Kuliah IIIMatematika Teknik I

Indra Jaya Mansyur

Rianindrajaya@yahoo.com

Materi I

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu

• Persamaan terpisahkan

• Persamaan yang dapat dijadikan berbentuk terpisahkan

• Persamaan Diferensial Eksak

• Faktor Integral

• Solusi umum persamaan diferensial orde satu

• Pemanfaatan PDL pada penyelesaian Rangkaian Listrik

Persamaan Diferensial Eksak

Persamaan diferensial yang berbentukM(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 (1)

disebut eksak bila bagian kiri adalah diferensial total atau eksak

Terlihat bahwa PD itu eksak bila terdapat fungsi u(x,y) sehingga

Mx

u

N

y

u

(a.) (b.)

(2)dyy

udx

x

udu

(3)

Persamaan Diferensial Eksak

Syarat Eksak: (4)x

N

y

M

Solusi:

)( ykdxMu )(xldyNu

(5)

(b)

(a)

Persamaan Diferensial Eksak

Contoh 1: Selesaikanlah xy’ + y + 4 = 0

Jawab:

Sesuaikan dengan bentuk (1)

(y + 4) dx + x dy = 0

yaitu M = y + 4 dan N = x

Terlihat bahwa x

N

y

M

Jadi persamaannya adalah persamaan diferensial eksak

Persamaan Diferensial EksakContoh 1: Selesaikanlah xy’ + y + 4 = 0

Jawab:

Jadi

4

)(

)()(

yMdx

dly

x

u

xlxy

xldyxxldyNu

4dx

dl

l = 4x + cu = xy + 4x + c 4

x

cy

Persamaan Diferensial Eksak

Contoh 2: Selesaikanlah

2 x sin 3y dx + 3 x2 cos 3y dy = 0

Jawab:

yxNdy

dkyx

y

u

ykyx

ykdxyxykdxMu

3cos33cos3

)(3sin

)(3sin2)(

22

2

2arcsin

3

1

x

cy

Persamaan Diferensial Orde Satu

• Persamaan terpisahkan

• Persamaan yang dapat dijadikan berbentuk terpisahkan

• Persamaan Diferensial Eksak

• Faktor Integral

• Solusi umum persamaan diferensial orde satu

• Pemanfaatan PDL pada penyelesaian Rangkaian Listrik

Faktor Integral

Kadang-kadang PD

P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 (1)

tidak eksak, tetapi dapat dibuat eksak

dengan jalan memperkalikannya dengan

suatu fungsi F(x,y) ( 0 ) yang disebut

faktor integral PD persamaan (1).

Faktor IntegralContoh 1: Selesaikanlah x dy – y dx = 0

Jawab:

Persamaan diferensial ini tidak eksak. Faktor integralnya adalah

sehingga diperoleh

y = c x

2

1

xF

0))((2

x

yd

x

dxydyxdxydyxxF

Persamaan Diferensial Orde Satu

• Persamaan terpisahkan

• Persamaan yang dapat dijadikan berbentuk terpisahkan

• Persamaan Diferensial Eksak

• Faktor Integral

• Solusi umum persamaan diferensial orde satu

• Pemanfaatan PDL pada penyelesaian Rangkaian Listrik

Solusi UmumPersamaan Diferensial Orde Satu

Bentuk umum Persamaan Diferensial Linier (PDL) ber-orde satu:

y’ + f(x) y = r(x) (1) Jika r(x) =0 disebut homogen dan r(x) 0 disebut tidak homogen.

y’ + f(x) y = 0 (2)dapat diselesaikan dengan jalan memisahkan variabel: dxxf

y

dy)(

dxxf

ecxy)(

)(

Solusi UmumPersamaan Diferensial Orde Satu

Solusi Persamaan Diferensial Linier (PDL) orde satu tidak homogen adalah:

cdxreexy hh)(

dimana

dxxfh )(

Solusi UmumPersamaan Diferensial Orde SatuContoh 1: Selesaikanlah y’ – y = e2x

Jawab:

Dari soal di atas diperoleh: f = -1 dan r = e2x sehingga

diperoleh

xdxdxfh

xxxxxxx ceeceecdxeeexy 22)(

Solusi UmumPersamaan Diferensial Orde SatuContoh 2: Selesaikanlah xy’ + y + 4 = 0

Jawab:

Sesuaikan dengan bentuk umum PDL

Dari soal di atas diperoleh:

dan

xy

xy

41'

xf

1

xr

4

xe

xdxx

dxfh

h

||ln1

441

)(

x

ccdx

xx

xxy

Solusi UmumPersamaan Diferensial Orde SatuContoh 3:

Selesaikanlah soal syarat awal berikut

y’ + y tan x = sin 2x y(0) = 1

Jawab:

Dari soal di atas diperoleh: f = tan x dan r = sin 2x = 2 sin x cos x, sehingga

xrexexe

xdxxdxfh

hhh sin2;cos;sec

|sec|lntan

xxccdxxxxy 2cos2cossin2cos)(

Solusi UmumPersamaan Diferensial Orde Satu

Jawab 3:

Kenakan syarat awal y = 1 bila x = 0, yaitu:

1 = c – 2 atau c = 3

Jadi jawabnya adalah:

y = 3 cos x – 2 cos2 x

Persamaan Diferensial Orde Satu

• Persamaan terpisahkan

• Persamaan yang dapat dijadikan berbentuk terpisahkan

• Persamaan Diferensial Eksak

• Faktor Integral

• Solusi umum persamaan diferensial orde satu

• Pemanfaatan PDL pada penyelesaian Rangkaian Listrik

Pemanfaatan PDL pada Penyelesaian Rangkaian Listrik

Contoh 1: Suatu sistem listrik yang dapat dinyatakan sebagai tahanan R yang dipasang seri dengan induktor L pada sumber tegangan tetap v(t) tepat pada saat t = 0. Yang ingin dicari adalah arus I(t) yang mengalir setelah pemasangan tersebut. R dalam satuan ohm, L dalam Henry, tegangan dalam volt dan waktu t dalam detik.

Jawab: ????

Pemanfaatan PDL pada Penyelesaian Rangkaian Listrik

Jawab 1: Model matematik rangkaian ini adalah

)()( tvdt

diLtRi i(0) = 0

Hal 1: v(t) = E tetap dengan polaritas seperti pada gambar berikut

R

E L

Pemanfaatan PDL pada Penyelesaian Rangkaian Listrik

Jawab 1 (cont.): PDL menjadi

Solusi jawab umumnya adalahL

Ei

L

R

dt

di

at

atat

ecR

E

L

Racdte

L

Eeti

;)(

syarat awal i(0) = 0 maka jawab khususnya adalah

)1()( /teR

Eti

Pemanfaatan PDL pada Penyelesaian Rangkaian Listrik

Jawab 1 (cont.): dimana (time-constant). Secara grafis i(t) dapat digambarkan sebagai berikut.

i(t)

0 t

Pemanfaatan PDL pada Penyelesaian Rangkaian Listrik

Jawab 1:

Hal 2 : v(t) = Vm sin t, maka jawab umum adalah

cdtte

L

Veti atmat sin)(

)sin()(222

tLR

Vecti mat

dimana

R

L

L

Ra

arctan,

R

L

222 LR

Pemanfaatan PDL pada Penyelesaian Rangkaian Listrik

Jawab 1 (cont.):

t0 3 5 t0

i(t)

suku exponensial

transient steady state

Pemanfaatan PDL pada Penyelesaian Rangkaian Listrik

Contoh 2: Rangkaian seri R dan C; R dalam ohm dan C dalam Farad. Rangkaian dipasang pada sumber tegangan v(t) pada saat t = 0 dan muatan awal kapasitor C adalah nol

Jawab: ????

Terima Kasih