BAB II

PEMBAHASAN

LETIS (LATTICE)

2.1 Pengertian Letis

Definisi :

Misalkan (𝑃, ≤) adalah poset. (𝑃, ≤) dinamakan letis jika (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑃)

terdapat ba* dan ba . Letis dilambangkan dengan (𝐿, ≤,∗, ⨁) atau secara singkat

dilambangkan dengan L.

Contoh

Dik : Misalkan P adalah himpunan semua faktor dari 24.

P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} didefinisikan a ≤ b sebagai b habis dibagi a,

a*b adalah pembagi persekutuan terbesar dari {𝑎, 𝑏} dan a ⨁ b adalah

kelipatan persekutuan terbesar dari {𝑎, 𝑏}.

Dit : Tunjukkan (𝑃, ≤,∗, ⨁) adalah letis.

Penyelesaian:

Untuk menunjukkan apakah (𝑃, ≤,∗, ⨁) adalah letis maka harus ditunjukkan apakah

(𝑃, ≤) adalah poset.

𝑃 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

𝑃 × 𝑃 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (1, 12), (1, 24), … , (24, 24)}

𝑅 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), … , (2, 2), … , (3, 3), … , (24, 24)}

1) Refleksif = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), … , (24, 24)}

karena ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 berlaku a𝑅a, (a, a) ∈ 𝑅 maka R bersifat refleksif.

2) Antisimetris = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), … , (24, 24)}

karena ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 dan 𝑏, 𝑎 ∈ 𝑅 maka a = b berlaku a𝑅b (a, b) ∈ 𝑅 maka R

bersifat antisimetris.

3) Transitif = {(1, 2) ∈ 𝑅, (2, 3) ∈ 𝑅 → (1, 3) ∈ 𝑅 }

karena ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 berlaku a𝑅b dan b𝑅c → a𝑅c, maka R bersifat transitif.

Jadi (𝑃, ≤) adalah poset.

Akan ditunjukkan apakah (𝑃, ≤,∗, ⨁) adalah letis.

Gambar diagram hasse letis:

Gambar 1

Berdasarkan diagram hasse diatas dapat diteliti bahwa :

12*1 13*2 11*3 28*4 412*8

421 632 613 2484 24128

13*1 14*2 16*3 212*4 424*8

631 842 1263 24124 24248

11*2 16*2 26*4 312*6 624*12

412 1262 1264 24126 242412

2.2 Beberapa Sifat Dasar Letis

Beberapa teorema yang menyangkut letis :

Teorema 1 :

Misalkan (𝐿, ≤,∗, ⨁) adalah letis ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿 berlaku :

(i) a*a = a dan a ⨁ a = a ( idempoten)

(ii) a*b = b*a dan a ⨁ b = b ⨁ a (komutatif)

(iii) (a*b)*c = a*(b*c) dan (a ⨁ b) ⨁ c = a ⨁ (b ⨁ c) (assosiatif)

(iv) a*(a ⨁ b) = a dan a ⨁ (a*b) = a (absorbs/penyerapan)

sebagai gambaran cara pembuktian teorema 1, akan kita buktikan sifat idempotent yang

pertama.

Bukti (i)

Dari sifat refleksif ≤ diperoleh a ≤ a. a ≤ a, berarti bahwa a merupakan batas bawah

dari {a,a}. karena a merupakan batas bawah dari {a,a}, maka a ≤ a * a. selanjutnya

dari definisi infimum diperoleh a * a ≤ a. karena a ≤ a * a dan a * a ≤ a, maka

disimpulkan bahwa a * a = a (sifat anti simetris ).

Teorema 2 :

Misalkan L adalah letis. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿 berlaku a ≤ b ⇔ a*b = a ⟺ a ⨁ b = b

untuk mencapai hal ini kita asumsikan bahwa a ≤ b. karena L merupakan letis, maka

berlaku a ≤ a (reflektif). Dengan demikian

a ≤ a *b ………………………………………………………………(1)

menurut definisi infimum dari {a,b} diperoleh

a * b ≤ a ………………………………………………………………(2)

dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a * b = a. Dengan demikian

a ≤ a → a * b = a ………………………………………………………………(3)

selanjutnya kita asumsikan bahwa a * b = a. Hal ini hanya mungkin terjadi bila a ≤

b. Dengan demikian

a * b = a → a ≤ b ………………………………………………………………(4)

dari (3) dan (4) dapat disimpulkan bahwa

a ≤ b ↔ a * b = a

Teorema 3 :

Misalkan L adalah letis. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿 berlaku :

b ≤ c ⇒ (a*b ≤ a*c) (a ⨁ b ≤ a ⨁ c)

Misalkan ),( L sebuah letis dan Lcba ,, . Dari definisi operasi dan , kita

peroleh beberapa implikasi berikut :

(1) cbacaba

(2) cbacaba

(3) cbacaba

(4) cbacaba

Teorema 4 :

Misalkan L adalah letis. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿 berlaku :

(i) a ⨁ (b*c) ≤ (a ⨁ b)*(a ⨁ c)

(ii) (a*b) ⨁ (a*c) ≤ a*(b ⨁ c)

Teorema 5 :

Misalkan L adalah letis. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐿 berlaku :

a ≤ c a ⨁ (b*c) ≤ (a ⨁ b)*c

2.3 Sub Letis dan Hasil Kali Letis

Definisi :

Misalkan (L, ≤, *, ⨁) adalah letis dan LS .

S disebut Subletis dari L jika (S, ≤, *, ⨁) adalah letis.

Catatan :

Syarat perlu dan cukup agar S subletis adalah a * b dan a ⨁ b ∈ S, ∀𝒂, 𝒃 ∈ 𝑺.

Contoh

Dik: Misalkan (L, ≤) adalah letis dengan L = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎8}

𝑆1, 𝑆2, & 𝑆3 merupakan subset – subset dari L yaitu :

𝑆1 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎4, 𝑎6} 𝑆2 = {𝑎3, 𝑎5, 𝑎7, 𝑎8} dan

𝑆3 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎4, 𝑎8}

Dit: (a) Buatlah diagram hasse dari (L,≤)

(b) Periksa apakah 𝑆1, 𝑆2, & 𝑆3 adalah subletis dari L

Penyelesaian:

(a)

(b) 𝑆1 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎4, 𝑎6}

121 * aaa 162 * aaa 142 * aaa

621 aaa 662 aaa 642 aaa

141 * aaa 164 * aaa

641 aaa 664 aaa

Karena 1),( Sba terdapat ba* dan ba maka 1S adalah letis.

𝑆2 = {𝑎3, 𝑎5, 𝑎7, 𝑎8}

353 * aaa 385 * aaa 375 * aaa

853 aaa 885 aaa 875 aaa

373 * aaa 387 * aaa

873 aaa 887 aaa

Karena 2),( Sba terdapat ba* dan ba maka 2S adalah letis.

𝑆3 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎4, 𝑎8}

121 * aaa 141 * aaa

3621 Saaa 3641 Saaa

Karena 3),( Sba terdapat 3Sba maka

3S bukan letis

Hasil kali letis

Definisi :

Misalkan ),,,( 1111 L dan ),,,( 2222 L adalah letis. Hasil kali letis

dari 1L dan 2L yang dilambangkan ),,,( 21 LL adalah hasil kali Cartes

21 LL dengan relasi dan operasi-operasi yang didefinisikan sebagai berikut:

21212211 ),(),( bbaababa

),(),(),( 2212112211 bbaababa

),(),(),( 2212112211 bbaababa

Dapat diperhatikan bahwa ),,,( 21 LL adalah letis.

Khusus jika LLL 21 , letis 21 LL dilambangkan 2L .

Contoh

Dik : Misalkan 4,2,11 L dan 9,3,12 L

ba 1 b habis dibagi a

ba 2 b habis dibagi a

Dit :

(a) Buatlah diagram hasse dari 21 LL

(b) Periksa apakah 21 LL adalah letis.

Penyelesaian:

(a) )9,4(),3,4(),1,4(),9,2(),3,2(),1,2(),9,1(),3,1(),1,1(21 LL

Gambar diagram hasse dari 21 LL

(b) )1,1()1,2(*)1,1( )3,1()3,2(*)3,1( )3,1()9,1(*)3,2(

)1,4()1,2()1,1( )3,4()3,2()3,1( )9,2()9,1()3,2(

)1,1()3,1(*)1,1( )9,1()9,2(*)9,1( )3,2()9,2(*)3,4(

)9,1()3,1()1,1( )9,4()9,2()9,1( )9,4()9,2()3,4(

)1,2()3,2(*)1,2( )1,4()3,4(*)1,4(

)9,2()3,2()1,2( )9,4()3,4()1,4(

)1,1()3,1(*)1,2( )1,2()3,2(*)1,4(

)1,2()3,1()1,2( )3,4()3,2()1,4(

Karena 21),( LLba terdapat ba* dan ba maka 21 LL adalah letis.