SEMESTER II

1ME-MSP

Selasa, 30 Oktober 2012FAKULTAS EKONOMIPROGRAM STUDI MANAJEMENUNIVERSITAS ISLAM LABUHANBATU

PERKULIAHAN-4

Matematika ekonomiDiferensial Fungsi Majemuk

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUSSetelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat :

1. Turunan parsial

2. Nilai maksimum dan minimum

3. Aturan diferensial

4. Elastisitas parsial

5. Penerapan diferensial berantai

6. Elastisitas silang permintaan

2

Deskripsi Singkat• Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang

turunan parsial, nilai maksimum dan minimum• Bagian selanjutan akan membahas tentang aturan diferensial

dan elastisitas parsial• Bagian akhir perkuliahan akan membahas penerapan

diferensial berantai dan elastisitas silang permintaan

3

Pertanyaan kunci1. Diketahui : y = 3x1

2 + 2x1x2x3 + 3x2x33+x3

4; Hitunglah

a. ∂/ ∂x1 = b. ∂y/ ∂x2 = c. ∂y/ ∂x3 =

d. ∂2y/ ∂x12 e. ∂2y/ ∂x1

∂x2

2. Tentukan apakah titik ekstrim dari fungsi :

p = 3q2 – 18q + s2 – 8s + 50

merupakan titik maksimum atau minimum.

4

Diferensial fungsi majemuk• Diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam

variabel bebas (fungsi multivariat), • Diferensiasi parsial (diferensiasi secara bagian demi bagian)• Pada umumnya variabel ekonomi berhubungan fungsional tidak hanya satu

macam variabel, tetapi beberapa macam variabel

Contoh :

y = f(x1, x2) = ax1 + bx1x2 + cx2

y = variabel tak bebas

x1, x2 = variabel bebas

Diferensial Parsial• Penurunan suatu fungsi multivariat terhadap hanya pada satu variabel

bebas, sedangkan variabel-variabel bebas lainnya diasumsikan tidak berubah. Misalkan y = f(x1,x2) maka turunan parsial y = terhadap x ditulis :

5

Diferensial Parsial lebih tinggi• Turunan parsial kedua ditulis :

• Turunan parsial terhadap x1 kemudian terhadap x2 ditulis :

Contoh :

1. y = 5x13x2

4; hitunglah ?

a. ∂y/∂x1 = d. ∂2y/∂x22 =

b. ∂y/∂x2 = e. ∂2y/∂x1∂x2 =

c. ∂2y/∂x12 =

Jawab :

a.

b.

c.

d.

e. 6

Nilai maksimum dan minimum•Untuk y = f(x, z) maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :

• Untuk mengetahui apakah titik ekstrimnya berupa titik maksimum atau titik minimum maka dibutuhkan syarat :

1. Nilai maksimum bila :

2. Nilai minimum bila :

3.

4. Jika hasil perkalian pada (3)

Titik yang diperoleh bukan titik maksimum atau minimum, melainkan titik belok (inflection point/saddle point)

7

Contoh :• Tentukan nilai kritis dari fungsi berikut ini dan uji apakah nilai kritis

maksimum atau minimum ?

y = 8x12 – 8x1 – 2x1x2 – 30x2 + 4x2

2

Jawab :1.

2.

3.

4.

Terbukti :

• Memenuhi syarat ekstrim, maka fungsi tersebut mempunyai nilai minimum pada x1 = 1; x2 = 4 dan harga minimumnya : ymin = 8(1)2 – 8(1) – 2(1)(4) – 30(4) + 4(4)2 = -64

8

Aturan diferensialAturan Diferensial

y = f(x1, x2) -> dy = f1dx1 + f2dx2

• Dapat juga dengan menggunakan aturan-aturan diferensial,

misalkan : U = U(x1, x2)

V = V(x1, x2)aturan 1 d(cUƞ) = cUƞ-1 duaturan 2 d(U±V) = dU±dVaturan 3 d(UV) = VdU+UdVaturan 4 d(U/V) = 1/V2 (VdU-UdV)aturan 5 d(U±V±W) = VWdU+UWdV+UVdWaturan 6 d(UVW) = VWdU+UWdV+UVdW

Contoh :

9

1. Tentukan dy dari y – 5x12 + 3x2

Jawab :dy = d(5x1

2)+d(3x2) = 10x1dx1+3dx2

2. y = 3x12 + x1x2

2

Jawab :dy = d(3x1

2)+d(x1x22) = 6x1dx1+x2

2dx1+x1d(x22)

= (6x1+x12) dx1 + 2x1x2dx2

Diferensial total• Perhatikan fungsi tabungan berikut : S = S(y, i)

Keterangan : S = saving (tabungan) y = national income (pendapatan nasional) i = interest rate (suku bunga)

• Misalkan fungsi tersebut kontinou atau diferensiabel. Perubahan total dari S ditulis dS disebut diferensial dari fungsi saving.

Secara umum apabila fungsi utiliti :U = U(x1, x2, x3 …xn)Total diferensial

dU = U1dx1+U2d2+U3d3…+Undn

dU = ƩU1d1 (i = 1, 2, 3…n)

U1 = marginal utility dari komoditas ke-1

U2 = marginal utility dari komoditas ke-2

10

Elastisitas parsial• Fungsi saving S = S(y, i)• Formulasi elastisitas parsial : (elastisitas S

terhadap y)dan (elastisitas S terhadap i).

Untuk fungsi utiliti : (i = 1, 2, 3…n)

Contoh :1. z = 3x2 + xy – 2y3 -> total diferensial ?

dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy = (6x + y)dx + (x – 6y2)dy

2. y = 3x1(2x2 – 1)(x3 + 5)

dy = ∂y/∂x1 dx1 + ∂y/∂x2 dx2 + ∂y/∂x3 dx3

= 3(2x2 – 1)(x3 + 5)(dx1 + 3x1)(2)(x3 + 5)dx2 + 3x1(2x2 – 1)dx3

11

Penerapan diferensial berantai• Misal y = f(x1, x2) dengan x2 = g(x1), • Total derivatif; dy = f1dx1 +f2dx2

atau (dy/dx1 disebut total derivatif)

Contoh :

1. y = f(x1, x2) = x12 – 3x2

x2 = g(x1) = 2x12 – x1 + 4

Jawab :

= 2x1 – 3(4x1 – 1) = 2x1 – 12x1 + 3 = 3 – 10x1

2. Misalkan fungsi utiliti U = U(c, s)dengan c = jumlah kopi yang dikonsumsi

s = jumlah gula yang dikonsumsidan fungsi lain s = g(c); maka U = U{c, g(c)}sehingga

12

perhatikan y = f(x1, x2) dengan x1 = g(w) dan x2 = h(w) (x1 dan x2 masing-masing fungsi dari w)

13

Elastisitas silang permintaan• Karena suatu fungsi multivariat mempunyai lebih dari satu elastisitas, maka

elastisitas yang beraneka ragam tersebut dinamakan elastisitas parsial. Misalkan, diketahui fungsi permintaan : Q1 = a – bP1 + cP2+ dy

Keterangan :y = penghasilan

P2 = harga barang substitusiElastisitas penghasilan dari permintaan

Elastisitas silang permintaan

14

Contoh :

1. Diketahui permintaan untuk daging sapi : Qb = 4850 - 5Pb + 1,5PP + 0,1y, dengan y = 10.000, Pb = 200 dan harga daging kambing FP = 100. Hitunglah :

a. Elastisitas penghasilanb. Elastisitas silang permintaan untuk daging

Jawab :

c.

Qb = 4850 – 5(200) + 1,5(100) + 0,1(10.000) = 5.000

-> barang tersebut merupakan inelastisitas penghasilan

b.

Qb = 5.000

15

16

Terima kasih, Semoga Bermanfaat