LOGIKA

1

Materi Logika kelas X Semester 2

LOGIKA

A. Kalimat terbuka ,Pernyataan ,Kuantor dan Negasi

1. Pernyataan

adalah Kalimat berita yang dapat dinilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah

contoh : a. 2+3=5 (pernyataan yang bernilai

benar)b. Si Ayu adalah gadis yang ayu (bkn

pernyataan)c. Matahari terbit dari timur (pernyataan)d. x +3 = 6 (kalimat terbuka)e. Gunung Bromo ada di Jawa Tengah

(pernyataan yang bernilai salah)

2. Kalimat terbuka

adalah Sebuah kalimat yang belum dapat dinilai benar atau salah.

Contoh :a. x – 5 =7b. itu sangat besarc. ini panjangnya 20 cm

Kalimat terbuka dapat menjadi sebuah pernyataan jika nilai peubahnya diganti dengan nilai tertentu.Misalnya : x – 5 = 7 dapat menjadi sebuah pernyataan jika x diganti nilai teretentu, misalnya x = 2, maka x-5=7 menjadi 2-5=7 adalah sebuah pernyataan yang bernilai salah.

3. KuantorKuantor ada 2 macam :a. Kuantor Universal

Dinotasikan : “ ” dibaca Setiap /semuaContoh : 1. Semua siswa kelas X naik kelas2. Setiap siswa diwajibkan membayar

SPP setiap bulan.

b. Kuantor EksistensialDinotasikan : “ “ dibaca Ada / Beberapa

Contoh ;1. Beberapa siswa kelas X-2 remidi

matematika2. Ada siswa X-3 tidak masuk kelas

4. Negasiadalah pernyataan yang mengingkar / melawan / menidakkan dari pernyataan yang dinegasi.Notasi : -p atau dibaca tidak benar p atau tidak pContoh :1. P : Saya makan nasi -p : saya tidak makan nasi2. p : Semua siswa naik kelas -p : Ada siswa tidak naik kelas3. p : Beberapa siswa tidak remidi matematika -p : Semua siswa remidi matematika

B. Kalimat majemuk

1. Konjungsiadalah kalimat majemuk yang kata hubungnya dan, tetapi, meskipun , dan sejenisnya

Rumus penulisan : p q, dibaca p dan qp q bernilai benar jika p dan q bernilai benar.Tabel kebenaran :

Contoh :a. 2 +3

= 5 dan 5 – 4 = 1 (konjungsi

bernilai benar)b. Setiap manusia pasti akan mati tetapi

matahari terbit dari barat. (Konjungsi bernilai salah)

2. Disjungsi

adalah Kalimat majemuk yang menggunakan kata hubung atau .

Created by Dion Phi – Nine

p q p qB B BB S SS B SS S S

2


Disjungsi terbagi 2 macam :1. Disjungsi inklusif

adalah disjungsi dimana dua kejadian dapat terjadi sekaligus dalam waktu bersamaan.Rumus penulisan : p q , dibaca p atau qp q bernilai salah hanya jika p dan q bernilai salah

Tabel kebenaran :

Contoh :a.

Saya makan roti sedangkan adik minum susu

b. 2+3 = 10 tetapi Gogon makan sotoc. Ica sedang berenang dan makan kacang

2. Disjungsi Eksklusifadalah disjungsi dimana dua kejadian tidak dapat terjadi dalam waktu bersamaan

rumus penulisan :p q , dibaca p atau qp q bernilai benar jika hanya satu pernyataan bernilai benar.

Tabel kebenaran :

Contoh :a. Saya lahir di Surabaya atau Jakartab. Ani berdiri atau duduk

Masalah Rangkaian seri dan Paralel pada saklar

Konjungsi untuk rangkaian seriDisjungsi inklusif untuk rangkaian parallel

Contoh :

1.

Dapat ditulis p q r

2.

Dapat ditulis p q r

3.

Dapat ditulis p4. dapat digambar :

3. Implikasiadalah kalimat majemuk yang memuat kataJika …maka… Rumus penulisan : , dibaca :Jika p maka qq jika pp hanya jika qp syarat cukup bagi qq syarat perlu bagi p

Dari bentuk , p disebut antiseden/hipotesa sedangkan q disebut konskuen/kesimpulan

bernilai salah jika p benar dan q salah

Tabel kebenaran :


p q p qB B BB S BS B BS S S

p q p qB B SB S BS B BS S S

p qB B BB S SS B BS S B

q rp

r

q

p

p q

r

s

m

m

r

q

p

3


Contoh :a. Jika saya naik kelas maka saya senangb. 2+3 = 5 jika 3x2 = 6c. 3 bilangan cacah syarat cukup bagi 5

bilangan bulat

Masalah Konvers,invers dan Kontraposisi

Rumusan :Kalimat mempunyai :Konvers : Invers : Kontraposisi :

Contoh :Jika saya naik kelas maka saya senangKonvers :Jika saya senang maka saya naik kelasInvers :Jika saya tidak naik kelas maka saya tidak senangKontraposisi:Jika saya tidak senang maka saya tidak naik kelas

4. Biimplikasiadalah kalimat majemuk yang memuat kata :…….. bila dan hanya bila …..Rumus penulisan :

dibaca p bila dan hanya bila q bernilai benar jika p dan q bernilai

samaTabel kebenaran :

Contoh :a. Saya remidi matematika bila dan

hanya bila nilai saya kurang dari 65b. 5+6=11 jika dan hanya jika 12/6=2

C. Negasi Pernyataan majemuk

Rumusan :1.

2.

3.

4.

Contoh :1. Hari ini hujan dan saya pergi memancing

Negasinya :Hari ini tidak hujan atau saya tidak pergi memancing

2. 3 > 2 atau 6+2=8Negasinya :3 2 dan 6+2 ≠ 8

3. Jika 2log8=3 maka 23=8Negasinya :2log8 = 3 tetapi 23 ≠ 8

4. Saya senang jika dan hanya jika lulus ujianNegasinya :Saya senang tetapi tidak lulus ujian atau saya tidak senang tetapi lulus ujian

D. Ekuivalen

Rumusan :1.2.3.4.5.

Contoh :1. Jika 3+8 = 11 maka 6-2=5

Ekuivalen : 3+8≠11 atau 6-2=5 Jika 6-2≠5 maka 3+8≠11

2. Saya makan jika dan hanya jika laparEkuivalen:Jika saya makan maka saya lapar dan jika

saya lapar maka saya makan

E.

Tautologi ,Kontradiksi dan kontingensi

Tautologi adalah sebuah pernyataan yang selalu bernilai benar.

Kontradiksi adalah sebuah pernyataan yang selalu bernilai salah

Kontigensi adalah sebuah pernyataan yang bukan tautologi dan kontradiksi


p qB B BB S SS B SS S B

4


Contoh Tautologi: 1. Saya makan pisang atau tidak makan

pisang2. Setiap manusia akan mati3. dalam notasi :

Contoh Kontradiksi1. Saya makan pisang tetapi tidak makan

pisang2. Manusia tidak akan mati3. dalam notasi :

Contoh Kontingensi :1. Jika hari hujan maka adik keluar rumah2. Saya tidur dan ibu memasak di dapur3. dalam notasi :

F. Penarikan kesimpulan

1. Modus ponen

Rumus :p qP

q2. Modus Tolen

Rumus :p q-q

-p

3. Silogisme

Rumus :p qq r

p r

4. model lainp qq r-p

r

Model lain yang dimaksud masih banyak lagi. Gunakanlah nalar anda untuk menyimpulkan yang sah dari beberapa premis yang ada. Premis adalah sebuah pernyataan yang sudah benar atau dianggap benar.

Untuk menentukan sebuah kesimpulan yang sah/benar dapat menggunakan rumusan di atas atau juga dapat menggunakan table kebenaran. Pada table kebenaran kesimpulan yang sah mempunyai kolomnya selalu bernilai benar /tautologi.

G. Bukti dalam matematika

1. Bukti langsung

Cara pembuktiannya ialah dari yang diketahui hingga terbukti kesimpulannyaContoh :Buktikan bahwa jika n bilangan genap maka n2 juga genapBukti :Diketahui bahwa n bilangan genap akan dibuktikan bahwa n2 juga genap.Karena n bilangan genap, menurut definisi bilangan genap, maka n = 2m dengan m bilangan bulat. Sehingga :n2 = (2m)2 = 4m2

= 2.2m2

= 2.k (dengan k bilangan bulat)Jadi terbukti bahwa n2 adalah bilangan genap.

2. Bukti tak langsung Kontraposisi

Cara pembuktiannya ialah kalimat sebelumnya di kontraposisi dulu, kemudian dibuktikan dengan bukti langsung.

Contoh :Buktikan jika n bilangan habis dibagi 6, maka n habis dibagi 2

Bukti :


5


Kalimat di atas dikontraposisi dulu menjadi :Jika n tidak habis dibagi 2 maka n tidak habis dibagi 6Diketahui n tidak habis dibagi 2, berarti n ≠ 2m, (m bilangan bulat) atau n bukan bilangan kelipatan 2 atau bukan bilangan genap sehingga n bukan bilangan kelipatan 6 atau n tidak habis dibagi 6.

Terbukti bahwa jika n bilangan habis dibagi 6, maka n habis dibagi 2

Kontradiksi

Cara pembuktiannya ialah :Misal buktikan p qBukti :Andaikan –q benar, tunjukkan bahwa kontradiksi dengan yang diketahui atau teorema yang sudah ada.

Contoh :Buktikan Jika n bilangan ganjil maka n2

juga ganjil

Bukti :Andaikan n2 bukan bilangan ganjil,maka n2 ≠ 2k+1 (k bilangan bulat) berarti n2 bukan bilangan bulat atau n2

bilangan genap. Pembuktiannya kita pilah jadi 2 :1. n2 bukan bilangan bulat

n2 adalah bilangan pecahan, bilangan imajiner atau bilangan irasional sehingga n bukan bilangan bulat. Kalau bukan bulat maka n bukan ganjil. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa n bilangan ganjil. Jadi pengandaian salah . Jadi n2

haruslah bilangan bulat2. n2 bilangan genap

n2 = 2kuntuk k = 2m2 , maka didapat :n2 = 2.2m2 = 4m2n = , artinya n bilangan genap untuk k ≠ 2m2, maka didapat n bilangan irasional atau n bilangan imajiner. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa n bilangan ganjil.

Jadi pengandaian salah haruslah n2

bukan bilangan genap.

Dari (1) dan (2) diperoleh bahwa haruslah n2 bilangan bulat dan bukan bilangan genap artinya n2 bilangan ganjil.Jadi terbukti bahwa Jika n bilangan ganjil maka n2 juga ganjil

3. Induksi Matematika

Langkah – langkah pembuktian rumus berlaku untuk setiap n bilangan asli, dengan induksi matematika adalah sbb :

1. Tunjukkan rumus benar untuk n =12. Andaikan rumus benar untuk n=k,

tunjukkanlah bahwa rumus juga benar untuk n=k+1

Contoh :Buktikan : 1+3+5+7+…+(2n-1) = n2 (n bilangan asli)

Bukti :Langkah – langkah :1. untuk n=1

ruas kiri = 1ruas kanan = 12 = 1Jadi rumus benar/berlaku untuk n=1

2. andaikan rumus benar untuk n=k berarti :1+3+5+7+…+(2k-1)=k2, akan ditunjukkan bahwa rumus benar untuk n=k+1,berarti :1+3+5+7+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)2.Bukti :Ruas kiri :1+3+5+7+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)= k2

+ 2k+1 = (k+1)2

Terbukti bahwa rumus berlaku untuk setiap n bilangan asli.

LATIHAN SOAL LOGIKA

1. Tentukan apakah kalimat-kalimat berikut pernyataan, bukan pernyataan atau kalimat terbuka. Jika pernyataan tentukan pula nilai kebenaranya !

a. Matahari terbit dari ufuk timurb. 2+7=6c. x+4=10


6


d. Pergilah dariku !e. Jangan cintai aku!f. x+2>3g. ini milikkuh. Mengapa kau pergi dariku?i. x2 +1 < 0 untuk x bilangan realj. Sandra Dewi adalah artis cantikk. Gula rasanya pedasl. Dion adalah guru matematika yang

tampan2. Buatlah masing-masing 2 contoh

pernyataan,bukan pernyataan dan kalimat terbuka.

3. Tentukan negasi dari pernyataan berikut ini !a. Hari ini upacara benderab. Beberapa siswa X-2 SMAN 9 Surabaya

remidi matematikac. Setiap manusia bernafas menggunakan

paru-parud. 7 < 9e. Cat rumah itu berwarna merah

4. Buatlah pernyataan majemuk konjungsi,disjungsi inklusif,disjungsi eksklusif, implikasi dan biimplikasi masing-masing 2

5. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan :a.b.

c.d.e.

6. Agar kalimat terbuka berikut menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar, tentukan seluruh nilai x yang memenuhi!a. Presiden RI pertama kali adalah Soeharto

tetapi x2 – 6x -7 > 0b. x2 – 5x = 0 dan 2x2- x = 45c. 3x-5 < 4 meskipun x2 -3x+2 ≥ 0d. Rudi hartono adalah pebulu tangkis

Indonesia yang menjuarai All England 10 kali atau 2log(2x-3)=5

e. Ikan Paus adalah bukan binatang mamalia

atau 92x+1 = (x bilangan real)

f. 3x-4 < 8 atau 2x>4g. x2-4x ≥ 0 atau x2-4x +3 < 0h. x2=4 atau i. Jika Gula manis maka xlog16 = 4j. Jika Energi kinetik benda dirumuskan Ek

=m.g.h, maka x2 – 4=0k. Jika x2-15=0 maka Perang Padri dipimpin

oleh pangeran Diponegorol. Jika x < 2 maka x2 < 5m. Jika x > 6, maka x-5 > 3x +1

n. Untuk x bilangan real negatif, 2logx2 = 2 2logx jika dan hanya jika x > -2

o. 2+3 = 5 jika dan hanya jika x2-4x=0p. Linux adalah program sistem operasi pada

computer jika dan hanya jika x+2 < x +8q. x2-6x+5 >0 jika dan hanya jika x2-10x+24

<07. Gambarlah rangkaian saklar pada bentuk

berikuta.b.

8. Tuliskan rangkaian pada gambar berikut :a.

b.

9. Tentukan konvers,invers dan kontraposisi dari :a. Jika hujan maka jalanan basah b. Aku pergi jika kau datangc. Jika ada bunga mawar merah maka semua

pria akan memetiknya10. Tentukan negasi atau ingkaran dari

pernyataan berikut :a. Saya belajar matematika dan Adik tidurb. Ibu ditendang kuda atau semua kuda

beranakc. Jika saya mencintai matematika maka nilai

matematika saya 90d. Semua lelaki matanya keranjang jika dan

hanya jika ada wanita seperti kuda binal11. Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan

pernyataan berikuta. Jika 3>2 maka kurva parabola 2x2-x+1

terbuka ke atasb. Saya makan pisang atau ibu pergi ke

pasarc. Dion sayang Fifi jika dan hanya jika Fifi

sayang Dion

12. Selidiki apakah pernyataan berikut Tautologi,Kontradiksi atau Kontingensia. ((-p q) -q) -pb.c.d.


s

q

r

m n

p

p q

r

s

m n

k

w

7


13. Selidiki sah atau tidak penarikan kesimpulan berikuta. Jika hari hujan maka jalanan basah

Jika jalanan basah maka jalanan licinJika hari hujan maka jalanan licin

b. Saya naik kelas atau saya menangisSaya tidak naik kelas

saya tidak menangisc. Jika x bilangan asli maka x bilangan bulat

x bukan bilangan bulatx bukan bilangan asli

d.

e.

14. Tentukan kesimpulan yang sah dari beberapa premis berikuta. Jika anjing binatang karnivora maka anjing

memakan daging.Jika anjing memakan daging maka anjing dibuang manusia ke hutanAnjing idak dibuang manusia ke hutanJadi :………………………………………………………………………..

b.

-qJadi : ………………………………….

15. Buktikan pernyataan berikut ini a. Jika n bilangan ganjil maka n2 juga ganjilb. n2-1 habis dibagi n-1 untuk n bilangan real

dan n≠1c. 3n-1 habis dibagi 2 untuk setiap n bilangan

aslid. Untuk a,b positif , buktikan a+b ≥

e.

f. 2+5+8+11+…..+(3n-1)= untuk

setiap n bilangan aslig. 3+6+12+24+…+(3.2n-1)=3(2n-1) untuk

setiap n bilangan asli

h. 4+1-2-5 - ….-(3n-7)= untuk

setiap n bilangan aslii. 6+3+ 3/2 + ¾ + …+ (3.22-n) = 12(1 – 2-n)j. Buktikan bahwa 1110-1 habis dibagi 100

k. Jika a,b,c, dan d real positif dan berlaku :

buktikan bahwa

l. Jika a,b,c bilangan real positif dan a+b+c=1, maka buktikan (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc

Selamat belajar semoga sukses


LOGIKA

Documents

Transcript of LOGIKA