LANJUTAN ISOMETRI
-
Upload
amalia-dewi-lestari -
Category
Documents
-
view
111 -
download
35
description
Transcript of LANJUTAN ISOMETRI
-
Amaliadewi29.blogspot.com
1
LANJUTAN ISOMETRI
Apabila reflexi geser dikalikan dengan salah satu dari ketiga isometri yang semula atau reflexi
geser dikalikan dengan reflexi geser lain, apakah akan diperoleh suatu isometri baru ?
1. Selidiki apa yang akan terjadi apabila sebuah reflexi geser dikalikan dengan sebuah
translasi. Andaikan R sebuah reflexi geser dengan sumbu t sehingga = dengan
. Andaikan sebuah translasi yang lain,
Maka = ()
= ()
Oleh karena hasilkali dua translasi adalah translasi, maka ada ruas garis berarah
sehingga = .
Dengan demikian maka = .
Apabila tidak tegak lurus pada t, maka adalah suatu reflexi geser.
Sehingga adalah suatu reflexi geser atau suatu reflexi.
Begitu pula sebab = jika .
Jadi = () =
Oleh karena = maka = .
2. Perhatikan sekarang hasilkali reflexi geser dengan reflexi pada garis.
Misalkan reflexi pada garis s dan R sebuah reflexi geser maka
= () = () = ()
Apabila , maka sebuah translasi. Jadi pula () adalah sebuah
translasi. Sehingga pula juga sebuah translasi. Apabila , maka adalah
sebuah rotasi, maka sebuah rotasi; juga sebuah rotasi.
Jadi hasilkali sebuah reflexi geser dengan sebuah reflexi pada garis adalah sebuah
translasi atau sebuah rotasi.
-
Amaliadewi29.blogspot.com
2
3. Hasilkali sebuah reflexi geser dengan sebuah rotasi atau dengan suatu reflexi geser yang
lain juga tidak akan menghasilkan transformasi yang lain kecuali yang telah diperoleh.
Teorema 1.1
Diketahui 3 titik yang tak kolinear A, B, dan C.
Jika ada 3 titik lain A, B, C maka ada paling banyak satu isometric yang memetakan A pada A,
B pada B, dan C pada C.
Bukti
Andaikan ada dua isometri 1 dan 2 sehingga
1() = = 2()
1() = , = 2()
1() = = 2()
Karena 1 dan 2 isometri-isometri maka = , = dan = . Oleh karena A,
B, C tak segaris maka A, B, C juga tak segaris.
Andaikan 1() 2() dan andaikan 1() = , 2() = maka PA = P'A' = P. Jadi A
terletak pada sumbu ruas garis " pula. Jadi A, B, C segaris.
Jadi haruslah 1() = 2(), . Ini berarti 1 = 2.
Teorema 1.2
Jika s sebuah garis melalui titik asal sebuah system koordinat orthogonal dan jika memetaka
A = (1, 0) pada B = (h, k) dan P = (x, y). maka = ( + , ).
Bukti
-
Amaliadewi29.blogspot.com
3
Andaika T memetakan P = (x, y) pada titik ( + , ),
() = ( + , ).
Akan dibuktikan bahwa = . Untuk ini kita buktikan terlebih dahulu bahwa T sebuah
isometric. Andaikan 1 = (1, 1), 2 = (2, 2) dua titik sebarang, maka
1 = (1) = (1 + 1 , 1 1)
Dan
2 = (2) = (2 + 2 , 2 2)
Jadi
(12)
2 = [(1 + 1) (2 + 2)]2 + [(1 1) (2 2)]
2
= [(1 2) + (1 2)]2 + [(1 2) (1 2)]
2
= (2 + 2)(1 2)2 + (2 + 2)(1 2)
2
Oleh karena = () dan () = 0, maka = . Berhubung = 1 dan =
2 + 2 maka 2 + 2 = 1. Jadi akhirnya 12 = (1 2)2 + (1 2)2 = 12
-
Amaliadewi29.blogspot.com
4
Sehingga T sebuah Isometri
Kemudia diperoleh secara berturut-turut :
() = (0,0)
() = (, )
() = (. + . , ) = (2 + 2, 0) = (1,0)