalah pembesaran yang

lain, atau bahwa mereka memiliki sama "bentuk." Hasil ini penting memperluas

Teorema Thales, dan benar-benar mengikuti dari itu .

Mengapa segitiga yang sama memiliki sisi proporsional Bayangkan bergerak segitiga

ABC sehingga titik A bertepatan dengan A? dan sisi AB dan AC berbaring di sisi A?

B? dan A C?, masing-masing. Kemudian kita mendapatkan situasi yang ditunjukkan

pada Gambar 1.16. Dalam gambar ini, b dan c menunjukkan panjang sisi segitiga

ABC berlawanan simpul B dan C, masing-masing, dan b? dan c? melambangkan

panjang sisi segitiga A? B? C? (= AB? C?) berlawanan simpul B? dan C?, masing-

masing.

1,5 Segitiga Sebangun

Segitiga ABC dan A’B’C’ disebut sebangun jika besar sudut yang sesuai adalah

sama, yaitu, jika

sudut di A = sudut di A? (= Α mengatakan),

sudut di B = sudut di B? (= Β mengatakan),

sudut di C = sudut di C? (= Γ mengatakan).

Ternyata sudut yang sama menyiratkan bahwa semua pihak proporsional, sehingga

kita dapat mengatakan bahwa salah satu segitiga adalah pembesaran yang lain, atau

bahwa mereka memiliki "bentuk" sama. Hasil ini penting memperluas Teorema

Thales, dan benar-benar mengikuti dari itu .

Bayangkan bergerak segitiga ABC sehingga titik A bertepatan dengan A’ dan sisi AB

dan AC berbaring di sisi A’B’ dan A’C’, masing-masing. Kemudian kita

mendapatkan situasi yang ditunjukkan pada Gambar 1.16. Dalam gambar ini, b dan c

menunjukkan panjang sisi segitiga ABC berlawanan simpul B dan C, masing-masing,

dan b’ dan c’ melambangkan panjang sisi segitiga A’B’ C’ (= AB’C’) berlawanan

simpul B’ dan C’, masing-masing.

Kami mendapat hasil ini dengan membuat sudut α dalam dua segitiga bersamaan.

Jika kita membuat sudut β bertepatan sebaliknya, kita sama menemukan bahwa sisi

berlawanan dengan α dan γ yang proporsional. Dengan demikian, pada kenyataannya,

semua sisi yang sesuai segitiga serupa proporsional. ?

Ini konsekuensi dari teorema Thales memiliki banyak implikasi. Dalam kehidupan

sehari-hari, mendasari keberadaan peta skala, denah rumah, gambar insinyur-neering,

dan sebagainya. Dalam geometri murni, implikasinya bahkan lebih bervariasi.

Berikut ini hanya satu, yang menunjukkan mengapa akar kuadrat dan bilangan

irasional muncul dalam geometri.

Panjang, hasil kali, dan luas daerah

Geometri tentu saja harus menyertakan diagonal unit persegi, maka geometri

mencakup studi panjang irasional. Penemuan ini bermasalah Yunani kuno, karena

mereka tidak percaya bahwa panjang irasional bisa diperlakukan seperti nomor.

Secara khusus, ide menafsirkan produk ruas garis sebagai ruas garis lainnya tidak di

Euclid. Ini pertama kali muncul dalam Descartes 'G' eom 'etrie dari 1637, di mana

aljabar digunakan secara sistematis dalam geometri untuk pertama kalinya. Orang

Yunani memandang produk ruas garis a dan b sebagai persegi panjang dengan sisi

tegak lurus a dan b. Jika panjang tidak selalu angka, maka produk dari dua panjang

paling diartikan sebagai suatu wilayah, dan produk dari tiga panjang sebagai volume-

tapi kemudian hasil dari empat panjang tampaknya tidak memiliki arti sama sekali.

Kesulitan ini mungkin menjelaskan mengapa al-Gebra muncul relatif terlambat dalam

perkembangan geometri. Di sisi lain, menafsirkan produk panjang sebagai daerah

memberikan beberapa wawasan yang luar biasa, seperti yang akan kita lihat dalam

Bab 2. Jadi juga mungkin bahwa aljabar harus menunggu sampai konsep Yunani

produk telah habis kegunaannya.