MATEMATIKA REKAYASA IMO 141202

mahmud mustain

Capain Silabus1. Bilangan Real: nilai mutlak, pertidaksamaan, garis lurus, jarak antar dua titik, lingkaran2 Fungsi dan Limits: domain dan range fungsi, fungsi linear, kuadratik dan trigonometri, hyperbolik,

limits dan kontinuitas fungsi.3. Fungsi Transenden: Fungsi logaritma dan eksponensial, menggambar fungsi dan inversnya.4. Barisan dan Deret Tak Hingga:barisan tak hingga, deret tak hingga, test konvergensi, deret

Taylor, deret MacLaurin5. Vektor: penjumlahan, pembagian dan perkalian scalar dan vektor6. Matriks dan determinan: Penambahan, pengurangan, perkalian, determinan dan inverse7. Bilangan Kompleks: Penjumlahan, pengurangan, pembagian, perkalian, persamaan kompleks8. Derivatif: turunan fungsi, rule, fungsi trigonometri, aturan rantai, fungsi implisit9. Penerapan Diferensial: laju-laju yang berkaitan, penentuan interval naik/turun suatu fungsi,

kecekungan fungsi, menggambar fungsi, masalah optimasi10. Integral: integral tak tentu, integral tertentu, luas dibawah kurva, mean, RMS, volume, centroid,

substitusi didalam integrasi11. Teknik Integrasi:integral partial, integral fungsi trigonometri, integral fungsi pecah rasional.12. Terapan Integral Tertentu:luas di antara dua kurva, volume benda putar, momen inersia, titik

berat

PUSTAKA

• Tim Dosen Jurusan Matematika ITS,”Buku Ajar Kalkulus I” Edisi ke 5 Jurusan Matematika ITS, 2009

• Purcell, J.E and Rignon, “Calculus”, 8th ed, Prentice Hall 2000

• Thomas, G., “Calculus”, Pearson Addison and Wesley, 2005

SKEMA PERKULIAHAN

MATERI MMT

1. Bilangan Real: nilai mutlak, pertidaksamaan, garis lurus, jarak antar dua titik, lingkaran

2 Fungsi dan Limits: domain dan range fungsi, fungsi linear, kuadratik dan trigonometri, hyperbolik, limits dan kontinuitas fungsi.

3. Fungsi Transenden: Fungsi logaritma dan eksponensial, menggambar fungsi dan inversnya.

4. Barisan dan Deret Tak Hingga:barisan tak hingga, deret tak hingga, test konvergensi, deret Taylor, deret MacLaurin

EVALUASI

• Tugas 1 20 %• Tugas 2 20 %• Tugas 3 20 %• UJIAN 40 %

KEMAMPUAN

• a. Ilmu pengetahuan

• b. Skill

• c. Pengalaman

Kemauan

a. Percaya diri

b. Motivasi

• c. Komitmen (kesepakatan)

SUKSES

KULIAH 1

Bilangan Real: 1.nilai mutlak, 2.pertidaksamaan, 3.garis lurus, 4. jarak antar dua titik, 5. lingkaran

Bilangan Real

Bilangan Real Sumber: Subian Saidi, S.Si, M.Si

• Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional

• Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x = , p dan q Z, dengan q 0} contoh :

• Himpunan-himpunan berikut ada didalam himpunan bilangan rasional :* Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….}* Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}

p

q1 4 57

, ,3 9 1

– Himpunan bilangan irasional, iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }

contoh : , e, log 5, – Teorema :

“Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional”– Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama :

contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000…. 13/11 =1.1818181818…

– Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya

contoh : x = 0.136136136…. y = 0.271271271…..

Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional– Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya, contoh : 0.101001000100001….

p

q2

Garis bilangan

Setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garis bilangan, yang disebut garis bilangan real.

0-1 1 2-4 2 52 3 5

Garis Lurus

Secara geometris, sistem bilangan real {R} dapat digambarkan dengan garis lurus. Buat garis yang dimulai dari sembarang titik yang dianggap dan ditandai sebagai titik 0.

Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat bagian sama besar (segmen) dengan kesepakatan arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O.

Selanjutnya, tuliskan bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … pada masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan -1, -2,- 3, … pada titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan 1/2, misalnya 2 1/2, atau 1 1/2

• Oleh karena itu setiap bilangan real merupakan tempat satu titik pada

garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus merupakan satu bilangan real, sehingga garis lurus sering disebut pula

Garis Bilangan Real.

• Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

• Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :* Sifat-sifat aljabar* Sifat-sifat urutan* Sifat-sifat kelengkapan

Sistem bilangan real

*Sifat-sifat aljabar bilangan real

Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru.

contoh: 2 + 5⅛ = 7⅛ 5-0,4 = 4,6 4 x ¾= 1 3 : 4 = ¾

*Sifat-sifat urutan bilangan real

• Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih besar dari 0, ditulis a > 0.contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0

• Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b, jika b – a positifcontoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0

Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku sifat urutan berikut:

• a < b a + c < b + c• a < b a - c < b – c• a < b, c > 0 ac < bc• a < b, c < 0 ac > bc• a > 0

• Jika a dan b bertanda sama maka

10

a1 1

a bb a

*Sifat kelengkapan bilangan real

Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa terdapat cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya

Contoh : Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar atau

salah! a. -2 < -5 b. 6 34

7 39

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Interval bilangan real

Untuk setiap x, a, b, c R,

1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup

atau terbuka3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka

atau tertutup4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka

Interval – interval tak hingga

• (–∞, b] = {x | x ≤ b}• (–∞, b) = {x | x < b}• (a, ∞] = {x | x ≥ a}• (a, ∞) = {x | x > a}• (–∞, ∞] = {x | x R}

Bilangan Rasional

Definisi

• Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dilambangkan dengan

, dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. b

a

Bilangan Pecahan

• Definisi:Bilangan pecahan adalah bilangan yang lambangnya terdiri dari bilangan bulat a dan b (dengan b ≠ 0) yang merupakan penyelesaian pesamaan bx = a,

ditulis atau a : b. b

a

Kesamaan Pecahan

• Definisi:Pecahan dan , dengan b ≠ 0 dan d ≠ 0 adalah

ekuivalen jika dan hanya jika ad = bc.

b

a

d

c

Teorema Dasar Pecahan

• Untuk sebarang pecahan , dengan b ≠ 0, dan sembarang bilangan bulat c, c ≠ 0, berlaku

• atau

b

a

bc

ac

b

a

b

a

cb

ca

• Definisi: Pecahan , dengan b > 0 merupakan

pecahan sederhana, jika FPB (a,b) = 1.

b

a

Operasi Penjumlahan•Definisi:

Jika dan bilangan bilangan rasional dengan ‑ b ≠ 0 dan

d ≠ 0, maka

•Tetapi mungkin terjadi bahwa bxd bukan bilangan cacah terkecil yang dapat dijadikan penyebut yang sama. Sehingga perlu dicari KPK dari kedua penyebut sehingga menjadi penyebut persekutuan terkecil

b

ad

c

bd

bcad

d

c

b

a

,

Operasi Perkalian•Definisi:

Jika dan bilangan bilangan rasional dengan ‑

b ≠ 0 dan d ≠ 0, maka

b

a

d

c

db

ca

d

c

b

a

,

Lebih Dari

Operasi Pembagian

• Kebalikan Bilangan PecahanUntuk ≠ 0 , adalah bilangan pecahan tunggal dengan

sifat

d

c

c

d

1c

d

d

c

Operasi Pembagian•Definisi:

Jika dan bilangan bilangan rasional dengan‑

b ≠ 0 , d ≠ 0 dan , maka

b

ad

c

cb

da

c

d

b

a

d

c

b

a

,

0d

c

Bilangan Desimal

• Sistem bilangan biner adalah Sistem bilangan biner adalah susunan bilangan yang susunan bilangan yang mempunyai basis 10 sebab mempunyai basis 10 sebab sistem bilangan ini sistem bilangan ini menggunakan dua nilai koefisien menggunakan dua nilai koefisien yang mungkin yaitu 0 s/d 9yang mungkin yaitu 0 s/d 9..

B.B. BILANGAN BINERBILANGAN BINER

Sistem bilangan biner adalah susunan Sistem bilangan biner adalah susunan bilangan yang mempunyai basis 2 sebab bilangan yang mempunyai basis 2 sebab sistem bilangan ini menggunakan dua sistem bilangan ini menggunakan dua nilai koefisien yang mungkin yaitu 0 dan nilai koefisien yang mungkin yaitu 0 dan 11..

C.C. KONVERSI BILANGANKONVERSI BILANGAN

Secara umum ekspresi sistem bilangan Secara umum ekspresi sistem bilangan basis–r mempunyai perkalian koefisien basis–r mempunyai perkalian koefisien oleh pangkat dari r.oleh pangkat dari r.

Lanjutan Lanjutan ……Tabel 1-1Tabel 1-1

Bilangan dengan basis yang berbedaBilangan dengan basis yang berbeda Decimal Decimal

( base 10 )( base 10 )Binary Binary

( base 2)( base 2)OctalOctal

( base 8 )( base 8 )HexadecimalHexadecimal

( base 16 )( base 16 )

0000

0101

0202

0303

0404

0505

0606

0707

0808

0909

1010

1111

1212

1313

1414

1515

00000000

00010001

00100010

00110011

01000100

01010101

01100110

01110111

10001000

10011001

10101010

10111011

11001100

11011101

11101110

11111111

0000

0101

0202

0303

0404

0505

0606

0707

1010

1111

1212

1313

1414

1515

1616

1717

00

11

22

33

44

55

66

77

88

99

AA

BB

CC

DD

EE

FF

Persen

• Definisiuntuk setiap bilangan cacah, bentuk r persen yang

dinyatakan dengan symbol r % merepresentasikan perbandingan yang sama dengan

Jika p adalah r% objek dan t adalah total banyaknya objek, maka

Nilai Mutlak

• Definisi nilai mutlak :

• Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.

• |x| dapat juga didefinisikan sebagai:

• Secara Geometri: |x| menyatakan jarak dari x ke titik asal. |x – y| = jarak diantara x dan y

0,

0,

xx

xxx

2x x

Sifat nilai mutlak

• |-a| = |a|• |ab| = |a||b|

• |a + b| ≤ |a| + |b|• |x|2 = x2

• |x| < a jika dan hanya jika - a < x < a • |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a• |x| < |y| jika dan hanya jika x2 < y2

aa

b b

Contoh :

• Selesaikan persamaan berikut: |2x – 5|=9• Tentukan solusi dari ketaksamaan berikut:

x 5 9

5 12 x

SOAL

1. 5 2 6x x

2. 2 11 1x x

3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan

?t a a t

Ketidaksamaan• Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti mencari

interval atau interval-interval dari bilangan yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.

• Cara menyelesaikan ketidaksamaan :1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi tanda ketidaksaman berubah

Contoh:

Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garis bilangan real!a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x

b. c. (x – 1)2 ≤ 4

x

x

2

42

AL-HAMDULILLAH