Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah

8/16/2019 Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah

1/17

KONTROL OPTIMAL UNTUK SIRC EPIDEMI WABAH

Abstrak

Dalam makalah ini model epidemi SIRC matematika diajukan. Secara efisien

menggambarkan penyakit di mana kelas lintas kekebalan ( C ) dihadirkan bersama dengan

rentan ( S ) terinfeksi ( I ) dan pulih ( R ). !engendalian penyakit epidemik yang sesuai

"aksinasi karantina dan strategi pengobatan# umumnya hanya satu dari tindakan ini yang

dipertimbangkan. Dalam makalah ini kemungkinan kontrol optimal baik subjek rentan dan

yang terinfeksi diasumsikan dengan mempertimbangkan juga keterbatasan sumber

daya. Sebuah indeks biaya yang sesuai diperkenalkan dan melalui !rinsip $inimum

!ontryagin ini strategi kontrol optimal ditentukan dan eksistensi solusi optimal ditaksir. %asil

numerik dikembangkan dengan menganalisis efek dari strategi pengendalian yang berbeda.

&. !erkenalan

$odel matematika telah menjadi instrumen penting dalam analisis dan pengendalian

penyakit menular. 'eberapa model yang sesuai dengan epidemi dengan karakteristik yang

berbeda telah diusulkan dan dibahas dalam literatur. Asumsi mendasar dalam model epidemi

adalah baha populasi dapat dibagi menjadi kelompokkelompok yang berbeda#yang paling

umum adalah* rentan ( S ) yang merupakan subjek yang dapat terjangkit penyakit# yang

terinfeksi ( I ) yang merupakan subjek yang sudah terjangkit dan dapat menyebarkan penyakit

kepada indi"idu yang rentan# sembuh ( R ) yang merupakan subjek yang kebal seumur

hidup. +leh karena itu model ini disebut sebagai model SIR. Deskripsi lain mungkin

termasuk kehadiran subjek dalam masa karantina (,) dan dalam hal ini model SIR,

dianalisis -& . 'arubaru ini di -/ kelas indi"idu lintaskekebalan ( C ) dalam populasi telah

diperkenalkan* itu adalah keadaan antara sepenuhnya rentan ( S ) dan sepenuhnya sembuh

( R ). +leh karena itu model SIRC yang diperoleh memperhitungkan imunitas parsial

sementara dan mungkin dijelaskan misalnya influen0a tipe A.

!embelajaran model matematika untuk epidemik memungkinkan penilaian dampakstrategi kontrol yang berbeda* penyuluhan penjadalan "aksinasi yang tepat -1 dan -2

penyaringan dan penyuluhan pendidikan -3 kebijakan isolasi -4 sumber daya

alokasi -3 dan -5 . Sebuah pendekatan disarankan terletak pada kerangka teori kontrol

optimal# ulasan menarik dapat ditemukan di -6 . %asil analisis pada masalah kontrol optimal

untuk epidemi secara luas dijelaskan dalam -7 di mana model dengan kontrol menggunakan

"aksinasi karantina pemeriksaan atau penyuluhan kesehatan dipelajari dengan pilihan yang

agak umum untuk fungsi interaksi.

'erbagai jenis penyakit menular dinilai untuk model dan strategi yang

berbeda. Dalam-&8 penyakit sindrom pernapasan akut (SARS) dipertimbangkan untuk

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0030http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0030http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0040http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0045http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0045http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0050http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0030http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0040http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0045http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0050http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0005


2/17

menemukan strategi pelacakan dan mengkarantina kontak dari kasus diidentifikasi# itu

menunjukkan baha ini bisa sangat sukses dalam mengurangi penyebaran. Dalam -&& itu

membuktikan baha tindakan karantina 9 isolasi maksimum untuk subpopulasi laten dan

kelas terinfeksi akan mengurangi epidemik SARS# kontrol pergantian bangbang

diperoleh. Dalam dekade terakhir perhatian besar telah dikhususkan untuk pemodelan dan

kontrol dari human immunodeficiency "irus (%I:)# di -&/ output skema umpan balik

berbasis di CD2 sel; dan pengukuran beban oleh "irus telah diperkenalkan.


3/17


4/17

β=´ R ( μ+α ) dan σ =r (1δ + 1γ ) dengan 2≤ ´ R≤10 dan r ? 88/4 (tahun) & # khususnya meakili jumlah reproduksi -&7 sedangkan r merupakan tingkat

infeksi -/8 .

@ebaruan dari model ini adalah memperhitungkan kehadiran lintas kekebalan ( C ) yaitu

subjek yang memiliki kekebalan tubuh sementara. Secara efisien menjelaskan mekanisme

"irus influen0a A.

Dalam makalah ini efek dari strategi kontrol kedua subjek rentan (yaitu "aksinasi) dan

populasi yang terinfeksi (pengobatan dan karantina) dipelajari.


5/17

dengan α & α / τ & τ / 8 meakili bobot dalam indeks biaya t i 8 adalah ketetapan

aktu aal dan t f 8 adalah ketetapan aktu akhir inter"al kontrol. ;ujuannya adalah

untuk meminimalkan indi"idu yang terinfeksi dan rentan dan untuk memaksimalkan subjek

sembuh menggunakan upaya pengendalian minimal. Eelas indeks biaya yang dianut

memperhitungkan juga kasus yang lebih umum di mana tujuannya adalah untuk

meminimalkan hanya pada subjek yang terinfeksi dan tidak pada yang rentan.

$ari kita perhatikan masalah berikut.

Permasalahan *

$engingat model (1) dengan kondisi aal (/) menentukan keadaan x F dan kontrol u

dan v memenuhi sistem (1) kondisi (2) dan meminimalkan indeks biaya (&/) .

;ujuannya adalah untuk menentukan strategi terbaik yang meminimalkan jumlah subjek

rentan dan terinfeksi dan mengontrol sumber daya dalam inter"al kontrol tetap.

Sebelumnya akan dibahas eksistensi kontrol optimal. %al ini dijamin oleh argumen

berikut -/1 *

&. Set kontrol dan "ariabel adalah tidakkosong

/. Ruang kontrol tertutup dan cembung

1. Sisi kanan dari sistem dibatasi oleh fungsi linear persamaan dan kontrol

2. Integran di indeks biaya cembung sehubungan dengan kontrol u dan v

3. @onstanta η & eksis dan bilangan positif β & dan ß / sehingga*

!ersamaan( &1 )

E (u ( t ) " ( t )) G / ( H u ( t )H / H " ( t ) H / ) n 9 / G &

@ondisi & memenuhi hasil di -/2 teorema 7./. @ondisi / dibuktikan oleh definisi. @ondisi

1 mengikuti pernyataan dalam pembahasan sebelumnya. Integran jelas cembung sehubungan

dengan kontrol u dan v . @ondisi 3 dan pertidaksamaan (&1) memperhitungkan baha

"ariabel dibatasi.

Sekarang kita akan memecahkan masalah kontrol optimal dan kita dilambangkan

denganU = ( u v ) kumpulan kontrol yg diterima yang merupakan dua kontrol memenuhi

kendala (2) .$ari kita mendefinisikan persamaan %amilton*

!ersamaan( &2 )

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0060http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0115http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0065http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0065http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0060http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0115http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0065http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020


6/17

di mana λ 8 dan λ adalah pengali Jagrange. Dari prinsip minimum !ontryagin (untuk sur"ei

formulasi yang berbeda dari prinsip minimum lihat misalnya -/3 ) hasil berikut ini berlaku.

$isal ( x K U K) memenuhi sistem kontrol dinamik (1) kondisi aal (/) dan

kendala (2) . Ini adalah solusi yang optimal (minimum global) jika terdapat konstanta λ 8 8fungsi λ

¿∈ Ć 1 [ t i , t f ] tidak simultan sama dengan nol sehingga*

!ersamaan( &3 )

´ λ¿=−∂ H

∂ x |¿T

H ( x¿ ( t ) , ω , λ0¿

, λ¿ (t )) ≥ H ( x¿ ( t ) , ¿ (t ) , λ0

¿, λ

¿ (t )) ∀

admissible controlω

H |¿=0 , λ (t f )=0

notasi menunjukkan semua fungsi pieceise terdiferensiasi kontinu. !erhatikan

baha kasus tunggal λ 8 = 8 tidak mungkin# sebenarnya dalam kasus ini dengan

mempertimbangkan kondisi terakhir di (&3) keberadaan dan teorema keunikan untuk

persamaan diferensial menyiratkan λ & = λ / = λ 1 = λ 2 = 8 yang tidak mungkin.

$ari kita meneliti syarat penting optimalisasi dengan mengasumsikan λ 8 = &*

!ersamaan( &4 )

!ersamaan( &5 )

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0125http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0125http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0075http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0125http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0075


7/17

!ersamaan( &6 )

% H K = 8

!ersamaan( &7 )

L & ( t f ) = L / ( t f ) = L 1 ( t f ) = L 2 ( t f ) = 8

dengan memanfaatkan kondisi minimum (&5) berikut*

!ersamaan( /8 )

Dan karena itu dengan mempertimbangkan kendala kotak pada kontrol kita memperoleh*

!ersamaan( /& )

dan

!ersamaan( // )

!ada bagian berikutnya kita membahas solusi numerik dari masalah kontrol optimal.

1. %asil dan !embahasan

!ada bagian ini kondisi yang diperlukan (&4) (&7) yang dipelajari dari sudut pandang

numerik# dipecahkan dengan menggunakan M $atlab +ptimi0ation ;oolboN dan

fungsi bantuan fin!"n . %al ini memungkinkan temuan minimal dibatasi dari fungsi dari

beberapa "ariabel# fungsi ini menggunakan metode pemrograman kuadratik

berurutan -/4 . Itu memecahkan subproblem program kuadratik -/5 pada setiap iterasi

positif tertentu dengan pendekatan ,uasiOeton dari fungsi Jagrange %essian yg telahdiupdate dengan menggunakan metode 'roydenletcher>oldfarbShanno -/6 . .

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0085http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0085http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0080http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0095http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0130http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0135http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0135http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0140http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0140http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0085http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0080http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0095http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0130http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0135http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#bib0140


8/17

!ersamaan (1) yang discreti0ed dengan menggunakan aturan trapesium klasik membagi

inter"al aktu durasi ke n & subinter"al sama jarak# dalam simulasi diasumsikan n = 388

dengan ad hoc integrasi langkah untuk mensimulasikan periode kontrol dari satu tahun.


9/17

S 8 = &I 8 I 8 = &8 4 R 8 = 8 C 8 = 8

Dalam berikut ini akan ditarik sebagai @asus I. Dalam >ambar. / dua kontrol diperoleh

disajikan. !erhatikan baha kontrol u yang bertindak langsung di atas rentan diasumsikan

nilai maksimum pada aal periode kontrol sampai empat bulan (lebih tepatnya &/4 hari) dan

berturutturut menurun secara monoton sedangkan kontrol v ditambah dengan nilai

maksimum yang dicapai setelah hampir dua bulan setengah sejak aal pengobatan dan

kemudian menurun monoton dari bulan ketiga dan setengah. @ontrol atas subyek yang

terinfeksi dapat dikurangi hampir nol setelah sekitar 4 bulan sejak aal pengobatan.

Dalam >ambar. 1 perilaku subjek rentan terinfeksi sembuh dan lintaskekebalan ketika dua

kontrol optimal yang aktif ditunjukkan. ambar. 1 diulang juga dalam tiga situasi lain* dengan asumsi tidak ada kontrol bukan

di rentan maupun di terinfeksi dengan asumsi kontrol hanya pada rentan dan akhirnya

mempertimbangkan kontrol hanya pada yang terinfeksi.

Dalam >ambar. 2 dan >ambar. 3 perilaku rentan dan subjek yang terinfeksi dalam empat

situasi dianalisis terakili dalam sebelas dan dua belas bulan pertama dari periode kontrol

masingmasing. Sejauh jumlah rentan yang bersangkutan pengurangan sehubungan dengan

nilai aal S 8 adalah hampir setara baik bila strategi dengan kontrol ganda diadopsi dan ketika

hanya rentan dikendalikan dengan nilai sekitar 43. Dalam ketiadaan semua tindakan

kontrol atau di hadapan kontrol hanya pada subjek yang terinfeksi pengurangan

terhadap S 8 adalah sekitar 5&.

$eskipun situasi tampaknya lebih buruk mengadopsi strategi kontrol ganda

di >ambar. 2orang dapat melihat baha jumlah subjek rentan sangat menurun pada aal

abah karena relokasi mereka di kelas pulih sehingga kebocoran penting dari potensi orang

yang terinfeksi seperti dapat dihargai di puncak lebih rendah dari epidemi dan dalam nya

menunda >ambar. 3 .

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0015http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0020http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0025


10/17


11/17

S 8 = 877 I 8 = 3 T &81 R 8 = 1 T &8

1 C 8 = / T &81

Dalam berikut ini akan ditarik sebagai kasus II. Ini berarti baha strategi pengendalian

dimulai ketika epidemi sudah signifikan meluas.

Ara. 4.

@asus II. +ptimal mengontrol u (t) dan v (t) ketika epidemi itu sudah signifikan meluas.

Dalam >ambar. 4 dua kontrol optimal diperoleh disajikan. !erhatikan baha

kontrol udiasumsikan nilai maksimum pada aal periode kontrol sampai satu bulan setengah

(lebih tepatnya 22 hari) dan berturutturut menurun monoton sedangkan kontrol v ditambah

dengan nilai maksimum yang dicapai setelah satu minggu sejak aal pengobatan dan

kemudian menurun secara monoton setelah

sekitar satu bulan setengah. @ontrol atas subyek yang terinfeksi harus dikurangi hampir nol

setelah hampir empat bulan (&&1 hari) sejak aal pengobatan.

Ara. 5.

@asus II. Solusi dari model SIRC menggunakan dua kontrol optimal.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0030http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0030http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0030


12/17

Dalam >ambar. 5 perilaku subjek rentan terinfeksi pulih dan lintas kekebalan ketika dua

kontrol optimal yang aktif ditunjukkan. Euga dalam situasi ini untuk memeriksa efek dari

strategi pengendalian yang bertindak langsung baik pada subjek rentan dan terinfeksi

simulasi yang sama dari >ambar. 5 diulang dalam tiga situasi* dengan asumsi tidak ada

kontrol dengan asumsi kontrol hanya pada rentan dan akhirnya mempertimbangkan kontrol

hanya pada yang terinfeksi.

Ara. 6.

@asus II. !erbandingan kejadian subyek rentan dalam empat situasi dianggap* dengan

asumsi tidak ada kontrol bukan di rentan maupun di terinfeksi dengan asumsi kontrol

hanya pada rentan mengingat kontrol hanya pada yang terinfeksi mengingat kontrol

ganda yang diusulkan.

Ara. 7.

@asus II. !erbandingan kejadian subyek yang terinfeksi di empat situasi dianggap

asumsi tidak ada kontrol bukan di rentan maupun di terinfeksi dengan asumsi kontrol

hanya pada rentan mengingat kontrol hanya pada yang terinfeksi mengingat kontrol

ganda yang diusulkan.

Dalam>ambar. 6 dan >ambar. 7 perilaku rentan dan subjek yang terinfeksi di empat situasidianalisis diakili dalam tujuh bulan pertama periode kontrol masingmasing.Sejauh jumlah

rentan yang bersangkutan pengurangan sehubungan dengan nilai aal S 8 adalah hampir

setara baik bila strategi dengan kontrol ganda diadopsi dan ketika hanya rentan dikendalikan

dengan nilai sekitar 58. Dalam kehadiran semua tindakan kontrol atau di hadapan kontrol

hanya pada subjek yang terinfeksi pengurangan terhadap S 8 adalah sekitar 45. Ufek dari

strategi kontrol subjek yang terinfeksi dianalisis dengan cara # I kuantitas. Itu sama dengan

1& bila strategi kontrol ganda diadopsi sedangkan ketika mengendalikan hanya pada

rentan dan hanya pada yang terinfeksi jumlah yang sama adalah sama dengan /4 dan 3

masingmasing. %asil ini ditingkatkan baha strategi yang dikendalikan baik rentan dan

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0040http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0040http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0045http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0045http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0035http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0040http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0045


13/17

terinfeksi menghasilkan pengurangan yang lebih signifikan dalam jumlah subjek yang

terinfeksi daripada strategi kontrol lainnya. Selain itu perhatikan baha di @asus II puncak

epidemi tidak berubah secara signifikan dalam aktu bahkan jika seperti yang sudah

ditunjukkan berubah secara signifikan dalam nilainilainya tergantung pada strategi

pengendalian yang dipilih.

Dalam kedua kasus itu menarik untuk mempelajari pengaruh jumlah reproduksi (dan karena

itu transmisi parameter β ) pada strategi kontrol optimal. !erhatikan baha parameter ini

mempengaruhi tidak hanya tingkat kontak subjek rentan tetapi juga kemungkinan masuk

kembali dalam kompartemen sembuh setelah periode lintas kekebalan tubuh. Dua situasi baru

dianggap* angka reproduksi = 4 dan &8 yaitu sama dengan setengah dan titik akhir dari

rentang diperbolehkan. Dalam kasus I untuk tercatat baha kontrol u ( t ) mulai dari

nilai maksimum yang dii0inkan dan menurun pada hari ke/& sedangkan kontrol padaterinfeksi mencapai nilai maksimum pada hari &4 menurun setelah / minggu. %asil yang

sama dapat diamati untuk Dengan kontrol pada rentan yang mulai berkurang dari

nilai maksimum setelah &1 hari dan kontrol pada yang terinfeksi yang diasumsikan nilai

maksimum antara hari sebelas dan dua puluh tiga dan kemudian menurun.

Dalam kasus Sejauh jumlah rentan yang bersangkutan pengurangan sehubungan

dengan nilai aal S 8 adalah sekitar 63# nilai ini yang lebih besar yang sesuai diperoleh

dengan Adalah ajar karena tingkat kontak yang lebih besar. Ufek dari strategi kontrol

pada jumlah subjek yang terinfeksi dianalisis dengan cara #I kuantitas yang sama dengan

&3 sehingga meningkatkan pengurangan keterangan kurang dari jumlah subjek yang

terinfeksi dibandingkan keadaan sebelumnya# juga lokasi puncak yang datang lebih aal

(sekitar setelah tiga minggu) mencerminkan pengaruh tingkat kontak yang lebih

besar. !ertimbangan yang sama terus juga dalam kasus Di mana pengurangan jumlah

indi"idu yang rentan terhadap nilai aal S 8 adalah hampir konstan sedangkan #I kuantitas

sama dengan 5 dan juga puncak terletak signifikan sebelumnya (hari &2).

!ertimbangan serupa tahan juga untuk @asus II epidemi sudah jauh luas. Sejauh kontrol yang

bersangkutan untuk kontrol atas subjek rentan mulai dari nilai maksimum yang

dii0inkan mulai berkurang di hari &8 sedangkan kontrol atas terinfeksi mencapai nilai

maksimum pada hari ke 3 dan mulai menurun setelah sekitar 1 minggu (/8 hari). Sekali lagi

solusi optimal adalah usaha maksimal pada aal penyakit dan berturutturut menurun. %asil

yang sama dapat diamati untuk Dengan kontrol atas rentan yang mulai berkurang

dari nilai maksimum setelah sekitar satu minggu dan kontrol atas yang terinfeksi yang

diasumsikan nilai maksimum antara hari keempat dan enam belas dan kemudian

menurun. baik untuk dan pengurangan jumlah subjek rentan terhadap nilai

aal S 8 adalah sekitar 63 sehingga mengkonfirmasikan perilaku @asus I. 'ahkan lebih

jelas itu perubahan lokasi puncak epidemi berada di sekitar hari 5 dan 3 masingmasingdengan kuantitas #I sama untuk 346 dan 18/ untuk dua pilihan angka reproduksi


14/17

sehingga yang menunjukkan efek dari epidemi dengan tingkat kontak benarbenar signifikan

dan batas strategi kontrol dengan dipilih parameter kontrol dalam kasus epidemi sudah

meluas dan tindakan kontrol tidak efektif karena bisa di kasus I.

1.&. @ontrol parameter analisis sensiti"itas

Sangat menarik untuk menganalisis dalam @asus I dan @asus II dengan !engaruh

parameter bobot a & a / τ & τ / 8 dalam indeks biaya dan ρ & ρ / 8 di kontrol. Jebih

tepatnya dengan asumsi sebagai kasus referensi nilainilai (/1) untuk α & a / τ & τ / 8

dan ρ & = ρ / = / situasi diringkas dalam ;abel & dan ;abel / dianggap.

;abel &.

@asus I. !engendalian parameter analisis sensiti"itas.

@asus I S 8 = & I 8 I 8 = &84 R 8 = 8 C 8 = 8

#I

Jokasi puncak epidemi

penyebaran (hari)

@asus referensi* a & = &81 α / =

8775 τ & = &81 τ / = &8

1 ρ & =

/ ρ / = /

42 65 75

α & = 8/76 a / = 85 τ & = &81 τ / =

&8 1 ρ & = / ρ / = /

67 86 5/

α & = &81 α / = 8775 τ & = 88883 =

&91 τ / ρ & = / ρ / = /

45 64 74

α & = &81 α / = 8775 τ & = 888&3 =

1 τ / ρ & = / ρ / = /

4/ 65 76

α & = &81 α / = 8775 τ & = &8

1 τ / =

&8 1 ρ & = &8 ρ / = &

63 77 11

α & = &81 α / = 8775 τ & = &8

1 τ / =

&8 1 ρ & = & ρ / = &8

48 58 72

;abel /.

@asus II. @ontrol parameter analisis sensiti"itas.

@asus II S 8 = 877 I 8 = 3 T &81 R 8 = 1 T &8

1 C 8 = / T &81

#I


penyebaran (hari)

@asus referensi* a & = &81 α / =

8775 τ & = &81 τ / = &8

1 ρ & =

/ ρ / = /

58 1& /6

α & = 8/76 a / = 85 τ & = &81 τ / =

&8 1 ρ & = / ρ / = /

66 86 /5

α & = &81 α / = 8775 τ & = 88883 =

&91 τ / ρ & = / ρ / = /

5/ 1& /6

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010


15/17

@asus II S 8 = 877 I 8 = 3 T &81 R 8 = 1 T &8

1 C 8 = / T &81

#I


penyebaran (hari)

α & = &8 1 α / = 8775 τ & = 888&3 =

1 τ / ρ & = / ρ / = /

47 1& /6

α & = &81 α / = 8775 τ & = &8

1 τ / =

&8 1 ρ & = &8 ρ / = &

62 57 /&

α & = &81 α / = 8775 τ & = &8

1 τ / =

&8 1 ρ & = & ρ / = &8

41 16 /7

Dalam kasus di mana epidemi belum meluas jika rasio antara bobot a & a / adalah sekitar

828 (dan tidak 888& seperti dalam kasus yang sudah diperiksa) jumlah akhir dari subjek

rentan penurunan persentase sekitar 67 sehubungan dengan nilai aal tetapi dengan upaya

pengendalian dalam pencegahan yang harus sama dengan nilai maksimum yang

dii0inkan u maN = 87 untuk hampir semua inter"al kontrol. Selain itu puncak dari subyek

yang terinfeksi sedikit menurun dari sekitar 86.

Sejauh pengaruh bobot τ & τ / 8 dua situasi dibandingkan dengan kasus referensi. !ada

pertama τ & beban kontrol atas subjek rentan diasumsikan sama dengan &91 dari berat τ / # ini

memungkinkan upaya yang lebih signifikan dalam pencegahan menunjukkan penurunan

subjek rentan sekitar 45 dan penurunan yang signifikan dari 64 bisa dihargai untuk

puncak yang terinfeksi. Dalam situasi kedua dianggap berat τ & diasumsikan tiga kali lebih besar dari berat τ / # dalam hal ini jumlah rentan menurun dari sekitar 4/ dengan penurunan

puncak epidemi sekitar 65.

Sejauh pengaruh parameter ρ & ρ / 8 yang bersangkutan ketika ρ & = &8 ρ / = & itu adalah

menarik untuk dicatat pengurangan subjek rentan sekitar 63 terhadap nilai aal dengan

penurunan yang sangat signifikan dari puncak epidemi (77) yang terletak setelah sekitar

satu bulan (11 hari). @etika ρ & = & ρ / = &8 perlu dicatat keterlambatan puncak pengaruh

sekitar tiga bulan (72 hari) dengan pengurangan 58#pengurangan subjek rentan terhadap

nilai aal adalah 48.

Dalam @asus II kasus strategi pengendalian bertindak hanya ketika epidemi memiliki sudah

tersebar luas ketika a & = 82 α / jumlah akhir dari subjek rentan menurun dari sekitar 66

dengan upaya pengendalian dalam pencegahan yang harus sama dengan maksimal nilai

diperbolehkan untuk hampir semua inter"al kontrol. Selain itu puncak dari subyek yang

terinfeksi sedikit menurun (sekitar 86) seperti dalam kasus sebelumnya strategi

pengendalian baik aktunya.

Sejauh pengaruh bobot τ & τ / 8 dalam kasus pertama dianggap τ & = &91 τ / upaya yang

lebih signifikan dalam pencegahan dii0inkan menunjukkan penurunan subjek rentan sekitar

5/ sedangkan tidak ada perbedaan yang signifikan bisa dihargai untuk yang


16/17

terinfeksi. @etika τ & = 1 τ / jumlah rentan menurun dari sekitar 47 dengan penurunan

puncak epidemi sekitar 18.

!erhatikan baha dalam semua kasus ini dianalisis ketika upaya pengendalian dimulai hanya

dengan epidemi sudah menyebar lokasi temporal puncak epidemi menyebar tidak berubah

secara signifikan sehubungan dengan kasus nonkontrol sedangkan jika upaya pengendalian

baik timed lokasi puncak epidemi penyebaran secara signifikan tertunda.

Sejauh pengaruh parameter ρ & ρ / 8 yang bersangkutan ketika ρ & = &8 ρ / = & itu adalah

menarik untuk dicatat pengurangan subjek rentan sekitar 62 terhadap nilai aal dengan

penurunan yang signifikan dari puncak epidemi (57) yang temporal terletak di hari /&.

@etika ρ & = & ρ / = &8 perlu dicatat keterlambatan puncak pengaruh (sekitar satu bulan)

dengan pengurangan 16 sedangkan pengurangan subjek rentan adalah dari 41 terhadap

nilai aal.

!erlu dicatat efekti"itas lebih jelas dari strategi pengendalian yang optimal ketika itu tepat

aktu sehubungan dengan situasi di mana upaya pengendalian bertindak pada epidemi sudah

menyebar. Dalam kasus pertama aksi pada subjek rentan dan terinfeksi memungkinkan

peningkatan jumlah subjek pulih menghasilkan penundaan di puncak pengaruh yang

signifikan berkurang.

Analisis yang sama dari ;abel & dan ;abel / dilakukan juga dalam kasus dan

. Seperti yang diharapkan dalam kasus I untuk parameter kontrol yang menghasilkan

pengurangan yang paling signifikan dari puncak pengaruh yang a & = &81 a/ = 8775 τ & =

&8 1 τ / = &81 ρ & = &8 ρ / = & memperoleh nilai #I sama untuk 48 dan pengurangan

subjek rentan 66 sehubungan dengan nilai aal. ambar. &8 sebagai contoh @asus I . %al ini disebabkan meningkatnya tingkat

kontak yang diminta kontrol tambahan.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0050http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0050http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0005http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#tbl0010http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0050


17/17

Ara. &8.

@asus I. Analisis pengaruh jumlah reproduksi pada strategi pengendalian

ketika dan ρ & = &8 ρ / = &.Ara. &&.

@asus I. Analisis pengaruh jumlah reproduksi pada strategi pengendalian

ketika dan a & = 82 α / .

'ahkan lebih jelas adalah perilaku yang sama dari kontrol u dalam kasus di mana a & =

82α / (dan parameter lainnya sama dengan kasus referensi (/1) ) sebagaimana telah dicatat

dalam kasus ini Jihat >ambar. && # ini adalah karena kontrol u dibutuhkan usaha

ekstra untuk mengurangi jumlah subjek rentan seperti yang diminta oleh indeks biaya. !erlu

dicatat baha dalam kasus ini (kasus I dan II α & = 82 α / ) pengurangan jumlah subjek yang

terinfeksi tidak jelas efektif seperti dalam kasus referensi.

2. @esimpulan

Dalam makalah ini model SIRC influen0a dianggap bertujuan untuk mengendalikan epidemi

menyebar# mengendalikan epidemi berkorespondensi penyakit misalnya untuk pengenalan

ad hoc "aksin atau karantina atau obat strategi pengobatan. Semua strategi yang mungkin

harus dihadapkan pada keterbatasan sumber daya. Dalam makalah ini kontrol baik dalam

rentan dan di kelas yang terinfeksi diperkenalkan dengan mempertimbangkan kendala dalam

kontrol. Sebuah indeks biaya yang sesuai diusulkan dan hasilnya keberadaannya

dinilai. ;ujuannya adalah untuk meminimalkan subjek rentan dan terinfeksi dengan sumber

daya yang lebih sedikit mungkin# ekspresi analitis dari kontrol optimal disediakan dan

implementasi numerik mereka dibahas. %asil numerik disajikan membandingkan efek dari

strategi pengendalian yang berbeda menunjukkan hasil yang menarik dan menggembirakan

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0055http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0055http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#eq0120http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0169260713000096#fig0055

Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah

Documents

Transcript of Kontrol Optimal Untuk SIRC Epidemi Wabah