Catatan Kuliah Finite Element Methode

ANALISA STRUKTUR ELEMEN HINGGA

(FINITE ELEMENT METHODE) CATATAN KULIAH SEMESTER A 2007-2008

Materi : Truss Element, Spring Element, Spring-Truss Element, Beam Element, Plane-

Frame Element, Grid Element

ERWIN ( 04 0404 009 )

FAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK SIPIL

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PENDAHULUAN

Finite element methode merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya

dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur.

Finite element mothode juga dapat dipakai untuk perhitugan struktur, fluida, elektrik, statik, dinamik,

dan lain-lain.

Finite element methode juga dikenal sebagai metode kekakuan ataupun

yang didapat terlebih dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian dicari gaya batang.

Kekakuan dapat dibagi atas :

1. Linier elastis

2. Non linier elastis

FINITE ELEMENT METHODE

Finite element methode disebut juga sebagai metode

secara praktis ke dalam berbagai bentuk struktur asalkan matriks kekakuan dari tiap struktur tersebut

dapat dibuat tidak seperti beberapa metode lainnya yang hanya terbatas untuk jenis struktur tertentu

seperti metode ritter yang digunakan untuk menentukan gaya

lain.

P (σ)

δ (E)

P (σ)

δ (E)

FAKULTAS TEKNIK



Catatan Kuliah Analisa Struktur Elemen Hingga ( Finite Element Methode )

element methode merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya

komponen struktur.


Finite element methode juga dikenal sebagai metode kekakuan ataupun displacement methode

dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian dicari gaya batang.

3. Linier inelastis

4. Non linier inelastis

Finite element methode disebut juga sebagai metode kekauan dimana metode ini dapat digunakan



ode ritter yang digunakan untuk menentukan gaya-gaya pada pada truss element, dan lain

P (σ)

δ (E

P (σ)

δ (E

Struktur Elemen Hingga ( Finite Element Methode )

Page 1

element methode merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya-gaya


displacement methode karena

dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian dicari gaya batang.

Non linier inelastis

kekauan dimana metode ini dapat digunakan



gaya pada pada truss element, dan lain-

(E)

(E)

FAKULTAS TEKNIK



Beberapa contoh struktur yang dapat diselesaikan dengan finite element methode :

Plane-Truss Element

Space-Truss Element

Beam Element

Grid Element

Plane-Frame Element

FAKULTAS TEKNIK






Page 2


2 DOF

2 DOF

4 DOF

6 DOF

6 DOF

FAKULTAS TEKNIK



Space-Frame Element

Spring Element

Rumus umum untuk menentukan gaya batang dengan finite element metdhode adalah :

dimana : f = gaya-gaya batang ( kg )

k = kekakuan struktur (

d = perpindahan ( m ataupun rad )

Dalam menggunakan finite element methode, perlu diperhatikan, bahwa pada tiap element / batang

akan terdapat 2 buah titik simpul yaitu simpul awal yang diberi tanda ( 1 ) dan simpul akhir yang diberi

tanda ( 2 ) dan sebuah element yang diberi tanda ( a ) seperti tampak pada gambar di bawah ini :

Langkah berikutnya dalam menyelesaikan persoalan dengan finite element methode yaitu menentukan

matriks kekakuan lokal yang berbeda

beam element, grid element, dan lain

Masing-masing batang memiliki kekakuan lokal tersendiri. Jika jenis struktur terdiri dari beberapa

element yang mempunyai sistem koordinat lokal yang berbeda, maka perlu dikonversikan ke

koordinat global yang dapat mewakili semua koordinat lokal element yang ada.

1

FAKULTAS TEKNIK





�� gaya batang ( kg )

kekakuan struktur ( N/m2 )

perpindahan ( m ataupun rad )



dan sebuah element yang diberi tanda ( a ) seperti tampak pada gambar di bawah ini :


matriks kekakuan lokal yang berbeda-beda untuk masing-masing jenis struktur seperti truss element,

beam element, grid element, dan lain-lain.

masing batang memiliki kekakuan lokal tersendiri. Jika jenis struktur terdiri dari beberapa

element yang mempunyai sistem koordinat lokal yang berbeda, maka perlu dikonversikan ke

koordinat global yang dapat mewakili semua koordinat lokal element yang ada.

21 a


Page 3

8 DOF

2 DOF




dan sebuah element yang diberi tanda ( a ) seperti tampak pada gambar di bawah ini :


ur seperti truss element,

masing batang memiliki kekakuan lokal tersendiri. Jika jenis struktur terdiri dari beberapa

element yang mempunyai sistem koordinat lokal yang berbeda, maka perlu dikonversikan ke suatu

FAKULTAS TEKNIK



Maka gaya-gaya yang terjadi pada koordinal global adalah :

dimana : � = gaya-gaya batang dalam arah global

� = kekakuan global

� = perpindahan global

Kemudian rumus untuk menentukan kekakuan global dapat diturunkan sebagai berikut :

Maka ditentukan matriks kekakuan global adalah :

Dengan �� adalah suatu faktor konversi gaya

jenis struktur dan akan dijabarkan kemudian.

Setelah diperoleh matriks kekakuan global, maka dapat disusun suatu matriks kekakuan struktur yang

memasukkan semua komponen-

Langkah berikutnya yaitu menentukan syarat

dapat diperoleh.

Dengan nilai perpindahan global yang diperoleh, gaya

dengan :

dimana :

FAKULTAS TEKNIK




gaya yang terjadi pada koordinal global adalah :

�� gaya batang dalam arah global

kekakuan global

perpindahan global


��

Maka ditentukan matriks kekakuan global adalah :

��

adalah suatu faktor konversi gaya-gaya ke arah sumbu global yang berbeda

jenis struktur dan akan dijabarkan kemudian.


-komponen elemen yang ada.

�� 00 ��

Langkah berikutnya yaitu menentukan syarat-syarat batas yang ada dan kemudian nilai perpindahan

Dengan nilai perpindahan global yang diperoleh, gaya-gaya batang untuk tiap element dapat d

��


Page 4


gaya ke arah sumbu global yang berbeda-beda untuk tiap


syarat batas yang ada dan kemudian nilai perpindahan

gaya batang untuk tiap element dapat ditentukan

FAKULTAS TEKNIK



TRUSS ELEMENT

Rangka bidang disebut juga Plane Truss

rangka dapat diselesaikan dengan metode Ritter maupun teori keseimbangan titik buhul. Tetapi d

penyelesaian disini dilakukan dengan stiffness methode ( metode kekakuan ) yang disebut juga

displacement methode ( metode perpindahan ).

Dalam hal penyelesaian dengan metode ritter ataupun keseimbangan titik buhul disebut juga

methode, karena yang pertama didapat adalah gaya / force. Sedangkan pada metode kekakuan atau

finite element methode, yang diperoleh terlebih dahulu adalah perpindahan baru kemudian gaya batang

dapat dihitung.

Truss element memiliki derajat kebebasan sebanyak 2 buah ( 2 de

ada gaya lateral yang sejajar dengan batang ( S

akan bekerja duah buah gaya ( Sx

akan secara linear menimbulkan 2 perpindahan ( u

Menentukan Matriks Kekakuan Lokal

Hukum hooke memberikan :

maka :

Sehingga matriks kekakuan struktur untuk truss element menjadi :

1 a

Simpul awal / pangkal

u1

FAKULTAS TEKNIK




Plane Truss. Secara konvensional dalam mencari gaya

rangka dapat diselesaikan dengan metode Ritter maupun teori keseimbangan titik buhul. Tetapi d


displacement methode ( metode perpindahan ).

Dalam hal penyelesaian dengan metode ritter ataupun keseimbangan titik buhul disebut juga

ang pertama didapat adalah gaya / force. Sedangkan pada metode kekakuan atau


Truss element memiliki derajat kebebasan sebanyak 2 buah ( 2 degree of freedom / DOF ) yaitu hanya

ada gaya lateral yang sejajar dengan batang ( SX ). Disebut demikian karena dalam suatu rangka batang

akan bekerja duah buah gaya ( Sx1 dan Sx2 ) masing pada titik simpul awal dan akhir. Oleh karena itu,

akan secara linear menimbulkan 2 perpindahan ( u1 dan u2 ).

Lokal Untuk Truss Element

� � � � � ��

� � � � �

� � �� ∆!!

"#� � �� $� % $�!

"#� � �� $� % $�!

Sehingga matriks kekakuan struktur untuk truss element menjadi :

&"#�"#�' � ��! ( 1 %1%1 1 * +$�$�,

2

Simpul akhir / ujung

u2


Page 5

. Secara konvensional dalam mencari gaya-gaya batang di dalam

rangka dapat diselesaikan dengan metode Ritter maupun teori keseimbangan titik buhul. Tetapi dalam


Dalam hal penyelesaian dengan metode ritter ataupun keseimbangan titik buhul disebut juga force

ang pertama didapat adalah gaya / force. Sedangkan pada metode kekakuan atau


gree of freedom / DOF ) yaitu hanya

dalam suatu rangka batang

) masing pada titik simpul awal dan akhir. Oleh karena itu,

FAKULTAS TEKNIK



Maka matriks kekakuan lokal untuk truss element adalah :

Menentukan Matriks Kekakuan Global Untuk Truss

Untuk simpul 1 pada gambar di atas, dapat dituliskan :

Untuk satu element / batang berlaku

dimana :

Maka matriks kekakuan global untuk truss element adalah :

Y

FAKULTAS TEKNIK




Maka matriks kekakuan lokal untuk truss element adalah :

�� ! ( 1 %1%1 1 * Menentukan Matriks Kekakuan Global Untuk Truss Element


�� "-�".�� (cos 2 0sin 2 0* &"-�0 ' � �� berlaku :

��5 � ��5��5� �� (� 00 �* &��'

��5� � (� 00 �* Maka matriks kekakuan global untuk truss element adalah :

��5� � ��5��5��5��

X

Sy1

Sx1

Sx1

Sy2

Sx2

Sx2

1

2

α


Page 6

FAKULTAS TEKNIK



Karena matriks ��5� merupakan matriks ortogonal maka dapat ditulisakan sebagai :

��5� � ��! 6cos 2sin 2000000

Jika dimisalkan cos α = c dan sin α = s, maka :

SPRING ELEMENT

Spring element sama dengan hampir truss element dan mempunyai 2 buah DOF pula.

Sebagai contoh dari spring element pada struktur seperti sambungan

Kekakuan lokal untuk spring element :

Kekakuan global untuk spring element :

TRUSS + SPRING ELEMENT

Truss+spring element merupakan suatu kom

contohnya seperti rangka yang diberi kabel, atap yang diberi kabel, dan lain

Kekakuan batang dan spring yang digunakan dalam menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan

kombinasi kedua jenis element yaitu kekakuan untuk truss element dan spring element yang telah

diturunkan di atas.

FAKULTAS TEKNIK




merupakan matriks ortogonal maka dapat ditulisakan sebagai :

��5� � ��5��5��5�7

00cos 2sin 200008 6

11%1%111%1%1

%1%111%1%111 8 6cos 2000

sin 2000 cosn α = s, maka :

��5� � ��! 6 9�:9%9�%:9:9:�%:9%:�

%9�%:99�:9%:9%:�:9:� 8


Sebagai contoh dari spring element pada struktur seperti sambungan baut, kabel, dan lain

Kekakuan lokal untuk spring element :

��;� � � ( 1 %1%1 1 * Kekakuan global untuk spring element :

��;� � � 6 9�:9%9�%:9:9:�%:9%:�

%9�%:99�:9%:9%:�:9:� 8

Truss+spring element merupakan suatu kombinasi dari truss element dengan spring element. Sebagai

contohnya seperti rangka yang diberi kabel, atap yang diberi kabel, dan lain-lain.


s element yaitu kekakuan untuk truss element dan spring element yang telah


Page 7


00cos2000sin 20 8


baut, kabel, dan lain-lain.

binasi dari truss element dengan spring element. Sebagai


s element yaitu kekakuan untuk truss element dan spring element yang telah

FAKULTAS TEKNIK



BEAM ELEMENT

Beam element memiliki 4 buah DOF. Beam element mengalami gaya lintang dan momen lentur, tetapi

tidak ada gaya normal yang bekerja padanya.

Matriks Kekakuan Untuk Beam Element

Untuk mendapatkan matriks kekakuan struktur untuk sebuah beam element, maka struktur dibawah ini

disederhanakan menjadi 4 buah struktur yang kemudian dianalisa secara terpisah.

1. Simpul 1 dibiarkan bebas berotasi, sehingga :

� Beban : < � Lintang : =>>>

Untuk x = 0

=???� Momen : =??

Untuk x = 0

=??� Perputaran sudut : =?

Untuk x = 0

=? Untuk x = L

Μ

Μ

FAKULTAS TEKNIK





tidak ada gaya normal yang bekerja padanya.

Kekakuan Untuk Beam Element



Simpul 1 dibiarkan bebas berotasi, sehingga :

� �@ =?A � 0 >>> � �

Untuk x = 0 � =??? � B� maka � � B� ??? � CDEF ?? � CD -EF G H

Untuk x = 0 � =>> � %I� maka H � %I� ?? � CD -EF % JDEF � CD -K� EF % JD -EF G L

Untuk x = 0 � =? � M� maka L � M� � CD -K� EF % JD -EF G M�

Untuk x = L � =? � CD NK� �@ % JDNEF G M� � 0 JD NK� EF � CD OPQ EF G RDN�

21Μ1

R1

Μ2

R2

21

Μ1

R1

Μ2

R2

χ1


Page 8




FAKULTAS TEKNIK



� Perpindahan : = � Untuk x = 0

= � Untuk x = L

Maka diperoleh :

B� � 6 �@ M�!� ;2. Simpul 2 dibiarkan bebas berputar, sehingga :

� Beban : < � Lintang : =>>>

Untuk x = 0

=???� Momen : =??

Untuk x = 0


Untuk x = 0

=? Untuk x = L


= �

Μ1

FAKULTAS TEKNIK




� CD -PU EF % JD -K� EF G M� V G W

Untuk x = 0 � = � 0 maka W � 0 � CD -PU EF % JD -K� EF G M� V

Untuk x = L � = � CD NPU EF % JD NK� EF G M� ! � 0 CD NPU EF % CD OPQ EF % RDN� G M� ! � 0 CD NP�� EF � RDN�

; I� � 4 �@ M� ! ; B� � %6 �@ M�!� ; I� �Simpul 2 dibiarkan bebas berputar, sehingga :

� �@ =?A � 0 >>> � �


Untuk x = 0 � =?? � %I� maka H � %I� ?? � CD -EF % JDEF � CD -K� EF % JD -EF G L

Untuk x = 0 � =? � 0 maka L � 0 � CD -K� EF % JD -EF

Untuk x = L � =? � CD NK� EF % JDNEF � M� JD NK� EF � CD OPQ EF % RKN� � CD -PU EF % JD -K� EF G W

Untuk x = 0 � = � 0 maka W � 0 � CD -PU EF % JD -K� EF

21

1

R1

Μ2

R2

χ2


Page 9

2 �@ M� !

FAKULTAS TEKNIK



Untuk x = L

Maka diperoleh :

B� � 6 �@ M�!� ;3. Simpul 1 dibiarkan bebas berpindah, sehingga :

� Beban : < � Lintang : =???

Untuk x = 0

=???� Momen : =??

Untuk x = 0


Untuk x = 0

=? Untuk x = L


= � Untuk x = L

v1

FAKULTAS TEKNIK




Untuk x = L � = � CD NPU EF % JD NK� EF � 0 CD NPU EF % CD OPQ EF G RKN� � 0 CD NP�� EF � RKN�

; I� � 2 �@ M� ! ; B� � %6 �@ M�!� ; I� �Simpul 1 dibiarkan bebas berpindah, sehingga :

� �@ =?A � 0 ??? � �


Untuk x = 0 � =>> � %I� maka H � %I� ?? � CD -EF % JDEF � CD -K� EF % JD -EF G L

Untuk x = 0 � =? � 0 maka L � 0 � CD -K� EF % JD -EF

Untuk x = L � =? � CD NK� EF % JDNEF � 0 JD NK� EF � CD OPQ EF � CD -PU EF % JD -K� EF G W

Untuk x = 0 � = � =� maka W � =� � CD -PU EF % JD -K� EF G =1 Untuk x = L � = � CD NPU EF % JD NK� EF G =1 � 0 CD NPU EF % CD OPQ EF G =1 � 0 CD NP�� EF � =1

2

1Μ1

R1

Μ2

R2


Page 10

4 �@ M� !

FAKULTAS TEKNIK



Maka diperoleh :

B� � 12 �@ =�!Z ;4. Simpul 2 dibiarkan bebas berpindah, sehingga :

� Beban : < � Lintang : =???

Untuk x = 0

=???� Momen : =??

Untuk x = 0


Untuk x = 0

=? Untuk x = L


= � Untuk x = L

Maka diperoleh : B� � %12 �@ =�!Z

Μ

FAKULTAS TEKNIK




; I� � 6 �@ =� !� ; B� � %12 �@ =�!Z ; I� �ebas berpindah, sehingga :

� �@ =?A � 0 ??? � �


Untuk x = 0 � =?? � %I� maka H � %I� ?? � CD -EF % JDEF � CD -K� EF % JD -EF G L

Untuk x = 0 � =? � 0 maka L � 0 � CD -K� EF % JD -�@

Untuk x = L � =? � CD NK� EF % JDNEF � 0 JD NK� EF � CD OPQ EF � CD -PU EF % JD -K� EF G W

Untuk x = 0 � = � 0 maka W � 0 � CD -PU EF % JD -K� EF

Untuk x = L � = � CD NPU EF % JD NK� EF � =2 CD NPU EF % CD OPQ EF � =2

% B1 !312 �@ � =�

; I� � %6 �@ =� !� ; B� � 12 �@ =�!Z ; I�

Μ1

R1

Μ2

R2

2

1 v2


Page 11

� 6 �@ =� !�

� %6 �@ =� !�

FAKULTAS TEKNIK



Jika dijumlahkan, maka diperoleh :

BIB�I

Maka diperoleh :

\Matriks kekakuan untuk beam element :

PLANE-FRAME ELEMENT

Plane-frame element merupakan gabungan dari truss element dengan beam element. Memiliki 6 buah

DOF dimana element-elementnya mengalami gaya normal, gaya lintang, dan momen pada arah z sesuai

dengan diagram di bawah ini.

Μ

Sx1

FAKULTAS TEKNIK




Jika dijumlahkan, maka diperoleh :

B� � 12 �@ =�!Z G 6 �@ M�!� % 12 �@ =�!Z G 6 �@ M�!�

I� � 6 �@ =� !� G 4 �@ M� ! % 6 �@ =� !� G 2 �@ M� !

� %12 �@ =�!Z % 6 �@ M�!� G 12 �@ =�!Z % 6 �@ M�!�

I� � 6 �@ =� !� G 2 �@ M� ! % 6 �@ =� !� G 4 �@ M� !

\B�I�B�I�] � �@!Z ^

126!%126!6!4!�%6!2!�

%12%6!12%6!6!2!�%6!4!� _ `

=�M�=�M�a

Matriks kekakuan untuk beam element :

��b� � �@!Z ^126!%126!

6!4!�%6!2!�%12%6!12%6!

6!2!�%6!4!� _

frame element merupakan gabungan dari truss element dengan beam element. Memiliki 6 buah

elementnya mengalami gaya normal, gaya lintang, dan momen pada arah z sesuai

ΕΙz

ΕΑ

Sy1

Μz1

Sy2

Μz2

Sx2

L


Page 12

frame element merupakan gabungan dari truss element dengan beam element. Memiliki 6 buah

elementnya mengalami gaya normal, gaya lintang, dan momen pada arah z sesuai

FAKULTAS TEKNIK



Menentukan Matriks Kekakuan Untuk Flane

Syarat keseimbangan :

"-� � %dimana :

"-".� � 12 �@ !Z c=� % =�dIe� � 6 �@ !� c=� % =� d G

Maka diperoleh :

fgghggi"-�".�Ie�"-�".�Ie�jgg

kggl �

mnnnnnnnnnnno

%

Jadi matriks kekakuan lokal untuk plane

��

mnnnnnnnnnnno

%

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan Matriks Kekakuan Untuk Flane-Frame Element

%"-� ; ".� � %".� ; Ie� � %Ie� G ".�. !

-� � ��! c$� % $�d ; "-� � ��! c$� % $�d d G 6 �@ !� cM� G M�d ; ".� � 12 �@ !Z c=� % =�d % 6 !d G 2 �@ ! c2M� G M�d ; Ie� � 6 �@ !� c=� % =� d G 2

mnnnnnnnnnnno ��! 0 0

0 12 �@ !Z 6 �@ !�0 6 �@ !� 4 �@ !

%��! 0 00 %12 �@ !Z 6 �@ !�0 %6 �@ !� 2 �@ !��! 0 0

0 %12 �@ !Z %6 �@ !�0 6 �@ !� 2 �@ !

��! 0 00 12 �@ !Z %6 �@ !�0 %6 �@ !� 4 �@ ! qr

rrrrrrrrrrs

fghgi

Jadi matriks kekakuan lokal untuk plane-frame element :


0 12 �@ !Z 6 �@ !�0 6 �@ !� 4 �@ !

%��! 0 00 % 12 �@ !Z 6 �@ !�0 %6 �@ !� 2 �@ !%��! 0 0

0 %12 �@ !Z %6 �@ !�0 6 �@ !� 2 �@ !

��! 0 00 12 �@ !Z %6 �@ !�0 % 6 �@ !� 4 �@ ! qr

rrrrrrrrrrs


Page 13

�@ !� cM� G M�d �@ ! cM� G 2M�d

qrrrrrrrrrrrs

fghgi$�=�M�$�=�M�jgk

gl

qrrrrrrrrrrrs

FAKULTAS TEKNIK



Menentukan Matriks Kekakuan Global Untuk Plane


�� \Untuk satu element / batang berlaku :

dimana :

Maka matriks kekakuan global untuk truss


Y

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan Matriks Kekakuan Global Untuk Plane-Frame Element

tuk simpul 1 pada gambar di atas, dapat dituliskan :

\"-�".�Ite�] � ucos 2 % sin 2 0sin 2 cos 2 00 0 1v `"-�".�Ie�

a � �� Untuk satu element / batang berlaku :

��5 � ��5��5� �� (� 00 �* &��'


��5� � ��5��5��5��


��5� � ��5��5��5�7

Y

X

Sy1

Sx1

Sy2

Sx2

1

2

α

Mz2

Mz1


Page 14

�


FAKULTAS TEKNIK



��5� �mnnnnocos2 % sin2 0sin2 cos2 00 0 1 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

cos2 % sinsin2 cos20 0

Jika dimisalkan cos α = c dan sin α = s, maka

��5� �

mnnnnnnnnnnno

�9� G 12@!� :� w� % 12@!� x 9:

% 6@! :% w�9� G 12@!� :�x% w� % 12@!� x 9:%6@! :

GRID ELEMENT

Grid element memiliki 6 DOF dimana element

dan torsi ( momen dalam arah x ) sesuai dengan diagram di bawah ini.

Menentukan Matriks Kekakuan Lokal Untuk Grid Element

Syarat keseimbangan :

".� � %

Μ

Mx1

FAKULTAS TEKNIK




0 0 0sin2 02 01qrrrrs


0 12 �@ !Z 6 �@ !�0 6 �@ !� 4 �@ !

%��! 0 00 %12 �@ !Z 6 �@ !�0 %6 �@ !� 2 �@ !%��! 0 0

0 %12 �@ !Z %6 �@ !�0 6 �@ !� 2 �@ !

��! 0 00 12 �@ !Z %6 �@ !�0 %6 �@ !� 4 �@ ! qrr

rrrrrrrrrs

mnnnnocos% sin0 0 0 0

Jika dimisalkan cos α = c dan sin α = s, maka matriks kekekakuan global untuk Plane

w� % 12@!� x 9: %6@! : �:� G 12@!� 9� 6@! 9

6@! 9 4@% w�9� G 12@!� :�x % w� %%w� % 12@!� x 9: % w�:� G6@! : %6!x % w� % 12@!� x 9: 6@! :

% w�:� G 12@!� 9�x %6@! 96@! 9 2@ �9� G 12@!� :� w� % 12!w� % 12@!� x 9: �:� G 12

%6@! : %6!

memiliki 6 DOF dimana element-element mengalami gaya lintang, momen

( momen dalam arah x ) sesuai dengan diagram di bawah ini.

Menentukan Matriks Kekakuan Lokal Untuk Grid Element

%".� ; I-� � %I-� ; Ie� � %Ie� G ".�. !

ΕΙ

GJ

Sy1

Μz1

Sy2

Μz2

Mx2

L


Page 15

qnnnno cos2 sin2 0sin2 cos2 00 0 1 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0

cos2 sin2 0% sin2 cos2 00 0 1qrrrrs

k Plane-Frame Element :

w 12@!� x 9: %6@! :w G 12@!� 9�x 6@! 96@! 9 2@12@!� x 9: 6@! :12@!� 9� %6@! 96@! 9 4@ qr

rrrrrrrrrrs

element mengalami gaya lintang, momen dalam arah z,

FAKULTAS TEKNIK



dimana :

".� � 12 �@ !Z c=� % =�dI

Ie� � 6 �@ !� c=� % =� d GMaka Diperoleh :

fgghggi".�I-�Ie�".�I-�Ie�jgg

kggl �

mnnnnnnnnnnno

%

Jadi matriks kekakuan lokal untuk plane

��

mnnnnnnnnnnno

FAKULTAS TEKNIK




d G 6 �@ !� cM� G M�d ; ".� � 12 �@ !Z c=� % =�d % 6 !I-� � yz! c{� % {�d ; I-� � yz! c{� % {�d d G 2 �@ ! c2M� G M�d ; Ie� � 6 �@ !� c=� % =� d G 2

mnnnnnnnnnnno 12�@!Z 0 6�@!�0 yz! 06�@!� 0 4�@!

%12�@!Z 0 6�@!�0 %yz! 0%6�@!� 0 4�@!%12�@!Z 0 %6�@!�0 %yz! 06�@!� 0 4�@!

12�@!Z 0 % 6�@!�0 yz! 0%6�@!� 0 4�@! qr

rrrrrrrrrrs

fghgi={M={M

Jadi matriks kekakuan lokal untuk plane-frame element :

�


% 12�@!Z 0 6�@!�0 %yz! 0% 6�@!� 0 4�@!%12�@!Z 0 %6�@!�0 %yz! 06�@!� 0 4�@!

12�@!Z 0 % 6�@!�0 yz! 0%6�@!� 0 4�@! qr

rrrrrrrrrrs


Page 16

�@ !� cM� G M�d

�@ ! cM� G 2M�d

qrrrrrrrrrrrs

ggi=�{�M�=�{�M�jgk

gl

qrrrrrrrrrrrs

FAKULTAS TEKNIK



Menentukan Matriks Kekakuan Global Untuk


�� \Untuk satu element / batang berlaku :

dimana :

Maka matriks kekakuan global untuk truss element adalah :


Z

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan Matriks Kekakuan Global Untuk Grid Element


\".�It-�Ite�] � u1 0 00 cos 2 % sin 20 sin 2 cos 2 v`".�I-�Ie�a � ��

Untuk satu element / batang berlaku :

��5 � ��5��5� �� (� 00 �* &��'


��5� � ��5��5��5��


��5� � ��5��5��5�7

Y

α

Mz2

Mz1

Sx1

Sy2

Sx2

Sy1

1

2


Page 17

�


X

FAKULTAS TEKNIK



��5� �mnnnno100000

0cos2sin2000

0% sin2cos2000

000100

0000cos2sin2 %cos

Jika dimisalkan cos α = c dan sin α = s, maka

��5� �

mnnnnnnnnnnno 12�@!Z %6�@!%6�@!� : yz 9� G!6�@!� 9 cyz % 4%12�@!Z 6�@!�%6�@!� : %yz 9� G!6�@!� 9 %cyz G 2

BEAM ELEMENT DAN PLANE FRAME ELEMENT DENGAN BEBAN TERBAGI RATA

Jika pada suatu struktur yang hendak diselesaikan dengan menggunakan finite element methode

terdapat beban merata, maka beban

direduksi kepada titik simpul.

Secara umum berlaku :

dimana : ��|}�� adalah gaya-gaya pada titik simpul akibat beban merata ( seperti momen primer pada

metode cross )

FAKULTAS TEKNIK




0000% sin2cos2 qrrrrs

mnnnnnnnnnnno 12 �@ !Z 0 6 �@ !�0 yz! 06 �@ !� 0 4 �@ !

%12 �@ !Z 0 6 �@ !�0 %yz! 0%6 �@ !� 0 2 �@ !%12 �@ !Z 0 %6 �@ !�0 %yz! 06 �@ !� 0 2 �@ !

12 �@ !Z 0 %6 �@ !�0 yz! 0%6 �@ !� 0 4 �@ ! qrr

rrrrrrrrrs

mnnnno100000

Jika dimisalkan cos α = c dan sin α = s, maka matriks kekakuan global untuk Grid Element

�@!� : 6�@!� 9G 4�@ :�! cyz % 4�@d :9!4�@d :9! yz :� G 4�@ 9�!

%12�@!Z %6�@!� :6�@!� : %yz 9� G 2�@ :�!%6�@!� 9 %cyz G 2�@d :9!: %6�@!� 9G 2�@ :� %cyz G 2�@d :9!2�@d :9! %yz :� G 2�@ 9�!

12�@!Z 6�@!� :6�@!� : yz 9� G 4�@ :�! % 6�@!� 9 cyz % 4�@d :9!

BEAM ELEMENT DAN PLANE FRAME ELEMENT DENGAN BEBAN TERBAGI RATA

pada suatu struktur yang hendak diselesaikan dengan menggunakan finite element methode

terdapat beban merata, maka beban-beban merata yang bekerja pada element harus terlebih dahulu

�� % ��~5�� gaya pada titik simpul akibat beban merata ( seperti momen primer pada


Page 18

qrrrrrrrrrrrs

nnnno 0cos2% sin2000

0sin2cos2000

000100

0000cos2% sin2

0000sin2cos2qrrrrs

ekakuan global untuk Grid Element :

6�@!� 9%cyz G 2�@d :9!%yz :� G 2�@ 9�!%6�@!� 9cyz % 4�@d :9!yz :� G 4�@ 9�! qr

rrrrrrrrrrs

pada suatu struktur yang hendak diselesaikan dengan menggunakan finite element methode

bekerja pada element harus terlebih dahulu

gaya pada titik simpul akibat beban merata ( seperti momen primer pada

FAKULTAS TEKNIK



Berikut ini adalah tabel yang memberikan beban titik ekivalen dari beberapa jenis sistem pembebanan :

Langkah-Langkah dalam menyelesaikan persoalan struktur dengan finite element methode dimana

beban merata bekerja pada element :

� Langkah I : Menentukan model yaitu nomor simpul

� Langkah II : Menentukan f

Dengan catatan : Untuk gaya lintang : arah ke atas ( + ) dan arah ke bawah (

Untuk momen : berlawanan arah jarum jam ( + ) dan searah jarum jam (

� Langkah III : Menentukan matriks kekakuan lokal element

FAKULTAS TEKNIK




yang memberikan beban titik ekivalen dari beberapa jenis sistem pembebanan :

Langkah dalam menyelesaikan persoalan struktur dengan finite element methode dimana

beban merata bekerja pada element :

Menentukan model yaitu nomor simpul dan element

Menentukan fred

Untuk gaya lintang : arah ke atas ( + ) dan arah ke bawah (

Untuk momen : berlawanan arah jarum jam ( + ) dan searah jarum jam (

Menentukan matriks kekakuan lokal element


Page 19

yang memberikan beban titik ekivalen dari beberapa jenis sistem pembebanan :

Langkah dalam menyelesaikan persoalan struktur dengan finite element methode dimana

Untuk gaya lintang : arah ke atas ( + ) dan arah ke bawah ( – )

Untuk momen : berlawanan arah jarum jam ( + ) dan searah jarum jam ( – )

FAKULTAS TEKNIK



� Langkah IV : Menentukan matriks kekakuan global element

� Langkah V : Menentukan matriks kekakuan struktur

� Langkah VI : Menentukan kondisi

o Untuk perletakan sendi :

o Untuk perletakan jepit :

� Langkah VII : Menghitung besar perpindahan

� Langkah VIII : Mentukan perpindahan lokal

� Langkah IX : Menentukan gaya

dengan fred.

� Langkah X : Menentukan gaya

dengan fred.

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan matriks kekakuan global element ��

Menentukan matriks kekakuan struktur �� Menentukan kondisi-kondisi batas ( Boundary condition )

: u = 0

v = 0

: u = 0

v = 0

M = 0

{ = 0

Menghitung besar perpindahan

Mentukan perpindahan lokal �� Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element

�� Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element setelah dikurangi

�� % ��~5��


Page 20

masing element sebelum dikurangi

masing element setelah dikurangi

FAKULTAS TEKNIK



RINGKASAN DAN RUMUS

Langkah-langkah dalam menyelesaikan persoalan struktur dengan finite element methode :

� Langkah I : Menentukan

� Langkah II : Menentukan matriks kekakuan

� Langkah III : Menentukan matriks kekakuan global element

� Langkah IV : Menentukan matriks kekakuan struktur

� Langkah V : Menentukan kondisi



� Langkah VI : Menghitung besar perpindahan

� Langkah VII : Mentukan perpindahan lokal

� Langkah VIII : Menentukan gaya

TRUSS ELEMENT

DOF = 2

Kekakuan lokal :

Kekakuan global :

Matriks transformasi :

��5� � 6cos 2sin 2000000

FAKULTAS TEKNIK




RINGKASAN DAN RUMUS-RUMUS

langkah dalam menyelesaikan persoalan struktur dengan finite element methode :



Menentukan matriks kekakuan global element ��

Menentukan matriks kekakuan struktur �� Menentukan kondisi-kondisi batas ( Boundary condition )

: u = 0

v = 0

: u = 0

v = 0

M = 0

{ = 0


Mentukan perpindahan lokal �� Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element��

�� ! ( 1 %1%1 1 *

��5� � ��! 6 9�:9%9�%:9:9:�%:9%:�

%9�%:99�:9%:9%:�:9:� 8

00cos 2sin 200008 �� 5�7 � 6cos 2000

sin 200000cos0


Page 21

langkah dalam menyelesaikan persoalan struktur dengan finite element methode :

masing element

00cos2000sin 20 8

FAKULTAS TEKNIK



SPRING ELEMENT

DOF = 2

Matriks kekakuan lokal :

Matriks kekakuan global :


��5� � 6cos 2sin 2000000

BEAM ELEMENT

DOF = 4


PLANE-FRAME ELEMENT

DOF = 6


��

mnnnnnnnnnnno

%

FAKULTAS TEKNIK




��;� � � ( 1 %1%1 1 *

��;� � � 6 9�:9%9�%:9:9:�%:9%:�

%9�%:99�:9%:9%:�:9:� 8

00cos 2sin 200008 �� 5�7 � 6cos 2000

sin 200000cos0

��b� � �@!Z ^126!%126!

6!4!�%6!2!�%12%6!12%6!

6!2!�%6!4!� _


0 12 �@ !Z 6 �@ !�0 6 �@ !� 4 �@ !

%��! 0 00 % 12 �@ !Z 6 �@ !�0 %6 �@ !� 2 �@ !%��! 0 0

0 %12 �@ !Z %6 �@ !�0 6 �@ !� 2 �@ !

��! 0 00 12 �@ !Z %6 �@ !�0 % 6 �@ !� 4 �@ ! qr

rrrrrrrrrrs


Page 22

00cos2000sin 20 8

qrrrrrrrrrrrs

FAKULTAS TEKNIK




��5� � �!

mnnnnnnnnnnno

�9� G 12@!� :� w� % 12@!� x 9:

%6@! :% w�9� G 12@!� :�x%w� % 12@!� x 9:%6@! :


��5

��5�

GRID ELEMENT

DOF = 6


��

mnnnnnnnnnnno

FAKULTAS TEKNIK




w� % 12@!� x 9: %6@! : �:� G 12@!� 9� 6@! 9

6@! 9 4@% w�9� G 12@!� :�x % w� %%w� % 12@!� x 9: % w�:�6@! : %

x % w� % 12@!� x 9: 6@! :% w�:� G 12@!� 9�x %6@! 96@! 9 2@

�9� G 12@!� :� w� % 12w� % 12@!� x 9: �:� G

%6@! : %6

� 5� �mnnnnocos 2 % sin 2 0sin 2 cos 2 00 0 1 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

cos 2 % sin 2 0sin 2 cos 2 00 0 1qrrrrs

� �7 �mnnnnocos 2 sin 2 0% sin 2 cos 2 00 0 1 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

cos 2 sin 2 0% sin 2 cos 2 00 0 1qrrrrs

�


% 12�@!Z 0 6�@!�0 %yz! 0% 6�@!� 0 4�@!%12�@!Z 0 %6�@!�0 %yz! 06�@!� 0 4�@!

12�@!Z 0 % 6�@!�0 yz! 0%6�@!� 0 4�@! qr

rrrrrrrrrrs


Page 23

w % 12@!� x 9: %6@! :w G 12@!� 9�x 6@! 96@! 9 2@w 12@!� x 9: 6@! :

G 12@!� 9� % 6@! 96@! 9 4@ qrrrrrrrrrrrs

q

qrrrrrrrrrrrs

FAKULTAS TEKNIK




��5� �

mnnnnnnnnnnno 12�@!Z %6�@!%6�@!� : yz 9� G!6�@!� 9 cyz % 4%12�@!Z 6�@!�%6�@!� : %yz 9� G!6�@!� 9 %cyz G 2


��5

��5�

FAKULTAS TEKNIK




�@!� : 6�@!� 9G 4�@ :�! cyz % 4�@d :9!4�@d :9! yz :� G 4�@ 9�!

%12�@!Z %6�@!� :6�@!� : %yz 9� G 2�@ :�!%6�@!� 9 %cyz G 2�@d :9!: %6�@!� 9G 2�@ :� %cyz G 2�@d :9!2�@d :9! %yz :� G 2�@ 9�!

12�@!Z 6�@!� :6�@!� : yz 9� G 4�@ :�! % 6�@!� 9 cyz % 4�@d :9!

� 5� �mnnnno100000

0cos 2sin 2000

0% sin 2cos 2000

000100

0000cos 2sin 2

0000% sin 2cos 2 qrrrrs

� �7 �mnnnno100000

0cos 2% sin 2000

0sin 2cos 2000

000100

0000cos 2% sin 2

0000sin 2cos 2qrrrrs


Page 24

6�@!� 9%cyz G 2�@d :9!%yz :� G 2�@ 9�!%6�@!� 9cyz % 4�@d :9!yz :� G 4�@ 9�! qr

rrrrrrrrrrs

q

FAKULTAS TEKNIK



ΕΑ

Pa

12

H1

1 m 2 m

TRUSS ELEMENT

Contoh 1 :

Langkah I : Menentukan model

Langkah II : Menentukan matriks kekakuan

Element a :

Element b :

Langkah III : Menentukan matriks kekakuan struktur

Langkah IV : Menentukan kondisi

Untuk perletakan sendi : u1 = 0

u3 = 0

Langkah V : Menghitung besar perpindahan

%100

FAKULTAS TEKNIK




ΕΑb

3

H2

2 m

CONTOH-CONTOH SOAL

P = 100 kN

A = 26 cm2

E = 21x 104 N/mm2

EA = 546 kN

Langkah II : Menentukan matriks kekakuan lokal element

�� !� ( 1 %1%1 1 * � ( 546 %546%546 546 *

��b� � ��!b ( 1 %1%1 1 * � ( 273 %273%273 273 * Menentukan matriks kekakuan struktur

�� `��Za � 6�� 0�� G �b�� b��0 �b�� b��8 �

��Z� � ��100�Z � � u 546 %546 0%546 819 %2730 %273 273 v �$�$�$Z�

Menentukan kondisi-kondisi batas ( Boundary condition )

= 0

= 0


100 � 819 $� %� $� � %0.122 ��


Page 25

FAKULTAS TEKNIK



Langkah VIII : Menentukan gaya

Element a :

�� &Element b :

�� &Contoh 2 :

Langkah I : Menentukan model


Element a :

�Element b :

Langkah III : Menentukan matriks kekakuan st

2ΕΑ

Pa

12

H1

1 m 2 m

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element

��

� &"#�"#�' � ( 546 %546%546 546 * + 0%0.122, � + 66.67 ��%66.67 ��,

� &"#�"#Z' � ( 273 %273%273 273 * +%0.1220 , � +%33.33 ��33.33 �� ,

P = 100 kN

A = 26 cm2

E = 21x 104 N/mm2

EA = 546 kN


�� 2��!� ( 1 %1%1 1 * � ( 1092 %1092%1092 1092 *

��b� � ��!b ( 1 %1%1 1 * � ( 273 %273%273 273 * Menentukan matriks kekakuan struktur

�� `��Za � 6�� 0�� G �b�� b��0 �b�� b��8 �

��Z�

ΕΑb

3

H2

2 m


Page 26

,

,

FAKULTAS TEKNIK



Langkah IV : Menentukan kondisi

Untuk perletakan sendi : u1 = 0

u3 = 0

Langkah V : Menghitung besar perpindahan

%100Langkah VIII : Menentukan gaya

Element a :

�� &Element b :

�� Contoh 3 :

3 m

4 m

P = 1000 NV1

H1

H3

V3

b

a

3

1 2

FAKULTAS TEKNIK




� ��100�Z � � u 1092 %1092 0%1092 1370 %2730 %273 273 v �$�$�$Z� Menentukan kondisi-kondisi batas ( Boundary condition )

= 0

= 0


100 � 1370 $� %� $� � %0.073 ��

Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element

��

� &"#�"#�' � ( 1092 %1092%1092 1092 * + 0%0.073, � + 80 ��%80 ��,

� � &"#�"#Z' � ( 273 %273%273 273 * +%0.1220 , � +%20 ��20 �� , Diketahui :

A = 145 cm2

E = 21 x 104 N/mm2 = 21,000,000 N/cm

Ditanya :

a. Displacement.

b. Gaya bantang.

P = 1000 N


Page 27

,

,

= 21,000,000 N/cm2

FAKULTAS TEKNIK



� Langkah I : Menentukan model

Data-data element :

Batang

E ( N/cm2 )

A ( cm2 )

L ( m ) 2

Kuadran sin2 cos2 sin� 2 cos� 2 sin 2 cos2 ��!

� Langkah II : Menentukan matriks kekakuan lokal element

Element a :

Element b :


Element a :

Element b :

��b

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan model

a

21,000,000

145

300

0⁰

I

0

1

0

1

0

10,150,000

Menentukan matriks kekakuan lokal element �� ! ( 1 %1%1 1 * �� 10,150,000 ( 1 %1%1 1 * ��b� � 6,090,000 ( 1 %1%1 1 *

Menentukan matriks kekakuan global element

��5� � ��! 6 9�:9%9�%:9:9:�%:9%:�

%9�%:99�:9%:9%:�:9:� 8

�� 10,150,000 6 10%100000

%101000008

�b� � 6,090,000 6 0.36%0.48%0.360.48%0.480.640.48%0.64

%0.360.480.36%0.480.48%0.64%0.480.64 8


Page 28

b

21,000,000

145

500

127⁰

II

0.8

-0.6

0.36

0.64

0.48

6,090,000

FAKULTAS TEKNIK




fghgi ��0%1000�Z�Z jgk

gl �mnnnno10,150,0000%10,150,000000




Setelah memasukkan nilai-nilai syarat

Penyelesaian matriks di atas menghasilkan :

o $� = -0.00007389 cm

o =� = -0.00031197 cm


Element a :

�� (cos 00 sin 00Element b :

��b� � (cos 1270 sin 1270 0cos 127� Langkah VIII : Menentukan gaya

Element a : �� &"#"#Element b : ��b� � &""

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan matriks kekakuan struktur �� `��Za � ^�� 0�� G �b�� b��0 �b�� b��_ `

��Za

000000000

%10,150,000012,342,500%2,923,200%2,192,4002,923,200

00%2,923,2003,897,6002,923,200%3,897,600

00%2,192,4002,923,2002,192,400%2,923,200%%


: $� = 0

=� = 0

$Z = 0

=Z = 0


nilai syarat-syarat batas maka diperoleh : + 0%1000, � �12,342,500 %2,923,200%2,923,200 3,897,600 � &$�=�' saian matriks di atas menghasilkan :

Mentukan perpindahan lokal �� 0cos 0 0sin 0* `

$�=�$�=�a � (10 00 01 00*`00%0.00007389%0.00031197a �

127 0sin 127*`$�=�$Z=Za � (%0.60 0.80 0%0.6 00.8* `

%0.00007389%0.0003119700Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element��

& #�#�' � 10,150,000 ( 1 %1%1 1 * + 0%0.00007389, � + 750%750&"#�"#Z' � 6,090,000 ( 1 %1%1 1 * + 0%0.000205242, � +%12501250


Page 29

002,923,200%3,897,600%2,923,2003,897,600 qrrrrsfghgi$�=�$�=�$Z=Zjg

kgl

'

a + 0%0.00007389, 0000738900031197a � + 0%0.000205242,

masing element

+ 750750, 12501250 ,

FAKULTAS TEKNIK



3 m

4 m

P = 1000 NV1

H1

H3

V3

b

a

3

12

4

V4

s

H4

TRUSS+SPRING ELEMENT


Data-data element :

Batang

E ( N/cm2 )

A ( cm2 )

L ( m ) 2

Kuadran sin 2 cos2 sin� 2 cos� 2 sin2 cos2 ��!

��


Element a :

Element b :

FAKULTAS TEKNIK




Diketahui :

A = 145 cm2

E = 21 x 104 N/mm2 = 21,000,000 N/cm

kS = 50,000 N/cm

Ditanya :

a. Displacement.

b. Gaya Batang.

Menentukan model

a b

21,000,000 21,000,000

145 145

300 500

0⁰ 127⁰

I II

0 0.8

1 -0.6

0 0.36

1 0.64

0 0.48

10,150,000 6,090,000

--- ---

Menentukan matriks kekakuan lokal element �� ! ( 1 %1%1 1 * �� 10,150,000 ( 1 %1%1 1 * ��b� � 6,090,000 ( 1 %1%1 1 *


Page 30

= 21,000,000 N/cm2

Spring

---

---

---

270⁰

III

-1

0

1

0

0

---

50,000

FAKULTAS TEKNIK



Element Spring :


Element a :

Element b :

��bElement Spring :


fghgi��Z�Qjgk

gl �

fghgi ��0%1000�Z�Z jgk

gl �mnnnnnno 10,150,0000%10,150,00000000

%1012%%2



FAKULTAS TEKNIK




��;� � 50,000 ( 1 %1%1 1 * Menentukan matriks kekakuan global element

��5� � ��! 6 9�:9%9�%:9:9:�%:9%:�

%9�%:99�:9%:9%:�:9:� 8

�� 10,150,000 6 10%100000

%101000008

�b� � 6,090,000 6 0.36%0.48%0.360.48%0.480.640.48%0.64

%0.360.480.36%0.480.48%0.64%0.480.64 8

�� 50,000 60000010%1

00000%101 8

Menentukan matriks kekakuan struktur �� i

jgkgl �

mnnno��00

�� G �b�� G ��b��0�b��b��0

0��0��qrrrsfghgi��Z�Qjgk

gl

10,150,000012,342,500%2,923,200%2,192,4002,923,20000

00%2,923,2003,947,6002,923,200%3,897,6000%50,000

00%2,192,4002,923,2002,192,400%2,923,20000

002,923,200%3,897,600%2,923,2003,897,60000

00000000Menentukan kondisi-kondisi batas ( Boundary condition )

: $� = 0

=� = 0

$Z = 0

=Z = 0

$Q = 0

=Q = 0


Page 31

jgkgl

00000000

00000000

000%50,00000050,000 qrrrrrrs

fgghggi$�=�$�=�$Z=Z$Q=Qjggkggl

FAKULTAS TEKNIK





Penyelesaian matriks di atas menghasilkan :

o $� = -0.000072756 cm

o =� = -0.000307194 cm


Element a :

�� (cos 00 sin 00 cosElement b :

��b� � (cos 1270 sin 1270 0cos 127Element Spring :

�� (cos 2700 sin 2700 cos� Langkah VIII : Menentukan gaya

Element a : �� &"#"#Element b : ��b� � &"#�"#Z'Spring Element :

��

FAKULTAS TEKNIK





nilai syarat-syarat batas maka diperoleh : + 0%1000, � �12,342,500 %2,923,200%2,923,200 3,947,600 � &$�=�' saian matriks di atas menghasilkan :

Mentukan perpindahan lokal �� 0cos 0 0sin 0* `

$�=�$�=�a � (10 00 01 00* `00%0.000072756%0.000307194a �

127 0sin 127*`$�=�$Z=Za � (%0.60 0.80 0%0.6 00.8* `

%0.000072756%0.000307194000cos 270 0sin 270*`

$�=�$Q=Qa � (00 %10 00 0%1* `%0.000072756%0.00030719400

Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element�� &"#�#�' � 10,150,000 ( 1 %1%1 1 * + 0%0.000072756, � + 738.48%738.48' � 6,090,000 ( 1 %1%1 1 * + 0%0.0002021016, � +%1230.801230.80

� � &"#�"#Q' � 50,000 ( 1 %1%1 1 * +0.0003071940 , � + 15.37%15.37,


Page 32

'

a + 0%0.000072756, 000072756000307194a � + 0%0.000202102,

000072756000307194a � + 0%0.000307194, masing element

4848, 8080 , ,

FAKULTAS TEKNIK



BEAM ELEMENT

Diketahui :

Beton K-300

E = 4700�� = 4700√30 = 25743 N/mm

I = 1/12 b h3 = 1/12 ( 30 ) ( 40 )3 = 160,000 cm

Ditanya : Hitung displacement, gambar bidang momen dan bidang lintang.


Data-data element :

Element

E ( N/m2 )

I ( m4 )

L ( m ) 12�@!Z 6�@!�

4�@!

2�@!

� Langkah II : Menentukan matriks kekakuan element

P = 1000 N

1

2 m

a

R1

Μ1

FAKULTAS TEKNIK




25743 N/mm2 = 2.5743 x 1010 N/m2

= 160,000 cm4 = 1.6 x 10-3 m4

: Hitung displacement, gambar bidang momen dan bidang lintang.

Menentukan model

a b

2.5743 x 1010 2.5743 x 1010

1.6 x 10-3 1.6 x 10-3

2 2

61,783,200 61,783,200

61,783,200 61,783,200

82,377,600 82,377,600

41,188,800 41,188,800

Menentukan matriks kekakuan element

�� b� � �@!Z ^126!%126!

6!4!�%6!2!�%12%6!12%6!

6!2!�%6!4!� _

P = 1000 N

b2

3

R32 m

Μ2

30 cm


Page 33

_

30 cm

40 cm

FAKULTAS TEKNIK



Element a = Element b :

�� b� � ^� Langkah III : Menentukan matriks kekakuan struktur

fghgi B�I�%10000BZ0 jgk

gl �mnnnno61,783,20061,783,200%61,783,20061,783,20000

6182%6141� Langkah IV : Menentukan kondisi



� Langkah V : Menghitung besar perpindahan


�%100000Penyelesaian matriks di atas menghasilkan :

o =� = -0.00001416242 m

o M� = -0.000003034806 rad

o MZ = 0.00001213922 rad

� Langkah VI : Menentukan gaya

Element a :

\B�I�B�I�] � ^ 61,783,20061,783,200%61,783,20061,783,200

6182%6141Element b :

\B�I�B�I�] � ^ 61,783,20061,783,200%61,783,20061,783,200

6182%6141

FAKULTAS TEKNIK




� ^ 61,783,20061,783,200%61,783,20061,783,20061,783,20082,377,600%61,783,20041,188,800

%61,783,200%61,783,20061,783,200%61,783,20061,78341,188%6182,377

Menentukan matriks kekakuan struktur �� `��Za � 6�� 0�� G �b�� b��0 �b�� b��8 �

��Z� 61,783,20082,377,60061,783,20041,188,80000

%61,783,200%61,783,200123,566,4000%61,783,20061,783,200

61,783,20041,188,8000164,755,200%61,783,20041,188,800

00%61,783,200%61,783,20061,783,200%61,783,200Menentukan kondisi-kondisi batas ( Boundary condition )

: =� = 0

: =Z = 0

MZ = 0


nilai syarat-syarat batas maka diperoleh : 1000� � u123,566,400 0 61,783,2000 164,755,200 41,188,80061,783,200 41,188,800 82,377,600v �=MM

saian matriks di atas menghasilkan :

0.000003034806 rad

Menentukan gaya-gaya dalam masing-masing element �� 61,783,20082,377,60061,783,20041,188,800

%61,783,200%61,783,20061,783,200%61,783,20061,783,20041,188,800%61,783,20082,377,600 _` 00%0.00001416242%0.000003034806

61,783,20082,377,60061,783,20041,188,800%61,783,200%61,783,20061,783,200%61,783,200

61,783,20041,188,800%61,783,20082,377,600 _` %0.00001416242%0.00000303480600.00001213922


Page 34

783,200188,80061,783,200377,600 _

200200200

0061,783,20041,188,800%61,783,20082,377,600 qrrrrsfghgi=�M�=�M�=ZMZjgk

gl

v �=�M�MZ�

00001416242000003034806a � ` 687.5750%687.5%625 a

0000141624200000303480600001213922 a � `%312.5625312.50 a

FAKULTAS TEKNIK



Bidang Momen :

Bidang Lintang :

PLANE-FRAME ELEMENT

_

Μ1 = −750 Ν

R1 = 687.5 Ν

3m

4m

5 T

2 T

a

40

20

FAKULTAS TEKNIK




Diketahui :

E = 2,600,000 N/cm2 = 2,651,262.1 T/m

g = 9.806650199 m/s2

Ditanya :

Gambarkan bidang momen, bidang lintang dan bidang

normal dari struktur Plane-Frame Element di samping.

+

_

= −750 Νm

Μ2 = 625 Νm

P = 1000 NR3 = 312.5 Ν

_

+

3m

5 T

b20

50


Page 35

= 2,651,262.1 T/m2

Gambarkan bidang momen, bidang lintang dan bidang

Frame Element di samping.

= 312.5 Ν

FAKULTAS TEKNIK




Data-Data element :

Element

E ( T/m2 )

A ( m2 )

I ( m4 )

L ( m ) 2

Kuadran sin 2 cos2 sin� 2 cos� 2 sin2 cos2 ��!

12�@!Z 6�@!�

4�@!

2�@!

�! w�9� G 12@!� :�x

�! w�:� G 12@!� 9�x

FAKULTAS TEKNIK





a b

2,651,262.1 2,651,262.1

0.08 0.1

1.066667 x 10-3 2.083333 x 10-3

3 5

0⁰ 307⁰

I IV

0 -0.8

1 0.6

0 0.64

1 0.36

0 -0.48

70,700.32267 53,025.242

1,256.895018 530.2523352

1,885.342527 1,325.630838

3,770.685054 4,418.76946

1,885.342527 2,209.38473

70,700.32267 19,428.44861

1,256.895018 34,127.04572

a

b

1 2

3

5 T

2 T


Page 36

FAKULTAS TEKNIK



�! w� % 12@!� x 9:

6�@!2 :

6�@!2 9


��

Element a :

�� mnnnno70,700.3226700%70,700.3226700

1,2561,885%1,2561,885

Element b :

��b� �mnnnno53,025.24200%53,025.24200

530.25233521,325%530.1,325


��5� � �!

mnnnnnnnnnnno

�9� G 12@!� :�w� % 12@!� x 9:%6@! :

% w�9� G 12@!� :�x%w� % 12@!� x 9:%6@! :

FAKULTAS TEKNIK




0 -25,197.59504

0 -1,060.50467

1,885.342527 795.3785027


�


0 12 �@ !Z 6 �@ !�0 6 �@ !� 4 �@ !

%��! 0 00 %12 �@ !Z 6 �@ !�0 %6 �@ !� 2 �@ !%��! 0 0

0 %12 �@ !Z %6 �@ !�0 6 �@ !� 2 �@ !

��! 0 00 12 �@ !Z %6 �@ !�0 %6 �@ !� 4 �@ ! qrr

rrrrrrrrrs

0256.895018885.3425270256.895018885.342527

01,885.3425273,770.6850540%1,885.3425271,885.342527

%70,700.322670070,700.3226700

0%1,256.895018%1,885.34252701,256.895018%1,885.34252702523352325.6308380.2523352325.630838

01,325.6308384,418.769460%1,325.6308382,209.38473

%53,025.2420053,025.24200

0%530.2523352%1,325.6308380530.2523352%1,325.630838Menentukan matriks kekakuan global element �� w� % 12@!� x 9: % 6@! :

�:� G 12@!� 9� 6@! 9 6@! 9 4@

% w�9� G 12@!� :�x %w�%w� % 12@!� x 9: % w�:6@! :

x %w� % 12@!� x 9: 6@! :% w�:� G 12@!� 9�x %6@! 96@! 9 2@

�9� G 12@!� :� w� %w� % 12@!� x 9: �:�6@! : %


Page 37

qrrrrrrrrrrrs

08950183425270895018342527

01,885.3425271,885.3425270%1,885.3425273,770.685054 qrrrrs

25233526308382523352630838

01,325.6308382,209.384730%1,325.6308384,418.76946 qrrrrs

w� % 12@!� x 9: %6@! :w :� G 12@!� 9�x 6@! 9

%6@! 9 2@w % 12@!� x 9: 6@! :

G 12@!� 9� % 6@! 9%6@! 9 4@ qr

rrrrrrrrrrs

FAKULTAS TEKNIK



Element a :

�� mnnnno70,700.3226700%70,700.3226700

1,2561,885%1,2561,885

Element b :

��b� �mnnnno19,428.44861%25,197.595041,060.50467%19,428.4486125,197.595041,060.50467

%25,19734,127795.378502725,197%34,127795.3785027� Langkah IV : Menentukan matriks kekakuan struktur

fgggghggggi"#�"��Ite�"#�"��Ite�"#Z"�ZIteZjg

gggkggggl

�mnnnnnnno 70,70000%70,70000000

01,2561,8850%1,2561,885000� Langkah V : Menentukan kondisi



Setelah memasukkan nilai-nilai

� 2%50 � �Penyelesaian matriks di atas menghasilkan :

o $� = 4.95726 x 10-5 m

o =� = -2.15071 x 10-5 m

o M� = -9.28193 x 10-6 rad


FAKULTAS TEKNIK




0256.895018885.3425270256.895018885.342527

01,885.3425273,770.6850540%1,885.3425271,885.342527

%70,700.322670070,700.3226700

0%1,256.895018%1,885.34252701,256.895018%1,885.342527197.59504127.045723785027197.59504127.045723785027

1,060.50467795.37850274,418.76946%1,060.50467%795.37850272,209.38473

%19,428.4486125,197.59504%1,060.5046719,428.44861%25,197.59504%1,060.50467

25,197.%34,127%795.3785027%25,19734,127.%795.3785027Menentukan matriks kekakuan struktur ��

01,8853,7700%1,8851,885000

%70,7000090,128%25,1971,060%19,42825,1971,060

0%1,256%1,885%25,19735,383%1,09025,197%34,127795

01,8851,8851,060%1,0908,189%1,060%7952,209

000%19,42825,197%1,06019,428%25,197%1,060

25%34%%2534%Menentukan kondisi-kondisi batas ( Boundary condition )

: $� = 0

=� = 0

M� = 0

$Z = 0

=Z = 0

MZ = 0


nilai syarat-syarat batas maka diperoleh :

� u 90,128.77128%25,197.595041,060.50467%25,197.5950435,383.94074%1,090.964024

1,060.50467%1,090.9640248,189.454514 v �$�=�M�

saian matriks di atas menghasilkan :

Mentukan perpindahan lokal ��


Page 38

08950183425270895018342527

01,885.3425271,885.3425270%1,885.3425273,770.685054 qrrrrs

.59504127.045723785027197.59504.045723785027

1,060.50467795.37850272,209.38473%1,060.50467%795.37850274,418.76946 qrrrrs

00025,19734,127%79525,19734,127%795

0001,0607952,209%1,060%7954,418 qrrrrrrrs

fggghgggi$�=�M�$�=�M�$Z=ZMZjgg

gkgggl

v ��

FAKULTAS TEKNIK



Element a :

fghgi$�=�M�$�=�M�jgk

gl �mnnnno100000

Element b :

fghgi$�=�M�$Z=ZMZjgk

gl �mnnnno0.6 %00.8 0.60 0 0 0 0 0 0 0


Element a :

fgghggi"#�"��Ie�"#�"��Ie�jgg

kggl �

mnnnno70,70000%70,70000

01,2561,8850%1,2561,885 %Element b :

fgghggi"#�"��Ie�"#Z"�ZIeZjgg

kggl �

mnnnno53,02500%53,02500

05301,3250%5301,32514%2

Bidang Momen :

+

_

0.02305 Tm

0.005549 Tm

FAKULTAS TEKNIK




nnnno 0 01 00 1

0 0 00 0 00 0 00 00 00 01 0 00 1 00 0 1qrr

rrsfghgi 000 4.95726 � 10�� %2.15071 � 10��%9.28193 � 10�Ujgk

gl �fghgi 000 4.95726 � 10 %2.15071 �%9.28193 �

0.8 06 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 00.6 %0.8 00.8 0.6 00 0 1qrr

rrsfghgi 4.95726 � 10�� %2.15071 � 10��%9.28193 � 10�U000 jgk

gl �fghgi4.6949182.675374%9.28193

Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element�� 01,8853,7700%1,8851,885

%70,7000070,70000

0%1,256%1,88501,256%1,885

01,8851,8850%1,8853,770 qrrrrsfghgi 000 4.95726 � 10� %2.15071 � 10%9.28193 � 10

01,3254,4180%1,3252,209

%53,0250053,02500

0%530%1,3250530%1,325

01,3252,2090%1,3254,418 qrrrrsfghgi4.694918 � 10�2.675374 � 10�%9.28193 � 10�000

Bidang Lintang :

+

0.0149 Tm

+

0.0095325 T


Page 39

10�� 10��10�Ujgkgl

694918 � 10��675374 � 10��28193 � 10�U000 jgkgl

masing element

��10��10�Ujgkgl �

fghgi %3.59.5325 � 10�Z0.023053.5%9.5325 � 10�Z5.5490 � 10�Z jgk

gl

��Ujgkgl �

fghgi 2.4891.8813 � 10�Z%5.5491 � 10�Z%2.489%1.8818 � 10�Z0.0149 jgk

gl

_ 0.0018813 T

FAKULTAS TEKNIK



Bidang Normal :

GRID ELEMENT


+_

3.5 T

2.489 T

FAKULTAS TEKNIK




Diketahui :

E = 210 Gpa ( kN/mm2

G = 84 Gpa ( kN/mm2 ) = 84 x 10

J = 4.6 x 10-5 m4

I = 16.6 x 10-5 m4

Ditanya :

Gambarkan bidang lintang, bidang momen,

dan bidang torsi



Page 40

2 ) = 210 x 106 kN/m2

) = 84 x 106 kN/m2

Gambarkan bidang lintang, bidang momen,

FAKULTAS TEKNIK



Data-data batang :

Batang

E ( kN/m2 ) 210 x

G ( kN/m2 ) 84 x 10

I ( m4 ) 16.6 x 10

J ( m4 ) 4.6 x 10

L ( m )

Simpul Awal

Simpul Akhir 12�@!Z 15,493.3336�@!� 23yz! 14�@! 462�@! 232

Kuadran cos2 sin 2 cos� 2 sin� 2 sin2 cos2


��

FAKULTAS TEKNIK




a b

210 x 106 210 x 106

84 x 106 84 x 106

16.6 x 10-5 16.6 x 10-5

4.6 x 10-5 4.6 x 10-5

3 3

1 2

2 3

493.333 15,493.333

23,240 23,240

1,288 1,288

46,480 46,480

23,240 23,240

0⁰ 270⁰

I III

1 0

0 -1

1 0

0 1

0 0


��


12�@!Z 0 6�@!�0 %yz! 0%6�@!� 0 2�@!%12�@!Z 0 %6�@!�0 %yz! 06�@!� 0 2�@!

%12�@!Z 0 %6�@!�0 yz! 0%6�@!� 0 4�@! qrr

rrrrrrrrrs


Page 41

q

FAKULTAS TEKNIK



Element a :

�� mnnnno15,493023,240%15,493023,240

Element b :

��b� �mnnnno15,493.023,240%15,493023,240


��5� �

mnnnnnnnnnnno 12�@!Z %%6�@!� : yz 9�6�@!� 9 cyz %%12�@!Z 6�@!%6�@!� : %yz 9�6�@!� 9 %cyz G

Element a :

�� mnnnno15,493023,240%15,493023,240

Element b :

��b� �mnnnno15,49323,2400%15,49323,2400

FAKULTAS TEKNIK




493.333240493.333240

01,28800%1,2880

23,240046,480%23,240023,240

%15,493.3330%23,24015,493.3330%23,240

0%1,288001,2880

2323%2346

.333240493.333240

01,28800%1,2880

23,240046,480%23,240023,240

%15,493.3330%23,24015,493.3330%23,240

0%1,288001,2880

2323%2346

Menentukan matriks kekakuan global element ��5� � �� 6�@!� : 6�@!� 9G 4�@ :�! cyz % 4�@d :9!c % 4�@d :9! yz :� G 4�@ 9�!

%12�@!Z %6�@!� :6�@!� : %yz 9� G 2�@ :�!%6�@!� 9 %cyz G 2�@d :9!�@!� : %6�@!� 9G 2�@ :�! %cyz G 2�@d :9!c G 2�@d :9! %yz :� G 2�@ 9�!

12�@!Z 6�@!� :6�@!� : yz 9� G 4�@ :�! % 6�@!� 9 cyz % 4�@d :9!

493.3330240493.3330240

01,28800%1,2880

23,240046,480%23,240023,240

%15,493.3330%23,24015,493.3330%23,240

0%1,288001,2880%

493.3332400493.3332400

23,24046,4800%23,24023,2400

001,28800%1,288

%15,493.333%23,240015,493.333%23,2400

23,24023,2400%23,24046,4800


Page 42

23,240023,24023,240046,480 qrrrrs

23,240023,24023,240046,480 qrrrrs

6�@!� 9%cyz G 2�@d :9!d %yz :� G 2�@ 9�!%6�@!� 9

cyz % 4�@d :9!d yz :� G 4�@ 9�! qrrrrrrrrrrrs

23,240023,240%23,240046,480 qrrrrs

00%1,288001,288 qrrrrs

FAKULTAS TEKNIK




fgggghggggi".DIt-DIteD".KIt-KIteK".PIt-PItePjg

gggkggggl

,�mnnnnnnno15,493.333023,240%15,493.333023,240000

01,28800%1,2880000

2346%2323





�%Penyelesaian matriks di atas menghasilkan :

o =� = -0.0035828162 m

o {� = 0.0017431052 rad

o M� = -0.0017431052 rad


Element a :

fghgi=��M�=��M�jgk

gl �mnnnno100000

Element b :

fghgi=��M�=Z�ZMZjgk

gl �mnnnno100000

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan matriks kekakuan struktur �� 23,240046,48023,240023,240000

%15,493.3330%23,24038,986.66623,240%23,240%15,493.33323,2400

0%1,288023,24047,7680%23,24023,2400

23,240023,240%23,240047,76800%1,288

000%15,493.333%23,240015,493.333%23,2400Menentukan kondisi-kondisi batas ( Boundary condition )

: =� = 0

{� = 0

M� = 0

=Z = 0

{Z = 0

MZ = 0



�%3000 � � u30,986.666 23,240 %23,24023,240 47,768 0%23,240 0 47,768 v �=�{�M�� saian matriks di atas menghasilkan :

Mentukan perpindahan lokal ��

mnnnno

010000

001000

000100

000010

000001qrrrrsfghgi 000%0.00358281620.0017431052%0.0017431052jgk

gl �fghgi 000%0.00358281620.0017431052%0.0017431052

nnnno 001000

0%10000

000100

000001

0000%10 qrrrrsfghgi%0.00358281620.0017431052%0.0017431052000 jgk

gl �fghgi%0.00358281620.00174310520.0017431052000


Page 43

333240333240

00023,24023,2400%23,24046,4800

00000%1,288001,288 qrrrrrrrs

fggghgggi=�{�M�=�{�M�=Z{ZMZjgg

gkgggl

�

003582816200174310520017431052jgkgl

003582816200174310520017431052jgkgl

FAKULTAS TEKNIK




Element a :

fgghggi".DI-DI�D".KI-KI�Kjgg

kggl �

mnnnno15,493.333023,240%15,493.333023,240

1%

Element b :

fgghggi".KI-KI�K".PI-PI�Pjgg

kggl �

mnnnno15,493.33323,2400%15,493.33323,2400

BEAM ELEMENT DAN PLANE-FRAME ELEMENT DENGAN BEBAN TERBAGI RATA

� Langkah I : Menentukan model yaitu nomor simpul dan element

L

q

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element�� 01,28800%1,2880

23,240046,480%23,240023,240

%15,493.3330%23,24015,493.3330%23,240

0%1,288001,2880

23,240023,240%23,240046,480 qrrrrsfghgi


kggl �

fghgi 15 ��%2.24512 �� 42.75488 �� %15 ��2.24512 �� 2.24512 �� jgk

gl

23,24046,4800%23,24023,2400

001,28800%1,288

%15,493.333%23,240015,493.333%23,2400

23,24023,2400%23,24046,4800

00%1,288001,288 qrrrrs


kggl �

fghgi %15 ��2.24512 �� %2.24512 �� 15 ��%2.24512 �� %42.75488 �� jgk

gl

FRAME ELEMENT DENGAN BEBAN TERBAGI RATA

Gambar bidang momen dan bidang lintang untuk overhang

seperti yang terlihat pada gambar di samping.


L

q

1 2


Page 44

masing element

qrrrrsfghgi 000%0.00358281620.0017431052%0.0017431052jgk

gl

qrrrrsfghgi%0.00358281620.00174310520.0017431052000 jgk

gl

Gambar bidang momen dan bidang lintang untuk overhang

di samping.

FAKULTAS TEKNIK



� Langkah II : Menentukan f

� Langkah III : Menentukan matriks kekakuan lokal element


fgghggi ��I� %

%112� Langkah V : Menentukan kondisi




1

12qL

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan fred

��~5�� fgghggi %12<!% 112 <!�%12<!112 <�� jg

gkggl


��b� � �@!Z ^126!%126!

6!4!�%6!2!�%12%6!12%6!

6!2!�%6!4!� _ Menentukan matriks kekakuan struktur �� G ��~5�� b�� i % 12<!% 112 <!�%12<!112 <�� jg

gkggl� �@!Z 6

126!%126!6!4!�%6!2!�

%12%6!12%6!6!2!�%6!4!� 8 `

��M��M�a


: �� = 0

M� = 0



\%12 <!112 <��] � �@!Z ( 12 %6!%6! 4!� * +=�M�,

+=�M�, � fhi% <!Q8�@% <!Z6�@jk

l

112qL

2

12qL

112qL2 2


Page 45

a

FAKULTAS TEKNIK



� Langkah VII : Menentukan gaya

dengan fred.

\��I��I�]��


dengan fred.

\

Bidang Momen :

_

M1 = 12qL

2

FAKULTAS TEKNIK




Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element sebelum dikurangi

��

� �@!Z 6126!%126!

6!4!�%6!2!�%12%6!12%6!

6!2!�%6!4!� 8 fghgi 00% <!Q8�@% <!Z6�@jg

kgl�fgghggi 12 <!512 <!% 12 <!112 <!

Menentukan gaya-gaya dalam lokal masing-masing element setelah dikurangi

�� % ��~5��

\��I��I�] �

fgghggi 12 <!512 <!�%12<!112 <!�jg

gkggl%fgghggi %12<!% 112 <!�%12<!112 <�� jg

gkggl�fghgi <!12 <!�00 jgk

gl

Bidang Lintang :

+

V1 = qL


Page 46

masing element sebelum dikurangi

<!!�<!!�jggkggl

masing element setelah dikurangi

Catatan Kuliah Finite Element Methode

Documents

Transcript of Catatan Kuliah Finite Element Methode