PAGE 28

KULIAH KE 6 : POPULASI DAN CONTOH, SIFAT NILAI TENGAH DAN PENYEBARAN CONTOHTujuan Umum :

Mampu memahami pengertian populasi dan contoh..

Tujuan Khusus :

Mampu menjelaskan kaitan nilaitengah (mean) dan ragam populasi dan contoh, sifat nilai tengah dan penyebaran contoh, hukum bilangan besar dan dalil limit pusat.

Dalam usaha menyelidiki sifat suatu peubah acak berdasarkan data yang dikumpulkan, sesungguhnya apa yang dilakukan adalah menyelidiki sebaran peubah acak itu pada berbagai nilai yang mungkin terambil. Untuk mengetahui sebaran peubah acak yang sebenarnya, penngamatan harus dilakukan berulang-ulang tanpa akhir, suatu hal yang mustahil dilaksanakan. Karena itu perlu dipergunakan cara untuk mengetahui ciri tertentu dari peubah berdasarkan data yang tersedia. Dengan demikian segala usaha penyelidikan kita akan selalu didasrkan pada pengamatan yang tidak lengkap.

6.1. Contoh Adalah Pengamatan Yang Tidak Lengkap

Misal saja kita akan menyelidiki perilaku petani ikan di Jawa Timur, maka data petani ikan di desa Blitar akan digunakan bukan saja untuk menggambarkan fungsi peluang petani ikan di Blitar, tapi lebih luas, yaitu untuk kondisi Jawa Timur. Dengan perkataan lain, pengamatan yang kita lakukan hanyalah terhadap sebagian dari populasi data yang serupa. Sebagian dari populasi yang diamati ini selanjutnya disebut contoh.

Misal saja, untuk mengetahui apakah sepanci gulai sudah cukup bumbunya, seorang ibu biasanya hanya mengambil satu sendok untuk dicicipi. Ibu yang bijaksana terlebih dahulu akan mengaduk gulai agar merata sebelum mengambil contoh untuk dicicipi. Dalam hal ini populasi gulai adalah satu panci, sedangkan contoh adalah satu sendok gulai. Dalam hal ini terbayang, satu sendok gulai mewakili gulai yang dicicipi.

6.2. Sifat Nilai Tengah Contoh : Sebagai Penduga Takbias Nilai Tengah Populasi

Pertanyaan kita adalah bagaimana cara menarik contoh dari suatu populasi agar diperoleh keterangan sebaik-baiknya sesuai dengan biaya dan waktu yang tersedia, namun mewakili sifat-sifat populasinya.

Untuk menjelaskan hal tersebut dibuat pengandaian sebagai berikut :

(1) Ada tiga populasi N sama, yaitu 4 rumahtangga. Luas pemilikan kolam ikan masing-masing yaitu :

(a) Populasi I : luas pemilikan 4, 6, 8, dan 2 ha;

(b) Populasi II : luas pemilikan 5, 5, 6, dan 4 ha;

(c) Populasi III : luas pemilikan 5, 5, 5, dan 5 ha.

(2) Andaikan dari populasi I ditarik contoh terdiri dari 3 rumahtangga. Dalam hal ini dengan bantuan rumus kombinasi C(N,n) = N!/ n! (N-n)! diperoleh 4 kemungkinan kombinasi rumahtanggab terpilih.

(3) Dengan pengandaian tersebut, bandingan antara nilai tengah populasi dan contoh, anatar ragam populasi dan contoh sealnjutnya akan diperoleh tabel 5.1 dan 5.2. Tabel 5.1 menujukkan nilai tengah populasi dan ragam populasi, sedangkan Tabel 5.2 menunukkan nilai tengah dan ragam contoh yang diambil dari populasi I.

(4) Dengan dasar rata-rata nilai tengah contoh, selanjutnya bisa dihitung nilai harapan nilai tengah maupun ragam contoh atas dasar fungsi peluang turunan.

Tabel 6.1. Pemilikan kolam ikan tiap rumahtangga dari tiga populasi

ParameterPopulasi IPopulasi IIPopulasi III

No. RTPemilikan (Ha)No RTPemilikan (Ha)No. RTPemilikan (Ha)

1

2

3

4

4

6

8

21

2

3

45

5

6

41

2

3

45

5

5

5

(a(2 b

5

(12 = 55

0,55

0

Keterangan : a) (i = E(Yi) = (( xi)

b) (2 = ( (-(i ) 2

Tabel 6.2. Nilai tengah ()dan ragam contoh (s2) untuk contoh berukuran n =3 yang mungkin terambil dari populasi

Komposisi

No. RTNilai-nilai pengamatan s2Peluang untuk memperoleh contoh ini

1, 2, 3

1, 2, 4

1, 3, 4

2, 3, 4

4, 6, 8

4, 6, 2

4, 8, 2

6, 8, 26 4

4 4

42/3 9 1/3

5 1/3 9 1/3

Dari Tabel 5.1 dan Tabel 5.2 dap[at ditunjukkan hal-hal sebagai berikut :

(1) Pada Tabel 5.1. dengan rata-rata yantg sama, namun ragam bisa beda.

(2) Pada Tabel 5.2, pada kolom (rata-rata) kita peroleh fungsi peluang turunan dengan nilai nilai 6, 4, 4 2/3 dan 5 1/3.

(3) Dengan dasar fungsi peluang turunan tersebut, kita dapat memperoleh nilai rata-rata sebagai berikut :

, untuk m = 6, 4, 4 2/3 , 5 1/3P( = m) =

0, untuk m lainnya

(6.1)

Maka :

E ( )= ( 6 + 4 + 4 2/3 + 5 1/3) = 5

(6.2)

Dengan dasar perhitungan ( populasi dan persamaan (2) ditunjukkan bahawa nilai tengah contoh acak adalah = 5, yang berarti merupakan penduga takbias nilaitengah populasi ( juga = 5).

6.3. Sifat Ragam Contoh : Standard Error

Untuk menjelaskan nilai standard error kita gunakan persamaan 6.3 (lihat box). Dengan dasar persamaan (6.3), maka ragam akan semakin membesar jika jumlah n ( contoh) semakin sedikit, atau jika ragam semula populasi memang besar. Artinya ragam contoh (standard error) bergantung pada besarnya ragam populasi dan jumlah contoh. Adapun setiap ukuran penarikan contoh acak ternyata bahwa nilai tengah contoh selalu sama dengan nilaitengah populasi. Dengan perkataan lain, pengacakan merupakan suatu cara untuk memperoleh contoh mewakili populasi dangan baik. Masalahnya adalah bagaimana cara kita menarik contoh secara acak tersebut ?

(6.3)

(6.3)

Sebagaimana telah dijelaskan bahwa nilaitengah contoh adalah sama dengan nilai tengah peubah acak semula dengan ragam contoh (persamaan 6.3) :

( 2

(x 2 = (1- n/N), dimana ( 2, n dan N masing-masing adalah :

n

ragam, ukuran contoh dan populasi.

Jika ukuran populasi (N) tidak terhingga, maka :

( 2

(x 2 =

(6.4)

n1. Hukum Bilangan Besar

Dari uraian tersebut, ternyata jika N semakin besar, maka ragam nilaitengah contoh akan semakin kecil. Hubungan demikian disebut Hukum Bilangan Besar.

2. Dalil Limit Pusat

Jika diketahui suatu peubah acak menyebar normal dengan nilaitengah ( dan ragam ( 2 maka dapat diperlihatkan bahwa nilaitengah contoh berukuran n yang ditarik dari populasi ini juga akan menyebar normal dengan nilaitengah ( dan ragam sebagai berikut :

( 2

(x 2 =

n

Bagaimana halnya dengan contoh yang ditarik dari suatu populasi yang tidak menyebar normal ???. Sebagaimana telah diperlihatkan bahwa nilaitengah contoh akan menyebar normal, meskipun populasi semula tidak menyebar normal , asal saja ditarik dalam ukuran contoh cukup besar. Sifat nilaitengah contoh yang demikian disebut Dalil Limit Pusat. Dalil ini sangat penting, meskipun populasi yang kita hadapi tidak menyebar normal, tapi nilaitengah contoh akan menyebar normal atau hampir normal asal saja ukuran contoh yang ditarik cukup besar.

6.4 Jenis Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Yang Lain

Jenis ukuran pemusatan lain, disamping nilaitengah contoh adalah :

1. Median, yairtu suatu nilai yang 50% dari nilai pengamatan ada di bawah nilai ini dan 50% lagi ada di atasnya. Jika jumlah pengamatan ganjil, median merupakan nilai pengamatan yang ada di tengah-tengah. Jika jumlah pengamatan genap, mendian merupakan rata-rata dari pengamatan yang ada di tengah.

2. Modus, adalah merupakan nilai pengamatan yang besar frekuensinya.

1. Variasi Nilai Nilaitengah, Median dan Modus Atas Dasar Histogram

Suatu kumpulan data dapat menghasilkan histogram frekuensi sebagai berikut :

Setangkup : nilai tengah contoh, median dan modus ini berhimpit.

Menjulur ke kiri : nilaitengah ( median ( modus.

Menjulur ke kanan : modus ( median ( nilai tengah.2. Jenis Ukuran Penyebaran Yang Lain

Masih ada jenis ukuran penyebaran lain, disamping ragam contoh, yaitu :

(a) Wilayah Contoh, yaitu beda antara nilai tengah pengamatan terbesar dan terkecil. Wilayah ini bisa total atau bagian. Wilayah bagian yang cukup penting adalah wilayah kuartil.

(b) Wilayah Kuartil : a. Kuartil Pertama (Q1) : nilai pengamatan yang 25% dari seluruh pengamatannya ada di bawah nilai ini;

b. Kuartil Ketiga (Q3) : nilai yang 75% dari semua nilai pengamatannya ada dibawah nilai ini;

c. Kuartil Kedua (Q2) : sama dengan nilai median contoh.(c) Simpangan Kuartil : a. Wilayah Antar Kuartil : adalah beda antara : Q3 dan Q1.b. Simpangan Kuartil (QD) : adalah QD = (Q3 Q1)

6.5. Tugas-Tugas(1) Pendapatan usaha budidaya ikan lele selama setahun dari 6 orang petani ikan yang dipilih secara acak tercatat sebesar 4,19; 8,22; 0,74; 4,10; 4,62; dan 2,72 juta. Tentukan nilaitengah dan ragam contoh. Jika seandainya di desa ini terdapat 60 orang petani ikan lele, tentukan berapa penduga bagi ragam nilaitengah contoh?.

(2) Suatu contoh berukuran n = 12, dengan nilai pengamatan : 12,0; 19,8; 4,3; 14,9; 22,8; 123,6; 101,3; 20,5; 40,0; 16,5; 27,1 dan 119,2.

Pertanyaan :

a. Tentukan median contoh, wilayah contoh, kwartil pertama (Q1), kwartil ketiga (Q3), wilayah antar kuartil (Q3 Q1) dan simpangan kuartil bagi contoh tersebut

b. Tentukan modus dan nilai tengah contoh, kemudian gambarkan sebaran data. Apa yang dapat disimpulkan dari sebaran tersebut ??.

s 2

(y 2 =

n

Nilai Standar Error ( (x2 )

(y2 = [(4-5)2 + (42/3 5)2 + (5 1/3 5)2 + (6-5)2 = (20/9) 2 = 1/9 (5)= 1/9 (12

N

(2 = 1/N ( (yi - ()2 ; s2 = 1/N-1 ( (yi - ()2; sehingga : s2 = (2 .

N-1

Atau (2 = (N-1) / N (s2); Untuk N = 4, (12 = S2; (yr2 = 1/9 (12 , maka :

S2 S2 S2

(y2 = 1/9 ( S2) = (1/4) = ( 1 ) = ( 1 - n/N)

3 3 n

(n/N) merupakan pecahan; semakin besar N, maka :

(standar error)

S2

( x2 =

n

_1151983373.unknown

_1151983456.unknown

_1151983478.unknown

_1146741643.unknown