LOGIKA MATEMATIKA

BAGIAN 3: ALJABAR PROPOSISI DAN PENARIKAN

SIMPULAN

HUKUM ALJABAR PROPOSISI

(ATURAN PENGGANTIAN)

Digunakan untuk membuktikan:

Dua proposisi ekivalen (selain menggunakan tabel

kebenaran)

Suatu proposisi tautologi atau kontradiksi (selain

menggunakan tabel kebenaran)

Membuktikan kesahan suatu argumen

1. Hukum Idempoten (Idem)

o ( p v p ) p

o ( p p ) p

2. Hukum Assosiatif (As)

( p v q ) v r p v ( q v r )

( p q ) r p ( q r )

3. Hukum Komutatif (Kom)

( p q ) ( q p )

( p v q ) ( q v p )

4. Hukum Distributif (Dist)

( p v q ) r ( p r ) v ( q r )

( p q ) v r ( p v r ) ( q v r )

5. Hukum Identitas (Id)

o p v F p

o p v T T

o p F F

o p T p

6. Hukum Komplemen (Komp)

o p v ~ p T

o p ~ p F

o ~(~ p) p

o ~(T) F dan ~ (F) T

7. Transposisi (trans)

o p q ~ q ~ p

8. Hukum Implikasi (imp)

o p q ~ p v q

9. Hukum Ekivalensi (Eki)

p q ( p q ) ( q p )

p q ( p q ) v ( ~ p ~ q )

10. Hukum Eksportasi (Eks)

o p ( q r ) ( p q ) r

11. Hukum de Morgan (DM)

~ ( p q ) ~ p v ~ q

~ ( p v q ) ~ p ~ q

CONTOH SOAL

1. Buktikan bahwa: p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)

menggunakan aturan penggantian.

Penyelesaian:

p ⇒ (q ∧ r) ≡ ~ p v (q ∧ r) (Imp)

≡ (~ p v q) ∧ (~ p v r) (Dist)

≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) (Imp)

Terbukti

2. Buktikan bahwa ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu

kontradiksi dengan menggunakan aturan penggantian

Penyelesaian:

((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) ek

(((-p) v (-q)) ⇒(-((-p) v (-q)))) ∧ ((-((-p) v (-q))) ⇒ ((-p) v (-q)))

(eki)

(-((-p) v (-q)) v (-((-p) v (-q)))) ∧ (-(-((-p) v (-q))) v ((-p) v (-q)))

(Imp, DM)

((-(-p) ∧ -(-q)) v (-(-p) ∧ -(-q))) ∧ (((-p) v (-q) v ((-p) v (-q)))

(DM, komp)

((p ∧ q) v (p ∧ q) ∧ ((-p) v (-q)) (komp, idem)

(p ∧ q) ∧ ((-p) v (-q)) (idem)

((p ∧ q) ∧ (-p)) v ((p ∧ q)∧(-q)) (dist)

(p ∧ (-p) ∧ q) v (p ∧ (q ∧ (-q))) (Kom, Ass)

(F ∧ q) v (p ∧ F) (Komp)

F v F (Komp)

F ( Idem)

Jadi ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu kontradiksi

3. Buktikan argumen berikut ini sah menggunakan aturanpenggantian

p ⇒ q

-q / ∴ -p

Penyelesaian

Argumen di ubah menjadi bentuk implikasi yaitu

((p ⇒ q) ∧ (-q)) ⇒ (-p)

Perhatikan bahwa ((p ⇒ q) ∧ (-q)) ⇒ (-p) ek

-((p ⇒ q) ∧ (-q)) v (-p) (Imp)

(-(p ⇒ q) v –(-q)) v (-p) (DM)

(-(p ⇒ q) v q) v (-p) (Komp)

(-(-p v q) v q) v (-p) (Imp)

((-(-p) ∧ (-q)) v q ) v (-p) (DM)

((p ∧ (-q)) v q ) v (-p) (Komp)

((p v q) ∧ ((-q) v q)) v (-p) (Dist)

((p v q) ∧ T ) v (-p) (Komp)

(pv q) v (-p) (ident)

p v (q v (–p)) (Ass)

p v ((-p) v q) (Kom)

(p v (-p)) v q (Ass)

T v q (komp)

T (Ident)

Jadi argumen sah.

ATURAN PENYIMPULAN

1. Modus Ponens (MP)

p ⇒ q

p

∴ q

2. Modus Tollens (MT)

p ⇒ q

-q

∴ -p

3. Silogisme (Sil)

p ⇒ q

q ⇒ r

∴ p ⇒r

4. Distruktif Silogisma (DS)

p v q

-p

∴ q

5. Konstruktif Delema (KD)

(p⇒q) ∧ (r⇒s)

p v r

∴ q v s

6. Distruktif Delema (DD)

(p⇒q) ∧ (r⇒s)

-q v -s

∴ -p v -r

7. Simplifikasi (Simp)

p ∧ q

∴ p

8. Adisi (Ad)

p

∴ p v q

9. Konjungsi (Konj)

p

q

∴ p ∧ q

CONTOH SOAL

Buktikan kesahan argumen berikut ini menggunakan aturan

penyimpulan

1. a b

2. c d

3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c

Penyelesaian:

1. a b

2. c d

3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c

4. (a b ) ( c d ) 1,2 Conj

5. ( ~b v ~d ) 3, Simpl

6.~ a v ~c 4,5 DD

(Argumen sah)

ATURAN BUKTI BERSYARAT (ABB)

Catatan

1. ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen

merupakan implikasi

2. Prosedur pembuktian ABB yaitu menarik

antiseden dari konklusi menjadi premis baru

(premis tambahan) dan konsekuennya menjadi

konklusi argumen

CONTOH SOAL

Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan ABB

1. (a v b) ⇒ (c ∧ d)

2. (d v e) ⇒ f / ∴ a ⇒ f

3. a / ∴ f (asumsi)

4. a v b (3 Ad)

5. (c ∧ d) (1,4 MP)

6. d (5 simp)

7. d v e (6 ad)

8. f (2,7 MP)

9. a ⇒ f 3 s.d 8 ABB

BUKTI TAK LANGSUNG

Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru

(premis tambahan)

Dengan menggunakan aturan penyimpulan dan hukum

penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi

Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan

prinsip Adisi dan Distruktif Silogisma

CONTOH SOAL

Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan BTL

1. a v (b ∧ c)

2. a⇒ c / ∴ c

3. -c (asumsi)

4. -a (2,3 MT)

5. -a v b ( 4 Ad)

6. a ⇒ b (5 Imp)

7. (a v b) ∧ (a v c) ( 1 Dist)

8. a v c (7 Simp)

9. c v a (8 Kom)

10. -c ⇒ a ( 9 imp)

11. a (10,3 MP)

12. a ∧ -a (11,4 Konj)

13. a v c ( 11 Ad)

14. c ( 13,4 DS)