Lecture Note on Finite Difference Modified

Modul Kuliah Modul Kuliah Modul Kuliah Modul Kuliah

METODE BEDA HINGGA

0 20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

120

-2

0

2

Oleh :

Agustinus Ribal, S.Si, M.Sc

Program Studi Matematika

Jurusan Matematika Fakultas MIPA

Universitas Hasanuddin

2008

i

HALAMAN PENGESAHAN

Yang bertanda tangan di bawah ini, menerangkan bahwa :

Nama : Agustinus Ribal, S.Si, M.Sc

NIP : 132 233 790

Pangkat / Golongan : Asisten Ahli / IIIb

Unit Kerja : Jurusan Matematika FMIPA

UNHAS

adalah benar penyusun dan penulis modul ”Metode Beda Hingga”, yang

merupakan salah satu bagian materi dari mata kuliah Metode Numerik

Lanjut di Jurusan Matematika FMIPA UNHAS yang disajikan pada

Semester Akhir 2007/2008.

Demikian surat ini dibuat untuk dipergunakan sebagaimana mestinya.

Makassar, 08 Agustus 2008

Mengetahui,

Dekan Fakultas MIPA UNHAS Ketua Jurusan Matematika

Prof. Dr. H. Alfian Noor, M.Sc Drs. Muhammad Zakir, M.Si.

NIP. 130 520 684 NIP. 131 959 064

ii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa

oleh karena berkat dan bimbingan-Nyalah sehingga penulis dapat merampungkan

materi kuliah pada mata kuliah Metode Numerik Lanjut yang disajikan pada

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar.

Modul ini merupakan materi kuliah yang telah dipakai pada semester akhir

2007/ 2008 pada Jurusan Matematika, UNHAS

Modul kuliah ini terdiri dari empat Bab yaitu Pendahuluan yang meliputi

Klasifikasi persamaan differensial parsial dan masalah nilai batas, selanjutnya

akan dibahas berturut-turut Persamaan Beda Untuk Persamaan Differensial Parsial

Tipe Elliptik, Parabolik dan Hiperbolik.

Penyusunan diktat ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, baik dari

pemerhati maupun mahasiswa, maka melalui kesempatan ini penulis ingin

mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada

semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan diktat kuliah ini baik secara

langsung maupun tidak langsung.

Makassar, Agustus 2008

Penulis

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN PENGESAHAN .................................................................................. i

KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii

DAFTAR ISI .......................................................................................................... iii

1. Pendahuluan .................................................................................................... 1

1.1 Pengantar ............................................................................................. 1

1.2 Syarat Batas dan Syarat Awal ............................................................. 3

1.3 Ekspansi Deret Taylor Untuk Turunan Parsial ................................... 3

1.4 Deret Taylor Untuk Turunan Parsial Gabungan ................................. 7

2. Persamaan Beda Untuk Persamaan Differensial Parsial Tipe Elliptik ..... 9

3. Persamaan Beda Untuk Persamaan Differensial Parsial Tipe Parabolik 17

3.1 Backward Time Centered Space ....................................................... 18

3.1.1 Kestabilan .................................................................................. 20

3.1.2 Konsistensi ................................................................................ 22

3.2 FTCS (Forward Time Centered Space)............................................. 24

3.2.1 Kestabilan .................................................................................. 26

3.2.2 Konsistensi ................................................................................ 27

4. Persamaan Beda Untuk Persamaan Differensial Parsial Tipe Hiperbolik

......................................................................................................................... 30

4.1 Persamaan Transport ......................................................................... 30

iv

4.1.1 Metode Courant Isaacson Rees ................................................. 31

4.1.1.1 Kestabilan .............................................................................. 32

4.1.1.2 Konsistensi ............................................................................ 34

4.1.2 Metode Lax ............................................................................... 35

4.1.2.1 Kestabilan .............................................................................. 36

4.1.2.2 Konsistensi ............................................................................ 37

4.1.3 Metode Leapfrog ....................................................................... 38

4.1.3.1 Kestabilan .............................................................................. 39

4.1.3.2 Konsistensi ............................................................................ 40

4.2 Persamaan Gelombang ...................................................................... 45

4.2.1 Nilai Awal ................................................................................. 48

4.2.2 Kestabilan .................................................................................. 49

4.2.3 Konsistensi ................................................................................ 51

Daftar Pustaka ....................................................................................................... 57

1

BAB I

Pendahuluan

1. Pengantar

Perumusan matematika dari masalah-masalah dunia nyata dalam bidang sains

dan industri biasanya berakhir dengan sebuah masalah nilai batas, yaitu sebuah

persamaan differensial (atau sekelompok persamaan differensial) dengan syarat

batas dan syarat awal tertentu.

Sebuah persamaan differensial disebut:

a. Linier jika turunan dan fungsi dari variabel yang tidak diketahui

merupakan sebuah persamaan linier.

Contoh:

qducubuau xyyxx =+++

b. Quasi Linier jika semua suku turunan orde tertinggi adalah linier tetapi

beberapa suku dari orde yang lebih rendah adalah nonlinier.

Contoh:

),,(2uyxfbuau xxx =+

c. Nonlinier jika bukan merupakan linier atau quasi linier.

Contoh:

),(2 2yxqbuuu xyxx =++

2

Persamaan differensial parsial (PDP) yang paling sering muncul dalam masalah

dunia nyata adalah orde kedua dan secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:

0),,,,( =+++ yxyyxyxx uuuyxhcubuau ,

yang dapat diklasifikasikan dalam tiga kategori berdasarkan nilai dari acb 42 − .

a. Elliptik; jika 042 <− acb

b. Parabolik; jika 042 =− acb

c. Hiperbolik; jika 042 >− acb

Catatan:

Jika a, b, dan c merupakan fungsi dari x, y, dan u, maka persamaan mungkin

mengubah tipenya dari satu daerah ke daerah yang lainnya dalam

perhitungan domain.

Contoh:

Persamaan poisson:

),(2yxfuuu yyxx =+=∇ merupakan kategori elliptic

Persamaan difusi:

xxt uu = merupakan kategori parabolic

Persamaan gelombang:

xxtt uu2α= merupakan kategori hyperbolic

3

2. Syarat Batas dan Syarat Awal

Jika kita tidak membedakan antara waktu dan ruang sebagai variabel

bebas, maka sebuah syarat awal dapat juga dianggap sebagai syarat batas.

Untuk masalah dunia nyata, biasanya kita mengetahui nilai dari fungsi

dan/atau turunannya pada batas Ω∂ . Karena solusi harus memenuhi syarat batas,

maka kita harus menyelesaikan PDP dalam Ω dengan kendala syarat batas pada

Ω∂ .

Adapun jenis syarat batas yang biasa muncul adalah

a. Dirichlet (Syarat batas yang esensial)

e.g. uu ˆ= pada Ω∂

b. Neumann (Syarat batas alami)

e.g. σ=∂

∂

n

u pada Ω∂

c. Robin (Syarat batas gabungan (umum))

e.g. 0,0, ≠≠=+∂

∂kfku

n

uαα pada Ω∂

3. Ekspansi Deret Taylor Untuk Turunan Parsial

Diberikan sebuah fungsi f(x) yang analitik, maka )( xxf ∆+ dapat diekspansi

dalam sebuah deret Taylor disekitar x sebagai

( ) ( ) ( )+

∂

∂∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆+=∆+

4

44

3

33

2

22

!4!3!2)()(

x

fx

x

fx

x

fx

x

fxxfxxf

4

( )

∑∞

= ∂

∂∆+=

1 !)(

nn

nn

x

f

n

xxf (2.1)

Dari persamaan di atas, dapat diperoleh

( ) ( )+

∂

∂∆−

∂

∂∆−

∂

∂∆−

∆

−∆+=

∂

∂4

43

3

32

2

2

!4!3!2

)()(

x

fx

x

fx

x

fx

x

xfxxf

x

f (2.2)

Jika suku-suku yang memuat faktor x∆ atau yang lebih tinggi dijumlahkan dan

dinotasikan dengan O( x∆ ), maka x

f

∂

∂ dapat ditulis

( )xOx

xfxxf

x

f∆+

∆

−∆+=

∂

∂ )()( (2.3)

yang merupakan pendekatan turunan parsial orde pertama dari fungsi f terhadap x.

Jika indeks i digunakan sebagai diskritisasi titik ke arah x, maka (2.3) menjadi

( )xOx

ff

x

f ii

i

∆+∆

−=

∂

∂ +1 (2.4)

Persamaan ini biasa disebut pendekatan beda maju orde pertama dari x

f

∂

∂ orde

x∆ . Sangat jelas kelihatan bahwa jika ukuran x∆ diperkecil, maka galat akan

berkurang akibatnya ketepatan dari pendekatan akan meningkat.

Dengan cara yang sama, )( xxf ∆− dapat diekspansi dalam deret Taylor

disekitar x sebagai berikut:

( ) ( ) ( )−

∂

∂∆+

∂

∂∆−

∂

∂∆+

∂

∂∆−=∆−

4

44

3

33

2

22

!4!3!2)()(

x

fx

x

fx

x

fx

x

fxxfxxf

( ) ( )∑

∞

= ∂

∂∆−+=

1 !1)(

nn

nnn

x

f

n

xxf (2.5)

5

Sehingga diperoleh

( )xOx

xxfxf

x

f∆+

∆

∆−−=

∂

∂ )()( (2.6)

atau

( )xOx

ff

x

f ii

i

∆+∆

−=

∂

∂ −1 (2.7)

Persamaan ini biasa disebut pendekatan beda mundur orde pertama dari x

f

∂

∂ orde

x∆ .

Selanjutnya, jika (2.1) dikurangi (2.5), maka akan diperoleh

( ) ( )+

∂

∂∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆=∆−−∆+

5

55

3

33

!52

!322)()(

x

fx

x

fx

x

fxxxfxxf

diperoleh

( )2

2

)()(xO

x

xxfxxf

x

f∆+

∆

∆−−∆+=

∂

∂ (2.8)

Atau

( )211

2xO

x

ff

x

f ii

i

∆+∆

−=

∂

∂ −+ (2.9)

Persamaan ini biasa disebut pendekatan beda pusat orde pertama dari x

f

∂

∂ orde

( )2x∆ .

6

Selanjutnya untuk orde yang lebih tinggi, dapat diperoleh dengan cara

yang sama dengan sebelumnya yaitu jika kita mengekspansi )2( xxf ∆+ dalam

deret Taylor di sekitar x akan diperoleh

( ) ( )+

∂

∂∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆+=∆+

3

33

2

22

!3

2

!2

22)()2(

x

fx

x

fx

x

fxxfxxf (2.10)

Jika persamaan (2.10) dikurangi 2 kali persamaan (2.1) akan diperoleh

( ) ( ) +∂

∂∆+

∂

∂∆+−=∆+−∆+

3

33

2

22

)()(2)2(x

fx

x

fxxfxxfxxf

Sehingga diperoleh

( )( )xO

x

xfxxfxxf

x

f∆+

∆

+∆+−∆+=

∂

∂22

2)()(2)2(

atau

( )( )xO

x

fff

x

f iii

i

∆+∆

+−=

∂

∂ ++

2

12

2

2 2 (2.11)

Persamaan (2.11) disebut pendekatan beda maju untuk turunan orde kedua dari f

terhadap x dan orde pertama dari x

f

∂

∂ orde x∆ .

Dengan cara yang sama dapat diperoleh untuk pendekatan beda mundur dari

2

2

x

f

∂

∂ sebagai berikut (gunakan persamaan (2.5) dan ekspansikan )2( xxf ∆− ):

( )( )xO

x

xxfxxfxf

x

f∆+

∆

∆−+∆−−=

∂

∂22

2)2()(2)(

atau

7

( )( )xO

x

fff

x

f iii

i

∆+∆

+−=

∂

∂ −−

2

21

2

2 2 (2.12)

Demikian pula untuk pendekatan beda pusat dari 2

2

x

f

∂

∂ sebagai berikut (gunakan

persamaan (2.1) dan persamaan (2.5):

( )( )2

22

2)()(2)(

xOx

xxfxfxxf

x

f∆+

∆

∆−+−∆+=

∂

∂

atau

( )( )2

2

11

2

2 2xO

x

fff

x

f iii

i

∆+∆

+−=

∂

∂ −+ (2.13)

4. Deret Taylor Untuk Turunan Parsial Gabungan

Ekspansi deret Taylor untuk dua variabel x dan y, yaitu ),( yyxxf ∆+∆+ adalah

( ) ( )+

∂

∂∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆+=∆+∆+

2

22

2

22

!2!2),(),(

y

fy

x

fx

y

fy

x

fxyxfyyxxf

( ) ( )[ ]332

,!2

2 yxOyx

fyx∆∆+

∂∂

∂∆∆

Dengan menggunakan indeks i dan j sebagai titik grid di x dan y, maka

persamaan di atas menjadi

yx

fyx

y

fy

x

fxff ijji

∂∂

∂∆∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆+=++

2

1,1

( ) ( ) ( ) ( )[ ]33

2

22

2

22

,!2!2

yxOy

fy

x

fx∆∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆+ (2.14)

8

Dengan cara yang sama, kita dapat memperoleh ekspansi deret Taylor dari

),,(),,( yyxxfyyxxf ∆−∆+∆−∆− dan ),,( yyxxf ∆+∆− yaitu sebagai berikut:

yx

fyx

y

fy

x

fxff ijji

∂∂

∂∆∆+

∂

∂∆−

∂

∂∆−=−−

2

1,1

( ) ( ) ( ) ( )[ ]33

2

22

2

22

,!2!2

yxOy

fy

x

fx∆∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆+ (2.15)

yx

fyx

y

fy

x

fxff ijji

∂∂

∂∆∆−

∂

∂∆−

∂

∂∆+=−+

2

1,1

( ) ( ) ( ) ( )[ ]33

2

22

2

22

,!2!2

yxOy

fy

x

fx∆∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆+ (2.16)

yx

fyx

y

fy

x

fxff ijji

∂∂

∂∆∆−

∂

∂∆+

∂

∂∆−=+−

2

1,1

( ) ( ) ( ) ( )[ ]33

2

22

2

22

,!2!2

yxOy

fy

x

fx∆∆+

∂

∂∆+

∂

∂∆+ (2.17)

Dari persamaan (2.14), (2.15), (2.16), dan (2.17) diperoleh

( ) ( )[ ]221,11,11,11,12

,4

yxOyx

ffff

yx

f jijijiji

i

∆∆+∆∆

+−−=

∂∂

∂ −−+−−+++ (2.18)

9

BAB II

Persamaan Beda Untuk Persamaan

Differensial Parsial Tipe Elliptik

Pada bagian ini kita akan menyelesaikan persamaan differensial parsial (PDP)

dalam suatu daerah R, yaitu kita mencari nilai-nilai ),( yxu yang memenuhi PDP

pada setiap titik dari R. Biasanya sebuah grid diberikan pada R sedemikian

sehingga kita membutuhkan untuk menghubungkan turunan-turunan di ),( yx

dengan nilai-nilai yang ada disekitar titik tersebut.

yk ∆=

xh ∆=

),( ji ),1( ji +),1( ji −

)1,( −ji

)1,( +ji

R∂

10

Titik ),( ji yx ditulis ),(),( jkihyjxi =∆∆ . Selanjutnya dengan menggunakan deret

taylor, kita akan menentukan nilai-nilai dari u disekitar titik-titik pada grid.

Misalkan

),(),( jiij yxujkihuu ==

Maka dengan menggunakan deret taylor yang telah dipelajari pada bagian

sebelumnya, akan diperoleh:

),(,1 jiji yhxuu +=+

+++++= xxxxxxxxxxij uh

uh

uh

huu!4!3!2

432

(1)

),(,1 jiji yhxuu −=−

−+−+−= xxxxxxxxxxij uh

uh

uh

huu!4!3!2

432

(2)

Dari persamaan (1) dapat diperoleh:

)(,1

hOh

uu

x

u ijji

ij

+−

=

∂

∂ + (Beda Maju)

Dengan cara yang sama dari (2) diperoleh:

)(,1

hOh

uu

x

u jiij

ij

+−

=

∂

∂ − (Beda Mundur)

Demikian juga dari (1) dan (2) diperoleh

)(2

2,1,1hO

h

uu

x

u jiji

ij

+−

=

∂

∂ −+ (Beda pusat)

11

Latihan: Gunakan deret Taylor untuk menentukan y

u

∂

∂.

Hint: +++++=+=+ yyyyyyyyyyijjiji uk

uk

uk

kuukyxuu!4!3!2

),(432

1,

Juga dari (1) dan (2), dapat diperoleh

)(2

2

2

,1,1

2

2

hOh

uuu

x

u jiijji

ij

++−

=

∂

∂ −+ (3)

Dengan cara yang sama diperoleh:

)(2

2

2

1,1,

2

2

kOk

uuu

y

u jiijji

ij

++−

=

∂

∂ −+ (4)

Latihan:.

Tunjukkan bahwa )(4

221,11,11,11,12

khOhk

uuuu

yx

u jijijiji

ij

+++−−

=

∂∂

∂ −−−++−++

Untuk menyelesaikan masalah nilai batas dengan menggunakan metode beda

hingga, maka akan dilakukan prosedur sebagai berikut:

5. Mendiskritisasi daerah R dalam sebuah grid dari titik-titik yang disebut

node.

6. Approksimasi semua turunan dengan menggunakan nilai-nilai dari fungsi

yang belum diketahui dari setiap node. Akibatnya persamaan differensial

12

akan diaproksimasi dengan sebuah sistem persamaan aljabar dengan nilai-

nilai node dari variabel yang belum diketahui sebagai basis.

7. Menyelesaikan sistem persamaan linier.

Contoh:

Perhatikan persamaan poisson sebagai berikut:

),(2

2

2

2

2

yxfuy

u

x

u=∇=

∂

∂+

∂

∂

Dengan menggunakan (3) dan (4), kita akan memperoleh persamaan sebagai

berikut (dengan asumsi h=k):

( ) ijjijiijjijiij fuuuuuh

u =++−+=∇ −+−+ 1,1,,1,12

2 41

Atau secara singkat ruas kiri dapat ditulis:

ijij uh

u

−=∇

1

141

11

2

2

Persamaan ini biasa disebut persamaan beda dengan 5 titik.

Secara khusus, jika 1),( =yxf , maka akan diperoleh

12 =∇ u dalam domain R dengan

with h=1

dengan menggunakan persamaan beda dengan 5 titik

akan diperoleh:

14 1111 =++−+ −+−+ ijijijjiji uuuuu

u=2

u=2

u=2

ux

u−=

∂

∂1

1 2 0

1

2

3

x

y

P1 P2

P3 P4

13

untuk j=1 ⇒ 14 0211111 =++−+ −+ iiiii uuuuu

141 1012110121 =++−+⇒= uuuuui

1242 121121 =++−+⇒ uuu

34 121121 −=+−⇒ uuu ………………(1)

142 2022211131 =++−+⇒= uuuuui

124 22211131 =++−+⇒ uuuu

14 22211131 −=+−+⇒ uuuu ………………(2)

Dari syarat batas diperoleh:

j

jj

i

uuu

x

uu

x

u2

13

2

12

1 −=−

=∂

∂⇒−=

∂

∂

=

⇒ ( )jjj uuu 123 12 +−=

⇒ ( ) 112131112131 2212 uuuuuu +−=⇒+−= ………(2*)

juga,

122232 22 uuu +−= ……………(2**)

masukkan (2*) ke (2) akan diperoleh

1422 2221111121 −=+−++−⇒ uuuuu

362 222111 −=+−⇒ uuu ……………..(3)

untuk j=2 ⇒ 14 1321212 =++−+ −+ iiiii uuuuu

141 1113120222 =++−+⇒= uuuuui

14

1242 111222 =++−+⇒ uuu

34 111222 −=+−⇒ uuu ………………(4)

142 2123221232 =++−+⇒= uuuuui

124 21221232 =++−+⇒ uuuu

14 21221232 −=+−+⇒ uuuu ………………(5)

Masukkan (2**) ke (5) akan diperoleh

1422 2122121222 −=+−++−⇒ uuuuu

326 211222 −=++−⇒ uuu ………………(6)

Dari (1),(3),(4), dan (6) diperoleh:

−

−

−

−

=

−

−

−

−

3

3

3

3

6210

1401

1062

0114

22

12

21

11

u

u

u

u

dimana 422312,221111 ,, PuPuPuPu ====

Jadi,

−

−

−

−

=

−

−

−

−

3

3

3

3

6210

1401

1062

0114

4

3

2

1

P

P

P

P

atau

15

=

13/15

13/18

13/15

13/18

4

3

2

1

P

P

P

P

Secara umum, disarankan untuk menggunakan metode langsung seperti metode

eliminasi gauss, aturan Crammer jika system yang akan diselesaikan berukuran

kecil. Untuk ukuran system yang sangat besar, disarankan untuk menggunakan

metode iterasi. Metode iterasi yang paling baik untuk kasus dimana matriks

diperbesarnya adalah simetri dan definit positif adalah metode SOR (Successive

Over Relaxation).

Latihan:

Gunakan persamaan beda dengan 5 titik untuk menentukan distribusi panas

steady state dalam sebuah lempengan logam yang tipis dan berbentuk

bujursangkar dengan ukuran 0.5 meter x 0.5 meter dengan menggunakan

persamaan Laplace:

02 =∇ u

Dengan syarat batas

0),0( =yu

0)0,( =xu

yyu 200),5.0( =

xxu 200)5.0,( =

P1 P2 P3

P4 P5 P6

P7 P8 P9

16

Gunakan m (banyaknya partisi terhadap sumbu x) sama dengan n (banyaknya

partisi terhadap sumbu y)=4.

Solusi:

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

410100000

141010000

014001000

100410100

010141010

001014001

000100410

000010141

000001014

A ;

=

75.18

5.12

25.6

50.37

00.25

50.12

50.56

50.37

75.18

P

Tugas 1

Gunakan Persamaan beda dengan 5 titik untuk menentukan solusi dari

persamaan poisson berikut

yxy

u

x

u2

2

2

2

2

−=∂

∂+

∂

∂

Pada domain seperti pada gambar

=

4

1hgunakan

0=u

0=u 0=u

uy

u2=

∂

∂

1

1

0

17

BAB III


Differensial Parsial Tipe Parabolik

Pada bagian ini kita akan menyelesaikan PDP bertipe parabolik menggunakan

metode beda hingga.

Perhatikan persamaan panas atau persamaan difusi sebagai berikut:

0),,0(,),(),(

2

22 >∈

∂

∂=

∂

∂tlx

x

txu

t

txuα

Dengan syarat batas

0),(),0( == tlutu

],0[),()0,( lxxfxu ∈=

Hal ini dapat diillustrasikan sebagai berikut:

α adalah konduktivitas panas.

x

x=l x=0

Suhu =0 Suhu =0 Suhu awal

=f(x)

18

3.1 Backward Time Centered Space

Pada ( ) ( )jkihyxji ii ,,),( == kita mempunyai

k

uu

t

u jiji

ij

1,, −−=

∂

∂

2

,1,,1

2

2 2

h

uuu

x

u jijiji

ij

+− +−=

∂

∂

Masukkan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan panas (difusi)

yang diberikan, maka akan diperoleh:

2

,1,,121,, 2

h

uuu

k

uu jijijijiji +−− +−=

−α

( )jijijijiji uuu

h

kuu ,1,,12

2

1,, 2 +−− +−=−⇒α

x

t

0 l

)()0,( xfxu =

0),0( =tu 0),( =tlujiu , jiu ,1+jiu ,1−

1, +jiu

1, −jiu

tk ∆=

m

lh =

Stencil

19

misalkan 2

2

h

kαλ = , maka persamaan di atas menjadi

( )jijijijiji uuuuu ,1,,11,, 2 +−− +−=− λ

jijijijiji uuuuu ,1,,11,, 2 +−− +−=−⇒ λλλ

( ) jijijiji uuuu ,1,,11, 21 +−− −++−=⇒ λλλ

untuk ( ) 1,1,2,1,0 211 −=−++−⇒= jjjj uuuui λλλ

karena 0,0 =ju , persamaan sebelumnya menjadi

( ) 1,1,2,121 −=−+ jjj uuu λλ (1)

untuk ( ) 1,2,3,2,1 212 −=−++−⇒= jjjj uuuui λλλ (2)

untuk ( ) 1,2,1,2,3 212 −−−−− =−++−⇒−= jmjmjmjm uuuumi λλλ (3)

untuk ( ) 1,1,,1,2 211 −−−− =−++−⇒−= jmjmjmjm uuuumi λλλ

karena 0, =jmu , maka persamaan sebelumnya menjadi

( ) 1,1,1,2 21 −−−− =++− jmjmjm uuu λλ (4)

Persamaan-persamaan (1), (2), (3), dan (4) dapat ditulis dalam notasi matriks

sebagai berikut:

20

=

+−

−+−

−+−

−+

−−

−−

−

−

−

−

−

1,1

1,2

1,3

1,2

1,1

,1

,2

,3

,2

,1

21000

2100

00

00

0021

00021

jm

jm

j

j

j

jm

jm

j

j

j

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

λλ

λλλ

λλλ

λλ

Matriks ini biasa disebut matriks tridiagonal.

Secara singkat dapat ditulis

,2,1;)1()( == −jA

jj ww

dimana

=

−

−

jm

jm

j

j

j

j

u

u

u

u

u

,1

,2

,3

,2

,1

)(

w dan

=

−

−

)(

)(

)(

)(

)(

1

1

3

2

1

)0(

m

m

xf

xf

xf

xf

xf

w

3.1.1 Kestabilan

Pengantar

Secara sederhana masalah PDP dapat diillustrasikan sebagai

berikut:

PDP Persamaan Beda

iju ),( txu

konsisten

kestabilan

konvergen

Well-posed

21

Persamaan beda dikatakan stabil jika persamaan beda menghasilkan solusi iju

yang berhingga.

Persamaan beda dikatakan konsisten terhadap PDPnya jika selisih antara

persamaan beda dengan PDPnya (suku-suku truncation error) menuju nol jika

lebar gridnya menuju nol, 0,0 →∆→∆ tx .

Persamaan beda dikatakan konvergen jika solusi persamaan beda mendekati

solusi PDPnya jika lebar grid menuju nol, 0,0 →∆→∆ tx .

Teorema equivalensi Lax:

Untuk suatu masalah nilai awal yang properly posed, jika suatu

persamaan beda konsisten dan stabil, maka pastilah konvergen.

Ada beberapa cara untuk menguji kestabilan suatu metode dalam metode

beda hingga, namun dalam kuliah ini hanya akan dibahas analisa kestabilan Von

Neumann.

Dari BTCS di atas diperoleh persamaan beda sebagai berikut:

( ) jijijiji uuuu ,1,,11, 21 +−− −++−= λλλ

Persamaan ini dapat ditulis

( ) n

j

n

j

n

j

n

j uuuu 11

1 21 +−− −++−= λλλ

22

Untuk menentukan kestabilannya, maka kita akan mensubtitusikan

xjiann

j eu∆= ρ , dimana 1−=i , nρ adalah amplitude pada saat waktu =n,

sedangkan a bilangan gelombang (wave number) pada arah x, sehingga diperoleh:

( ) ( )xiaxia ee ∆−∆ +−+= λλρ

211

( ) )cos(2211

xa∆−+=⇒ λλρ

( ))cos(1211

xa∆−+=⇒ λρ

( ))cos(121

1

xa∆−+=⇒

λρ

Karena dari penyebut dapat diperoleh

λλ ∀+≤≤ ,411 penyebut

Jadi,

1≤ρ

Oleh karena itu kita bisa menyimpulkan bahwa skema di atas akan stabil

untuk setiap λ .

3.1.2 Konsistensi

Sebuah persamaan beda hingga dari sebuah PDP dikatakan konsisten

jika persamaan beda tersebut dapat di ubah menjadi PDP awal jika lebar

23

partisinya (gridnya) menuju nol. Maka dari persamaan beda hingga di atas

diperoleh

2

,1,,121,, 2

h

uuu

k

uu jijijijiji +−− +−=

−α (4.1.2)

Jika setiap u diekspansi dalam sebuah deret Taylor disekitar uij maka

diperoleh

)(!2

),( 32

1, kOuk

kuuktxuu tttijjiji ++−=−=−

)(!3!2

),( 432

,1 hOuh

uh

huuyhxuu xxxxxxijjiji ++++=+=+

)(!3!2

),( 432

,1 hOuh

uh

huuyhxuu xxxxxxijjiji +−+−=−=−

Jika persamaan-persamaan di atas dimasukkan ke persamaan (4.1.2),

maka diperoleh

−+−+−=

+−+− ijxxxxxxijtttijij uhOu

hu

hhuu

hkOu

kkuuu

k2)(

!3!2)(

!2

1 432

2

23

2 α

+++++ )(!3!2

432

hOuh

uh

huu xxxxxxij

Sehingga diperoleh

)()(!2

222 hOukOuk

u xxttt +=+− α

Atau

( )222 ,!2

hkOuk

uu ttxxt ++= α

24

Jadi jelas kelihatan bahwa jika k dan h menuju nol, maka persamaan di atas

akan menjadi PDP semula. Jadi kita menyimpulkan bahwa persamaan beda untuk

BTCS adalah konsisten.

3.2 FTCS (Forward Time Centered Space)

Dari persamaan-persamaan sebelumnya (beda maju dan beda pusat),

diperoleh

k

uu

t

u jiji

ij

,1, −=

∂

∂ +

2

,1,,1

2

2 2

h

uuu

x

u jijiji

ij

+− +−=

∂

∂

Masukkan persamaan-persamaan ini ke dalam persamaan panas (difusi)

yang diberikan, maka akan diperoleh:

2

,1,,12,1, 2

h

uuu

k

uu jijijijiji +−+ +−=

−α

( )jijijijiji uuu

h

kuu ,1,,12

2

,1, 2 +−+ +−=−⇒α

misalkan 2

2

h

kαλ = , maka persamaan di atas menjadi

( )jijijijiji uuuuu ,1,,1,1, 2 +−+ +−=− λ

jijijijiji uuuuu ,1,,1,1, 2 +−+ +−=−⇒ λλλ

( ) jijijiji uuuu ,1,,11, 21 +−+ +−+=⇒ λλλ

Stencil

25

untuk ( ) 1,1,2,1,0 211 +=+−+⇒= jjjj uuuui λλλ

karena 0,0 =ju , persamaan ini menjadi

( ) 1,1,2,121 +=+− jjj uuu λλ (5)

untuk ( ) 1,2,3,2,1 212 +=+−+⇒= jjjj uuuui λλλ (6)

untuk ( ) 1,2,1,2,3 212 +−−−− =+−+⇒−= jmjmjmjm uuuumi λλλ (7)

untuk ( ) 1,1,,1,2 211 +−−− =+−+⇒−= jmjmjmjm uuuumi λλλ

karena 0, =jmu , maka diperoleh

( ) 1,1,1,2 21 +−−− =−+ jmjmjm uuu λλ (8)

Persamaan-persamaan (5),(6),(7), dan (8) dapat ditulis dalam notasi matriks

sebagai berikut:

=

−

−

−

−

+−

+−

+

+

+

−

−

1,1

1,2

1,3

1,2

1,1

,1

,2

,3

,2

,1

21000

2100

00

00

0021

00021

jm

jm

j

j

j

jm

jm

j

j

j

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

λλ

λλλ

λλλ

λλ

Matriks ini biasa disebut matriks tridiagonal.

Secara singkat dapat ditulis

,2,1;)1()( == −jA

jj ww

dimana

26

=

−

−

jm

jm

j

j

j

j

u

u

u

u

u

,1

,2

,3

,2

,1

)(

w dan

=

−

−

)(

)(

)(

)(

)(

1

1

3

2

1

)0(

m

m

xf

xf

xf

xf

xf

w

3.2.1 Kestabilan

Dari persamaan beda FTCS diperoleh

( ) jijijiji uuuu ,1,,11, 21 +−+ +−+= λλλ

Dengan alasan indeks, maka persamaan tersebut akan diubah menjadi

( ) n

j

n

j

n

j

n

j uuuu 11

1 21 +−+ +−+= λλλ

Seperti pada metode sebelumnya, untuk menguji kestabilan dari FTCS,

maka kita akan memasukkan xjiann

j eu∆= ρ ke dalam persamaan bedanya.

Sehingga diperoleh

( )xiaxia ee ∆−∆ ++−= λλρ 21

)cos(221 xa∆+−= λλ

[ ]1)cos(21 −∆+=⇒ xaλρ

[ ] 11)cos(21 ≤−∆+=⇒ xaλρ

[ ] 11)cos(211 ≤−∆+≤−⇒ xaλ

Atau

27

[ ] 01)cos(1 ≤−∆≤−⇒ xaλ

[ ] axa ∀≤∆−≤⇒ ,1)cos(10 λ ,

Jadi, jika 12 ≤λ atau 2

12

2

≤=h

kαλ , maka persamaan beda untuk FTCS, stabil.

3.2.2 Konsistensi

Dari FTCS diperoleh

2

,1,,12,1, 2

h

uuu

k

uu jijijijiji +−+ +−=

−α (4.2.1)


diperoleh

)(!2

),( 32

1, kOuk

kuuktxuu tttijjiji +++=+=+

)(!3!2

),( 432

,1 hOuh

uh

huuyhxuu xxxxxxijjiji ++++=+=+

)(!3!2

),( 432

,1 hOuh

uh

huuyhxuu xxxxxxijjiji +−+−=−=−

Jika persamaan-persamaan di atas dimasukkan ke persamaan (4.2.1), maka

diperoleh

−+−+−=

−+++ ijxxxxxxijijtttij uhOu

hu

hhuu

hukOu

kkuu

k2)(

!3!2)(

!2

1 432

2

23

2 α

+++++ )(!3!2

432

hOuh

uh

huu xxxxxxij

Sehingga diperoleh

28

)()(!2

222hOukOu

ku xxttt +=++ α

Atau

( )222 ,!2

hkOuk

uu ttxxt +−= α

Jadi jelas kelihatan bahwa jika k dan h menuju nol, maka persamaan di atas akan

menjadi PDP semula. Jadi kita menyimpulkan bahwa persamaan beda untuk

FTCS adalah konsisten.

Contoh:

n n∆t

6 3 1 0.6875 0.45313 0.21875 0.14063 0.0625 0.14063 0.21875 0.45313 0.6875 1

5 2.5 1 0.6875 0.375 0.21875 0.0625 0.0625 0.0625 0.21875 0.375 0.6875 1

4 2 1 0.625 0.375 0.125 0.0625 0 0.0625 0.125 0.375 0.625 1

3 1.5 1 0.625 0.25 0.125 0 0 0 0.125 0.25 0.625 1

2 1 1 0.5 0.25 0 0 0 0 0 0.25 0.5 1

1 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1

0 0.0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

lambda= 0.5

alpha^2= 0.01

delta t= 0.5

delta x= 0.1

Untuk

lambda= 1

alpha^2= 0.01

delta t= 1

delta x= 0.1

29

n n∆t

6 6 1 -14 22 -18 12 -8 12 -18 22 -14 1

5 5 1 7 -8 7 -3 2 -3 7 -8 7 1

4 4 1 -2 4 -2 1 0 1 -2 4 -2 1

3 3 1 2 -1 1 0 0 0 1 -1 2 1

2 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0.0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Latihan:

Gunakan BTCS untuk masalah di atas

Contoh Lain: Lihat buku Hoffmann yang berjudul”Computational Fluid

Dynamics for Engineers Volume 1” halaman 68.

30

BAB IV


Differensial Parsial Tipe Hiperbolik

Pada bagian ini kita akan mempelajari persamaan transport dan persamaan

gelombang. Persamaan transport akan diselesaikan dengan paling sedikit tiga cara

yaitu, Metode Courant Isaacson Rees, Metode Lax, dan metode Leapfrog.

Kemudian akan dilanjutkan dengan persamaan gelombang.

4.1 Persamaan Transport

Misalkan suatu fluida, katakanlah air, mengalir dengan kecepatan konstan d

sepanjang horizontal searah sumbu x. Misalkan pula suatu zat, katakanlah polutan

yang mengapung dalam air. Misalkan ),( txu adalah konsentrasi polutan pada saat

t. Maka persamaan pembangunnya adalah

0=+ xt duu (5.1)

Dalam hal ini diasumsikan bahwa tidak terjadi proses difusi.

Penurunan

Misalkan banyaknya polutan pada suatu interval [0,b] pada saat t adalah

31

∫=b

dxtxuM0

),( (misalkan dalam satuan gram).

Maka pada saat t+h, polutan yang sama telah berpindah ke kanan sejauh hd ⋅

sentimeter. Oleh karena itu

∫∫+

+==dhb

dh

b

dxhtxudxtxuM ),(),(0

Jika persamaan in diturunkan terhadap b, maka diperoleh

),(),( htdhbutbu ++=

Jika persamaan in diturunkan terhadap h dan serta nilai h=0, maka diperoleh

),(),(0 tbutbdu tx +=

atau

0=+ xt duu

Dapat ditunjukkan bahwa solusi analitik dari persamaan transport adalah

)(),( dtxftxu −=

4.1.1 Metode Courant Isaacson Rees

Metode ini adalah Forward time backward space (FTBS) atau first order

up wind method.

Dari bagian sebelumnya diperoleh

t

uu

t

u ijji

ij ∆

−=

∂

∂ +1, Stencil

32

x

uu

x

u jiij

ij ∆

−=

∂

∂ − ,1

Jika kedua persamaan di atas disubtitusikan ke persamaan (5.1), akan

diperoleh

0,11,

=∆

−+

∆

− −+

x

uud

t

uu jiijijji

( )jiijijji uux

tduu ,11, −+ −

∆

∆−=−⇒

Sehingga diperoleh

jiijji ux

tdu

x

tdu ,11, 1 −+

∆

∆+

∆

∆−=

Jadi, Persamaan bedanya adalah

jiijji ux

tdu

x

tdu ,11, 1 −+

∆

∆+

∆

∆−= (5.1.1)

4.1.1.1 Kestabilan

Untuk menguji apakah persamaan (5.1.1) di atas, maka kita akan

mengikuti metode sebelumnya yaitu sebagai berikut

Dari (5.1.1) diperoleh

jiijji ux

tdu

x

tdu ,11, 1 −+

∆

∆+

∆

∆−=

Indeks persamaan ini dapat diubah menjadi

n

j

n

j

n

j ux

tdu

x

tdu 1

1 1 −+

∆

∆+

∆

∆−=

33

Selanjutnya kita akan memasukkan xjiann

j eu∆= ρ ke persamaan

tersebut dan diperoleh

( )11 1 −∆∆∆+

∆

∆+

∆

∆−= jxianxjianxjian

ex

tde

x

tde ρρρ

atau

)1(1 xiaex

td ∆−−∆

∆−=ρ

atau

)1(1 xiaeC

∆−−−=ρ

dimana Cx

td=

∆

∆adalah bilangan Courent.

Sehingga

xaiCxaC ∆+∆−−= sin)cos1(1ρ

( ) 1sin2

sin212

2

22≤∆+

∆−=⇒ xaC

xaCρ

12

cos2

sin42

sin42

sin41 222422 ≤

∆

∆+

∆+

∆−⇔

xaxaC

xaC

xaC

02

cos2

sin12

sin4 222 ≤

∆+

∆+−

∆⇔

xaC

xaC

xaC

atau

( ) 012

sin42 ≤−

∆CC

xa

10 ≤≤⇔ C

Yang merupakan syarat kestabilan metode FTBS.

34

4.1.1.2 Konsistensi

Pada bagian 5.1.1 diperoleh

0,11,

=∆

−+

∆

− −+

x

uud

t

uu jiijijji (5.1.1.2)


diperoleh

32

1, )(!2

),( tOut

tuuttxuu tttijjiji ∆+∆

+∆+=∆+=+

)(!3!2

),( 432

,1 xOux

ux

xuuyxxuu xxxxxxijjiji ∆+∆

−∆

+∆−=∆−=−

Jika persamaan-persamaan di atas dimasukkan ke persamaan (5.1.1.2),

maka diperoleh

0

)(!3!2

)(!2

432

32

=∆

∆+∆

+∆

−∆+

∆

∆+∆

+∆

x

xOux

ux

xu

dt

tOut

tu xxxxxxttt

atau

0)(!3!2

)(!2

32

2 =

∆+

∆+

∆−+∆+

∆+ xOu

xu

xudtOu

tu xxxxxxttt

atau

0))(,)((!3!2!2

232

=∆∆+∆

+∆

−∆

++ txOuxd

uxd

ut

duu xxxxxttxt

Jadi jelas kelihatan bahwa jika ∆t dan ∆x menuju nol, maka persamaan di

atas akan menjadi PDP semula. Jadi kita menyimpulkan bahwa persamaan

beda untuk FTBS adalah konsisten.

35

Lebih jauh dapat dibuktikan bahwa jika C=1, maka FTBS akan

menghasilkan solusi analitik.

4.1.2 Metode Lax

Metode ini merupakan pengembangan dari FTCS yaitu suku iju dalam

forward time diganti dengan rata-rata dari titik yang ada disekitarnya,

sehingga diperoleh

( )t

uuu

t

u jijiji

ij ∆

+−=

∂

∂ −++ ,1,121

1,

x

uu

x

u jiji

ij ∆

−=

∂

∂ −+

2

,1,1


diperoleh

( )0

2

,1,1,1,121

1,=

∆

−+

∆

+− −+−++

x

uud

t

uuu jijijijiji

( ) ( ) 02

,1,1,1,121

1, =−∆

∆++− −+−++ jijijijiji uu

x

tduuu

atau

( ) ( )jijijijiji uux

tduuu ,1,1,1,12

11,

2−+−++ −

∆

∆−+=

Jadi persamaan bedanya adalah

( ) ( )jijijijiji uux

tduuu ,1,1,1,12

11,

2−+−++ −

∆

∆−+=

Stencil

36

4.1.2.1 Kestabilan

Dari bagian (5.1.2) diperoleh

( ) ( )jijijijiji uu

x

tduuu ,1,1,1,12

11,

2−+−++ −

∆

∆−+=


( ) ( )n

j

n

j

n

j

n

j

n

j uuc

uuu 1111211

2−+−+

+ −−+= dimana x

tdc

∆

∆=


j eu∆= ρ ke persamaan tersebut

dan diperoleh

( ) ( ))1()1()1()1(1

22

1 −∆+∆−∆+∆∆+ −−+= jxianjxianjxianjxianxjian eec

eee ρρρρρ

( ) ( )xiaxiaxiaxiaee

cee

∆−∆∆−∆ −−+=22

1ρ

xaicxa ∆−∆= sincosρ

Maka

xacxa ∆+∆= 222sincosρ

Sehingga diperoleh

11 ≤⇔≤ cρ

Jadi jika 1≤∆

∆=

x

tdc , maka metode Lax akan stabil.

37

4.1.2.2 Konsistensi

Pada bagian (5.1.2) diperoleh

( )0

2

,1,1,1,121

1,=

∆

−+

∆

+− −+−++

x

uud

t

uuu jijijijiji (5.1.2.2)


diperoleh

432

1, )(!3!2

),( tOut

ut

tuuttxuu ttttttijjiji ∆+∆

+∆

+∆+=∆+=+

)(!3!2

),( 432

,1 xOux

ux


+∆

+∆+=∆+=+

)(!3!2

),( 432

,1 xOux

ux


−∆

+∆−=∆−=−


maka diperoleh

t

xOux

utOut

ut

tuu xxijttttttij

∆

∆+

∆+−∆+

∆+

∆+∆+ )(

!2

22

2

1)(

!3!2

42

432

02

)(!3

22 4

3

=∆

∆+∆

+∆+

x

xOux

xu

dxxxx

atau

)(!2

)(!3!2

42

432

xOux

tOut

ut

tu xxtttttt ∆+∆

−∆+∆

+∆

+∆

0)(!3

43

=

∆+

∆+∆

∆

∆+ xOu

xxu

x

tdxxxx

38

Karena 0=+ xt duu , maka diperoleh

0)(!3

)(!2

)(!3!2

32

42

432

=

∆+

∆∆+∆+

∆−∆+

∆+

∆xOu

xtdxOu

xtOu

tu

txxxxxttttt

atau

0!3!3!2!2

2322

=+∆

∆+∆

+∆

−∆

xxxtttxxtt ux

tdut

ux

ut

Karena xxtt udu

2= , maka truncation error untuk orde kedua dapat ditulis:

( ) ( ) xxxx uCxuxdt 12

1

2

1 22222 −∆=∆−∆

Jadi truncation error orde kedua akan bernilai nol jika 1=C . Dengan cara

yang sama dapat dibuktikan untuk orde yang lebih tinggi.

Jadi persamaan beda untuk metode Lax akan konsisten jika 1=C .

4.1.3 Metode Leapfrog

Metode ini adalah Centered Time Centered Space (CTCS). Maka dari

bagian sebelumnya diperoleh

t

uu

t

u jiji

ij ∆

−=

∂

∂ −+

2

1,1,

x

uu

x

u jiji

ij ∆

−=

∂

∂ −+

2

,1,1


diperoleh

Stencil

39

022

,1,11,1,=

∆

−+

∆

− −+−+

x

uud

t

uu jijijiji

( ) 0,1,11,1, =−∆

∆+− −+−+ jijijiji uu

x

tduu

atau

( )jijijiji uu

x

tduu ,1,11,1, −+−+ −

∆

∆−=


( )jijijiji uuCuu ,1,11,1, −+−+ −−=

dimana x

tdC

∆

∆= .

4.1.3.1 Kestabilan

Dari bagian (5.1.3) diperoleh

( )jijijiji uuCuu ,1,11,1, −+−+ −−=


( )n

j

n

j

n

j

n

j uuCuu 11

11

−+−+ −−= dimana

x

tdC

∆

∆=



dan diperoleh

( ))1()1(11 −∆+∆∆−∆+ −−= jxianjxianxjianxjian eeCee ρρρρ

( )xiaxia eeC ∆−∆− −−= 1ρρ

40

xaiC ∆−= − sin21ρρ

Misalkan xaiCp ∆= sin , maka

0122 =−+ ρρ p

dan diperoleh

xaiCxac ∆−∆−±= sinsin122

2,1ρ

Jika 1sin >∆xaC , maka salah satu nilai mutlaknya akan lebih besar

dari 1 (tidak stabil).

Jika 1sin ≤∆xaC , maka kedua nilai mutlak akarnya akan lebih kecil

atau sama dengan 1 (stabil).

Jadi metode ini akan stabil jika 1sin ≤∆xaC atau 1≤∆

∆=

x

tdC

4.1.3.2 Konsistensi

Pada bagian (5.1.3) diperoleh

022

,1,11,1,=

∆

−+

∆

− −+−+

x

uud

t

uu jijijiji (5.1.3.2)


diperoleh

432

1, )(!3!2

),( tOut

ut


+∆

+∆+=∆+=+

432

1, )(!3!2

),( tOut

ut


−∆

+∆−=∆−=−

41

)(!3!2

),( 432

,1 xOux

ux


+∆

+∆+=∆+=+

)(!3!2

),( 432

,1 xOux

ux


−∆

+∆−=∆−=−


maka diperoleh

02

!3

22

2

!3

22

33

=∆

+

∆−∆

+∆

+∆

+∆

x

ux

xud

t

ut

tu xxxxtttt

0!3!3

22

=

+

∆+++

∆+ xxxxtttt u

xudu

tu

atau

0!3!3

22

=+∆

+∆

++ tttxxxxt ut

ux

dduu



beda untuk leapfrog adalah konsisten.

Contoh:

Perhatikan persamaan transport 02 =− xt uu , untuk 100 << x , dengan

syarat awal

42

>−

≤≤−

<

=

8);10(200

86;)6(200

6;0

)0,(

xx

xx

x

xu

Dan syarat batas

0),10(),0( == tutu

Maka dengan menggunakan metode leapfrog, akan diperoleh hasil sebagai

berikut:

Plot untuk t=0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

300

350

400

Plot untuk t=1 dt

43

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

300

350

400

Plot untuk t=4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

300

350

400

Plot untuk t = 4.5 dt

44

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

Plot untuk t=5 dt

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5x 10

-12

Untuk waktu t=0 sampai t= 5, diperoleh

45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

300

350

400

4.2 Persamaan Gelombang

Pada bagian ini kita akan mencari solusi numerik dari persamaan gelombang

satu dimensi dengan menggunakan metode beda hingga. Telah diketahui

bahwa persamaan pembangun untuk gelombang satu dimensi adalah

xxtt ucu2= ; 0,0 ≥≤≤ tlx (5.2)

Dengan dua syarat awal adalah

)()0,( xxu φ= dan )()0,( xxut ψ=

Dan dua syarat batas adalah

)(),0( 0 tgtu = dan )(),( 1 tgtlu =

46

Dengan menerapkan Centered Time Centered Space (CTCS) maka

)(2

2

2

1,1,

2

2

tOt

uuu

t

u jiijji

ij

∆+∆

+−=

∂

∂ −+

)(2

2

2

,1,1

2

2

xOx

uuu

x

u jiijji

ij

∆+∆

+−=

∂

∂ −+

Dengan memasukkan kedua persamaan ini ke persamaan (5.2) maka akan

diperoleh

2

,1,12

2

1,1, 22

x

uuuc

t

uuu jiijjijiijji

∆

+−=

∆

+− −+−+

atau

( )jiijjijiijji uuu

x

tcuuu ,1,12

22

1,1, 22 −+−+ +−∆

∆=+−

Sehingga diperoleh

( ) 1,,1,11, )1(2 −−++ −−++= jiijjijiji uusuusu dimana 2

22

x

tcs

∆

∆=


( ) 1,,1,11, )1(2 −−++ −−++= jiijjijiji uusuusu (5.2a)

Perlu diketahui bahwa nilai pada saat j+1 bergantung pada dua langkah

sebelumnya karena persamaan gelombang mempunyai turunan waktu orde

kedua. Oleh karena itu dua baris yaitu 0iu dan 1iu harus diberikan sebagai

syarat awal.

Stencil

s

2 – 2s

s

–1

47

Sebelum kita mempelajari cara menangani masalah nilai awal, ada baiknya

kita melihat dua contoh berikut

a. Jika kita mengambil s = 2, maka persamaan (5.2a) berubah menjadi

( ) 1,,1,11, 2 −−++ −−+= jiijjijiji uuuuu

Maka perhatikan data berikut

0 -12 4 13 -22 13 4 -12 0

0 4 -2 -3 6 -3 -2 4 0

0 0 2 1 -2 1 2 0 0

0 0 0 1 2 1 0 0 0

0 0 0 1 2 1 0 0 0

Jadi, jelas kelihatan bahwa untuk s=2, maka persamaan (5.2a) tidak

stabil.

b. Jika kita mengambil s = 1, maka persamaan (5.2a) berubah menjadi

1,,1,11, −−++ −+= jijijiji uuuu

Maka perhatikan data berikut

0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 1 1 0 0 0 1 1 0

0 0 1 1 0 1 1 0 0

0 0 0 1 2 1 0 0 0

0 0 0 1 2 1 0 0 0

48

Jadi, untuk s=1 merupakan pendekatan terbaik untuk solusi yang

sebenarnya.

4.2.1 Nilai Awal

Diberikan syarat awal seperti sebelumya, yaitu

)()0,( xxu φ= dan )()0,( xxut ψ=

Masalahnya sekarang adalah bagaimana menggunakan syarat awal

tersebut pada persamaan beda (5.2a) yang membutuhkan dua baris 0iu dan

1iu ?

Untuk menyelesaikan masalah ini, maka kita akan menerapkan

beda pusat pada tu karena lokal truncation error dari beda pusat sama

dengan lokal truncation error dari persamaan beda (5.2a). Jika kita

menggunakan pendekatan yang paling sederhana yaitu dengan error

)( xO ∆ , maka nilai awal akan mempengaruhi solusi dengan error yang

sangat besar.

Jadi, untuk j=0, maka diperoleh

t

uu ii

i∆

−=

−

2

1,1,ψ dan iiu φ=0 (5.2.1)

Dengan menggunakan persamaan (5.2a), maka akan diperoleh untuk 1iu ,

yaitu

( ) 1,00,10,11, )1(2 −−+ −−++= iiiii uusuusu (5.2.1a)

49

Dari (5.2.1) diperoleh

iii tuu ψ∆−=− 21,1,

Dengan memasukkan nilai 1,−iu ke persamaan (5.2.1a), maka akan

diperoleh

( ) iiiii tss

u ψφφφ ∆+−++= −+ )1(2

111,

Jadi dua baris nilai awal yang dibutuhkan akan ditentukan oleh persamaan

berikut:

iiu φ=0 dan

( ) iiiii tss

u ψφφφ ∆+−++= −+ )1(2

111, (5.2.1b)

Contoh:

Misalkan data awal adalah

000000121000000)( =xφ

dan 0)( =xψ . Misalkan s =1, maka dengan menngunakan (5.2.1b) akan

diperoleh dua baris pertama untuk nilai awal yaitu

000000121000000

000001110000021

21

4.2.2 Kestabilan

Dari (5.2a) diperoleh

( ) 1,,1,11, )1(2 −−++ −−++= jiijjijiji uusuusu

50


( ) 1

11

1 )1(2 −−+

+ −−++= n

j

n

j

n

j

n

j

n

j uusuusu



dan diperoleh

( ) xjianxjianjxianjxianxjian eeseese ∆−∆−∆+∆∆+ −−++= 1)1()1(1 )1(2 ρρρρρ

( ) 1)1(2 −∆−∆ −−++=⇒ ρρ sees xiaxia

ρρ

1)1(2cos2 −−+∆=⇒ sxas

( )1cos21

2 −∆=+−⇒ xasρ

ρ

Misalkan ( )1cos −∆= xasp , maka persamaan di atas menjadi

01)1(22 =++− ρρ p

Maka akar-akarnya adalah

ppp 2)1(2

2,1 +±+=ρ , dengan 0≤p

Kasus-kasus:

1. Jika 02,2 2 >+−< ppp , maka 2,1ρ bernilai real dan salah satu

diantaranya 1−< . Akibatnya persamaan (5.2a) tidak stabil.

2. Jika 02,02 2 <+≤<− ppp , maka ppip 2)1(2

2,1 −−±+=ρ ,

yaitu bilangan kompleks dengan 12,1 =ρ (stabil).

3. Jika ,2−=p maka 1=ρ (Stabil).

51

Jadi persamaan beda (5.2a) stabil jika ap ∀−∈ ],0,2[ . Akibatnya

( )1cos2 −∆≤− xas

( )a

xas ∀

∆−≤⇔ ;

cos1

2

Jadi syarat kestabilannya adalah

12

22

≤∆

∆=

x

tcs

4.2.3 Konsistensi

Pada bagian (5.2) diperoleh

2

,1,12

2

1,1, 22

x

uuuc

t

uuu jiijjijiijji

∆

+−=

∆

+− −+−+ (5.2.3)


diperoleh

432

1, )(!3!2

),( tOut

ut


+∆

+∆+=∆+=+

432

1, )(!3!2

),( tOut

ut


−∆

+∆−=∆−=−

)(!3!2

),( 432

,1 xOux

ux


+∆

+∆+=∆+=+

)(!3!2

),( 432

,1 xOux

ux


−∆

+∆−=∆−=−

Jika persamaan-persamaan di atas dimasukkan ke persamaan (5.2.3), maka

diperoleh

52

=∆

∆+∆

−∆

+∆+∆

+∆

2

432

432

)(!3!2

)(!3!2

t

tOut

ut

tOut

ut

tttttttttt

2

432

432

2

)(!3!2

)(!3!2

x

xOux

ux

xOux

ux

cxxxxxxxxxx

∆

∆+∆

−∆

+∆+∆

+∆

Atau

)()( 222xOuctOu xxtt ∆+=∆+



beda (5.2a) konsisten.

Contoh:

Diberikan persamaan gelombang xxtt uu = , untuk 100 ≤≤ x , dengan

syarat batas 0=xu pada kedua ujungnya, dan syarat awal

≤≤−−

=lainyangx

xxxxu

,0

64,)6()4(2)0,(

22

dan 0)0,( =xut . Gunakan s=1 dan persamaan (5.2a) untuk mensimulasik-

an perpecahan gundukan awal sampai gelombang pecahannya menabrak

batas kiri dan kanan.

53

Plot untuk t =0,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Plot untuk t =1,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

54

Plot untuk t =3,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Plot untuk t =5,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

55

Plot untuk t =7,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Plot untuk t =7,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

56

0 20 40 60 80 100 1200

20

40

60

80

100

120

-2

0

2

57

Daftar Pustaka

Bleistein, N 1984, Mathematical Methods for Wave Phenomena, Academic Press

INC., San Diego.

Burden, RL & Faires, JD 2001, Numerical Analysis, 7 edn, Brooks/Cole,

Australia, UK, USA.

Debnath, L 1997, Nonlinear Partial Differential Equations For Scientists and

Engineers, Birkhauser, Boston.

Ferziger, JH & Peric, M 1999, Computational Methods for Fluid Dynamics, 2

edn, Springer-Verlag, Berlin.

Holman, TP 1986, Heat Transfer, McGraw-Hill Book Company, New York.

Incropera, FP & Dewitt, DP 1996, Introduction to Heat Transfer, 3 edn, John

Wiley & son.

Mathews, JH & Fink, KD 1999, Numerical Methods Using MATLAB, 3 edn,

Prentice-Hall Inc.

Pain, HJ 2005, The Physics of Vibrations and Waves, 6 edn, John Wiley & Sons

Ltd., West Sussex.

Smith, GD 1985, Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite

Difference Methods, 3 edn, Oxford University Press, New York.

Wesseling, P 1991, Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-

Verlag, New York.

Lecture Note on Finite Difference Modified

Documents

Transcript of Lecture Note on Finite Difference Modified