Kurva-kurva pada gambar 11-12 memperlihatkan beberapa gambar lissajous untuk beberapa perbandingan frekuensi dan perbedaan fase awal ( θ2−θ1 ). Amplitudo Ax dan amplitudo A y pada setiap adalah sama. Jika frekuensi-frekuensi bersepadanan, seperti pada gambar-gambar yang diperlihatkan, maka partikelnya akan menjalani lintasan tertutup berulang kali. Kalau tidak lintasan tidak tertutup dan polanya menjadi sangat rumit. Kalau frekuensi-frekuensi sangat hampir bersepadanan, lintasan akan berubah sangat lambat, dan jika gerak berlangsung cepat, seperti sering terjadi bila gambar-gambar demikian terbentuk pada osiloskop, bentuk yang diperoleh ialah bentuk kurva tertutup yang berubah bentuknya perlahan-lahan. Jadi, jika frekuensi-frekuensi sangat hampir sama ( ωx /ω y ≈ 1 ), lintasan berubah secara lambat dari garis lurus pada 45o , seperti pada gambar 11-12 (a), menjadi elips seperti pada (b), lalu menjadi lingkaran seperti (c), kemudian menjadi elips seperti pada (d ) dengan sumbu panjangnya tegak lurus pada sumbu panjang di ( b ), akhirnya menjadi garis seperti pada ( e ) dan seterusnya.

11-8 gerak harmonik sudut

Gerak haronik sudut tepat sekali analog secara matematik dengan gerak harmonik linier. Andaikan sebuah benda berputar terhadap sebuah sumbu tetap dan mengalami gaya putar pemulih yang sebanding dengan perubahan sudut ∅ dari suatu posisi patokan. Maka

= - k`∅ ,

Di mana faktor k`, atau gaya putar pemulih persatuan perubahan sudut, dinamakan konstanta gaya puta. Jika gaya gesekan dapat diabaikan, persamaan diferinsial geraknya ialah :

= - k`∅ , = Iα = Iω dωdθ

Atau

Iω dωdθ

+ k`∅ = o,

Di mana I ialah momen kelembaman terhadap sumbu tetap. Persamaan ini sama benar bentuknya seperti persaman ( 11-1 ) : perubahan sudut ∅ bersesuian dengan perpindahan linier x, momen kelembaman I bersesuian dengan massa m, dan konstanta gaya putar k` bersesuian dengan konstanta gaya k. Berdasarkan analogi, persamaan geraknya ialah :

∅ = ∅m sin ( ωt+∅ o ),

Dimana ω = √k /I , dan ∅m ialah perubahan sudut maksimum atau amplitudo sudut.Contoh umum mengenai banda yang bergetar dengan gerak harmonik sudut, ialah roda pengimbang sebuah jam. Pada kejadian yang idial, gerak dianggap isokron (lamanya sam) dan jam akan “menunjukan waktu tepat”, sekalipun amplitudonya berkurang akibat mengendornya pegas jam.

11-9 Ayunan fisis

Dalam gambar 11-13, sebuah benda sembarang bentuk berputar terhadap roda poros tetap melalui o, dan garis yang menghubungkan o dan pusat berat berpindah sebesar sudut ∅ dari vertikal. Andaikan h ialah jarak dari porosnya ke pusat berat. Berat mg menimbulkan gaya putar pemulih

= - mgh sin ∅ .

Bila dilepaskan, benda itu akan berayun terhadap posisi kesetimbangan nya, tetapi sama seperti gerak ayuanan matematis, geraknya bukan harmonik ( sudut ), karena gaya putar T tidak propisional dengan∅ melainkan dengan sin ∅ . Akan tetapi jika ∅ kecil, kita dapat mendekati sin ∅ dengan ∅ , dan geraknya akan mendekati gerak harmonik. Dengan melakukan pendekatan ini, kita peroleh

≈ - (mgh ) ∅ ,

Dan konstanta gaya putar efektif ialah

k` = - T/∅ = mgh.

Frekuensi sudut ialah

ω≈√k /I ≈√mgh /I

Dan periode T ialah

T = 1f=2 π

ω≈ 2π √ 1

mgh.

Benda yang berayun seperti itu disebut ayunan fisis, yang berbeda sekali dengan ayunan matematis sermpurna, yang tidak lain hanyalah sebuah titik massa yang dilekatkan pada seutas tali tnapa bobot. Sudah tentu setiap ayunan rill adalah ayunan fisis.

Contoh. Persamaan (11-23) dapat menentukan momen kelembaman I, yaitu

I = T2 mgh

4 π2 .

Besaran-besaran di ruas kanan persamaan itu semuanya dapat diukur langsung. Jadi, momen kelembaman benda berbentuk sembarang, dapat ditentukan dengan menggantungkan benda seperti ayunan fisis, lalu mengukur periode getarnya. Lokasi pusat berat dapat ditentukan dengan cara mensetimbangkan. Karena T, m, g, dan h diketahui, maka I dapat dihitung. Sebagai contoh, gambar 11-14 melukiskan batang penghubung yang berayun terhadap sebuah mata-pisau horizontal. Berat batang penghubung itu 4 lb dan letak pusat beratnya telah ditemukan dengan cara mensetimbangkan, yaitu 8 in di bawah mata-pisau. Ketika dibuat berayun, ternyata terjadi 100 ayuanan penuh dalam 120 sek, sehingga T = 120/100 = 1,2 sek. Karena itu

I = ¿¿ = 0,097 slug ft2

11-10 pusat osilasi

Adalah selalu mungkin mendapatkan ayuanan sederhana ekuivalen yang periodenya sama dengan periode suatu ayuanan fisis tertentu. Jika L ialah panjang ayunan sederhana, maka

T = 2π √ Lg

= 2π √ Imgh

Atau

L = I

mh.

Jadi, sejauh menyangkut periode ayunan, massa ayuanan fisis dapat dianggap terkonsentrasi suatu titik yang dinamakan pusat osilasi ayunan tersebut.

Contoh. Sebuah batang langsing uniform yang panjangnya a diberi poros ayunan dekat salah satu ujungnya dan berayun seperti ayunannya fisis. Tentukan pusat osilasinya.

Momen kelembaman batang itu terhadap sumbu yang melalui slaah satu ujungnya ialah jarak dari poros ke pusat beratnya ialah h = a/2. Panjang ayunan matematis ekuivalen ialah

L = I

mh =

13

ma2

m(a/2) =

23

a,

Dan pusat osilasinya berada pada jarak 2a/3 dari poros.

Gambar 11-15 memperlihatkan sebuah benda yang dapat berayun terhadap sebuah sumbu melalui 0; pusat osilasinya berada di titik c. Pusat osilasi dan titik penyangga mempunyai sifat menarik sebagai berikut, yaitu, jika ayunan berayun terhadap sumbu baru melalui titik c, periodenya tidak berubah dan titik 0 akan menjadi pusat osilasi yang baru. Titik sangga dan pusat osilasi itu dikatakan sekawan (conjugate ).Pusat osilasi mempunyai sifat penting yang lain lagi. Gambar 11-16 memperlihatkan sebuah pemukul bola yang “berengsel” di titik 0. Jika sebuah bola mengenai pemukul pada pusat osilasinya, pada “engsel” itu tidak akan timbul gaya implus dan karena tidak akan terasa “sepakan” kalau pemukul dipegang pada titik tersebut. Akibat sifatnya demikian, pusat osilasi pemukul itu dinamakan pusat pukulan.

Dalam gambar 11-17 yang adalah serengtetan hasil foto multiflash, pusat berat diberi tanda dengan pita hitam. Pada (a), benda dipukul pada pusat pukulannya relatif terhadap sebuah poros di ujung atas tali, dan dari awalnya mengayun secara rata terhadap poros ini. Pada (b) benda dipukul dipusat bertanya. Dapat dilihat bahwa benda samasekali tidak berotasi terhadap poros tersebut, melainkan beroleh gerak translasi dari mulai geraknya. Artinya, pusat pukulan tidak berimpit pusat berat. Pada (c), benda dipukul di sebelah atas pusat pukulannya, sedangkan pada (d) disebelah bawahnya.