BAB IISI1. Persamaan SchrdingerPersamaan Schdinger merupakan suatu bentuk fungsi gelombang yang digunakan untuk mengetahui perilaku gelombang dari suatu partikel. Persamaan Schrdinger memiliki dua bentuk yaitu persamaan yang melibatkan waktu sebagai variabel dan persamaan yang tidak melibatkan waktu sebagai variabel. Pada subbab ini, akan dibahas mengenai persamaan Schrdinger yang tidak melibatkan waktu sebagai variabel (keadaan tetap).Persamaan Schrdinger dikatakan sebagai postulat. Untuk kasus satu-dimensi, bentuk persamaannya adalah:

Dimana m adalah massa dari suatu partikel, U(x) adalah energi potensial saat posisi (x) tertentu dan adalah fungsi gelombang.Fungsi gelombang dapat digunakan untuk mendapatkan berbagai properti. Sebagai contoh, densitas probabilitas saat berbagai nilai x. Densitas probabilitas ini didapatkan melalui nilai kuadrat fungsi solusi, , saat posisi x. Untuk menentukan kemungkinan kedua, tidak dapat ditulis namun dimana adalah konjugat dari .1.1. Contoh Partikel pada Sebuah GarisDiibaratkan terdapat sebuah partikel dengan massa m bergerak pada sebuah garis dengan panjang a. Dianggap energi potensial pada titik tersebut adalah nol, dengan energi potensial diluar titik tersebut sangat tinggi.Saat 0 < x < a, dimana U(x) = 0, persamaan Schrdinger menjadi:

Energi potensial pada x < 0 dan x > a sangat tinggi, dan probabilitas partikel pada wilayah ini adalah 0. Sehingga diluar garis, nilai , dan juga nilai adalah nol. Untuk menghindari diskontinuiti pada x = 0 dan x = a, fungsi di sepanjang garis harus bernilai 0 saat x = 0 dan x = a.Dengan kondisi batas yang ada, nilai :

Dimana n = 1, 2, 3, dst dan A adalah konstan. Jika dihubungkan dengan persamaan Schrdinger, didapatkan persamaan pada sisi kiri dan sisi kanan berupa:

Sisi kiri dan sisi kanan bernilai sama, dan persamaan

merupakan solusi jika

Selanjutnya, dijelaskan bentuk fungsi gelombang beserta densitas probabilitas ( untuk setiap n dan energi yang bersesuaian pada gambar

Gambar 1. fungsi gelombang beserta densitas probabilitas ( untuk setiap n dan energi yang bersesuaian.

1.2. Bentuk EksponensialUntuk beberapa fungsi gelombang trigonometri maupun fungsi gelombang itu sendiri, dapat digunakan persamaan bentuk eksponensial yang digambarkan berupa:

dan dapat disederhanakan menjadi:

1.3. NormalisasiUntuk sistem satu-dimensi, didapatkan:

Untuk partikel pada sebuah garis dengan panjang a,

Jika solusi dari persamaan Schrdinger memenuhi persamaan di atas, fungsi solusi dianggap telah dinormalisasi. Normalisasi menentukan nilai yang harus dimasukkan ke dalam variabel A pada persamaan:

dan didapatkan:

Dengan menganggap maka:

Sehingga:

Dapat ditulis integral berupa:

Menjadi:

Persamaan di atas membuktikan bahwa nilai A haruslah dan fungsi gelombang yang telah dinormalisasi adalah:

Kurva fungsi yang telah dinormalisasi terhadap fungsi yang berkaitan dapat dilihat pada gambar 2.

Gambar 2. Ilustrasi saat dinormalisasi, area dibawah kurva antara x = 0 dan x = a adalah 1.1.4. Sifat Tegak LurusFungsi dan dikatakan tegak lurus jika . Diketahui melalui Gambar 1, nilai intergral saat n = 1 dan n = 2 bernilai nol. Sehingga nilai dikatakan valid jika .

Selain , integral bernilai 0.

2. Partikel Di Dalam KotakDalam sistem tiga-dimensi, terdapat tiga koordinat yang harus diperhatikan yaitu x, y, dan z. Energi potensial di dalam kotak uniform sehingga dapat dianggap 0, namun energi potensial di luar kotak bernilai tinggi. Dimana:

Persamaan Schrdinger untuk partikel di dalam kotak:

Dalam sistem dengan banyak variabel, dapat digunakan prosedur pemisahan variabel.

Sehingga:

Dengan membagi didapatkan:

Selain bentuk di atas, terdapat dua jenis lain persamaan Schrdinger yaitu:

atau

Jika dihubungkan dengan bentuk persamaan sistem satu-dimensi, solusi sistem persamaan tiga-dimensi dapat berupa:

2.1. Fungsi ProbabilitasDensitas probabilitas, adalah fungsi tiga-dimensi yang sulit dinyatakan. Salah satu prosedurnya adalah dengan mengulang kurva satu dimensional gambar 1 untuk melihat faktor terpisah antara arah x, y, dan z. Dapat digambarkan nilai melalui gambar 3.

Gambar 3. Densitas probabilitas saat energi terendah , untuk partikel dalam kotak. Densitas dari titik proporsional terhadap nilai fungsi .2.2. EnergiEnergi yang diperbolehkan bagi partikel dalam sistem tiga-dimensi adalah:

3. Quantum Mechanical Operators3.1. Persamaan Schroedinger Bebas Waktu (PSBW)Persamaan Schroedinger untuk partikel bermassa m dalam daerah tiga dimensi dan energi potensial U(x,y,z) adalah :

Nilai yang memenuhi persamaan ini pada umumnya hanya ada untuk nilai-nilai tertentu, dan nilai-nilai ini adalah energi dari keadaan sistem. Persamaan (1) dapat ditulis menjadi

Nilai pada kurung siku dinamakan sebagai operator persamaan yaitu hamiltonian operator tiga dimensi. Operator tersebut dilambangkan dengan , sehingga persamaan (2) menjadi

Fungsi yang memenuhi persamaan (3) dinamakan persamaan harga eigen, dan harga tetap E yang merupakan solusi yang dikenal sebagai nama persamaan karakteristik, suatu topik penting dalam pembelajaran tentang persamaan diferensial.3.2. Operator dan Postulat dari Mekanika KuantumTiga postulat dasar dalam menyelesaikan mekanika kuantum adalah sebagai berikut :a. Nilai setiap sifat fisika dari mekanika kuantum dapat dideduksi dengan mengoperasikan fungsi eigen dengan operator yang sesuai. Pada umumnya, operasi tersebut antara fungsi eigen dengan Hamiltonian operator. Contohnya adalah persamaan Schroedinger.b. Dua operator dasar untuk sifat fisika yaitu operator untuk posisi dan operator untuk momentum. Operator posisi dalam sistem berdimensi satu adalah

Dimana adalah simbol dari operator dan x adalah operatornya. Operator momentum pada arah x adalah

c. Dua situasi berbeda ketika nilai semua properti dari sistem mekanika kuantum terdiri dari fungsi eigen dengan operator yang sesuai dengan properti fisiknya tersebut. Kuantisasi, nilai-nilai yang diperoleh. Jika untuk properti fisik tertentu, operator A adalah sedemikian rupa sehingga

Ketika a adalah sebuah angka atau kumpulan angka, maka nilai dari properti fisik adalah nilai dari a. Rata-rata, nilai-nilai yang dihitung. Jika untuk fisik properti yang lainnya, operator B sedemikian hingga menjadi

Nilai rata-rata ditentukan dengan cara :

3.3. Turunan Operator untuk Energi KinetikOperator untuk properti fisi dapat ditentukan dari operator posisi dan operator momentum. Salah satunya adalah operator energi kinetik. Energi kinetik adalah mv2 atau dapat ditulis juga dengan (mv)2/2m. Dimana (mv) merupakan momentum operator, dengan mensubstitusikan nilai dari operator momentum ke persamaan energi kinetik, maka operator energi kinetik adalah :

3.4. Partikel Bebas dalam Satu DimensiSebelumnya, telah dijelaskan siftdari partikel dalam satu garis, sekarang akan dibahas mengenai partikel yang bergerak bebas dalam arah tertentu. Pertama, kembali ke persamaan Schroedinger pada satu dimensi dan energi potensial = 0, yaitu persamaan

Dengan melakukan diferensiasi sebanyak dua kali kemudian mensubstitusikannye kembali ke persamaan awal, didapatkan persamaan umum berupa persamaan sinus dan cosinus yaitu :

Dimana k adalah bilangan positif maupun negatif.Energi dari partikel ini dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan 13 kedalam persamaan Schroedinger menggunakan operator energi kinetik. Hasilnya adalah :

Energi bergantung pada nilaik k, sehingga k harus dirumuskan dalam fungsi gelombang sehingga

Hasil yang sama akan didapatkan dengan menuliskan fungsi gelombang sebagai fungsi eksponensial Energi pada partikel yang bergerak bebas ini adalah energi kinetik, sehingga KE = mv2 = (mv)2/2m atau (mv)2 = 2mKE. Dengan mensubstitusikan persamaan energi kinetik (14), didapatkan

Dengan membandingkan dengan persamaan de Broglie yaitu nilai k dapat dirumuskan menjadi . kembali ke persamaan gelombang (13) dan (16), dengan memasukkan nilai k didapat :

Dan 4. Metode VariasiMetode ini digunakan ketika persamaan Shroedinger tidak dapat menentukan hasil dari persamaannya. 4.1. Penyusunan Persamaan SchroedingerEnergi dari sebuah sistem mekanika kuantum diperoleh jika fungsi solusi dapat ditemukan untuk operator Hamiltonian.

Dengan mengalikan kedua sisi dengan didapatkan

persamaan integralnya menjadi

4.2. Aproksimasi untuk Solusi PersamaanJika dengan persamaan (20) tidak ditemukan juga solusinya, maka gunakanlah fungsi yang merupakan aproksimasi terhadap solusi dari persamaan (20) tersebut. Untuk menentukan aproksimasi suatu fungsi, dilakukan dengan prinsip-prinsip dasar. Prinsip dasar tersebut ialah prinsip variasi.Prinsip variasiSebuah nilai ekspektasi percobaan dengan sebuah fungsi sembarang diperkenalkan oleh

Nilai yang bergantung pada pilihan dari tidak lah lebih kecil dari nilai eingen terendah E0 untuk persamaan eigen = E .

Kesamaan dari rumus ini hanya berlaku untuk sebuah kasus khusus di mana adalah sebuah fungsi eigen yang berkaitan dengan E0. Rumus ini yaitu persamaan (21) disebut sebagai prinsip variasi.5. Rotation In A PlaneMomentum sudut merupakan suatu komponen fisika yang penting dari atom dan molekul. Nilai momentum sudut digunakan untuk mengelompokkan tingal elektronik dari atom dan beberapa molekul, serta untuk molekul gas pada posisi rotasional.5.1. Operator Momentum SudutArah dan magnitude dari momentum sudut dapat dijabarkan dengan menggunakan vector yang tegak lurus terhadap bidang yang memiliki vector radius dan vector momentum linear. Jika kita magnitude ini ditulis dengan x dan y pada koordinat Cartesian, dan nilai momentum sudut sebagai px dan py, maka :

Persamaan di atas dapat digunakan untuk membuat operator mekanika quantum. Untuk mendapatkan operator ini, maka kita menggunakan posisi operator x dan ya sebagai dan dan operator momentum linear dan . Maka,

Untuk partikel pada cincin dan beberapa jenis masalah lain dimana kita harus menghitung momentum sudut, koordinat polar lebih mudah digunakan dibandingkan dengan koordinat Cartesian. Persamaan yang menghubungkan titik-titik koordinat Cartesian dan koordinat polar adalah dan dan, dan Dengan menggunakan aturan rantai untuk menghidung pada x dan y, maka didapatkan persamaan :

Maka, menurut persamaan maka

5.2. Operator Energi Kinetik OperatorUntuk gerak linear, kita dapat mengatur operator untuk energi kinetic rotasional dengan menggunakan persamaan energi kinetic biasa. Dengan menghitung mv2 dalam bentuk kecepatan sudut dan momen inersia , maka didapatkan persamaan energi kinetic :

Dengan menggunakan persamaan (yg Lz Lz terakhir), maka didapatkan

5.3. Persamaan Schrdinger untuk Partikel pada CincinPada partikel pada cincin, energi potensial adalah 0 dan partikel pada jarak r dari pusar adalah tak terhingga pada posisi lain. Fungsi eigen akan menjadi fungsi variable sudut .

Kita menginginkan untuk menjadi sebuah fungsi yang ketika didiferensialkan dua kali akan menghasilkan konstanta dikali dengan fungsi awal. Contoh lain :

Eksponen ditulis sebagai bilangan imajiner sehingga kita dapat menentukan kondisi batas. Kita menginginkan fungsi untuk memiliki nilai yang sama dengan sudut dengan berapapun perubahan total yang terjadi.

Pada kondisi batas, harus sama dengan i. Karena , maka bentuk dapat dibuat menjadi sama dengan 1 jika kita membatasi m dengan nilai

Dengan batasan pada nilai m, kita dapat menggunakan fungsi eigen untuk mendapatkan niai eigen yang merupakan energi dari posisi rotasional yang ada. Sehingga bentuk yang dita dapatkan adalah, menjadi menjadi Persamaan ini berlaku jika

atau Kita dapat menyelesaikan persamaan fungsi eigen dengan mengevaluasi A. Pertama, kita melakukan perhitungan integrasi

Sehingga, dengan menjadikan , 5.4. Nilai Momentum Sudut

Sehingga,

Fungsi eigen yang berkorensponden dengan level energi menghasilkan nilai momentum sudut sepanjang arah z yang juga dihitung. Komponen momentum sudut dihitung pada unit . Momentum sudut sepanjang suatu arah harus memiliki satu dari beberapa nilai yang diberikan oleh dengan Dua posisi pada tiap energi memiliki momentum sudut yang berkorespon dengan partikel yang bergerak searah jarum jam atau berlawanan arah dengan jarum jam, tergantung dengan tanda m.

5.5. Prinsip Keraguan Heisenberg dan Partikel pada CincinBentuk simple dari prinsip ini dapat dituliskan dengan persamaan

Ketidakpastian pada momentum dikali dengan ketidakpastian pada suatu posisi sama dengan atau lebih besar dari h. Ketidakpastian yang berhubungan dengan persamaan ini dapat didapatkan dari perhitungan mekanika quantum atau studi percobaan.Pada materi ini, merupakan momentum sudur dan merupakan sudut. Pada keadaan energi paling rendah, dan momentum sudut . Karena kita mengetahui secara pasti nilai dari momentum sudut, maka keraguan pada momentum sudut sama dengan nol. Jika prinsip keraguan dilakukan, maka keraguan pada posisi ini harus tidak terhingga, dimana kita tidak memiliki informasi apapun mengani posisi sudut.5.6. Fungsi Eigen LokalisasiPemecahan terhadap contoh partikel pada cincin dihitung secara berpasangan, kecuali keadaan energi paling rendah. Untuk menghitung dua keadaan pada tiap energi maka merupakan nilai pasti dari nomor quantum m. Kemudian fungsi eigen selain m=0, dapat ditulis sebagai dan Kita dapat juga menghitung persamaan Schrodinger dengan fungsi yang merupakan suatu kombinasi linear dari fungsi eigen dengan nilai . Maka,

Persamaan ini dapat dikonversi ke fungsi baru dan , dan Distribusi partikel sekitar cincin didapatkan dari nilai dan , dan didapatkan fungsi : dan Ketika ada dua atau lebih kondisi pada energi berapapun, kita dapat selalu menuliskan kombinasi linear dari fungsi-fungsi eigen yang menjabarkan kondisi-kondisi degenerasi. Dengan menggunakan prinsip ini, kita dapat mencari fungsi eigen yang sesuai dengan momentum sudut yang dicari.6. Rotasi Dalam Tiga DimensiMisalkan sebuah titik bermassa yang bebas bergerak pada permukaan bola yang jari-jarinya r (seperti Gbr 1). Syarat yang mengharuskan kecocokan fungsi gelombang mengantarkan pada syarat batas lingkar kedua dan bilangan kuantum kedua. Selanjutnya, kita akan membahas keadaan electron didalam atom dan molekul yang berotasi. Penerapan ini berasal dari kenyataan bahwa rotasi benda padat dengan massa m dapat digambarkan dengan titik tunggal bermassa m yang berotasi dengan jari-jari Rg (radius putaran benda) yang terdefinisi sedemikian sehingga I = m Rg2

Gbr 1Persamaan Schrodinger:

dengan

dan

Ketiganya dapat disederhanakan karena partikel bergerak pada permukaan bola, jari-jari r bukanlah variable, sehingga turunan terhadap r dapat diabaikan, dan V merupakan konstanta dan dapat dibuat sama dengan nol. Sehingga ke 3 persamaan tersebut menjadi

Yang dapat dirangkum menjadi

Namun diakhir bahasan, persamaan ini terpisah menjadi dua persamaan yaitu, satu untuk dan satu lagi untuk . Setelah kedua persamaan diselesaikan secara terpisah, maka fungsi gelombang dapat dituliskan

Dengan merupakan fungsi dan merupakan fungsi

6.1. Sifat PenyelesaianSeperti yang dibahas sebelumnya bahwa fungsi gelombang dapat ditentukan oleh dua bilangan kuantum l dan m1 (terdapat dua syarat lingkar yang harus dipenuhi yaitu dari sudut dan dari sudut = 0, 1, 2 . ..m1 = 0, 1, 2, ,

Setara dengan itu, m1 = , (-1), (-2), , (-) bernilai positif, selanjutnyaa, untuk nilai tertentu, terdapat 2+1 nilai m yang diperbolehkan. Fungsi gelombang yang dinormalisasikan biasanya dinyatakan dengan Y, m1 dan disebut harmonis bola. Beberapa harmonis bola dimuat pada Gbr 1.2

Gbr 1.2Energi partikel E terbatas pada nilai-nilai

Kita lihat bahwa energi itu terkuantitasi dan tidak bergantung pada m. Karena terdapat 2+1 fungsi gelombang yang berbeda yang bersesuaian dengang energy yang sama (satu untuk setiap nilai m ) maka tingkat dengan bilangan kuantum l merupakan degenerasi dengan lipatan (2+1)

6.2. Momentum SudutEnergi partikel yang berotasi terhubungkan dengan momentum sudutnya secara klasik dengan . Jadi, dengan membandingkan persamaan ini dengan persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa besaran momentum sudut itu terkuantitasi, dan terbatas pada nilai-nilai:

Momentum sudut disekitar sumbu-z terkuantitasi nilainya: Maka tinggi nilai , makin besar jumlah garis simpul (posisi dengan =0) pada fungsi gelombang. Ini menunjukkan kenyataan bahywa semakin tinggi momentum sudut, makin tinggi energy kinetiknya, sehingga fungsi gelombangnya makin melengkung tajam. Dan dalam keadaan yang sesuai dengan momentum sudut yang tinggi disekitar sumbu z merupakan keadaan dengan kebanyakan simpul memotong ekuator. Ini menunjukkan energy kinetic yang tinggi adalah yang berasal dari gerakan sejajar dengan ekuator, karena pada arah itu, lengkungannya terbesar.Penulisan persamaan dalam , sehingga persamaan differensial yang dipenuhi oleh harmonis bola:

6.3. Kuantitasi Ruang Hasil mekanika kuantum yang menyatakan benda yang berotasi tidak dapat memiliki sembarang orientasi terhadap beberapa sumbu tertentu (misalnya sumbu yang ditentukan oleh arah medan listrik atau medan magnet dari luar) disebut kuantitasi ruang. Hal ini dibuktikan dengan eksperimen yang mula-mula dilakukan oleh Otto Sterm dan Walter Gerlach pada tahun 1921. Mereka menembakkan seberkas atom perak melalui medan magnet yang tidak homogeny. Gagasannya, benda bermuatan yang berotasi berperilaku seperti magnet dan berinteraksi dengan medan yang ada.Menurut mekanika klasik, orientasi momentum sudut dapat mempunyai nilai berapapun, sehingga magnet yang berhubungan dapat mempunyai orientasi apapun. Arah magnet yang ditimbulkan oleh medan tak homogen bergantung pada orientasi. Dengan demikian, diharapkan timbulnya pita atom yang lebar dari daerah tempat ,medan magnet itu berperan. Sedangkan menurut mekanika kuantum, karena momentum sudut tersebut terkuantitasi, magnet yang bersangkutan terletak pada sejumlah orientasi diskret, dan kemudian diharapkan ada beberapa pita atom yang tajamDalam eksperimen pertama, tampaknya Stern dan Gerlach membuktikan kebenaran ramalan klasik. Eksperimen ini sukar karena atom-atom didalam berkas itu saling bertubrukan sehingga mengaburkan pitanya. Ketika eksperimen diulang dengan berkasi yang intensitasnya rendah (sehingga frekuensi bertubrukan berkurang), mereka mengamati pita-pita yang diskret. Jadi ramalan kuantum terbukti.

6.4. Model vectorPada seluruh pembahasan, momentum sudut hanya pada komponen-z, tidak pada komponen-x, dan y. Sebab asas ketidakpastian tidak memungkinkan adanya kesimultanan penentuan lebih dari satu komponen. Oleh karena itu, jika z diketahui, tidak mungkin ada nilai pada dua komponen lainnya. Model vector dari momentum sudut adalah seperti Gbr 1.3. Kerucut digambar dengan sisi {(+1)}1/2 satuan, dan menunjukkan besar momentum sudut. Setiap kerucut mempunyai proyeksi tertentu (m satuan) pada sumbu-z menunjukkan nilai z yang tepat dari sistem itu. Walaupun demikian, proyeksi x dan y tidak terbatas. Vektor yang menggambarkan keadaan momentum sudut dapat dianggap ujungnya terletak pada sembarang titik pada mulut kerucut.

Gbr 1.3Model vector momentum sudut walaupun hanya merupakan gambaran aspek mekanika kuantum, ternyata sangat berguna untuk membahas struktur dan spectra atom.

Gbr 1.47. Elektron Spin dan Fungsi Elektron SpinSystem yang mengandung beberapa electron dibedakan oleh fungsi gelombang dan fungsi spin. Menurut hukum kuantum hanya ada dua elektron yang dapat menempati orbital yang sama. Aturan ini berkaitan dengan momentum sudut khusus yang disebut sebagai spin elektron.7.1. Electron yang Tidak Dapat Dibedakan adalah yang menyatakan fungsi gelombang untuk suatu atom atau molekul yang mengandung dua electron atau lebih. Dari fungsi gelombang ini kita dapat menghitung beberapa kuantitas fisika, dengan membentuk integral . Pertukaran peran electron dalam fungsi gelombang tidak menyebabkan fungsinya berubah, atau hanya tandanya yang berubah.Setiap electron akan dideskripsikan oleh fungsi gelombang yang disebut juga orbital. Berdasarkan larangan Pauli, orbital dapat ditempati oleh dua electron dengan spin yang berbeda. Deskripsi orbital untuk system yang terdiri dari dua electron

Kedua electron tersebut dapat diidentifikasi, tetapi karena keduanya mempunyai peran yang sama kita tidak menganggap bahwa kedua electron tersebut dapat dibedakan. Untuk menyimpulkan bahwa beberapa electron tidak dapat dibedakan dan tidak harus mempunyai peran yang berbeda, kita dapat menulis fungsi orbital

Dan

Perhatikan bahwa ketika peran kedua orbital ditukar, maka pada fungsi pertama tidak terjadi perubahan dan pada fungsi kedua hanya terjadi perubahan tanda.7.2. Electron SpinMomentum angular orbital dapat diperoleh dari aplikasi persamaan Schrodinger. Momentum angular spin tidak dapat diperoleh dari persamaan Schrodinger. Keberadaan spin elektron dibuktikan melalui beberapa eksperimen antara lain melalui Eksperimen berkas atom oleh Stern dan Gerlach. Eksperimen ini memberikan gambaran bahwa sebuah elektron memiliki sebuah momen magnetik, yang merupakan sifat magnetik yang berkaitan dengan arus listrik melingkar.7.3. Fungsi Elektron SpinFungsi electron spin dan fungsi orbital secara bersama membentuk fungsi gelombang. menyatakan vector spin yang mengarah ke atas dan menyatakan vector spin yang mengarah ke bawah. Untuk dua spin yang mengarah ke atas dapat ditulis , sedangkan untuk kedua spin mengarah ke bawah dapat ditulis . Ada juga kombinasi dari keduanya

7.4. Fungsi Gelombang untuk Sistem dengan Dua ElektronKombinasi fungsi orbital dan fungsi spin menghasilkan fungsi gelombang

Misalkan untuk atom helium yang terdiri dari dua electron dan kedua electron menempati orbital 1s, karena kedua electron mempunyai spin yang sama maka tidak boleh menempati orbital yang sama dan akan mempunyai tanda yang berbeda sehingga

Dari ilustrasi dapat disimpulkan bahwa ketika peran dari dua electron berubah maka fungsi gelombang akan mengalami perubahan tanda. Untuk dua electron yang menempati orbital yang sama, hanya fungsi gelombang mngalami perubahan tanda ketika terjadi pertukaran peran.

Sedangkan untuk system dengan dua electron yang menempat orbital yang berbeda, terdapat dua fungsi gelombang

8. Nuclear Spin dan Fungsi Nuclear SpinFungsi nuclear spin menetukan bentuk dari fungsi gelombang untuk suatu system homonuclear diatomic molekul.8.1. Nuclear SpinMomentum sudut nuklir dapat dinyatakan sebagai , dimana I adalah bilangan kuantum spin. Fungsi nuclear spin sama seperti fungsi electron spin dapat digunakan untuk membentuk fungsi gelombang.Berdasarkan bilangan spinnya partikel dibagi menjadi dua bagian yaitu fermion dan boson, dimana partikel fermion yang memiliki spin setengah bilangan bulat yang menggunakan statistik Fermi-Dirac, dan Boson adalah partikel yang memiliki spin bilangan bulat yang mengikuti statistic Bose-Einstein. Dan jika menggunakan momentum sudut spin tersebut berarti partikel diklasifikasikan dengan meninjau teorema statistic spin. Dari statistik yang digunakan oleh partikel dapat menentukan kesimetrisan antara dua buah partikel. Suatu partikel dikatakan boson identitas ialah jika ia memiliki bilangan spin bilangan bulat dan fungsi-fungsi gelombang dari kedua partikel tidak berubah ketika saling bertukaran, seperti berikut: Begitu juga suatu partikel dikatakan sebagai fermion identitas jika ia memiliki bilangan spin setengah bulat ganjil dan fungsi-fungsi gelombang dari kedua partikel berubah ketika saling bertukaran, seperti berikut : 8.2. Fungsi Nuclear SpinFungsi spin dapat dibentuk dari sepasang fundamental partikel. Untuk fungsi yang tidak berubah disebut simetris dan untuk fungsi yang berubah disebut asimetris.Secara umum kita harus mengkombinasikan nilai I dari kedua nucleus molekul untuk mendapatkan nilai spin total T. Karena I adalah integral atau integral setengah maka T selalu merupakan integral. Sehingga dapat disimpulkan bahwa total spin dinyatakan mengenai medan magnet. Komponen ini disebut TM. Untuk partikel dengan , maka dan . Kita dapat menampilkan nilai dan tipe dari bilangan spin yang dinyatakan dalam nilai TM yang mungkin simetris antisimetrisUntuk menunjukkan bagaimana perubahan fungsi nuclear spin menjadi fungsi gelombang, kita mempertimbangkan gungsi gelombang untuk gas diatomic. Fungsi gelombang untuk system ini

System tersebut harus mempunyai fungsi gelombang yang tidak berubah, ketika terjadi perubahan peran nucleus baik untuk vibrasi, translasii, dan rotasi dari fungsi gelombang untuk molekul diatomic. Gerak translasi molekul dapat dinyatakan dalam koordinat dari pusat massa molekul. Gersk vibrasi molekul diperlakukan sebagai panjang dari molekul banding panjang setimbang. Gerak translasi dan vibrasi tidek dipengaruhi oleh perubahan atom, tetapi gerak rotasi dipengaruhi oleh perubahan atom. 8.3. Fungsi Nuklear Spin dan Fungsi Gelombang untuk molekul Diatomik HomonuclearUntuk fungsi gelombang dari gas diatomic, setiap bagian rotasi harus dideskripsikan sebagai kombinasi dari fungsi gelombang rotasi dan fungsi nuclear spin. Jika nucleus adalah fermion maka fungsi gelombang berah dengan adanya pertukaran peran nucleus. Jika nucleus merupakan bosons, maka fungsi gelombang tidak berubah.8.4. Ortohidrogen dan ParahidrogenSemua molekul diatomic dapat tersusun dari campuran molekul dengan simetris nukleaer spin dan antisimetri nuclear spin. Molekul yang dapat mempunyai komposi seperti ini adalah hydrogen. Hydrogen dengan simetris nuclear spin disebut orto sedangakan molekul dengan antisimetri nuclear spin disebut para.

BAB IIPENUTUP0. Kesimpulan Persamaan Schrdinger digunakan untuk mengetahui perilaku gelombang dari suatu partikel Persamaan Schrdinger dapat digunakan pada berbagai bentuk dimensi Metode variasi digunakan ketika persamaan Shroedinger tidak dapat menentukan hasil dari persamaannya. Arah dan magnitude dari momentum sudut dapat dijabarkan dengan menggunakan vector yang tegak lurus terhadap bidang yang memiliki vector radius dan vector momentum linear Untuk partikel pada cincin dan beberapa jenis masalah lain dimana kita harus menghitung momentum sudut, koordinat polar lebih mudah digunakan dibandingkan dengan koordinat Cartesian. Untuk gerak linear, kita dapat mengatur operator untuk energi kinetic rotasional dengan menggunakan persamaan energi kinetic biasa. Fungsi eigen yang berkorensponden dengan level energi menghasilkan nilai momentum sudut sepanjang arah z yang juga dihitung. Komponen momentum sudut dihitung pada unit . Momentum sudut sepanjang suatu arah harus memiliki satu dari beberapa nilai yang diberikan oleh dengan Ketidakpastian pada momentum dikali dengan ketidakpastian pada suatu posisi sama dengan atau lebih besar dari h. Pemecahan terhadap contoh partikel pada cincin dihitung secara berpasangan, kecuali keadaan energi paling rendah. Menurut mekanika klasik, orientasi momentum sudut dapat mempunyai nilai berapapun, sehingga magnet yang berhubungan dapat mempunyai orientasi apapun. Arah magnet yang ditimbulkan oleh medan tak homogen bergantung pada orientasi. Sedangkan menurut mekanika kuantum, karena momentum sudut tersebut terkuantitasi, magnet yang bersangkutan terletak pada sejumlah orientasi diskret, dan kemudian diharapkan ada beberapa pita atom yang tajam Hydrogen dengan simetris nuclear spin disebut orto sedangakan molekul dengan antisimetri nuclear spin disebut para. Gerak translasi molekul dapat dinyatakan dalam koordinat dari pusat massa molekul. Gerak vibrasi molekul diperlakukan sebagai panjang dari molekul banding panjang setimbang. Gerak translasi dan vibrasi tidek dipengaruhi oleh perubahan atom, tetapi gerak rotasi dipengaruhi oleh perubahan atom.

DAFTAR PUSTAKAAtkins, P.W. 1996. Kimia Fisika Jilid 1. Jakarta:ErlanggaBorrow, Gordon M. 1996. Physical Chemistry. USA: McGraw-Hill Companies

1