Makalah Ini di Susun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Analisis Komples

MAKALAH

Di Susun Oleh Kelompok 2:

1. Vita Rossaria M (4101408028)

2. Annisa Nur S (4101408035)

3. Lora Lorinda (4101408098)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2011

A. Tujuan

1. Mahasiswa dapat mengubah bentuk umum bilangan komplek menjadi bentuk polar.

2. Mahasiswa dapat mengubah bentuk exponensial ke dalam bentuk polar dan sebaliknya.

3. Mahasiswa dapat menentukan semua nilai akar pangkat dari bilangan kompleks.

4. Mahasiswa dapat mengerti beberapa konsep dasar regions dalam bidang kompleks.

x

y

r

B. I S I

1. Bentuk kutub

Di dalam kalkulus, telah di pelajari hubungan antara koordinat titik P(x , y) dalam

koordinat cartesius, menjadi P(r ,φ)

x=rcosφ , y=rsin φ ,r=√ x2+ y2

cos φ= xr, sinφ ,= y

r,tgφ= y

x

Dengan demikian, bilangan z=x+iy

⟺ z=r ¿

Keterangan:

z=x+iy dinamakan bentuk cartesius, sedangkan

z=r ¿ dinamakan bentuk kutub bilangan komplek z,

r=√x2+ y2=|z| dinamakan modulus bilangan komplek z,

arg ( z )=φ+2kπ dinamakan arguman bilangan komplek z.

Nilai argumen bilangan z yang di tulis”arg (z)”, tidak tunggal.

arg ( z )=φ+2kπ dengan nilai k=0 , ±1 , ±2,…

Nilai utama argumen suatu bilangan kompleks adalah – π<Arg (z )≤π

Untuk kutub r ¿ sering di singkat r cis φ

SIFAT-SIFAT ARGUMEN

Di misalkan φ1dan φ2 adalah sembarang argument z1 dan z2, maka z1=r1 cis φ1

dan z2=r2 cis φ2.

Jadi, z1 z2=r1 r2 ¿

¿ r1 r2¿

¿ r1 r2¿]

Dari bentuk z1 z2=r1 r2 ¿],

diperoleh arg ( z1 z2 )=arg ( z1 )+arg (z2).

Ingat r cos φ+isinφ=r cos φ−i sinφ=r cos(−φ)+i sin(−φ)=rcis (−φ)

Maka

z1

z2

=z1 z2

z2 z2

¿r1 cis φ1r 2cis(−φ2)r2 cis φ2r 2cis(−φ2)

¿ r1 r2 cis(φ1−φ2¿)

r2 r2 cis(φ2−φ2)¿

¿r1

r2

cis(φ1−φ2¿)¿

Dari bentuk z1

z2

=r1

r2

cis(φ1−φ2¿)¿ maka arg( z1

z2)=arg ( z1 )−arg ( z2)

Jika z1=1maka 1z2

=−arg (z2) , karena arg (1 )=0.

Dari uraian diatas, diperoleh rumus sebagai berikut:

z1 z2=r1 r2 cis(φ1+φ2)

z1

z2

=r1

r2

cis(φ1−φ2¿)¿

arg ( z1 z2 )=arg ( z1 )+arg (z2)

arg (z1

z2

)=arg ( z1 )−arg (z2)

arg ( z )=−arg ( z )=arg(1z)

RUMUS MOIVRE

Dengan memperbanyak n bilangan komplek yang disajikan dalam bentuk kutub

z j=r j ¿dengan j=1 ,2 ,3 ,…,n diperoleh

z1 ,…, zn=r1 , ... ,rn cos [(φ ¿¿1+…+φn)+i sin (φ1+…+φn)]¿

Jika z j diganti ¿ dengan j=1 ,2 ,3 ,…,n diperoleh

¿¿

Yang berlaku untuk setiap bilangan bulat positif n.

1

1

Contoh:

1. Tentukan nilai r, arg(z), Arg(z), dan bentuk kutub dari z, dari z=1+i .

Penyelesaian:

Dari bentuk persamaan umum z=x+iy, maka persamaan z=1+i jika di gambar menjadi

Dari gambar di atas, dapatdilihatbahwa

r=√12+12=√2

Bentuk umum dari arg ( z ) adalah arg ( z )=φ+2kπ dari gambar diatas, maka dapat dicari

sinφ= 1

√2=1

2√2

φ=π4

Jadi arg ( z )=π4+2kπ

Arg ( z )= π4

Dan bentuk kutubnya menjadi 1+i=√2cisπ4

2. Bentuk eksponensial

Persamaan e iθ=cosθ+i sinθ

Disimbolkan dengan e iθ atau exp (iθ) untuk sembarang nilai real dari θ, disebut dengan

formula euler. Jika kita tulis bilangan komplek z tak nol dalam bentuk polar, diperoleh:

z=r ¿

Fomula euler juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial, yaitu z=r e iθ

Sifat-sifat additive bentuk eksponensial:

e i θ1e i θ2=e i(θ1+θ2 )

Untukz1 dan z2 dengan r1dan r2 adalah satuan, maka diperoleh persamaan

z1 z2=¿

Tulis e−iθ, kita peroleh persamaan e iθe−iθ=1 dan e−iθ= 1

e iθ.

Perhatikan bahwa invers perkalian dari bilangan tak nol menjadi z−1=1

re i(−θ )=1

re−iθ

Diketahui z1=r1 ei θ1 dan z2=r2 e

iθ2

Diperoleh z1 z2=r1 r2 ei (θ1+θ2)

Dan z1

z2

=r1

r2

e i(θ1+θ2 )

Dalam bentuk polar z=r ¿

⇔z=r ei (θ+2π ) Dengan n=0 , ±1 , ±2 ,…

Misalkan r=R maka z=Reθ maka dapat di representasikan dalam bentuk geometri

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0)

z=Reθ

⇔|z|=R

⇔√x2+ y2=R

⇔x2+ y2=R2

Ketika θ di naikkan menjadi 2π kita sampai pada derah titik persamaannya. Tentu saja

ketika θ di turunkan menjadi 2π maka berdasarkan gambar diatas, keduanya merupakan

bilangan komplek, yaitu: z1=r e iθ1 dan z2=r e i θ2 dengan z1=z2 Jika dan hanya jika

r1=r2 dan θ1=θ2+2kπ, dengan k=0 , ±1 , ±2,…

Gambar diatas dengan r=R menunjukkan persamaan z=Re iθdengan 0≤θ≤2 π.

3. Akar Bilangan Kompleks

Setiap bilangan kompleks selalu dapat ditulis dalam bentuk kutub, jadi w dapat dinyatakan

dengan ρ cis φ dimana ρ=|w| dan φ=Arg(w). Akar pangkat n dari w di definisikan sebagai

bilangan komplek z sedemikian sehingga zn=w

Misalkanz=rcisφ. Karena w=ρ cis ϕ. Dengan menggunakan rumus moivre, persamaan

zn=w menjadi

rn ¿

Persamaan di atas menghasilkan dua persamaan, yaitu:

rn cos (nφ )=ρ cos ϕdan

rn sin (nφ )=ρ sinϕ

Karena r harus bernilai real dan non negative, maka penyelesaian kedua persamaan ini

adalah

r=n√ ρdanφ=ϕ+2kπn

Dengan k sembarang bilangan bulat dann√ ρ bilangan real non negatif . jadi

w1n=n√ ρ ¿. Oleh karena sinus dan cosinus merupakan fungsi periodik dengan periode 2π ,

nilai bulat dalam rumus untuk w1n ini memberikan n nilai yang berlainan untuk w

1n .

Nilai-nilai ini di peroleh dengan memberikan n nilai bulat yang berurutan kepada k, misalnya

k=0 ,1 ,2 ,…, (n−1 ) . jika di berikan bilangan komplek w=ρ cis ϕ yang tidak nol dan n bulat

positif. Maka diperoleh n buah nilai untuk w1n, yakni

w1n=n√ ρ(cos

ϕ+2kπn

+i sinϕ+2kπ

n )Dengan k=0 ,1 ,…, (n−1) atau n bilangan bulat yang berturutan.

Contoh:

1. Tentukan semua nilai akar pangkat 2 dari 1.

Penyelesaian:

Dalam soal ini, w=1=1cis0.

Jadi 12=zn=1(cos

0+2kπ6

+isin0+2kπ

6 ), k=0 ,1

Semua akar pangkat 2 dari 1 adalah

z0=cis0=1

z1=cisπ3=1

2(1+i √3 )

4. Regions dalam Bidang kompleks

Pada bagian ini,kita akan membicarakan tentang himpunan dari bilangan komplek satu titik

dalam bidang z. dasar utamanya adalah konsep dalam lingkungan ε .

Diketahuiz0∈C danε>0

1. N ( z0 , ε )= {z∈C :|z−z0|<ε }: Lingkungan εdari z0.

Untuk suatu bilangan kompleksz0 dan suatu bilangan ε>0, di sebut Lingkungan titik z0

dengan radius ε adalah himpunan itik z yang jaraknya dari z0 kurang dari ε , yang di beri

notasi N ( z0 , ε ). Jadi

N ( z0 , ε )= {z∈C :|z−z0|<ε }. Secara geometriN ( z0 , ε )adalah cakram yang berpusat di z0

dan beradi u ε tidak termasuk titik-titik pada lingkaran yang membatasinya.

2. N ¿ ( z0 , ε )={z∈C :|z−z0|<ε }: Lingkungan ε dari z0tanpa z0.

Lingkungan in terdiri semua titik z dalam lingkunganε dari z0 kecuali untuk titik z0 itu

sendiri.

Titik Interior

Titikz0di sebut titik interior himpunan S jika terdapat suatu lingkungaz0 yang

merupakan sub himpunan dari S.

z0titik interior S ⇔∃ε>0 ,N ( z0, ε )⊂S

Titik Batas

Titik di z0 di sebut titik batas dari himounan S jika setiap lingkungan z0 memuat anggota S dan

anggota Sc.

Titik Limit

Titikz0 dikatakan titik limit dari himpunan S, jika setiap lingkungan dari z0 memuat paling

sedikit satu titik z∈S dan z≠ z0

z0titik limit S ⇔∀ ε>0 , (N ( z0 , ε )− {z0 }⋂ Stidakkosong) .

Inkaran pernyataan di atas adalah

z0bukan titik limit S ⇔∀ ε>0 , (N ( z1 , ε )− {z1 }⋂Stidak kosong ) .

Jadiz1 bukan titik limit S jika dan hanya jika

HimpunanBuka

Himpunan S di katakan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.

S terbuka :∀ z , z∈S⇒ z titik interior S .

Dapat didefinisikan sebagai :

S⊆Chimpunan terbuka jika setiap unsure x∈S merupakan titik dalam dari S.

HimpunanTutup

Himpunan S dikatakan tutup jika S memuat semua titik limitnya.

S tertutup jika∀ z , z titik limitS⇒ z∈S

Jadi S tidak tertutup jika terdapatz1, z1 titik limit S dan z1∉S.

Himpunan Terhubung

Himpunanterhubung S dikatakan terhubung jika setiap dua titiknya dapat dihubungkan

oleh garis polygon atau garis patah, yang terdiri atas garis yang cacahnya berhingga dan yang

seluruhnya terletak di dalam S.

Domain

Domain adalah himpunan yang terbuka dan terhubung.

Region (daerah)

Suatu region adalah himpunan terbuka yang tidak kosong atau himpuna ini di tambah

dengan sebagian atau seluruh titik perbatasannya.

HimpunanTerbatas

Himpunan S dikatakan terbatas jika terdapatM>0sehingga untuk semua z∈Sberlaku

|z|≤M . Jadi himpunan terbatas adalah himpunan titik-titik yang terletak dalam suatu lingkaran

yang berpusat di 0.Himpunan yang bukan terbatas adalah himpunan tak terbatas.

DAFTAR PUSAKA

Churchill, RuelV. Dan Brown, James Ward . 1990 .ComplexVariablesandApplication,,

edisike-5.New York :McGraw-Hill Publishing Company .

Martono, Koko . 1964 .PeubahKompleks . Jakarta :Erlangga .

R,Soemanto . 1994 .Fungsi Variable Kompleks .Yogyakarta :Perpustakaan Jurusan

Matematika UNNES .