MODUL MATEMATIKA WAJIBX MIA

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Oleh :Anna Mariska Diana P, S.Pd

dan TIM MGMP

Oleh :Anna Mariska Diana Putri, S.Pd

Tahun Pelajaran 2017-2018 SMA Santa Angela

Jl. Merdeka No. 24 Bandung

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

1.1 Gradien Garis

2

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

LATIHAN :1) Tentukan besarnya gradien yang melalui titik A (-2,3) dan B (3,-5)

3

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

Soal no. 3

1.2 PERSAMAAN GARIS1. Persamaan Garis Lurus bentuk umum ( y = mx )

Persamaan garis yang melalui titik pangkal O ( 0,0 ) dengan gradien m :

Contoh :

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan bergradien 2 !

Jawab : y = mx

               y = 2x

2. Persamaan Garis yang memotong sumbu Y di (0,n) dengan gradien m adalah y = mx + n

Contoh :

Diketahui : titik garis ( 0 , -2 )

4

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4 m = 3 / 4

Ditanya :

Persamaan garis = . . .?

Jawab :

3.Persamaan garis yang memotong sumbu X di dan sumbu Y maka

persamaannya

Contoh : persamaan garis yang memotong di sumbu x dan sumbu Y berturut-

turut adalah (0,1) dan (2,0) yaitu

4. Garis yang sejajar sumbu Y dan berjarak a satuan dari sumbu Y adalah garis x=a5. Garis yang sejajar sumbu X dan berjarak a satuan dari sumbu X adalah garis y = b

5

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

6

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,2) dan :a. Sejajar pada garis

b. Tegaklurus pada garis

LATIHAN :

1. Tentukan gradien garis yang melalui titik A (3,4) dan B (2,8)2. Tentukan persamaan garis yang :

a. melalui titik A (3,4) dan B (2,8)b. memiliki gradien 3c. memotong sumbu Y di (0,5) dan memliki gradient 6d. memotong di sumbu X (3,0) dan sumbu Y (0,-5)e. melalui titik A (2,3) dan memiliki gradient 5

3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan tegak lurus dengan

garis

4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan sejajar dengan garis

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,2) dan :a. Sejajar pada garis

b. Tegaklurus pada garis

PERSAMAAN LINEAR YANG MELIBATKAN NILAI MUTLAK1.3 Nilai Mutlak

7

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4 Definisi : nilai mutlak dari bilangan real dapat ditulis sebagai :

Nilai mutlak : jarak suatu bilangan yang sama terhadap titik O

Sifat dari nilai mutlak :

a.

Contoh :

b. |ab| = |a|.|b|c. |-a| = |a|d. |x2| = x2

e.f. atau

Persamaan Nilai Mutlak :Contoh : Tentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak dari

Jawab :

Jika

Jika

8

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

Jadi HP : Atau

9

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

10

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

Selesaikanlah persamaan

Cara Menyelesaikannya:Pertama-tama kita harus mengisolasi nilai mutlak caranya adalah dengan memisahkan nilai mutlak agar berada pada satu ruas, sementara suku yang lain kita pindahkan menuju ruas yang lain.

Pada persamaan nilai mutlak adalah sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa:

11

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

sehingga

maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah {7,1}

Contoh Soal 2

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan

Cara Menyelesaikannya:

maka

sehingga

Maka himpunan penyelesaiannya adalah {-40,60}

LATIHANCarilah nilai x dari :1.Bentuk A

a.

12

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

b.

c.

d.

e.

f.

2. Bentuk B

a.

b.

c.

d.

e.

f.

3. Bentuk C

a.

b.

c.

d.

13

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

e.

f.

PERTIDAKSAMAAN LINEAR1. Pertidaksamaan Linear Dua VariabelJika  x dan y merupakan variabel,a,b,dan c merupakan bilangan/konstanta, pertidiksamaan linerardapay dituliskan sebagai berikut: ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, dan ax + by ≥ c.Contoh bentuk pertidaksamaan linear dua variabel.1. 2x + 3y < 62. 3x + 4y > 123. x + y ≤ 10 4. 5x - 2y ≥ 20

Pertidaksamaan-Pertidaksamaan linear dua variabel mempunyai penyelesaian yang berupa daerah penyelesaian. Daerah penyelessaian ini merupakan titik-titik (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.Daerah penyelesaian ini dapat digambarkan seperti berikut.Contoh 1Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≤ 10.Jawaban:Langkah pertama kita membuat persamaan x + y = 10 (persamaan garis lurus)Membuat dua titik bantu.Untuk x = 0, maka y = 10. Diperoleh titik (0, 10)Untuk y = 0, maka x = 10. Diperoleh titik (10, 0)Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan x + y ≤ 10.

Gambar yang diarsir adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 10. Untuk mengecek/menyelidiki kebenarannya sebgai berikut.Daerah yang diarsir memuat (0,0). Jika (0,0) kita substitusikan ke x + y ≤ 10 14

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4 akan diperoleh 0 + 0 ≤ 10. Hal ini sebuah pernyataan yang benar.

Contoh 2Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.Jawaban:Langkah pertama kita membuat persamaan 2x + 3y = 18 (persamaan garis lurus)Membuat dua titik bantu.Untuk x = 0, maka y = 6. Diperoleh titik (0, 6)Untuk y = 0, maka x = 9. Diperoleh titik (9, 0)Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.

 Perlu diketahui,titik (0,0) tidak memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18, karena 2(0) + 3(0) ≥ 18 sebuah pernyataan yang salah. Jadi, daerah yang memuat (0, 0) tidak diarsir.

 Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 2x + 3y ≥ 18.

15

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4  2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

 Kita tahu bahwa pada materi yang lalu dibahas sistem persamaan linear dua variabel. Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem persamaan linear dua variabel adalah gabungan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel yang variabel-variabelnya saling berkaitan (variabelnya sama). Dengan demikian dari sistem pertidaksamaan tersebut diperoleh penyelesaian dari kedua atau lebih pertidaksamaan itu.Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear dua veriabel.ax + by ≤ cpx + qy ≤ rTanda ketidaksamaan dapat meliputi ≤, ≥, <, >.

Perhatikan contoh sistem pertidaksamaan dan penyelesaiannya berikut.Contoh 1Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.

x + y ≤102x + 3y ≤ 24x ≥ 0, y ≥ 0Jawaban:Persamaan x + y = 10 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (10, 0) dan (0,10).Persamaan 2x + 3y = 24 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (12, 0) dan (0,8).Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan di atas. sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

16

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

 

Contoh 2Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.x + y ≥ 85x + 3y ≥ 30x ≥ 0, y ≥ 0Jawaban:Persamaan x + y = 8 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (8, 0) dan (0,8).Persamaan 5x + 3y = 30 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (6, 0) dan (0,10).Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan di atas sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

17

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

Contoh 3Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.x + y ≤ 122x + 5y ≥ 40x ≥ 0, y ≥ 0Jawaban:Persamaan x + y = 12 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (12, 0) dan (0,12).Persamaan 2x + 5y = 40 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y  di (20, 0) dan (0, 8).Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan x + y ≤ 12 sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 12. Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan 2x + 5y ≥ 40 sehingga daerah yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 5y ≥ 40.Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti di bawah ini.

 

18

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

 Demikian penjelasan tentang Pertidaksamaan dan Sistem prtidaksamaan linear dua variabel. Berikutnya akan dibahas tentang progam linear di segmen berikutnya.Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

       Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut.a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa

mengubah tanda ketidaksamaan. b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama

tanpa mengubah tanda ketidaksamaan. c. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama,

tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana > menjadi < , < menjadi >, ≤ menjadi ≥, ≥ menjadi ≤

.

LATIHAN Tentukan nilai x dari :

1.

19

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

LATIHANTentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut (gambarkan!) contoh di buku halaman 20

1.

2.

3.

4.

5.

20

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

6.

7.

8.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel .Pertidaksamaan  mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.

Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.

Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

21

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4 ContohTentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.

Jawaban1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.    -9 < x+7 < 9    -9 - 7 < x < 9 - 7       -16 < x < 2   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}

2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.   (*) 2x - 1 >=  7             2x  >=  7 + 1             2x  >= 8               x  >= 4

  (**) 2x - 1 <= -7             2x   <= -7 + 1             2x   <= -6               x   <= -3       Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}

 3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas.perhatikan proses berikut ini.

22

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4 (x + 3)2 <= (2x – 3)2

(x + 3)2 - (2x – 3)2 <= 0

(x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a2 – b2 = (a+b)(a-b))

x (6 - x) <=0

Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6Mari selidiki menggunakan garis bilangan

Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.Mari selidiki menggunakan garis bilangan

Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.

4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi.Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya.Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.

23

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.

Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian.1. Untuk batasan x >= -1/3  ......(1)   (3x + 1) - (2x + 4) < 10          3x + 1 - 2x- 4 < 10                         x- 3 < 10                             x < 13 .......(2)

  Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13

2. Untuk batasan -2<= x < -1/3  ......(1)    -(3x + 1) - (2x + 4) < 10          -3x - 1 - 2x - 4 < 10                       -5x - 5 < 10                             -5x < 15                                -x < 3                             x > 3 .......(2)

  Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.

3. Untuk batasan x < -2  ......(1)   -(3x + 1) + (2x + 4) < 1024

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4          -3x - 1 + 2x + 4 < 10                        -x + 3 < 10                             -x  < 7                                 x > -7 .......(2)

  Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.

Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.

25

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

26

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

27

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

28

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

29

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

30

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

31

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

32

Modul Bab 1 X Wajib Sem 1/2017-2018 4

33