KONSTRUKSI SOLUSI MULTI-INSTANTON UNTUK GRUP GAUGE U(N)

TUGAS AKHIR

Diajukan ke departemen fisika ITB untuk

memperoleh gelar sarjana sains

Oleh:

Franky A. M. Lumban Tobing

NIM. 10200046

KELOMPOK BIDANG KEAHLIAN FISIKA TEORETIK DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2004

i

Kalau kamu tetap bertahan,

kamu akan memperoleh hidupmu.

(Lukas 21:19)

- ,

,

, - , .

----------------

“met-met ahu on, bahen ias roha on,

sasada ho Jesus, donganhu tong-tong”,

amen.

Kupersembahkan untuk Ayah,

Ibu dan Adik-adikku.

i

LEMBAR PENGESAHAN

Nama : Franky A. M. Lumban Tobing

NIM : 10200046

Judul tugas akhir : Konstruksi Solusi Multi-Instanton Untuk Grup

Gauge U(N)

Sidang sarjana : 7 Juni 2004

Waktu : 14.00 – 16.30 WIB

Dosen penguji : Dr. rer. nat. Bobby E. G.

Dr. rer. nat. Freddy H.

Bandung, Juni 2004

Telah diperiksa dan disetujui oleh,

Dosen pembimbing:

Hans J. Wospakrik PhD

NIP. 130676126

ii

ABSTRAK

Dalam tugas akhir ini diberikan beberapa solusi klasik persamaan medan Yang-

Mills SU(N), dalam ruang–waktu Euclidean, yang berkaitan dengan solusi

instanton. Pertama dibahas medan Yang-Mills bersama penurunan persamaan

geraknya dan dipaparkan konstruksi solusi instanton untuk grup gauge SU(2)

dengan muatan topologi Q = 1. Solusi ini kemudian diperluas untuk mendapatkan

solusi multi-instanton (Q > 1) SU(2) ‘t Hooft. Setelah itu diperkenalkan

konstruksi instanton ADHM untuk sembarang grup gauge, yang dapat digunakan

untuk memperoleh solusi instanton yang paling umum. Terakhir, dipecahkan

kendala ADHM untuk memperoleh solusi umum instanton dengan muatan

topologi Q = 2 dari grup gauge U(N).

iii

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN........................................................................... i ABSTRAK................................................................................................... ii DAFTAR ISI................................................................................................iii KATA PENGANTAR................................................................................... v BAB I PENDAHULUAN......................................................................... 1

1.1 Latar belakang masalah...................................................... 1

1.1.1 Teori medan gauge...................................................1

1.1.2 Instanton................................................................... 3

1.2 Sistematika penulisan......................................................... 5

BAB II MEDAN YANG-MILLS: TEORI GAUGE NON-ABELIAN.......... 6 2.1 Simetri global dan lokal Abelian.......................................... 7

2.2 Konstruksi invariansi gauge non-Abelian lokal.................. 10

2.3 Persamaan gerak dan muatan Noether medan Yang-

Mills................................................................................... 18

2.4 Rangkuman....................................................................... 22

BAB III SOLUSI INSTANTON MEDAN YANG-MILLS......................... 24

3.1 Syarat batas untuk fungsi aksi S berhingga...................... 25

3.2 Konstruksi fungsi aksi S minimum.................................... 27

3.3 Muatan topologi................................................................. 28

3.4 Self-dual dan antiself-dual................................................. 32

3.5 Solusi eksplisit instanton BPST......................................... 33

BAB IV SOLUSI MULTI-INSTANTON................................................... 38

4.1 Solusi Q-instanton SU(2) 't Hooft...................................... 38

4.2 Parameter total solusi Q-instanton.................................... 41

4.3 Konstruksi Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin (ADHM)............ 42

4.4 Solusi Q-instanton SU(2) ADHM....................................... 48

4.5 Interaksi instanton............................................................. 51

iv

BAB V KONSTRUKSI ADHM UNTUK GRUP GAUGE U(N)............... 53 5.1 Deskripsi solusi Q-instanton U(N) ADHM......................... 53

5.2 Parameter kendala Q = 2 instanton U(N) ADHM.............. 58

5.3 Kendala solusi Q = 2 instanton U(N) ADHM..................... 59

5.4 Solusi Q = 2 instanton U(N).............................................. 66

BAB VI INTERPRETASI DAN APLIKASI FISIS INSTANTON............. 74 BAB VII KESIMPULAN........................................................................... 76

APENDIKS A........................................................................................... 77

APENDIKS B........................................................................................... 84 APENDIKS C........................................................................................... 90 DAFTAR PUSTAKA................................................................................ 95

v

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur yang terbaik hamba panjatkan hanya bagi Yesus Kristus di

surga, yang selalu setia menjagaku. Setelah melewati detik demi detik yang

berharga, akhirnya saya dapat menyelesaikan tugas akhir ini, untuk meraih gelar

pertamaku, SSi.

Pada saat pertama kali Pak Hans menantang saya untuk mengerjakan topik

instanton, saya kurang tertarik, sebab dari dulu saya ingin mencoba relativitas

umum. Namun beliau melalui cerita-ceritanya, meyakinkan saya bahwa topik ini

sangatlah menarik, dan kenyataan bahwa belum ada mahasiswa yang pernah

mengambil topik ini menjadi pemicu tambahan bagi saya. Seringnya mengabaikan

nasehat “jangan pernah menunda pekerjaan”, membuat saya banyak menyiakan-

nyiakan waktu untuk hal-hal yang menghambat proyek ini. Saya mulai bekerja

keras untuk menyelesaikan tugas akhir ini pada bulan Maret dan dua bulan

terakhir adalah saat-saat yang sangat menguras kekuatan dan penuh konsentrasi;

sendirian di laboratorium sampai subuh menjadi kenangan yang tak terlupakan.

Pada kesempatan ini, dari hati yang terdalam, saya ingin mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Bapak Hans J. Wospakrik PhD, selaku dosen pembimbingku. Saya

hanyalah perpanjangan tangannya sehingga tugas akhir ini dapat tercipta.

Beliau tidak hanya sekedar menjadi dosen pembimbing, tetapi lebih dari

itu, kesabarannya, pengetahuannya yang luar biasa, dan gaya bahasanya

yang khas, membuat saya betah untuk mendengarkan kuliahnya dan

memberanikan diri untuk menanyakan segala hal yang tidak aku mengerti.

2. Dr. rer. nat. Bobby E. G., dan Dr. rer. nat. Freddy H., yang bersedia

meluangkan waktunya untuk menguji saya dalam sidang sarjana, serta

memberikan kritik dan saran demi kesempurnaan tugas akhir ini.

vi

3. Ayah dan Ibuku tercinta, atas kasih sayang yang diberikan dan didikannya

yang menjadikan saya anak yang tangguh, serta adik-adikku tersayang:

Lola, Ester, Tyson, Natal dan Ingot. Kalian adalah sumber kekuatan dan

semangat bagiku.

4. Bapak Freddy F. Zen DSc., selaku ketua KBK fisika teoretik, atas

penggunaan semua fasilitas di laboratorium.

5. Dosen-dosen yang telah memberikan kesempatan bagi saya untuk menjadi

asisten mata kuliahnya yaitu: Bapak Dr. Eng. Alamta S., Doddy S. PhD,

Hans J. W. PhD dan Ibu Siti N. K. MSc.

6. Bapak Satria Bijaksana PhD, yang baik. Beliau yang di setiap perjumpaan

tak pernah lupa memberikan semangat dan meyakinkan saya, untuk

mengejar wisuda Juli.

7. Suharyo S. (FSU), Hendra Kwee (WMC) dan Bapak Rahmat H, PhD

(ITB), yang selama ini menjadi penolong untuk mencarikan paper-paper

yang saya butuhkan.

8. Prof. E. F. Taylor (MIT), for a great discussion and also for his foc book.

9. Mahluk-mahluk sependeritaan di indekos: Brill, Paul, Sudi dan Rudi.

Kalian membuatku serasa dekat dengan keluarga.

10. Alex, saudara PA pertama, sebagai sahabat saya.

11. Rizal, saudara PA kedua, mauliate godang lae atas pinjaman printernya.

12. Elisa, Jong, Marojahan, dan Pahala sebagai sesama manusia yang

mengajariku bagaimana menjadi seorang teman yang baik.

13. Mahasiswa-mahasiswa yang bersamaku melewati masa-masa kuliah di

fisika: Ferensa, Hengki, James, Willy, Yonan, Zainul, dll.

14. Himafi, khususnya himafi 2000, yang banyak membantu mengembangkan

bakat sepakbolaku.

15. Teman-teman yang telah meluangkan waktunya untuk meramaikan sidang

sarjanaku: Dhiaurahman, Hijrah, Reza, Ronggo, Topan dan Yudi.

16. Kolega mahasiswa di KBK fisika teori: Ardian, Pak Ari, Azrul, Sigit, dll.

17. Pak Lomo dan Ibu Silvi sebagai penguasa perpustakaan, yang banyak

membantu saya mencari kitab-kitab fisika.

vii

18. Mr. Yeye dan pasukannya di TU Fisika ITB.

19. Dirjen Pendidikan Tinggi (DIKTI) yang memberikan Beasiswa TPSDP

selama 2 tahun berturut-turut.

20. Musisi-musisi yang telah mengisi hari-hariku dengan lagu-lagu yang indah

selama pembuatan tugas akhir ini.

21. Siapapun yang lupa disebutkan .

Terakhir, harapanku ini bukanlah karya yang pertama dan terakhir, tetapi

permulaan untuk menggapai cita-cita: AKU INGIN MENJADI SEORANG

FISIKAWAN. Amin.

Bandung, Juni 2004

F. Ali Mallatang L. T.

1

BAB I

PENDAHULUAN

It’s a beginning. It’s an end.

I leave to you the problem of ordering your perceptions

and making the journey from one to the other.

-- from Empire Star by Samuel R. Delaney

1.1 Latar belakang masalah 1.1.1 Teori medan gauge

Menurut teori medan kuantum, interaksi dua partikel berlangsung melalui

pertukaran partikel perantara interaksinya. Ini seibarat dua anak kecil yang

bermain riang dengan melempar-tangkapi sebuah bola (pejal). Semakin ringan

bola, semakin jauh jarak lemparannya; sebaliknya, semakin berat bola, semakin

pendek jarak lemparannya. Untuk interaksi elektromagnetik, partikel perantaranya

disebut foton. Karena jangkauannya tak terbatas, maka sejalan dengan kias bola

tadi, massa foton adalah nol. Sebaliknya, karena jangkauan interaksi lemah sangat

pendek, maka massa partikel perantaranya sangat besar, sekitar 80 kali massa

proton. Partikel perantara ini dinamai boson-vektor W (untuk weak: lemah).

Gagasan partikel perantara W ini dikemukakan oleh fisikawan Swedia, Oscar

Klein, pada tahun 1938.

Karena muatan listrik partikel yang berinteraksi secara elektromagnetik tidak

berubah, maka foton tak bermuatan listrik. Sebaliknya, pada pemancaran sinar

beta, yang dikendalikan oleh interaksi lemah, inti atom berubah nomor atom,

berubah muatan listrik. Ini berarti, partikel W bermuatan listrik positif maupun

negatif , yang berturut-turut disebut W-plus, dan W-min. Baik partikel W maupun

2

foton, ketiga-tiganya tergolong keluarga partikel boson vektor. Karena foton

secara tunggal terumuskan melalui teori elektromagnetik Maxwell, direka bahwa

partikel W pun demikian. Memadukan kedua partikel W ini ke dalam satu

rumusan teori medan semirip elektromagnetik ternyata tidaklah semudah yang

diperkirakan.

Upaya ini barulah membuahkan hasil pada tahun 1954 lewat tangan fisikawan AS

keturunan Cina, Chen Ning Yang (1922-...) beserta rekannya, Robert Mills [4].

Dalam rumusan ini, partikel perantara A, semirip W, tersusun dalam suatu

pernyataan matriks, yakni suatu susunan petak bilangan persegi. Untuk rumusan

dengan matriks petak 22× , medan boson vektornya paling sedikit berjumlah 3

buah: A-plus, A-min, dan A-netral. Teori ini kemudian dikenal sebagai teori

medan Yang-Mills.

Baik teori medan elektromagnetik maupun Yang-Mills, kedua-duanya memiliki

sifat kesetangkupan (simetri) gauge yang berarti, interaksi sistemnya tak berubah

terhadap transformasi gauge medan foton, A, dan partikel yang berinteraksi.

Ditilik dari sifat ini, kedua teori medan ini digolongkan dalam teori medan gauge.

Teori medan gauge merupakan salah satu revolusioner dalam fisika, sebagai

“tandingan” relativitas dan mekanika kuantum. Munculnya teori medan Yang-

Mills, memberikan inspirasi untuk pertama kalinya kepada para fisikawan,

bagaimana cara membangun teori yang lebih fundamental. Kesuksesan teori

medan gauge Yang-Mills dalam memberikan gabungan interaksi lemah dan

elektromagnetik – model Weinberg-Salam ),1(U)2(SU × dan memberikan teori

fundamental interaksi kuat – Kuantum Elektrodinamika berdasarkan grup gauge

SU(3), membangkitkan kepercayaan umum bahwa medan gauge adalah konsep

kunci dalam menjelaskan gaya fundamental dari alam ini. Kini dipahami, setiap

interaksi alam diperantarai oleh suatu medan gauge.

3

1.1.2 Instanton

Persamaan yang mengatur medan gauge adalah non-linear dan dikenal sebagai

persamaan Yang-Mills. Teori medan Yang-Mills memberikan kontribusi yang

sangat banyak dalam perkembangan fisika partikel. Namun, pada saat ditemukan,

orang jarang atau kurang tertarik untuk mencari solusi persamaan gerak Yang-

Mills. Bahkan Yang dan Mills sendiri tidak “menoleh” untuk mencari solusi dari

persamaan gerak medan yang mereka temukan itu. Dua puluh tahun berlalu,

namun solusi dari persamaan ini masih belum ditemukan. Penantian lama ini,

akhirnya terbayar dengan ditemukannya solusi dari persamaan gerak self-dual

Yang-Mills Euclidean oleh Belavin, Polyakov, Schwartz dan Tyupkin (BPST) [2]

pada tahun 1975. Oleh mereka solusi ini dinamakan pseudoparticle, yang oleh ‘t

Hooft nantinya disebut instanton. Solusi BPST adalah solusi 1-instanton untuk

SU(2) dengan 5 buah parameter. Tak lama setelah itu, mulai dari ‘t Hooft, Witten,

serta fisikawan dan matematikawan besar lainnya terjun untuk menangani

masalah ini. Di tahun yang sama, ‘t Hooft [1] pun memperoleh solusi Q-instanton

(multi-instanton) untuk grup SU(N). Dia menemukan ansatz yang dapat

melinearisasi persamaan gerak Yang-Mills, sehingga persamaannya dapat lebih

mudah diselesaikan. Ansatz ini diperoleh dengan mentransformasikan gauge

solusi BPST. Setahun kemudian, Edward Witten [7] juga menemukan solusi

multi-instanton SU(N), yang invarian dibawah rotasi spasial (simetri bola) yang

artinya semua instantonnya berkumpul pada satu titik. Akan tetapi, solusi ini

kurang mendapat perhatian dibandingkan solusi ‘t Hooft yang lebih umum dan

mudah.

Berbeda dari Witten, solusi ‘t Hooft adalah untuk Q-instanton, yang tersebar

dalam ruang Euclidean, namun masih merupakan solusi khusus, karena jumlah

parameter solusi yang disyaratkan oleh grup SU(2), yaitu sebanyak (8Q – 3) = 13

buah, untuk Q = 2 sebagai misal, belum dipenuhi. Karena, solusi ‘t Hooft hanya

memiliki 10 buah parameter. Artinya ada kehilangan 3 buah parameter, yang

tentunya hal ini disebabkan oleh keterbatasan ansatz yang diujikan. Solusi ini

4

kemudian diutak-atik oleh Jackiw dan Rebbi [5] pada tahun 1977 dengan

memeriksa sifat konformalnya yang menghasilkan fungsi ansatz baru (generalisasi

dari fungsi ansatz ‘t Hooft) yang memiliki 5Q + 4 = 14 buah parameter. Ternyata

parameter yang didapat malah lebih banyak dari yang diharapkan. Solusi multi-

instanton Witten ternyata bahkan lebih “parah” karena solusinya tidak

menyertakan parameter posisi. Di sinilah letak permasalahan yang dihadapi dalam

pencarian solusi instanton, yaitu bagaimana membangun solusi instanton untuk

grup tertentu dan memenuhi jumlah parameter solusi yang disyaratkan. Solusi

yang disinggung terakhir ini adalah “solusi umum” dari persamaan gerak medan

Yang-Mills.

Selain solusi ‘t Hooft dan Witten di atas masih terdapat banyak solusi lain, namun

dari kesemuanya ini tidak satupun yang memberikan solusi umum. Baru pada

tahun 1978, matematikawan Atiyah, Drinfeld, Hitchin, dan Manin (ADHM) [13]

mengusulkan konstruksi lengkap dalam membangun solusi instanton untuk semua

medan Yang-Mills Euclidean self-dual. Secara khusus, mereka menemukan

kumpulan lengkap medan gauge self-dual dari bermacam-macam muatan topologi

Q. Konstruksi mereka, yang bekerja untuk bermacam-macam grup gauge SU(N),

SO(N) atau Sp(N), tetapi tidak untuk grup tertentu, mereduksi persamaan Yang-

Mills self-dual menjadi sekumpulan kondisi aljabar (kendala ADHM) yang lebih

mudah untuk diselesaikan sebab hanya mengandung aljabar linear. Kecanggihan

dari metoda ADHM terbukti, dimana dengan masukan tertentu (data ADHM),

dapat diturunkan solusi multi-instanton ‘t Hooft di atas. Solusi ini jelas juga masih

merupakan solusi khusus SU(2). Untuk mendapatkan solusi yang lebih umum

dibutuhkan masukan untuk data ADHM yang lebih tepat sehingga parameter yang

disyaratkan dapat terpenuhi. Inilah kendala yang sampai sekarang masih belum

teratasi, yang mengimplikasikan bahwa, solusi umum dari persamaan gerak

medan Yang-Mills belum ditemukan.

5

1.2 Sistematika penulisan

Secara umum tugas akhir ini terdiri dari 2 bagian besar, yaitu: yang pertama teori

medan gauge non-Abelian (medan Yang-Mills), dalam Bab II; dan kedua solusi

Euclidean (instanton) persamaan medan Yang-Mills yang akan dibahas dalam bab

III-VI.

Bab I berisi pendahuluan dan sistematika penulisan, supaya pembaca dapat lebih

mengerti permasalahan yang akan dibahas dalam tugas akhir ini. Dalam bab II,

kasus yang sudah dikenal yaitu teori elektromagnetik, digunakan sebagai

pemandu pedagogis untuk pembangunan teori Yang-Mills. Selanjutnya

diturunkan persamaan gerak untuk teori gauge non-Abelian dan dibahas beberapa

kuantitas menarik dari teori Yang-Mills. Pembangunan solusi persamaan gerak

medan Yang-Mills akan dimulai pada Bab III. Bab ini memuat konfigurasi medan

Yang-Mills Euclidean lengkap dengan syarat batasnya dan konsep self-dual dan

antiself-dual yang nantinya akan dimanfaatkan untuk menurunkan solusi 1-

instanton untuk kasus grup SU(2) mengikuti solusi BPST.

Dalam Bab IV, akan dipaparkan solusi multi-instanton SU(2) yang diperoleh dari

transformasi solusi instanton BPST pada bab II. Dalam bab ini juga, akan

diperkenalkan deskripsi ADHM untuk membangun solusi multi-instanton dan

sebagai contoh, dengan menggunakan metoda ini akan diturunkan kembali solusi

multi-instanton SU(2) ‘t Hooft. Aplikasi lebih lanjut dari metoda ini dipaparkan

dalam Bab V yang akan membahas konstruksi multi-instanton ADHM untuk grup

U(N) dengan muatan topologi Q = 2 dan menurunkan secara eksplisit solusinya.

Pada Bab VI dibahas beberapa aplikasi fisis dari solusi instanton. Bab VII yang

merupakan bab terakhir, berisi tentang kesimpulan-kesimpulan tentang konstruksi

multi-instanton.

Notasi-notasi umum yang digunakan dalam tugas akhir ini, serta penurunan yang

lebih terinci dari perhitungan-perhitungan, akan diberikan pada bagian apendiks.

6

BAB II

MEDAN YANG-MILLS: TEORI GAUGE

NON-ABELIAN

We shall go on seeking [truth] to the end,

so long as there are men on the earth.

We shall seek it in all manner of strange ways;

some of them wise, and some of them utterly foolish.

But the search will never end.

-- Arthur Machen “With the Gods in Spring”

Generalisasi dari invariansi gauge Abelian yang dikenal dalam teori medan

elektromagnetik ke grup non-Abelian merupakan ide yang sangat menarik yang

pertama kali diusulkan oleh C. N. Yang dan R. Mills pada tahun 1954 [4]. Mereka

menunjukkan bahwa konsep invariansi fasa (parameter transformasi gauge) yang

global tidak konsisten dengan prinsip yang mendasari teori medan interaksi lokal.

Sebagai contoh, dalam formalisme spin isotopik untuk nukleon, terdapat dua

keadaan isospin: “atas (up)” dan “bawah (down)”, yang masing-masingnya

dikaitkan dengan proton (p) dan neutron (n). Kesimetrian isospin memberi

kebebasan dalam memilih keadaan yang mana yang berkaitan dengan proton dan

neutron. Menurut konvensi, isospin-atas dipilih untuk proton sedangkan neutron

sebaliknya. Akan tetapi pemilihan ini bersifat global. Bila kesimetrian isospin ini

diterapkan secara lokal, untuk sembarang titik ruang-waktu, maka konvensi tadi

tak lagi berlaku, mengingat pengubahan fasa dalam ruang internal isospin kini

bergantung pada titik-titik ruang-waktu. Dengan demikian konsep invariansi

isospin global perlu diperluas menjadi invariansi isospin lokal.

7

2.1 Simetri global dan lokal Abelian

Untuk membahas generalisasi transformasi gauge global ke lokal ditinjau sebuah

multiplet medan partikel yang terdiri atas n-komponen:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

ψ

ψψ

ψM

. (2.1.1)

Untuk kejelasannya, berikut diambil ψ sebagai sebuah medan spinor Dirac yang

kerapatan Lagrangiannya adalah:

ψψ−ψ∂γψ= µµ mi0L ; µ = 0, 1, 2, 3 (2.1.2)

dimana γµ adalah matriks Dirac (lihat apendiks A2)

µνµννµ η=γγ+γγ dengan )1 ,1 ,1 ,1(diagonal −−−=ηµν (2.1.3)

dan 0γψ=ψ + sedangkan m adalah massa partikel. (Dalam bahasan selanjutnya

istilah Lagrangian dimaksudkan untuk rapat Lagrangian, kecuali ada penjelasan

tambahan).

Lagrangian di atas invarian di bawah transformasi fasa global:

)x(e)x()x(

)x(e)x()x(

ig

fasa

ig'

' +α−++

α

ψ=ψ→ψ

ψ=ψ→ψ (2.1.4)

dimana g adalah sebuah konstanta tak berdimensi, sedangkan α adalah parameter

transformasi, yang tak bergantung pada koordinat ruang-waktu. Perhatikan bahwa

dalam transformasi (2.1.4) semua komponen medan ψ dikalikan dengan bilangan

kompleks modulus satuan: Λ = eigα yang sama. Jenis transformasi ini disebut

bersifat: Abelian. (Akan diperlihatkan kelak bahwa g berkaitan dengan konstanta

kopling medan partikel dengan medan interaksi, sebagai misal: muatan listrik

untuk kasus interaksi elektromagnetik).

8

Ide dasar dari gauging adalah merumuskan ulang Lagrangian di atas agar invarian

di bawah transformasi fasa lokal untuk mana α bukan sebuah parameter global

tetapi sebuah fungsi skalar yang bergantung pada koordinat ruang-waktu xµ, yaitu:

( ) )x(e)x()x(

)x(e)x()x( xig

)x(ig'

' +α−++

α

ψ=ψ→ψ

ψ=ψ→ψ. (2.1.5)

Di bawah transformasi pers. (2.1.5) didapatkan

)x()]x(ig[e)x( )x(ig ψα∂+∂→ψ∂ µµα

µ

sehingga

)x()x()x(g

mi

0

'''''00

α∂ψγψ−=

ψψ−ψ∂γψ=→

µµ

µµ

L

LL. (2.1.6)

Tampak bahwa Lagrangian L tak lagi invarian terhadap transformasi fasa lokal

akibat adanya suku kedua pada pers. (2.1.6) yang mengandung ∂µ. Untuk

memulihkan invariansi Langrangian L, operator turunan ∂µ diperluas dengan

memperkenalkan operator turunan baru Dµ yang di bawah transformasi fasa lokal

bertransformasi secara kovarian sebagai berikut:

)x(De)x(D)x(D )x(ig'' ψ=ψ→ψ µα

µµ . (2.1.7)

Operator Dµ ini dinamakan turunan kovarian. Dengan demikian, dalam operator

Dµ, Lagrangian awal L0 teralihkan menjadi:

ψψ−ψγψ≡→ µµ mDi0 LL , (2.1.8)

yang adalah invarian di bawah transformasi (2.1.5) dan (2.1.7). Operator Dµ di

atas didefinisikan melalui ansatz berikut:

)x(igAD µµµ +∂= (2.1.9)

dimana Aµ(x) adalah sebuah medan kompensasi real yang diperkenalkan untuk

menghilangkan suku kedua pada pers. (2.1.6).

Dari persyaratan kovariansi pers. (2.1.7), yang secara terurai adalah:

[ ] [ ]

[ ] [ ]ψ+ψ∂=ψ+ψ∂+ψα∂

ψ+∂=ψ+∂

µµαα

µµµ

µµαα

µµ

)x(igAe e)x(igA)x(ig

)x(igAee)x(igA )x(ig)x(ig'

)x(ig)x(ig'

(2.1.10)

diperoleh sifat transformasi untuk Aµ(x) sebagai berikut:

9

)x(g)x(A)x(A' α∂−= µµµ . (2.1.11)

Dengan demikian Lagrangian (2.1.8), dalam Aµ(x), adalah:

[ ]

)x(Ag

m)x(igAibaru

µµ

µµµ

ψγψ−=

ψψ−ψ+∂γψ=

L

L (2.1.12)

yang jelas invarian di bawah transformasi lokal simultan1:

)x(g)x(A)x(A)x(A

e)x()x('

)x(ig'

α∂−=→

ψ=ψ→ψ

µµµµ

α

. (2.1.13)

Perhatikan kemunculan konstanta g dalam pers. (2.1.12) pada suku interaksi

antara arus partikel ψγψ µ dengan medan gauge Aµ(x) yang memperlihatkan

secara eksplisit perannya sebagai konstanta kopling.

Untuk merumuskan suku kinetik dari medan Aµ(x), yang mempertahankan

invariansi gauge pers. (2.1.13), didefinisikan besaran tensor antisimetri berikut:

µννµνµµν ∂−∂== AA]D,D[ig1F (2.1.14)

yang adalah invarian terhadap transformasi gauge (2.1.13). Dengan demikian,

Lagrangian baru untuk medan Aµ berbentuk sebagai berikut:

µνµν−= FF

41

L (2.1.15)

Faktor 1/4 berkaitan dengan definisi suku kinetik )AA(21 00K µµ∂∂=L .

Perhatikan bahwa Lagrangian (2.1.15) sesuai dengan Lagrangian teori

elektromagnetik Maxwell (lihat apendiks A1).

Sekarang, dapat dibangun Lagrangian terpadu untuk interaksi antara medan

potensial elektromagnetik Aµ (berspin 1) dan medan spinor Dirac (berspin ½),

yakni:

444 3444 2143421 DIRAC

MAXWELL

mDiFF41

ψψ−ψγψ+−= µµµν

µνL . (2.1.16)

1 Pers. (2.1.13) membentuk transformasi gauge U(1). Medan tak bermassa foton Aµ dikenal sebagai medan gauge untuk interaksi elektromagnetik yang harus diperkenalkan agar terhadap transformasi persamaan tetap invarian.

10

2.2 Konstruksi invariansi gauge non-Abelian lokal

Dalam pasal sebelumnya telah ditunjukkan bagaimana membangun Lagrangian

yang invarian terhadap transformasi fasa (gauge) Abelian yang lokal. Sekarang

prosedur yang sama dilakukan untuk grup simetri Lie yang non-Abelian. Tinjau

kembali Lagrangian L yang secara terinci dituliskan sebagai berikut:

cc

cc mi ψψ−ψ∂γψ= µ

µL , (2.2.1)

dimana: c = 1, 2,..., n adalah indeks komponen multiplet (koordinat internal).

Sekarang ditinjau transformasi fasa non-Abelian global, yang melibatkan

komponen multiplet medan ψ sebagai berikut:

kck

'cc U)x()x( ψ=ψ→ψ , (2.2.2a)

atau secara intrinsik:

ψ=ψ→ψ U)x()x( ' , (2.2.2b)

dengan )U(U ck= adalah matriks )nn( × . Agar Lagrangian (2.2.1) invarian di

bawah transformasi global (2.2.2) maka U harus memenuhi sifat uniter:

1UU1UUUU −+++ =→== (2.2.3)

Dengan demikian, U adalah elemen grup uniter (lihat apendiks B), U(N) yakni

JJTigi eeU ωα= (2.2.4)

dimana TJ adalah matriks Hermitian traceless sebanyak (N2 - 1) buah dari aljabar

Lie SU(N), sedangkan ωJ, adalah parameter berkaitannya, dan α adalah parameter

subgrup U(1). Sekarang pers. (2.2.1) diperluas, untuk memasukkan invariansi di

bawah transformasi lokal dalam bentuk pers. (2.2.2), yaitu,

)x()x(U)x()x( ' ψ=ψ→ψ (2.2.5)

dengan

JJ T)x(ig)x(i ee)x(U ωα= . (2.2.6)

Karena U bergantung pada x, maka suku turunan ∂µψ tak lagi bertransformasi

secara kovarian, yakni:

11

)x()x(U

)x()x(U)x()]x(U[ )]x()x(U[)]x([)x( '

ψ∂≠

ψ∂+ψ∂=

ψ∂=ψ∂→ψ∂

µ

µµ

µµµ

. (2.2.7)

Sebagai akibatnya, Lagrangian di atas tak lagi invarian.

Sekarang bagaimana menggeneralisasi turunan ∂µψ agar invariansi L

dipertahankan. Sejalan dengan rumusan pada kasus Abelian, difinisikan turunan

kovarian dengan syarat bahwa

)x(D)x(U)x()x(UD

)x(D)x(U)x(D

)x(D)x(U])x(D[ )x(D

'

''

'

ψ=ψ

ψ=ψ

ψ=ψ→ψ

µµ

µµ

µµµ

(2.2.8)

Dalam kasus ini perlu ditekankan bahwa Dµ adalah matriks nn × sehingga dalam

pernyataan komponen, pers. (2.2.8) adalah

[ ] [ ] )x()D()x(U)x(D ccb

baa

ψ→ψ µµ . (2.2.9)

Jadi, Lagrangian baru yang invarian secara lokal di bawah U(N) adalah:

ψψ−ψγψ= µµ mDi'L (2.2.10)

Masalah berikutnya adalah merumuskan pernyataan eksplisit dari Dµ. Karena Dµ

adalah generalisasi dari ∂µ, maka seperti pada kasus Abelian, diambil ansatz:

)x(igAID µµµ +∂= (2.2.11)

dimana Aµ(x) adalah matriks Hermitian2 NN× karena i∂µ adalah Hermitian. Jadi

Aµ(x) adalah elemen dari aljabar Lie U(N), sehingga dapat ditulis sebagai berikut:

JJ T)x(A1)x(B)x(A µµµ += . (2.2.12)

Syarat kovariansi (2.2.8) mengimplikasikan bahwa

2 Kita perkenalkan medan vektor )x(A J

µ sebanyak yang dibutuhkan untuk membangun rapat Lagrangian yang invarian di bawah transformasi gauge lokal yang ditentukan oleh sudut αJ(x). Maka, )x(A J

µ akan memberikan analogi foton ketika medannya dikuantisasi, namun karena struktur grup non-Abelian yang lebih rumit kita akan mendapatkan bahwa akan ada lebih dari satu medan gauge boson yang diperlukan (indeks J), dan itulah sifat dari “foton non-Abelian” yang kemungkinan akan sangat berbeda dari foton yang biasa.

12

[ ] [ ]

[ ]ψ+ψ∂=ψ+ψ∂+ψ∂

ψ+∂=ψ+∂

µµµµµ

µµµµ

)x(iAU)x(A)(U)U(

)x(iAUU)x(iA '

'

. (2.2.13)

Bandingkan ruas kiri dan kanan pers. (2.2.13), dan gunakan sifat uniter (2.2.3),

diperoleh:

[ ] )x(U)x(A)x(U)x(U)x(iU)x(A ' +µ

+µµ +∂−= . (2.2.14)

Dapat diperiksa bahwa medan Bµ(x) dan )x(AJµ bertransformasi secara terpisah.

Dengan mengambil trace dari pers. (2.2.14), kita peroleh

[ ] [ ] [ ]JJJ'J' T)x(A1)x(BTr)x(U)x(UiTrT)x(A1)x(BrT µµ+

µµµ ++∂−=+

(Tr TJ = 0) sehingga,

[ ] [ ]

[ ] )x(NB)x(U)x(UiTr)x(NB

1)x(BTr)]x(U)[x(UiTr1)x(BTr '

'

µ+

µµ

µ+

µµ

+∂−=

+∂−= (2.2.15)

atau

)x(B)]x(U)[x(UTrNi)x(B'

µ+

µµ +∂−= (2.2.16)

Pers. (2.2.16) dapat ditulis ulang sebagai berikut:

[ ]

)x(B)x(

)x(B)x(iNNi)x(B'

µµ

µµµ

+α−∂=

+α∂−−= (2.2.17)

yang tak lain adalah transformasi gauge Abelian U(1) yang diperoleh pada pasal

2.1.

Berikut tinjau “transformasi gauge” infinitesimal dari pers. (2.2.6) yakni:

L+ω+= JJTi1)x(U (2.2.18)

dengan (ωJ)2 ≈ 0. Hingga orde ωJ, pers. (2.2.14) menjadi:

13

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) [ ]

[ ] )x(A)x(A,TiT

T)x(A)x(ATi)x(ATTiT

)x(ATT

T)x(Ai)x(ATi)x(ATiTi

Ti1)x(ATi1Ti1Ti1i)x(A

KKBB

KKKKJKJKK

KJKJ

KKJJKKJJ

KKJJKKJJ'

µµµ

µµµ

⟨⟨

µµ

µ⟨⟨

µµµµ

µµµ

+ω+ω∂−=

−ω++ω∂ω−ω∂−=

ωω+

ω−ω++ω∂−ω+=

ω−ω++ω−∂ω+−=

43421

321

jadi

( ) ( ) ( ) [ ] ( )2KKKK' O)x(A,TiTxAxAxA ω+ω+ω∂−=−=δ µµµµµ (2.2.19)

Kalikan pers. (2.2.19) dengan TL dan ambilkan tracenya memberikan

[ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )2LKKKKLLKK

2LKKKLKLKKL

OT)x(A,TTri21TTTr)x(A

OT)x(A,TTriTTTrTT)x(AT)x(BTr

ω+ω+ω∂δ−=δ

ω+ω+ω∂−=δ+δ

µµµ

µµµµ

Gunakan sifat trace

( ) KLLK

21TTTr δ= , (2.2.20)

maka didapatkan transformasi infinitesimal dari Aµ sebagai berikut:

[ ] ( )2LKKLL OT)x(A,TTr)x(i2)x()x(A ω+ω+ω−∂=δ µµµ . (2.2.21)

Suku trace di ruas kanan dapat dihitung dengan menggunakan kenyataan bahwa

TJ memenuhi aljabar Lie SU(N):

[ ] LJKLKJ TifT,T = , (2.2.22)

dimana fJKL adalah konstanta struktur. Dengan menggunakan sifat siklis dari trace

yakni:

)LJK(Tr)KLJ(Tr)JKL(Tr == , (2.2.23)

maka

[ ] [ ][ ]

[ ] ( )MNLKMN

KL

LKKL

LKLKLK

TTTrf)x(iA

T,T)x(ATr

TT)x(ATT)x(ATr

TT)x(AT)x(ATTrT)x(A,TTr

µ

µ

µµ

µµµ

=

=

−=

−=

(2.2.24)

atau

14

[ ] LKMMLK f)x(A2iT)x(A,TTr µµ = . (2.2.25)

Jadi, diperoleh:

( )2LKMMKLL Of)x(A)x()x()x(A ω+ω−ω−∂=δ µµµ . (2.2.26)

Variasi ( )xALµδ di atas dapat dituliskan dalam pernyataan turunan kovarian di

bawah transformasi SU(n), yakni:

],A[iD ω+ω∂=ω µµµ . (2.2.27)

Diuraikan dalam generatornya pers. (2.2.27) menjadi:

[ ][ ]

( ) LKMLMKL

LKMLMKLL

MKMKLL

MMKKLLL

TfA

TfiAT

T,TiAT

T,TAiT]D[

ω+ω∂=

ω+ω∂=

ω+ω∂=

ω+ω∂=ω

µµ

µµ

µµ

µµµ

(2.2.28)

Bandingkan ekspresi pers. (2.2.26) dan (2.2.28) diperoleh

( ) ω−≅δ µµ DxA' (2.2.29)

yang menunjukkan bahwa meskipun Aµ(x) tidak bertransformasi di bawah SU(N)

oleh karena suku U∂µU+, namun perubahan infinitesimal iya sebab dapat

dinyatakan dalam suku turunan kovarian.

Sejauh ini Lagrangian telah diperluas supaya memiliki simetri U(N) lokal.

Persyaratannya adalah diperkenalkannya N2 medan vektor baru Aµ(x) untuk

membangun turunan kovarian. Agar memberikan eksistensi untuk medan ini, suku

kinetik Aµ(x) dan Bµ(x) harus dimasukkan, dimana diharapkan tidak merusak

simetri lokal awal. Kiat dalam membangun suku kinetik yang invarian di bawah

pers. (2.2.14), sejalan dengan kasus Abelian, adalah dengan memperkenalkan

besaran tensor antisimetri

]D,D[ig1F νµµν ≡ (2.2.30)

yang bertransformasi kovarian seperti halnya Dµ, yaitu

15

)x(U)x(F)x(U)x(F)x(F ' +µνµνµν =→ . (2.2.31)

Dengan menggunakan ekspresi Dµ dalam representasi fundamental pers. (2.2.11)

dan mengabaikan medan Bµ(x), akan diperoleh

ψ+∂−∂=

ψ−∂−∂=

ν↔µ−−ψ∂+ψ∂+ψ∂+ψ∂∂=

ψ+∂+∂=ψ

νµµννµ

νµµννµ

νµνµµννµνµ

ννµµµν

]A,A[igAA

]A,A[g)AA(igig1

)(AAgigA)](A)A[(igig1

]igA,igA[ig1F

2

2

Dari sini terbaca bahwa3:

]A,A[igAAF νµµννµµν +∂−∂= (2.2.32)

Karena Fµν(x) adalah matriks Hermitian ,NN× maka dengan menggunakan

ekspansi medan Aµ menurut pers. (2.2.12) diperoleh:

[ ] [ ] [ ]

JJ

LLKKJJJJ

TF1B

T)x(A,T)x(AiT)x(A1BT)x(A1BF

µνµν

νµµµνννµµν

+=

++∂−+∂= (2.2.33)

dengan

µννµµν ∂−∂= BBB (2.2.34a)

)x(A)x(Agf)x(A)x(AF LKJKLJJJνµµννµµν −∂−∂= . (2.2.34b)

Tensor Fµν adalah generalisasi Yang-Mills untuk tensor kuat medan

elektromagnetik.

Untuk bahasan selanjutnya akan ditinjau kasus grup gauge SU(N) untuk mana

0B =µ . Dalam hal ini ada beberapa catatan mengenai tensor Fµν, yaitu:

(a) Walaupun Fµν sendiri bukan invarian gauge, tetapi besaran

( ) µνµν

µνµν == J

J FFFFTr2I adalah invarian gauge.

3 Jika definisi turunan kovarian diambil Dµ = ∂µ – igAµ, maka Fµν = ∂µAν - ∂νAµ – ig[Aµ,Aν].

16

(b) Suku massa untuk medan Aµ, yakni Tr(AµAµ) tak diperkenankan karena

tidak invarian terhadap terhadap transformasi gauge lokal.

(c) Komponen µνF tidak semuanya bebas karena memenuhi identitas Bianchi:

0FDFDFD =++ µρσσµρρσµ , (2.2.35)

dimana Dµ bekerja pada Fµν. Identitas ini dapat dipahami karena dari pers.

(2.2.27), Fµν bertransformasi menurut transformasi adjoin dari SU(N),

sehingga berlaku identitas Jacobi untuk turunan kovarian:

0]]D,D[,D[]]D,D[,D[]]D,D[,D[ =++ ρµσµσρσρµ . (2.2.36)

Jadi, dapat disimpulkan bahwa rapat Lagrangian yang invarian di bawah

transformasi gauge non-Abelian lokal, yang memiliki suku kinetik yang sesuai

untuk Aµ(x), adalah:

( )

µνµν

µνµν

−=

−=

JJ

2

2YM

FFg41

FFTrg21

L (2.2.37)

dimana telah digunakan pers. (2.2.20) untuk matriks TJ.

Lagrangian di atas menggeneralisasi Lagrangian Maxwell, dan dapat dilihat

bahwa g tak berdimensi. Dengan menggunakan jabaran JFµν dalam JAµ menurut

pers. (2.2.34) maka Lagrangian (2.2.37) secara terurai adalah:

NMLKJMNJKL

2JLKJKL

JJJJ2

AAAAff4gAAAgf

AA21AA

21Lg

νµνµνµ

νµ

µννµ

νµνµ

−∂+

∂∂+∂∂−= (2.2.38)

Dua suku yang pertama dikenal memiliki tipe yang sama seperti Lagrangian

Maxwell (kecuali untuk penjumlahan). Akan tetapi, 2 suku selanjutnya

menunjukkan bahwa medan vektor memiliki interaksi kubik dan kuadratik

nontrivial diantara mereka.

17

Dari Lagrangian medan Dirac (2.1.2) dan medan Yang-Mills (2.2.37), Lagrangian

total untuk interaksi medan Yang-Mills dan Dirac diberikan oleh:

( )44 344 21

44 344 21 DIRACMILLSYANG

2 DiFFTrg21

ψψψγψ+−= µµ

−

µνµν m-L . (2.2.39)

Selain besaran invarian I = Tr(FµνFµν) pada poin (a) di atas, terdapat pula kuantitas

invarian lainnya, yakni:

ρσµνµνρσ∈= FFTrII (2.2.40)

sebagai kandidat untuk suku kinetik. Bahwa II tak diambil sebagai suku kinetik

adalah karena ia merupakan suatu divergensi murni. Untuk melihat hal ini,

tuliskan:

)AAAiA2AA(Tr4

)]AiAA)(AiAA[(Tr4II

σρνµσρνµµνρσ

σρσρνµνµµνρσ

+∂∂∈=

+∂+∂∈= (2.2.41)

dimana suku AµAνAρAσ telah dieliminasi dengan menggunakan sifat siklik dari

trace. Sekarang

)AAA(Tr31)AAA(Tr σνµ

µνρσρσρνµ

µνρσ ∈∂=∂∈ (2.2.42)

sehingga

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∈∂= νµσνµσ

µνρσρ AAA

3i2AA4II (2.2.43)

gunakan 0A =∂∂∈ νµρµιρσ . Maka akan sampai pada

ρρρσµν

µνρσ ∂=∈ W4)FF(Tr (2.2.44)

dengan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂=∈ νµσνµσ

µνρσρ AAA3i2AATrW . (2.2.45)

Ini berarti dengan mengambil II sebagai suku kinetik dari Lagrangian, maka tidak

dapat diturunkan persamaan gerak untuk potensial vektor Aµ karena II hanya

mempengaruhi aksi pada titik-titik ujungnya.

18

2.3 Persamaan gerak dan muatan Noether medan Yang-Mills

Dalam pasal ini akan diturunkan persamaan gerak dan muatan Noether4 dari

fungsi aksi medan Yang-Mills SU(N), yang berdasarkan Lagrangian (2.2.37)

adalah:

( )∫ µνµν−= FFxTrd

g21S 4

2 . (2.3.1)

Pertama, akan diturunkan persamaan gerak dengan menggunakan metoda prinsip

aksi ekstrim, δS = 0. Variasi δS adalah:

[ ]

( )µνµν

µνµν

µνµν

δ−=

δ+δ−=δ

∫

∫

FFTrxdg1

)F(FF)F(Trxdg21 S

42

42

(2.3.2)

dimana

)(AigAAAigAF ν↔µ−δ+δ+δ∂=δ νµνµνµµν . (2.3.3)

Substitusikan pers. (2.3.3) ke dalam pers. (2.3.2) dan gunakan sifat antisimetri

dari Fµν, diperoleh

( ) [ ] )AigAAAig(FxTrdAFxTrdg2S 44

2νµνµ

µννµ

µν δ+δ+δ∂−=δ ∫∫ . (2.3.4)

Selanjutnya, integrasikan suku pertama secara parsial, dan membuang suku

divergensi total, karena setelah ditransformasikan ke integral permukaan nilainya

nol mengingat δAν = 0, maka pers. (2.3.4) menjadi:

( )νµµν

νµµν

νµν

µ δ+δ+δ∂−−=δ ∫ AAigFAAigFAFxTrdg2S 4

2 . (2.3.5)

Dengan memanfaatkan sifat siklis dari trace (2.2.22 ) diperoleh:

( )[ ]νµµν

ννµ

µνµν

µ δ−δ−δ∂−−=δ ∫ AAigFAFigAAFxTrdg2S 4

2 (2.3.6)

atau,

4 Teorema Noether mengatakan bahwa untuk setiap transformasi global yang membuat rapat Lagrangian invarian, terdapat sebuah kuantitas kekal, yaitu observabel yang nilainya tidak berubah terhadap waktu yang sering disebut sebagai muatan.

19

[ ]( ) νµνµ

µνµ δ−∂=δ ∫ AF,AigFxTrd

g2S 4

2 . (2.3.7)

Dari syarat δS = 0, karena δAν sembarang, maka berlaku:

[ ] 0F,AigF =+∂ µνµ

µνµ (2.3.8)

yang merupakan persamaan gerak medan Yang-Mills yang dicari. Persamaan

gerak ini dapat dinyatakan secara ringkas dalam turunan kovarian sebagai berikut:

0FD =µνµ , (2.3.9)

yang menunjukkan bahwa ia kovarian.

Medan Fµν juga memenuhi identitas Bianchi, (sama halnya dengan Fµν dalam teori

elektromagnetik), yakni:

0F~D =µνµ , (2.3.10)

dimana

ρσµνρσµν ∈= F

21F~ (2.3.11)

adalah dual dari Fµν. Perhatikan bahwa pers. (2.3.10) bukanlah persamaaan gerak,

yakni bersifat kinematik, karena dapat diselesaikan secara trivial dengan

menyatakan Fµν dalam suku potensial Aµ sebagaimana diberikan dalam pers.

(2.2.34b).

Dari persamaaan gerak (2.3.8) dapat didefinisikan arus jν berikut:

[ ]µνµ

µνµ

ν =−∂= F,AigFj . (2.3.12)

Karena 0F =∂∂ µννµ , maka arus jν memenuhi persamaan kontinuitas:

0j =∂ νν . (2.3.13)

Persamaan di atas dapat dituliskan secara terurai menjadi:

0jtj

0jj

0

kk

00

=⋅∇−∂∂

=∂+∂r

20

0jsdxdjdtd

0jxdxdtj

s

30

330

=⋅−

=⋅∇−∂∂

∫∫

∫ ∫rr

r

.

Dengan menganggap arus terbatas, maka berlaku syarat batas:

( ) 0rj →rr

untuk ∞→rr (2.3.14)

maka dengan mengambil jari-jari permukaan s suku permukaan menjadi nol,

sehingga

kekalQ0

dtQd

0xdjdtd 3

0

=→=

=∫ (2.3.15)

Dengan demikian, terdapat muatan kekal (disini dalam bentuk matriks )TQ JJ

,Fd

Fxd

xjdQ

0ii2

0ii3

03

σ−=

∂−=

≡

∫∫∫

(2.3.16)

dimana integral yang terakhir meliputi permukaan pada ruang tak terhingga.

Jelas, arus νj tak bertransformasi secara kovarian di bawah transformasi gauge.

Muatan Q , seperti dapat dilihat dari pers. (2.3.16), bertransformasi sebagai

berikut:

+σ−=→ ∫ UUFdQQ 0ii2' , (2.3.17)

dimana U berada pada permukaan batas di tak hingga. Untuk kasus U bernilai

(matriks) konstan dalam ruang spasial di tak hingga, maka U dapat dikeluarkan

dari dalam integral, sehingga jelas tampak bahwa Q bertransformasi secara

kovarian. Dapat diperlihatkan bahwa arus jµ adalah arus Noether yang diperoleh

melalui metoda kanonik.

Sistem Yang-Mills dapat dikopel dengan medan materi lain melalui penambahan

suku berikut:

21

( )µµ∫ JATrxdg2 4 (2.3.18)

pada fungsi aksi medan Yang-Mills (2.3.1), dimana EE T)x(J)x(J µµ = adalah sumber

eksternal (dari materi). Dengan menerapkan prinsip aksi ekstrim, diperoleh

persamaaan gerak berikut:

νµνµ = JFD . (2.3.19)

Dari persamaan ini, terlihat bahwa νJ harus bertransformasi secara kovarian:

+µµ → UUJJ , (2.3.20)

agar mempertahankan kovariansi dari persamaan gerak. Karena DµDνFµν = 0,

maka µJ memenuhi persamaan kontinuitas kovarian:

[ ] 0J,AiJJD =+∂= µµ

µµ

µµ . (2.3.21)

Perhatikan bahwa arus Noether bukanlah µJ tetapi gabungan arus berikut:

µρµρ

µ +−∂= JFj . (2.3.22)

memenuhi persyaratan arus Noether. Suku tambahan pers. (2.3.18) pada

umumnya tidak invarian di bawah transformasi gauge. Andaikan µJ

bertransformasi secara kovarian, yakni: ],J[iJJ ω+→ µµµ , maka berlaku:

( )( )µµ

µµµ

µ

∂ω−=

ω∂=δ

∫∫∫

JTrd

JTrd)JA(Trd4

44

(2.3.23)

yang berarti bahwa invariansi dapat dipulihkan jika sumber luar Jµ adalah kekal.

Dalam teori Maxwell persyaratan ini tak menimbulkan masalah, karena µJ tidak

bertransformasi dibawah perubahan gauge. Tetapi dalam teori Yang-Mills

pernyataan µµ∂ J tidaklah kovarian. Ini berati bahwa kopling (2.3.18) merusak

invariansi. Invariansi gauge ini terpulihkan dengan menambahkan suku kinetik

yang kovarian gauge, untuk medan yang membangkitkan arus µJ , mengikuti

konstruksi awal pada pasal 2.2 untuk kasus interaksi medan Yang-Mills dan

Dirac.

22

2.4 Rangkuman

Beberapa sifat umum penting dari medan Yang-Mills berdasarkan pembahasan

sebelumnya:

1. Invariansi gauge global mengimplikasikan adanya arus kekal, menurut

teorema Noether.

2. Seperti halnya invariansi gauge elektromagnetik U(1), simetri lokal

mengharuskan adanya penambahan vektor gauge boson Aµ(x) massless,

menentukan bentuk interaksi antara medan gauge Aµ(x) dan medan materi

ψ(x).

3. Bahkan untuk medan Yang-Mills murni (tanpa medan materi), rapat

lagrangiannya L tetap mengandung interaksi sebab self-couplings dari

medan gauge akan masuk melalui µνµν ⋅FF 5

4. Medan gauge non-Abelian bertransformasi menurut representasi-adjoint

dari grup, sebab banyaknya medan gauge yang dibutuhkan sama dengan

jumlah generator grupnya.

5. Hanya ada satu konstanta kopling gauge g yang muncul dalam formulasi

Yang-Mills apabila simetri gauge grup G tidak dapat difaktorisasi menjadi

produk langsung dari grup sederhana. Hal ini sangat ditentukan oleh sifat

dasar dari medan non-Abelian: perumusannya tidak berjalan jika skala

relatif operator dengan komutator terhingga diubah secara sembarang.

Dengan demikian medan Yang –Mills bertransformasi di bawah beberapa

grup G yang terkopel bersama kepada medan materi dan kepada dirinya,

mengakibatkan G tidak dapat difaktorisasi menjadi suatu produk langsung.

Hal ini tidak seperti halnya teori elektromagnetik U(1), dimana setiap

medan materi dapat dikopel kepada Aµ dengan muatannya sendiri.

6. Jika grup G dapat difaktorisasi menjadi k buah produk langsung

k11 GGGG K××= , (2.4.1)

5 ).FF(Tr2FFFF j

j µνµν

µνµν

µνµν ==⋅

23

maka akan terdapat k buah konstanta kopling gi yang saling bebas, yang

menentukan interaksi medan Yang-Mills dengan medan materi dan dengan

dirinya sendiri. Pada teori tertentu, konstanta kopling tunggal dapat

menggambarkan semua interaksi gauge.

6. Medan Yang-Mills haruslah medan vektor tak bermassa, karena adanya

suku massa akan merusak gauge invariansi jika secara eksplisit

dimasukkan di dalam Lagrangian.

Sejauh ini telah dibahas medan Yang-Mills, tanpa mempermasalahkan solusi

persamaan geraknya. Hal ini akan diulas dalam bab III.

24

BAB III

SOLUSI INSTANTON MEDAN YANG-MILLS

If people do not believe that mathematics is simple,

it is only because they do not realize how

complicated life is.

John Von Neumann

Pada bab sebelumnya telah diturunkan persamaan gerak medan Yang-Mills yang

ditunjukkan oleh pers. (2.3.8). Dengan menjabarkan persamaan tersebut secara

eksplisit dapat dilihat bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial

parsial orde-2 non-linear terkopel. Solusi eksak dari persamaan seperti ini sangat

sulit untuk diperoleh, karena belum terdapat metoda umum untuk menanganinya.

Dalam hal ini, penanganannya ditinjau secara per-kasus dengan menerapkan

metoda ansatz untuk memperoleh solusi berkaitan. Pada kenyataannya, hingga

sekarang, hanya solusi khusus yang dapat diperoleh.

Menyelesaikan persamaan diferensial orde-dua jelas lebih sulit daripada yang

orde-satu. Sangatlah baik apabila persamaan diferensial orde-2 ini dapat

digantikan dengan persamaan setara berorde satu. Ini dapat dicapai dengan

meninjau fungsi aksi medan Yang-Mills S dalam ruang waktu Euclidean (lihat

apendiks A1), untuk mana berlaku syarat Bogomolnyi, yang mengalihkan

persamaaan medan Yang-Mills orde-2 menjadi orde-1.

Dengan alasan di atas, dalam bab ini akan ditinjau solusi non-singular medan

Yang-Mills tanpa sumber dalam ruang-waktu Euclidean, yang memiliki fungsi

aksi S berhingga. Makna fisika dari solusi ini dapat ditafsirkan sebagai berikut.

Ruang-waktu Euclidean adalah ruang Minkowski dengan waktu imajiner,

25

sedangkan evolusi dengan waktu imajiner, secara formal, menurut mekanika

kuantum, berkaitan dengan efek tunnelling. Akan diperlihatkan bahwa syarat

Bogomolnyi, memberikan konfigurasi medan Yang-Mills dengan nilai fungsi aksi

yang minimum. Karena itu, solusi bersangkutan menyatakan tunnelling antara

beberapa minima dari fungsi aksi, yang akan dijelaskan dalam bab VI. Solusi non-

singular ini, oleh ‘t Hooft dinamakan instanton.

3.1 Syarat batas untuk fungsi aksi S berhingga

Sebagaimana disebutkan pada pengantar di atas, instanton adalah solusi

persamaan medan Yang-Mills dengan fungsi aksi:

( )∫ µνµν−= FFxTrd

g21S 4

2YMM (3.1.1)

bernilai hingga. Salah satu cara untuk memperoleh fungsi aksi berhingga ini

adalah dengan meninjau ruang-waktu Euclidean. Dalam hal ini, kooordinat ruang

Euclidean6 4-dimensi dinyatakan oleh xµ (µ = 1, 2, 3, 4), yang dapat dipandang

sebagai koordinat ruang-waktu Minkowski dengan kooordinat waktu x0 bernilai

imajiner: 40 ixx → .

Untuk mendapatkan solusi instanton ini perlu diidentifikasikan terlebih dahulu

syarat batas yang harus dipenuhi oleh sembarang konfigurasi medan Yang-Mills

agar memberikan fungsi aksi S yang berhingga.

Sebagai langkah pertama, tinjau konfigurasi dengan aksi nol. Dari pers. (3.1.1)

terlihat bahwa S = 0 jika dan hanya jika Fµν = 0. Hal ini memberikan tak terhingga

kemungkinan untuk medan Aµ yang dapat diperlihatkan sebagai berikut.

Perhatikan bahwa syarat Fµν = 0 adalah invarian gauge. Dengan demikian, kondisi

6 Mulai dari bab ini indeks ruang-waktu µ, ν, ρ, σ berjalan dari 1 sampai 4, kecuali ada beberapa pemberitahuan lebih lanjut.

26

ini tak hanya dipenuhi oleh Aµ = 0, tetapi juga oleh sembarang medan hasil

transformasi gauge yang diperoleh dari Aµ = 0. Medan ini dinamakan gauge

murni, yang diberikan oleh [lihat pers.(2.2.14)]

[ ] ,)x(UU(x)iA~ µµ+∂−= (3.1.2)

dimana )x(U , untuk setiap x, merupakan salah satu elemen dari grup SU(N).

Bahwa pers. (3.1.2) menghasilkan Fµν = 0, dapat diperlihatkan sebagai berikut.

Substitusikan µA~ ke dalam persamaan kuat medan (2.2.32) menghasilkan:

( )

[ ] [ ][ ] )(U)U(iU)U(iiU)Ui(

)(A~A~iA~A~F

ν↔µ−∂∂+∂∂=

ν↔µ−+∂=+

µ+

ν+

νµ

νµνµµµν (3.1.3)

Gunakan sifat berikut:

U)U(UU +

µµ+

µννµ

∂−=∂

∂∂=∂∂ (3.1.4)

maka terbukti:

( ) 0A~F =µµν . (3.1.5)

Sebaliknya pun berlaku, bahwa Fµν = 0 dipenuhi oleh µµ = A~A dalam pers.

(3.1.2).

Berikut, ditinjau konfigurasi dengan aksi berhingga. Jelas terlihat pada pers.

(3.1.1) bahwa syarat keberhinggan ini terpenuhi bila Fµν adalah nol pada batas

ruang Euclidean-4, yaitu pada permukaan bola dimensi-3 S3 dengan ∞→r

dimana 2124

23

22

21 )xxxx(xr +++=≡ adalah jari-jari dalam ruang Euclidean

berdimensi empat. Pada titik tak hingga )r( ∞→ kita menginginkan Fµν

berkurang secara asimtotik menuju nol, yakni:

0)x(Fx

B

∞→µν → (3.1.6)

Dengan demikian, pada kedudukan di tak hingga, medan Aµ mengambil

konfigurasi gauge murni menurut pers. (3.1.2) di atas.

27

3.2 Konstruksi fungsi aksi minimum

Setelah diperoleh syarat batas untuk medan Yang-Mills dalam pasal 3.1, sekarang

akan dibangun solusi dengan nilai fungsi aksi berhingga, mengikuti konstruksi

Belavin, Polyakov, Schwartz and Tyupkin (BPST) [2].

Pertama perhatikan bahwa dalam ruang Euclidean berlaku pertidaksamaan

berikut:

. 0)F~F~F~F2FF(xTrd

0])F~F[(xTrd4

24

≥+±

≥±

µνµνµνµνµνµν

µνµν

∫∫ (3.2.1)

Gunakan

)FF(xTrd)F~F~(xTrd 44µνµνµνµν ∫∫ = , (3.2.2)

maka

)F~F(xTrd)FF(xTrd 44µνµνµνµν ∫∫ ≥ m . (3.2.3)

Integral pada ruas kanan dari pertidaksamaan (3.2.3) dapat dituliskan sebagai

integral divergensi total-4 yaitu,

µµµνµν ∫∫ ∂= Wxd2)F~F(xTrd 44 , (3.2.4)

dimana Wµ diberikan oleh pers. (2.2.45).

Ruas kiri pers. (3.2.3) berkaitan dengan fungsi aksi YMES medan Yang-Mills,

sehingga dengan demikian ia memiliki nilai batas bawah, yakni:

∫∫ µµµµ σ=∂≥S

32

42

YME Wd

g1Wxd

g1S . (3.2.5)

dimana telah digunakan pers. (3.1.1) dan pada ruas terkanan telah dilakukan

transformasi ke integral permukaan. Perhatikan bahwa pada pers. (3.2.5), d3σµ

adalah elemen volume permukaan bola 3-dimensi S3, dengan jari-jari ∞→r .

Karena ruas kanan pers. (3.2.5) diintegrasikan pada permukaan di tak hingga

28

(Euclidean), maka nilai minimum aksi YMES akan bergantung kepada sifat medan

gauge di tak hingga.

Dengan memberlakukan syarat batas pers. (3.1.5), maka di tak hingga, medan Aµ

mengambil konfigurasi gauge murni (3.1.2). Substitusikan pernyataan ini ke

dalam Wµ yang diberikan oleh pers. (2.2.45), menghasilkan:

)U(U)U(U)U(U32)U](U)U([U)U(UTr

)]U(U)U(U)U(U32UU)U(U)U(U)U(U[Tr W

0

+σ

+ρ

+ν

+σ

+ρ

+νµνρσ

+σ

+ρ

+ν

=

+σρ

+ν

+σρ

+νµνρσµ

∂∂∂−∂∂−∂−=∈

∂∂∂−∂∂∂−∂∂∂−=∈43421

atau,

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∂∂∂=∈ +

σ+

ρ+

νµνρσµ UUUU)U(U31TrW (3.2.6)

dimana telah digunakan sifat antisimetri dari ρ dan σ serta UU+ = 1.

Dengan demikian, pers. (3.2.6), menjadi

( ) ( ) ( )[ ]+σ

+ρ

+νµνρσ

µ ∂∂∂∈σ≥ ∫ UUUUUUTrdg32S

S

32

YME (3.2.7)

yang bergantung seluruhnya kepada elemen grup U(x)! Hasil ini sungguh luar

biasa yang memperlihatkan bahwa nilai minimum dari fungsi aksi Yang-Mills

Euclidean hanyalah bergantung pada sifat elemen grup U(x) dan bukan pada

konfigurasi detail dari medan potensial gauge pada kedudukan berhingga.

3.3 Muatan topologi

Bahasan berikut akan dikhususkan pada kasus grup SU(2) (lihat apendiks B).

Setiap elemen grup SU(2), dalam representasi fundamental dapat dinyatakan

sebagai berikut:

jj44 iG σϕ+σϕ= , j = 1, 2, 3 (3.3.1)

dimana σ4 = I adalah matriks satuan )22( × , dan σj adalah ketiga matriks Pauli

(lihat apendiks A2).

29

Karena ),2(SUG∈ yakni IGG =+ , maka keempat fungsi µϕ , µ = 1,...,4,

memenuhi kendala:

1)()()( 232221 =ϕ+ϕ+ϕ (3.3.2)

yang menyatakan permukaan bola 3-dimensi, 3gS (g = grup). Dengan demikian,

setiap elemen SU(2) bergantung pada tiga buah parameter: 321 dan , , φφφ .

Untuk kasus medan Yang-Mills yang ditinjau di sini, ketiga parameter tadi

diambil bergantung pada x. Pada pers. (3.2.7), integrasi permukaan diambil untuk

permukaan bola 3-dimensi S3, dengan jari-jari yang sangat besar (~ tak

berhingga). Dengan demikian, U dapat dianggap sebagai pemetaan dari kedua

koordinat sudut ruang yang melabel permukaan bola 3-dimensi S3 ke bola 3-

dimensi 3gS yang dilabel oleh ketiga parameter grup di atas:

3g

3 S)2(SUS :U ≈→ . (3.3.3)

Sembarang pemetaan ini dikarakterisasi oleh kelas homotopi, yang berkaitan

dengan jumlah peliputan bola S3 pada bola hasil pemetaan 3gS . Singkatnya, kelas

homotopi 1 berarti bahwa permukaan bola S3 hanya sekali meliput permukaan

bola 3gS dari manifold grup SU(2). Secara umum, kelas homotopi Q menyatakan

peliputan sebanyak n kali dari permukaan bola S3 pada pada bola hasil pemetaan 3gS .

Kembali ke pers. (3.2.7), karena, )(UU jφ= , maka

+µ

+

=µ

+µ ∂φ∂=

φ∂∂

∂

φ∂=∂ ∑ UU

xU j

j

j

3

1j

j (3.3.4)

sehingga

( ) ( ) ( )[ ]+++σρνµνρσ

µ ∂∂∂φ∂φ∂φ∂∈σ≥ ∫ UUUUUUTrdg32S cba

lkj

S

32

YME (3.3.5)

atau, dengan menggunakan sifat antisimetri dari simbol ∈ ,

30

( ) ( ) ( )[ ]+++σρνµνρσ

µ ∂∂∂φ∂φ∂φ∂∈σ≥ ∫ UUUUUUTrdg4S 321

321

S

32

YME . (3.3.6)

Dalam pernyataan ini, terlihat jelas munculnya faktor Jacobian transformasi dari

variabel yang melabel permukaan S3 dan parameter iφ yang melabel 3gS .

Dengan menyatakan U dalam pernyataan eksponensial terfaktorisasi:

332211 Q

2i

2i

2i

eeeUσφ−σφ−σφ−

= (3.3.7)

dimana Q = 0, 1, 2,..., maka dengan perhitungan langsung, menggunakan sifat

matriks Pauli, diperoleh:

( ) ( ) ( )[ ]

∫

∫

∫

φ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσσφ∂φ∂φ∂∈σ=

∂∂∂φ∂φ∂φ∂∈σ

σρνµνρσµ

+++σρνµνρσ

µ

3gS

3

3213

3321

S

3

321321

S

3

d4Q

Q2iTrd

UUUUUUTrd

(3.3.8)

Karena volume bola 3-dimensi 3gS adalah 16π2, akhirnya diperoleh hasil menarik

berikut:

( ) ( ) ( )[ ]+++σρνµνρσ

µ ∂∂∂φ∂φ∂φ∂∈σπ

= ∫ UUUUUUTrd4

1Q 321321

S

32 (3.3.9)

yang menyatakan muatan topologi untuk pemetaan kelas homotopi Q.

Berkaitan dengan pernyataan pers. (3.2.4) selanjutnya tersimpulkan bahwa

( )µνµνµµ ∫∫ π

=σπ

= F~FTrxd8

1Wd4

1Q 42S

32 . (3.3.10)

Perhatikan bahwa ruas kanan adalah tak lain daripada indeks Pontryagin (atau

kelas Chern kedua/ winding number). Jadi dapat disimpulkan bahwa muatan

topologi medan Yang-Mills Euclidean adalah tak lain daripada kelas Chern kedua.

Batas bawah fungsi aksi medan Yang-Mills Euclidean ditentukan oleh muatan

topologi Q, yakni:

Qg

8S 2

2YME

π≥ (3.3.11)

dimana Q merupakan suatu bilangan bulat.

31

Dari pers. (3.2.3) dan (3.2.5) dapat dilihat bahwa batas bawah Q)g8(S 22YME π=

tercapai ketika,

( ) ( )( ) ( ) µνµνµνµνµνµν

µνµνµνµνµνµν

−=→=−

=→−=−

∫∫∫∫

FF~FF~xTrdFFxTrd

FF~FF~xTrdFFxTrd44

44

(3.3.12)

yang memberikan

µνµν ±= FF~ . (3.3.13)

Persamaan (3.3.13) merupakan persamaan self-dual dan antiself-dual. Apabila

tanda positif yang dipilih, Fµν dikatakan solusi self-dual sedangkan tanda negatif,

antiself-dual. Oleh karena itu, melalui prinsip Hamilton medan self-dual atau

antiself-dual mengekstrimasi aksi dan merupakan solusi dari persamaan Yang-

Mills dalam setiap kelas Q. Sekarang permasalahan dalam mencari solusi eksak di

atas tersederhanakan, sehingga hanya perlu untuk memandang solusi khusus yang

memenuhi persamaan self-dualitas (3.3.13), dimana µνF~ didefenisikan sebagai:

ρσµνρσµν ∈= F

21F~ (3.3.14)

µνρσ∈ adalah standar tensor antisimetrik dan 11234=∈ . Solusi dari pers. (3.3.13)

memenuhi dengan baik pers. (3.3.11). Solusi ini disebut instanton. Solusi untuk

persamaan antiself-dual disebut anti-instanton.

Jika pers. (3.3.14) dipenuhi, maka persamaan medan akan otomatis dipenuhi

sebab

0F~DFD =±= µνµµνµ (identitas Bianchi) (3.3.15)

Dapat dibuktikan bahwa pers. (3.3.15) memenuhi persamaan Euler-Lagrange.

32

3.4 Self-dual dan antiself-dual

Perhatikan bahwa dual dari tensor medan dual adalah

αβρσαβµνρσ

ρσµνρσµν

∈∈=

∈=

F41

F~21F

~~

(3.4.1)

Dalam ruang Euclidean, berlaku sifat metrik berikut:

)(2 ναµβνβµαρσαβµνρσ δδ−δδ=∈∈ , (3.4.2)

sehingga pers. (3.4.1) menjadi:

µννµµνµν =−= F)FF(21F

~~ (3.4.3)

Secara simbolik pers. (3.4.1) dapat ditulis menjadi:

FFF~~ 2 ==∈ (3.4.4)

dari pers. (3.4.2) didapat nilai eigen dari operator yang didualisasi adalah 1±∈= ;

Oleh karena itu FF~ ±= , yang menunjukkan bahwa konfigurasi self-dual dan

antiself-dual dimungkinkan dalam ruang Euclidean.

Sebaliknya, jika metriknya Minkowskian, pers. (3.4.1) teralihkan menjadi:

FF~~

FF41F

~~

−=

−=∈∈= αβαβαβ

ρσρσ

µνµν (3.4.5)

dimana sekarang nilai eigen dari operator terdualisasi menjadi i±∈= sehingga

FF~ ±≠ yang mana itu berarti bahwa konfigurasi self-dual dan antiself-dual tidak

mungkin ada. Jadi instanton hanya terdefenisi dalam ruang Euclidean.

33

3.5 Solusi eksplisit instanton BPST

Setelah pada seksi sebelumnya dibentuk konfigurasi instanton lengkap dengan

syarat batas berkaitannya, berikut dibangun solusi eksplisit dari instanton SU(2).

Bertolak dari syarat batas (3.1.5), medan vektor Aµ untuk r berhingga dipilih

berbentuk sebagai berikut:

µµµµ == xxr ,A~)r(fA 2 (3.5.1)

dimana µA~ medan gauge murni (3.1.2) serta f(r) memenuhi syarat batas 1)(f =∞

dan 0)0(f = . Syarat batas kedua, dipilih untuk menjamin Aµ tak singular di r = 0.

Dengan mensubstitusikan pers. (3.5.1) ke dalam pers. (2.2.32) maka7

( ) ( ) ( ) [ ]v2

vµvµµν A~,A~ifA~A~fA~fA~fF µµνµν +∂−∂+∂−∂= (3.5.2)

Gunakan gabungan ( ) 0A~F =µν untuk suku ketiga, memberikan:

( ) ( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( )[ ]v

2vµ

v2

vvµ

A~,A~ffiA~fA~f

A~,A~ifA~,A~ifA~fA~fF

µ

Φ

µν

µµµνµν

−−∂−∂=

+−∂−∂=

µν

444 3444 21 (3.5.3)

Dari pers. (3.5.1b), diperoleh:

r

xxrx2

xrr2 µ

µµµ =∂∂

→=∂∂ (3.5.4)

Jadi,

drdf

rx

xr

drdff µ

µµ =∂∂

⋅=∂ . (3.5.5)

Karena )2(SUU∈ maka dapat dituliskan sebagai berikut:

( )j0 i, ,r

xU σσ=τ

τ= α

αα j = 1, 2, 3 (3.5.6)

atau, secara terurai:

( )jj02ixx

x1U σ+= (3.5.7)

7 Di sini g telah diserap ke dalam Aµ.

34

dimana matriks σr bekerja dalam ruang SU(2), dan

xxxx 20

2 rr⋅+= (3.5.8)

Selanjutnya dari pers. (3.5.6) diperoleh,

U

rx

r1

rxx

rU 3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τ=

τ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

δ=∂

µµ

αµααµ

µ

(3.5.9)

dimana telah digunakan pers. (2.2.3).

Dengan demikian,

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τ=∂= +µ+

µ+

µµ UUr

xU

riUUiA~ (3.5.10)

atau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τ= µ+

µµ rx

UriA~ . (3.5.11)

Oleh karena itu,

( ) ( )

( )+µν+

νµ

µ+µ

νν+ν

µ

µννµµν

τ−τ⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τ⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⋅=

∂−∂=Φ

UxUxdrdf

ri

rx

Uri

drdf

rx

rx

Uri

drdf

rx

A~fA~f

2

(3.5.12)

Berikut ditinjau suku komutator:

[ ]( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]+

µν+

νµ

+µν

+νµ

+µ

+ν

+ν

+µ

µννµνµ

∂∂−∂∂=

∂−∂+∂−−∂=

∂∂−∂∂=

−=

UUUU

UUUUUU

UUUUiUUUUi

A~A~A~A~A~,A~

22

(3.5.13)

dimana telah digunakan sifat uniteritas (2.2.3). Selanjutnya, dengan pernyataan

(3.5.9) diperoleh:

35

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +τ−τ−ττ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −τ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τ=∂∂

νµ+

νµν+

µ+

νµ

+ν+ν

µµ

+νµ

xxr1Ux

r1xU

r1

r1

Ur

xU

rx

r1UU

22

2

(3.5.14)

Dengan demikian,

[ ]

( )+

µν+

νµ

µ+

νν+

µ+

µν+

νµ

νµ+

µνµ+

ν+

µν

νµ+

νµν+

µ+

νµνµ

τ+τ−

τ+τ−ττ−ττ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +τ−τ−ττ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +τ−τ−ττ=

Uxr1Ux

r1

xUr1xU

r1

xxr1Ux

r1xU

r1

xxr1Ux

r1xU

r1A~,A~r

2

22

(3.5.15)

Berikut, substitusikan sifat-sifat berikut:

( )

+νν

+ν

+µµ

α+

µαµαα+

αµ+

µ

µα+

µα+

αµ

τ−=τ

τ−=

ττ−δ=ττ=τ

δ=ττ+ττ

Ux2U

Ux2

x2xU

2

(3.5.16)

ke dalam pers. (3.5.15), memberikan:

[ ] ( ) ( ) ( )

+µ

ν+ν

µ

µ+νν

ν+µµ

+µν

+νµνµ

τ+τ−

τ−+τ−−ττ−ττ=

Ur

xU

rx

rx

Ux2r

xUx2A~,A~r 2

(3.5.17)

atau

[ ] ( ) +µν

+νµ

+µν

+νµνµ τ+τ−ττ−ττ= Ux

r2Ux

r2A~,A~r 2 . (3.5.18)

Dengan hasil di atas, tensor kuat medan µνF dalam pers. (3.5.3) setelah

disubstitusikan pers. (3.5.12) dan (3.5.18) menjadi:

( ) ( ) ( )

( ) ( )+µν+

νµ

+µν

+νµ

+µν

+νµµν

τ−τ−+

ττ−ττ−−τ−τ⋅=

UxUxr1ffi2

r1ffiUxUx

drdf

riF

32

22

2 (3.5.19)

36

Gunakan sifat berikut:

( ) ( )

rUx

rxx2

rUx

rxx2

2rxx

2rxx

rx

xr

xxUxUx

+µνµν

+νµνµ

+αµαµ

αν+αναν

αµ

+µ

ααν

+ν

ααµ

+µν

+νµ

τ+−

τ−=

ττ−δ−ττ−δ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

τ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

τ=τ−τ

(3.5.20)

dalam pers. (3.5.19) maka diperoleh pernyataan sederhana berikut:

( ) ( )

( )( )+µν+

νµ

+µν

+νµµν

ττ−ττ−−

τ−τ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=−

2

23

ffr

UxUxff2drdfrFir

(3.5.21)

Karena, pada suku terakhir matriks τµτν+ - τντµ+ = τµν dalam pers. (3.5.21) adalah

pernyataan self-dual sebagaimana diperlihatkan pada apendiks C3, maka agar µνF

adalah self-dual, suku pertama dalam pers. (3.5.21) harus lenyap yaitu:

( ) 0ff2drdfr 2 =−− . (3.5.22)

Substitusikan

rlns = , (3.5.23)

maka pers. (3.5.22) teralihkan menjadi:

( ) ds2f1

1f1df =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+ . (3.5.24)

Integralkan, maka diperoleh

( ) cs2f1

fln +=−

(3.5.25)

atau

cs2cs2 ea ,aeef1

f===

−+ . (3.5.26)

Jadi,

( ) a1 ,

rrf 2

22

2

=λλ+

= (3.5.27)

Dengan demikian diperoleh solusi:

37

( ) +µµ ∂⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ+

= UUr

riA 22

2

(3.5.28)

dan kuat medan yang berkaitan,

( ),irffF 2

2

µ+

νν+

µµν ττ−ττ−−

= (3.5.29)

Potensial pada pers. (3.5.28) memenuhi syarat pers. (3.1.5) untuk aksi yang

berhingga (λ2 adalah konstanta). Persamaan kuat medan (3.5.29) memberikan

muatan topologi Q = 1, sehingga nilai aksinya S = 8π2 [lihat apendiks C2].

Karena itu solusi ini disebut solusi satu instanton.

Perumusan (3.5.28) dapat ditulis menjadi:

( ) +µ

µµ

µµµ ∂⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λ+−

−= UU

)ax()ax(

iA 22

2

(3.5.30)

yang memperlihatkan bahwa solusi ini mempunyai 5 parameter: 4 untuk posisi

(aµ) dan satu untuk parameter ukuran (“lebar”) λ. Akan diperlihatkan kemudian

bahwa jumlah parameter ini sesuai dengan karakteristik parameter solusi instanton

yaitu:

p = 8Q - 3 (3.5.31)

yang mana untuk Q = 1 memberikan p = 5.

Solusi yang diperoleh di atas merupakan solusi eksak (khusus) untuk Q = 1.

Sedangkan untuk memperoleh solusi instanton dengan sembarang Q, diperlukan

konstruksi lain, yang lebih umum. Umum dalam hal ini berarti, konstruksinya

dapat diaplikasikan untuk sembarang grup dan memenuhi parameter grup

tersebut. Konstruksi ini akan dibahas dalam bab berikutnya.

38

BAB IV

SOLUSI MULTI-INSTANTON

In this day and age Mathematicians so blind But gauges have flaws

The physicist sage Follow slowly behind God hems and haws

Writes page after page With their clever minds As the curtain He draws

On the current rage A theorem they’ll find O’er His physical laws

The gauge Only written and signed It may be a lost cause

I. Singer

Sejauh ini telah diturunkan solusi eksak satu instanton. Selanjutnya dalam bab ini

akan diulas solusi instanton untuk sembarang Q. Solusi banyak (multi) instanton8,

pertama kali ditemukan oleh ‘t Hooft pada tahun 1976 [1], setelah dirinya

menemukan ansatz yang dapat melinearisasi persamaan gerak YM. Solusi lain

ditemukan oleh Witten [7], namun dalam bab ini yang akan dibahas hanya solusi

‘t Hooft karena lebih umum dan mudah dibanding solusi Witten.

4.1 Solusi Q-instanton SU(2) ‘t Hooft

Solusi instanton BPST dalam bentuk awalnya (3.5.28), tidak melinearisasi

persamaan gerak Yang-Mills. Namun, solusi tersebut dapat dituliskan menjadi:

[ ]

[ ] 22ljklkj0

j22

2

j

22jj

422

2

4

λrxx

U)U(λr

rA

rx

U)U(λr

rA

+

σ∈+σ=∂⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

λ+

σ−=∂⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

+

+

(4.1.1)

8 Secara umum dipercaya bahwa tidak ada solusi eksak yang menggambarkan satu instanton dan satu anti-instanton.

39

Dalam representasi SU(2), yaitu:

)A(TrAA21A a

aa

a σ=→σ= µµµµ , (4.1.2)

pers. (4.1.1) teralihkan menjadi:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λ+ε−=

λ+−=

λ+

σσ−=

224

ja22m

jamaj

22a

22ajja

4

rx2

rx2

A

,r

x2r

)(TrxA

(4.1.3)

Di sini indeks: a, j, k, l, m, berjalan dari 1 sampai 3!

Untuk menunjukkan bahwa potensial di atas adalah solusi dari suatu persamaan

gerak tertentu, pernyataan komponen medan gauge menurut (4.1.3), ditulis ulang

sebagai berikut:

ϕϕ∂

δ−ϕϕ∂

ε=

ϕϕ∂

=

4ja

mjam

aj

aa4

A

A (4.1.4)

dimana:

22rCλ+

=ϕ , 22rx2λ+

−=

ϕ

ϕ∂ µµ (4.1.5)

Untuk ( ) 21

8C λ= maka dapat diperlihatkan bahwa φ merupakan solusi dari

persamaan ڤ 03 =λϕ+ϕ , dengan λ ≠ 0.

Di pihak lain, solusi BPST (3.5.28) dapat ditransformasikan dengan menggunakan

matriks invers. U-1, sehingga potensial barunya adalah:

( )[ ] ( )

( )[ ]UUix

UUiUUUiUx

xA

22

2

22

2'

+µ

+µ

+µ

+µ

∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ+

λ=

∂−∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ+

=

(4.1.6)

Secara eksplisit, komponen 'Aµ serupa dengan ansatz pers. (4.1.4) yaitu:

40

φφ∂

δ+φ

φ∂ε=

φφ∂

−=

4ja

njamaj

'

aa4

'

A

A (4.1.7)

namun, dimana

2

2

r1 λ+=φ , ( )222

2

rrx2λ+

λ−=

φ

φ∂ µµ . (4.1.8)

Karena ڤ (1/r2) = 0, maka fungsi skalar φ memenuhi persamaan gerak:

φڤ) ) = 0 (4.1.9)

Pers. (4.1.7), dengan φ diberikan oleh (4.1.8), adalah solusi instanton yang setara

gauge dengan pers. (4.1.4) & (4.1.5). Tampak bahwa φ singular pada r = 0,

namun hal ini tidaklah menjadi masalah karena singularitas ini tak nyata. Karena

ketika r2 → 0 potensial 'Aµ , menurut pers.(4.1.6), menjadi gauge murni.

Solusi pers. (4.1.7) dan (4.1.8) menggambarkan 1-instanton dengan ukuran |λ|

berpusat pada titik asal. Pers. (4.1.9) menyarankan bahwa pers. (4.1.7) dapat

dipilih sebagai ansatz untuk Q-instanton. Dapat diperlihatkan bahwa pers. (4.1.9)

tetap dipenuhi, sehingga diperoleh solusi umum

( )∑

= −λ

+=φQ

1n2

n

n

ax1 (4.1.10)

yang menggambarkan Q buah instanton dengan ukuran λ = λn yang berbeda-beda

dan begitu pula dengan titik pusatnya x = an dalam ruang E4. Medan YM yang

bersesuaian, menurut pers. (4.1.7) adalah self-dual dan non-singular serta

mempunyai muatan topologi Q (tidak akan dibahas). Parameter λn disini

merupakan ukuran dari instanton ini, dan oleh karena itu bernilai positif.

Dengan sedikit perhitungan diperoleh potensial gauge:

)(lniA φ∂Σ= νµνµ , (4.1.11)

dimana µνΣ adalah komponen dari suatu matriks yang dibangun dari matriks Pauli

yakni:

41

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

σσσσ−σ−σσ−σσ−σ−σ−σ

=Σµν

00

00

21

221

312

213

123

. (4.1.12)

Secara kompak pers. (4.1.12), dapat ditulis dalam bentuk:

2

ij ση=Σ

µν

µν ; j = 1, 2, 3 (4.1.13)

dimana

⎩⎨⎧

=νδ−=νµε

=η−=ηµ

µννµµν

1 untuk 3 2, , 1 ,untuk

i

iii (4.1.14)

4.2 Parameter total solusi Q-instanton

Solusi Q-instanton ‘t Hooft diatas mempunyai 5Q buah parameter, dan

generalisasi invarian konformalnya9 mempunyai (5Q + 4) buah parameter. Solusi

Q-instanton yang paling umum [didefinisikan sebagai solusi self-dual dari teori

gauge SU(2) murni dengan muatan topologi Q] bergantung pada (8Q – 3) buah

parameter10. Parameter-parameter ini memiliki interpretasi fisis berikut. Ke-5Q

buah parameter di antaranya menentukan posisi dan ukuran dari instanton,

sedangkan 3Q buah parameter yang sisa dibutuhkan untuk menentukan orientasi

instanton dalam ruang SU(2) [solusi instanton adalah vektor SU(2), karena medan

gauge Aµ bertransformasi menurut representasi adjoin dari grup SU(2)]. Tetapi 9 Jackiw dan Rebbi menunjukkan bahwa fungsi skalar pada pers. (4.1.10) tidaklah invarian konformal. Dengan kata lain, fungsi ini, dan solusi n-instanton dari teori YM yang berkaitan, appearance berubah dibawah transformasi konformal. Mereka memperoleh fungsi skalar yang

invarian konformal ( )∑

= −=φ

Q

0n2

n

n

axb

. Fungsi ini invarian di bawah grup konformal Euclidean

penuh. Solusi fungsi ini dapat diubah menjadi solusi ‘t Hooft pers. (4.1.10) dengan mengambil limit ∞→0b ; ∞→2

0a dengan 1ab 20

20 = .

10 Penurunan yang jauh lebih tepat dari jumlah parameter p = 8Q – 3 diberikan oleh Schwartz [3], Atiyah dkk. [10], Pekerjaan mereka berdasarkan atas teorema yang sangat mendasar dalam matematika yang dikenal sebagai teorema indeks Atiyah-Singer.

42

ke-3 parameter orientasi SU(2) ini tidak memiliki arti fisis, karena transformasi

SU(2) global tidak dapat mempunyai efek fisis. Dengan demikian, tersisa (8Q - 3)

buah parameter. Perhatikan bahwa ansatz pers. (4.1.7) tidak mempunyai

kebebasan dalam orientasi SU(2) untuk setiap instanton. Pada dasarnya,

orientasinya ditentukan oleh posisi dari semua instanton. Oleh karena itu, ke-(3Q

– 3) buah parameter orientasi dapat dilenyapkan sehingga meninggalkan 5Q buah

parameter dalam solusi ‘t Hooft11.

4.2 Konstruksi Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin (ADHM)

Untuk sembarang bilangan instanton Q, solusi instanton tidak dapat dituliskan

secara eksplisit. Akan tetapi, ada kemungkinan untuk menuliskannya secara

implisist dengan menggunakan formalisme yang ditemukan oleh Atiyah, Drinfeld,

Hitchin dan Manin (ADHM) [13]. Deskripsi mereka dikenal sebagai konstruksi

ADHM12. Mereka menunjukkan bagaimana cara membangun solusi self-dual

umum dari teori Yang-Mills dengan sembarang grup kompak. Konstruksi mereka

memberikan solusi eksak untuk semua Q-instanton dengan jari-jari, posisi dan

orientasi sembarang serta memungkinkan dicakupnya secara lengkap ke-(8Q – 3)

buah parameter maksimal yang disyaratkan. Dengan metoda ADHM,

permasalahan kalkulus diferensial, untuk mencari solusi instanton, teralihkan

menjadi masalah aljabar. Prosedur konstruktif umum ini mereduksi persamaan

self-dualitas menjadi kondisi aljabar murni yang lebih mudah diselesaikan. Solusi

umum dan lengkap dari permasalahan aljabar ini secara eksplisit belum

ditemukan. Meskipun demikian, konstruksi aljabar dari Atiyah dkk. merupakan

cara terbaik untuk mendapatkan solusi lengkap dari permasalahan self-dualitas.

11 Solusi ‘t Hooft bukan merupakan solusi umum, sebab jumlah parameternya belum sesuai dengan parameter instanton. 12 Konstruksi ADHM semula diperoleh dengan menggunakan metoda twistor dan aljabar geometri. Twistor adalah tak lain daripada “spinor” (representasi fudamental) dari grup konformal dalam R4.

43

Berikut akan ditunjukkan bagaimana konstruksi ini bekerja untuk grup gauge

SU(2)13. Untuk grup ini medan gauge Aµ dan kuat medannya Fµν dapat dituliskan

dalam bilangan kuaternion (lihat apendiks A3).

Konstruksi ADHM dimulai dengan ansatz untuk potensial gauge SU(2) yaitu:

MiMA µµ ∂= + , (4.2.1)

dimana M = M(x) adalah vektor kolom kuaternion dengan (n + 1) elemen

kuaternion, yaitu:

[ ]n10T M,,M,MM K= . (4.2.2)

Vektor kuaternion M dibutuhkan untuk memenuhi kondisi normalisasi

2nn1100 IMMMMMMMM =+++= ++++ L (4.2.3)

dimana I2 adalah elemen satuan kuaternion. Karena kuaternion adalah matriks

komples 22× , maka M adalah matriks kompleks ( ) 22k2 ×+ , yaitu:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

22n21n

12n11n

221211

121111

220210

120110T

MMMM

MMMM

MMMM

ML

L (4.2.4)

Ansatz ini terlihat seperti penjumlahan suku-suku gauge murni [akan tetapi

kuaternion bukanlah elemen matriks SU(2) kecuali kalau mereka unimodular].

Jika n = 0 maka ( )2SUM0 ∈ , dan akan didapatkan potensial gauge murni. Untuk

n > 0, hal ini tidak akan menjadi masalah.

Perhatikan bahwa kondisi normalisasi memberikan:

0)M(MM)M()MM( =∂+∂=∂ µ++

µ+

µ (4.2.5)

seperti halnya untuk elemen suatu matriks SU(2). Oleh karena itu, Aµ adalah

Hermitian ( µ+µ = AA ) dan potensial gauge JAµ adalah real.

Transformasi gauge U - SU(2) dari potensial gauge Aµ mengakibatkan perubahan

berikut dalam M,

13 Untuk diskusi lebih lanjut mengenai konstruksi ADHM untuk berbagai grup gauge lihat paper Corrigan dkk. [6] dan Christ dkk. [19].

44

[ ]Tn10' UM,,UM,UMMUMM K==→ (4.2.6)

oleh karena itu, transformasi gauge mengubah elemen-elemen M dengan faktor

unimodular biasa.

Kuat medan gauge µνF didefinisikan dengan:

[ ]

( ) ( ) ( ) )(MMMMMMMM

)(AA)iA( )(AiAAiiF vv

ν↔µ−∂∂−∂∂+∂∂=

ν↔µ−+−∂=

ν↔µ−+∂−=−

ν++

µνµ+

ν+

µ

νµνµ

µµµν

(4.2.7)

atau

( )( ) )(MMMIMiF ν↔µ−∂−∂=− ν++

µµν . (4.2.8)

Perhatikan bahwa,

PMM =+ (4.2.9)

merupakan suatu operator proyeksi (lihat apendiks C3) terhadap M, dengan sifat-

sifat:

+++ ==== MPM ,MPM ,PP ,PP2 , (4.2.10)

dengan M adalah matriks kompleks, maka P adalah suatu matriks Hermitian

)2n2()2n2( +×+ dengan rank-2 yaitu: 2TrP = .

Dituliskan dalam P, kuat medan dalam pers. (4.2.8) menjadi:

( )( )( )( )( ) )(MP1P1M

)(MP1MiF

ν↔µ−∂−−∂=

ν↔µ−∂−∂=−

ν+

µ

ν+

µµν (4.2.11)

Gunakan,

( )( ) ( )

( )( ) ( ) MP1MP1P1MP1M

µµ

µ++

µ

∂−−=−∂

−∂−=−∂ (4.2.12)

maka,

( ) ( )[ ] ( )ν↔µ−−∂−∂=− νµ+

µν MP1P1MiF (4.2.13)

atau

[ ]MP,PMiF νµ+

µν ∂∂=− . (4.2.14)

45

Perhatikan bahwa

P1Q −= (4.2.15)

juga merupakan suatu proyektor, sebab QQ =+ dan QQ2 = yang merupakan

sifat-sifat dari P. Proyektor Q ini melenyapkan M, dengan

0MMPMMM)P1(MO =−=−=−= . (4.2.16)

Dengan mengambil trace (4.2.15), dimana I sekarang adalah matriks satuan

)2n2()2n2( +×+ , diperoleh n2 TrPTrIOTr 2n2 =−= + . Jadi, Q merupakan

matriks Hermitian )2n2()2n2( +×+ dengan rank – 2n.

Sehingga dituliskan dalam suku proyektor Q , kuat medan gauge (4.2.14) akan

menjadi:

[ ]MQ,QMiF νµ+

µν ∂∂=− . (4.2.17)

Karena Q adalah operator proyeksi, jadi dapat dituliskan sebagai:

+−+ ∆∆∆∆= 1)(Q (4.2.18)

dimana ∆ adalah matriks berelemen kompleks n2)2n2( ×+ atau matriks

berelemen kuaternion n)1n( ×+ . Lebih lanjut lagi, karena Q memusnahkan M,

yaitu:

[ ] 0M)(0MQ 1 =∆∆∆∆→= +−+ , (4.2.19)

maka ∆ harus memenuhi

0M =∆+ atau 0M =∆+ . (4.2.20)

∆ harus dipilih sedemikian rupa sehingga µνF adalah self-dual (3.3.14).

Untuk itu, substitusi Q dalam pers. (4.2.18) ke dalam persamaan kuat medan

(4.2.17) memberikan:

46

( ) ( )[ ][

]M)()())((

,)()())((M

M)(,)(MiF

111

111

11

+ν

−++−+ν

+−+ν

+µ

−++−+µ

+−+µ

+

+−+ν

+−+µ

+µν

∆∂∆∆∆+∆∆∆∂∆+∆∆∆∆∂

∆∂∆∆∆+∆∆∆∂∆+∆∆∆∆∂=

∆∆∆∆∂∆∆∆∆∂=−

(4.2.21)

Dengan menggunakan sifat ortogonal (4.2.20), pers. (4.2.21) direduksi menjadi:

[ ][ ] )(M)())((MiF 11 ν↔µ−∆∂∆∆∆∆∆∆∆∂=− +ν

−++−+µ

+µν , (4.2.22)

atau

( )( ) ( )( )[ ]MMiF 11 +µ

−+ν

+ν

−+µ

+µν ∆∂∆∆∆∂−∆∂∆∆∆∂=− . (4.2.23)

Perhatikan bahwa ∆ merupakan fungsi variabel kuaternion x, yang berkaitan

dengan titik 4Rx ∈µ (lihat apendiks A3). Elemen-elemen kuaternion dari M(x)

harus ditentukan sedemikian rupa agar Aµ merupakan solusi self-dual dari

persamaan gerak Yang-Mills. Agar Fµν dalam (4.2.23) adalah self-dual, maka

dipilih ∆ harus linear dalam x, yaitu:

bilanganb ),x)(b()a(

x=ττ+τ=

+=∆

αµµααµµ

ba (4.2.30)

dimana

a adalah matriks kuaternion n)1n( ×+ ,

b adalah matriks kuaternion n)1n( ×+ yang sebanding dengan σ4 dan,

bx berarti setiap elemen dari b dikalikan dengan x.

Parameter konstan dalam a dan b merupakan parameter dari solusi. Dengan kata

lain matriks-matriks ini yang akan menentukan solusinya. Matriks kuaternion a

dan b tidak dapat dipilih sembarang, akan tetapi, agar mengikuti konstruksi

aljabar hanya dimungkinkan jika ∆(x) memenuhi syarat:

∆+(x)∆(x) = R(x) = Rσ4, det R(x) ≠ 0 (4.2.31)

dimana R(x) merupakan matriks real nn × (yaitu elemen-elemen dari R adalah

bilangan real dikali matriks satuan 2-dimensi I2, sehingga komut dengan σ4) yaitu

47

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

σσσ

σσσσσσ

=

4kk42k41k

4k2422421

4k1412411

RRR

RRRRRR

R

L

MOMM

L

L

. (4.2.32)

Substitusi (4.2.31) ke dalam pers. (4.2.23), diperoleh:

[ ][ ][ ]M)(b)R(b)(b)R(bM

M)()b()R)(b(M

M)()R)(()()R)((MiF

10

10

10

10

10

+µνβαβ

−α

+νµβαβ

−α

+

µββ−

µαα+

+µ

−ν

+ν

−µ

+µν

ττττσ−ττττσ=

ν↔µ−ττσττ=

∆∂σ∆∂−∆∂σ∆∂=−

(4.2.33)

dimana telah digunakan (∆+∆)-1τµ = τµ(∆+∆)-1 yang menunjukkan mengapa ∆+∆ =

R, harus berelemen real dan bukan kuaternion. Agar self-dual maka dipilih:

( ),0b,0b,0b,bb 3210 ====α (4.2.34)

dengan b0 adalah matriks )nn( × sehingga pers. (4.2.33) menghasilkan:

( )[ ]

( ) Mb)R(bM

M)(b)R(bMiF

dualself

01

00

0001

00

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ττ−ττσ=

ν↔µ−ττττσ=−

−

+µν

+νµ

−+

+νµ

−+µν

44 344 21

(4.2.35)

yang menjamin bahwa pers. (4.2.1) adalah solusi self-dual dari persamaan medan.

Pembangunan solusi eksplisit, dimulai dengan pemilihan matriks konstanta a dan

b secara khusus sehingga kondisi pers. (4.2.31) dipenuhi. Kondisi 0M =∆+

menentukan jumlah parameter bebas yang ada dalam solusi, dimana untuk SU(2)

ada (8n - 3) buah parameter. Jadi, n di sini adalah muatan topologi Q. Untuk

mendapatkan potensial gauge, pers. (4.2.20) harus harus terlebih dahulu

diselesaikan untuk memperoleh M. Namun, hal ini secara umum jauh lebih sulit.

48

4.3 Solusi Q-instanton SU(2) ADHM

Untuk mengilustrasikan konstruksi ADHM, berikut diturunkan solusi Q-instanton

untuk gauge SU(2)/ solusi ‘t Hooft14.

Mengikuti prosedur di atas, pertama dipilih:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ σλσλσλ

=

Q

2

1

4n4241

a00

0a000a

L

MOMM

L

L

L

a (4.3.1)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

σ−

σ−σ−

=

4

4

4

00

0000000

L

MOMM

L

L

L

b (4.3.2)

dimana an = anµτµ menentukan posisi instanton ke-n dan λn = λnI2 adalah

ukurannya.

maka,

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

σλσλσλ

=+=∆

)xa(00

0)xa(000)xa(

x

Q

2

1

4n4241

L

MOMM

L

L

L

ba , (4.3.3)

dan

14 Solusi SU(2) yang lebih rumit dipelajari oleh Christ dkk. [19]. Secara khusus, mereka membahas permasalahan menemukan solusi Q-instanton untuk instanton dengan orientasi SU(2) yang berubah-ubah.

49

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

σλ

σλσλ

=∆

+

+

+

+

Q41

241

141

y00

0y000y

L

MOMMM

L

L

(4.3.4)

dimana telah dituliskan: -σ4x = -x.

Misalkan,

yn = an - x (4.3.5)

maka (∆+∆) diberikan oleh

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+σσλλσλλ

σλλ+σσλλ

σλλσλλ+σ

=∆∆+

2Q

24

2Q42Q41Q

4Q22

224

22412

4Q14212

124

21

yx

yxyx

L

MOMM

L

L

. (4.3.6)

Karena,

02

n2

n yy σ= (4.3.7)

dimana:

( ) ( ) Raxaxy 24n

421n

12n ∈−++−= L (4.3.8)

maka,

( )( )

( ) ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

σ+λσλλσλλ

σλλσ+λσλλ

σλλσλλσ+λ

=∆∆+

42

Q2

Q42Q41Q

4Q242

22

2412

4Q142142

12

1

y

yy

L

MOMM

L

L

(4.3.9)

adalah matriks kuaternion real ( )kk × , yaitu setiap elemennya sebanding dengan

σ4 seperti yang dibutuhkan.

Selanjutntya, dari kondisi M+∆ = 0, yaitu:

[ ] 0

y00

0y000y

MMM

Q

2

1

4Q4241

Q10 =

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ σλσλσλ

+++

L

MOMM

L

L

L

L (4.3.10)

50

diperoleh

0yMM

0yMM

0yMM

QQ0Q

2202

1101

=+λ

=+λ

=+λ

++

++

++

M (4.3.11)

atau,

0yMM nn0n =+λ ++ “tidak dijumlahkan” (4.3.12)

Selanjutnya, pers. (4.3.12) dikalikan dengan +ny dari kanan menghasilkan:

0yyMyM nnnn0n =+λ ++++ (4.3.13)

karena,

42

n2

nnnnn yyyyyy σ=== ++ (4.3.14)

maka diperoleh:

+++ λ−= n02

n

nn yM

yM . (4.3.15)

Kemudian, dari normalisasi M+M = σ4 = 1, didapatkan:

4

Q

1nnn02

n

i00

4

Q

1inn00

MyMy

MM

MMMM

σ=λ

−

σ=+

∑

∑

=

+++

=

++

(4.3.16)

Gunakan (4.3.12) untuk menggantikan Mn dalam (4.3.16), menghasilkan:

[ ]

Iy

1MM

IMMy

MM

IMMy

MM

Q

1n2

n

2n

00

Q

1n002

n

2n

00

Q

1n0n02

n

n00

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ λ+

=λ

+

=λ−λ

−

∑

∑

∑

=

+

=

++

=

++

(4.3.17)

maka diperoleh

401M σφ

= , (4.3.18)

51

dan

( )

( ) φ⋅

−

λ=

φ⋅

−

−λ= +

1ax

1ax

axM

n

n2

n

nnn (4.3.19)

dimana:

2Q

Q2

1

1

Q

1n2

n

n

)ax()ax(1

)ax(1

−

λ++

−λ

+=

−λ

+=φ ∑=

L

(4.3.20)

yang tak lain adalah fungsi ansatz skalar untuk solusi ‘t Hooft (pers. 4.1.10).

Namun diperlukan pilihan yang lebih tepat untuk pers. (4.3.1) dan (4.3.2), agar

diperoleh solusi umum multi-instanton SU(2).

4.4 Interaksi Instanton

Karena sifat self-dualitas, solusi Q-instanton (atau Q-anti-instanton) memenuhi

batas bawah pada aksi total, yaitu

Qg

8S 2

2π= . (4.4.1)

Untuk sembarang Q yang diberikan semua solusi instanton memiliki aksi yang

sama seperti pada persamaan di atas. Ini artinya bahwa, tidak terdapat interaksi

antara instanton dalam teori medan gauge murni. Karena instanton memperoleh

nilai aksi yang diskrit, maka solusi instanton dengan Q yang berbeda, tidak dapat

ditransformasikan ke solusi yang lain melalui deformasi kontinu dari potensial

gauge. Oleh karena itu aksinya tidak bergantung pada kedudukan instanton. Hal

ini menyatakan bahwa, instanton tidak berinteraksi dengan instanton, demikian

juga anti-instanton dengan anti-instanton. Namun, pernyataan ini tidak berlaku,

jika pusat dari kedua instanton dibuat berimpit. Maka, seperti terlihat pada pers.

(4.3.20), dua instanton akan bergabung menjadi satu instanton dengan parameter

ukuran baru, dan satuan muatan topologinya tinggal satu.

52

Terdapat interaksi logarithmic antara instanton dan anti-instanton. Penjelasannya

sebagai berikut. Tinjau satu instanton dan satu anti-instanton dengan jarak pisah

yang besar R ( >> R ukuran instanton). Potensial gauge yang menggambarkan

situasi ini adalah:

µµµ += AAZ (4.4.2)

dimana µA dan µA berturut-turut adalah potensial dari instanton dan anti-

instanton. Zµ adalah solusi aproksimasi dari persamaan gerak. Kuat medan

dihitung dari Zµ adalah

( )cbcbabc

aaa AAAAgFFZ µννµµνµνµν −ε++= . (4.4.3)

Selanjutnya, perhatikan kontribusi suku terakhir pada aksi total. µA dan µA

berturut-turut berkelakuan seperti x1 dan Rx1 − , (instanton dilokasikan pada

titik asal), dan di dalam menghitung aksinya didapat kontribusi Rln~ yang

berasal dari daerah x-yang kecil. Jelas bahwa interaksi logarithmic ini bersifat

atraktif, yaitu ketika instanton dan anti-instanton saling mendekati, mereka

cenderung saling memusnahkan. Dan ketika pusatnya berimpit, serta memiliki

ukuran yang sama, maka pemusnahannya akan sempurna dan menghasilkan gauge

murni (muatan topologi totalnya adalah nol).

53

BAB V KONSTRUKSI ADHM UNTUK GRUP GAUGE U(N)

Do not worry about your difficulties in

mathematics. I can assure you mine are still

greater.

Albert Einstein

Pada bab sebelumnya telah dibahas konstruksi solusi instanton ADHM, dan

ditunjukkan juga bahwa dengan konstruksi ini, dapat diperoleh solusi eksplisit

multi-instanton untuk grup SU(2). Kenyataan ini memberikan harapan guna

menemukan solusi multi-instanton untuk grup yang lebih umum dari SU(2),

seperti U(N) atau SU(N)15. Dalam bab terakhir ini, konstruksi ADHM diperumum

untuk grup gauge U(N), yang dicobakan untuk menurunkan solusi 2-instanton

dari grup gauge U(N) [17, 18]. Penurunannya mengikuti prosedur yang sama

seperti dalam bab sebelumnya dengan beberapa penyesuaian untuk data ADHM.

5.1 Deskripsi solusi Q-instanton U(N) ADHM

Konstruksi ADHM untuk U(N), dimulai dengan matriks kompleks [ ]Q2Q2N ×+∆ 16,

yang didefinisikan linear terhadap koordinat ruangwaktu x, menurut (4.2.30):

222Q)Q2N(2Q)Q2N(2Q)Q2N(Q2)Q2N( x)x()x( ×××+××+××+×+ +=∆=∆ ba . (5.1.1)

Di sini indeks 2Q telah dikomposisikan sebagai produk langsung dari indeks Q

dan 2, sedangkan: cbbaca BA)AB( ××× = . Matriks a dan b adalah matriks konstan

15 Konstruksi konfigurasi instanton ADHM tidak berlaku untuk N = 1, karena instanton ADHM merupakan fenomena teori gauge non-Abelian. 16 Notasi subscript menunjukkan ukuran dari baris dan kolom pada matriks.

54

bernilai kompleks yang mengandung data ADHM yang menggambarkan

instanton. Di sini x direpresentasikan sebagai kuaternion:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−++

=

+++=×

12

21

3412

1234

432122

zzzz

ixxixxixxixx

1xkxjxixx, (5.1.2)

dimana telah diperkenalkan koordinat kompleks z1 dan z2.

Secara umum, nullspace dari matriks Hermitian konjugat ( )x∆ adalah berdimensi

N, karena barisnya berjumlah N buah lebih banyak daripada jumlah kolom.

Vektor basis untuk nullspace ini dapat dituliskan dalam suatu matriks kompleks

M(x) berdimensi ( ) NQ2N ×+ yaitu:

0MM Q2)Q2N()Q2N(NN)Q2N()Q2N(Q2 =∆=∆ ×++××++× . (5.1.3)

Matriks M(x), selanjutnya dipilih ternormalisasi, yakni:

NNN)Q2N()Q2N(N 1MM ××++× = (5.1.4)

Medan gauge instanton Aµ(x) akhirnya dibangun dari matriks M(x). Untuk

muatan topologi Q = 0, medan gauge diberikan melalui transformasi gauge

vakum/ gauge murni:

( ) NQ2NmQ2NNNN MMA ×++××µ ∂= (5.1.5)

yang otomatis akan memenuhi persamaan self-dual (3.3.14).

Dalam konstruksi ADHM, rumusan (5.1.5) akan diambil sebagai ansatz, dengan

M dipilih sedemikian rupa sehingga memberikan solusi persamaan self-dual untuk

semua Q ≠ 0. Ansatz ini mengimplikasikan kondisi faktorisasi:

1QQ222Q)Q2N()Q2N(Q2 F1 −

××××++×× =∆∆ (5.1.6)

dimana F(x) adalah matriks Hermitian berdimensi QQ× yang bergantung pada x.

Gabungkan pers. (5.1.6) dengan syarat nullspace (5.1.3), maka pers. (5.1.6)

menghasilkan hubungan kelengkapan:

)Q2N(NN)Q2N()Q2N()Q2N()Q2N(Q2QQ2Q)Q2N( MM1F +××++×++×××××+ −=∆∆ (5.1.7)

55

Dengan menggunakan pers. (5.1.5, 5.1.6, 5.1.7) dan memanfaatkan kondisi

normalisasi (5.1.4), kuat medan pers. (2.2.32), dinyatakan dalam M, adalah self-

dual (pembuktiannya mengikuti prosedur dalam pasal 4.4).

Medan gauge (instanton) klasik yang akan dibangun memiliki grup gauge U(N)

[Untuk menentukan medan gauge instanton SU(N) klasik, kita dapat melakukan

transformasi gauge 1UgU → , dimana )1(Ug1 ∈ ]. Selanjutnya, untuk kemudahan,

ditetapkan indeks-indeks berikut untuk objek-objek yang merupakan data ADHM

(matriks M, ∆, a, b dan F, yang mengandung σ dan x):

4 3, 2, 1, , :(4) Lorentz indeks 2 1,β α, β, α, :(2) / Weylkuaternion indeks

2QN ,1 :2Q)(N ADHM indeks N vu,1 :(N) gauge grup indeks

Qn m, l,1 :(Q)instanton bilangan indeks

=νµ=

+≤ϑζ≤+≤≤≤≤

L

L&

L

L

L

(5.1.8)

Dalam konvensi ini pers. (5.1.1) menjadi:

αββζαζαζ +=∆ &&& x)x( lll ba , (5.1.9)

dimana konjugatnya adalah:

ζα

ααζαζβ

βαζαζααζ +=+=∆=∆=∆ mmmmmm xx)( baba &&&&&& . (5.1.10)

Kondisi faktorisasi (5.1.6) adalah:

( )lm1lm F−β

ααλζβ δ=∆∆ &

&&

& . (5.1.11)

Substitusikan pers. (5.1.9) ke dalam pers. (5.1.10) memberikan:

( )( ) ( )( )lm1

mlmlmlml

lm1

mmll

Fxxxx

Fxx−β

ααββζ

ζβ

ββαζ

ζβ

ββαβ

βζ

ζβαζ

λβ

−βααβ

βζαζ

ζβ

ββζβ

δ=+++

δ=++&

&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&&&

&&

bbabbaaa

baba

Dengan demikian, definisi ∆(x) dan kondisi faktorisasi menyatakan secara tidak

langsung kondisi-kondisi berikut dalam a dan b:

βα

βααζ

ζβ δδ=&

&

&

&&

& ~ )( lmml aaaa (5.1.12)

βζ

βζβζ

ζβ =&&

mlml abba (5.1.13)

βα

βα

βζ

ζα δδ= ~ )( lmml bbbb (5.1.14)

56

Pers. (5.1.12, 5.1.13, 5.1.14) merupakan kendala ADHM. Matriks a dan b

mengandung koordinat kolektif dari konfigurasi medan gauge Q-instanton, dan

jumlah koordinat ini bertambah menurut Q2. Namun demikian, jumlah koordinat

fisis yang dibutuhkan untuk menggambarkan Q-instanton U(N) adalah 4NQ,

termasuk rotasi gauge global dari medan gauge. Oleh karena itu, matriks a dan b

bersama-sama membentuk sekumpulan koordinat kolektif yang berlebihan.

Beberapa koordinat yang tidak diperlukan dapat dibuang melalui transformasi

bergantung-x yang tetap mempertahankan invarian kendala ADHM, yakni:

( ) ( )

,BfBf

,MM

,B

QQQQQQQQ

N)Q2N()Q2N()Q2N(N)Q2N(

1QQ2QQ2N)Q2N()Q2N(2QQ2N

+××××

×++×+×+

−×××++×+××+

→

Λ→

∆Λ→∆

(5.1.15)

dimana )Q2N(U)Q2N(: +∈+Λ dan )C,Q(GLB∈ .

Gunakan sifat simetri (5.1.15), representasi a dan b dapat dibawa ke bentuk

kanonik berikut, dimana derajat kebebasan berlebihan dari matriks b tereliminasi:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

×

××+ '

Q2Q2

Q2NQ2)Q2N( a

ua , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

×

××+

Q2Q2

Q2NQ2)Q2N( I

0b . (5.1.16)

dimana sub-matriks u adalah matriks kompleks. Semua elemen sub-matriks

lm'' )a(a αα≡ & , juga direpresentasikan dengan menggunakan basis kuaternion:

,)a()a(a ,)a()a(a lm'

lm''

lm'

lm'' αα

νναα

αναναα σ==σ== &&&& (5.1.17)

Selain invariansi di bawah transformasi (5.1.15), terdapat pula simetri sisa yang

muncul dari simetri konstruksi ADHM dalam persamaan tadi. Yakni, bentuk

kanonik b, yang diberikan dalam pers. (5.1.16), adalah invarian dibawah rotasi

global )C,Q(GLQ2N(U)Q(U ×+∈ , yang bekerja pada [ ] Q2Q2N ×+∆ menurut:

Q2Q2Q2)Q2N(Q2Q2NQ2

Q2NNNQ2)Q2N( 0

01××+

××

×××+ Λ∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Λ

→∆ (5.1.18)

dimana 22QQQ2Q2 1 ××× Ω=Λ dan )k(UQQ ∈Ω × . Simetri sisa U(Q) ini dapat

digunakan untuk menyederhanakan bentuk akhir dari solusi kendala ADHM.

Dengan a dan b dalam bentuk kanonik, kendala ADHM pers. (5.1.14) otomatis

dipenuhi, dan 2 kendala yang lain akan memberikan:

57

0)(Tr j2 =σ α

βαβ &

&&& aa (5.1.19)

lmlm' )a()a( ν

+ν = (5.1.20)

Matriks Pauli σj telah digunakan untuk menyingkatkan hasil ),( aa (Tr2

menunjukkan trace meliputi indeks kuaternion), sehingga kendala pers. (5.1.19)

memberikan 3 persamaan yang berbeda.

Konstruksi instanton U(N) dalam kasus ini, tidaklah harus menggunakan

kuaternion untuk menurunkan kendala ADHM. Dapat pula digunakan matriks

kompleks sebagai gantinya seperti berikut:

( )

( ) ( )

kompleks matriks)ai(a)ai(-a)ai(a)ai(a

uu

kuaternion matriksau

QQ'3

'4QQ

'1

'2

QQ'1

'2QQ

'3

'4

QN2QN1

'22Q

2QN2Q2QN

←⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+++=

←⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

××

××

××

×

××+a

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−≡

××

××

××

kk11kk12

kk12kk11

kN2kN1

rrrruu

, (5.1.21)

dimana telah diperkenalkan matriks kompleks u1, u2, r11 dan r12, dengan:

.iaar iaar

iaar iaar'1

'212

'1

'212

'3

'411

'3

'411

−=+=

−=+= (5.1.22)

Bentuk kanonik b dalam pers. (5.1.16) tetap tidak berubah. Kemudian namakan

elemen uα sebagai uα,uv, dengan menggunakan indeks yang ditetapkan diatas dan

gunakan indeks penempatan yang sama untuk elemen-elemen kompleks

konjugatnya (misalnya, untuk u1,11 : 1,1111,1 uu ≡∗ ).

Berikut ditinjau kasus Q = 2. Matriks 'a , untuk kasus ini, hanya mengandung 2

matriks kompleks (r11 dan r12), berukuran 22× sebagai pengganti 4 matriks

Hermitian lm' )a( ν berukuran 44× dalam rumusan sebelumnya.

58

Dengan matriks a dalam pers. (5.1.21) diperoleh,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+−+++

=11111212221211111212

11121211211212111111

rrrruurrrruurrrruurrrruu

aa . (5.1.23)

Bandingkan dengan pers. kendala ADHM pers. (5.1.12), dimana

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==δ ×

βα 10

01I 22

&

& (5.1.24)

diperoleh kendala ADHM17 untuk Q-instanton yang dinyatakan dalam matriks

kompleks 211211 udan u,r,r . Yaitu:

0rrrruu0rrrruu

1211111212

1112121121

=−+=−+

(5.1.25)

yang merupakan kendala ADHM kompleks, dan

0rrrrrrrruuuu 12121212111111112211 =−+−+− (5.1.26)

kendala ADHM real.

Akan tetapi, untuk kasus Q ≥ 2, kedua persamaan matriks ini akan mengandung

elemen real dan kompleks. Jadi, kendala pers. (5.1.19) memberikan kendala

ADHM Q-instanton U(N) utama, yaitu: pers. (5.1.25) dan (5.1.26).

5.2 Parameter kendala Q = 2 instanton U(N) ADHM

Dalam pasal ini akan dihitung jumlah paramater bebas real yang harus dimiliki

oleh solusi kendala ADHM. Matriks a, dalam pers. (5.1.21) mengandung

)Q2N(Q4 + parameter (derajat kebebasan) real. Penerapan kendala ADHM, pada

pers. (5.1.19) dan (5.1.20) secara berturut-turut, mengambil 3Q2 dan 4Q2

parameter real dari elemen a. Selanjutnya, simetri sisa, yakni: rotasi gauge global

U(Q), menghilangkan Q2 parameter real. Jadi, parameter total dari elemen adalah:

4Q(N + 2Q) - 3Q2 - 4Q2 - Q2 = 4QN (5.2.1)

17 Tidak ada analogi untuk kendala ADHM pers. (5.1.20) dalam perumusan ini, sebab bagian real maupun kompleks dari sub-matriks 'a sudah dimuat dalam r11 dan r12.

59

Untuk mendapatkan solusi dengan derajat kebebasan fisis murni yang hanya

mengandung jumlah koordinat kolektif yang tepat: penentu posisi, ukuran dan

orientasi (dalam ruang grup) dari Q-instanton, simetri rotasi gauge global U(N)

harus disisihkan. Hasilnya, jumlah parameter fisis bebas yang tersisa untuk SU(N)

menjadi:

4NQ – (N2 + 1) (5.2.2)

5.3 Kendala solusi Q = 2 instanton U(N) ADHM

Kendala ADHM mengandung tingkat kompleksitas18 yang tinggi, terlihat dari

pers. (5.1.25, 5.1.26). Dalam menentukan solusi yang paling umum dari kendala-

kendala ini, untuk Q = 2, yang memiliki 8N parameter bebas real, terlebih dahulu

dicari solusi dengan 8N + 4 parameter real. Kemudian simetri U(2) disisihkan,

yang secara efektif menyisihkan 4 parameter real dari ke-(8N + 4) buah

parameter tadi.

Untuk mempermudah notasinya, ambil:

∑∑==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

N

1v 2v,1

1v,11

N

1v

2v,11v,11 0u

0uu ,

00uu

u (5.3.1)

∑∑==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

N

1v 2,2v

2,1v2

N

1v

2v,21v,22 0u

0uu ,

00uu

u (5.3.2)

Dengan demikian, kuantitas-kuantitas dalam data ADHM, yang ada pada matriks

a, secara eksplisit, berbentuk sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

= tz

yxN

1v 2v,21,2v1v,21,2v

2v,21,1v1v,21,1v21 UU

UU

uuuuuuuu

uu (5.3.3)

18 Indikasi dari keruwetan ini telah terlihat dari permulaan konstruksi ADHM, dimana hanya sedikit konfigurasi 3-instanton yang ditemukan, semuanya untuk grup Sp(1) ≈ SU(2) dan memiliki 21 parameter. Belum ditemukan konfigurasi instanton umum eksak dengan muatan topologi sama dengan atau lebih besar dari 3. Beberapa konfigurasi Q-instanton telah ditemukan, tetapi semuanya tidak merupakan solusi umum dari kendala ADHM merujuk pada jumlah parameter yang menggambarkannya.

60

∑=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=−

N

1v2

2v,22

2v,12v,22,1n2v,11,1v

2v,22,1v2v,11,1v2

1v,22

1v,12211

uuuuuu

uuuuuuuuuu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

≡423

21

UUUUU

(5.3.4)

Perhatikan bahwa dalam pers. (5.3.3, 5.3.4), indeks jumlah v berjalan dari 1

hingga N, dimana N dalam penjumlahan ini berkaitan dengan rank dari grup

gauge U(N). Selanjutnya dilakukan perubahan variabel sedemikian rupa, yang

hanya mengakibatkan perubahan pada elemen diagonal dari matriks r11, r12, yaitu:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+=

0

0

11

0

0

11

x21ab

cx21a

r ,x

21ac

bx21a

r (5.3.5)

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−αβ

γ+α=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−αγ

β+α=

1

1

12

1

1

12

x21

x21

r ,x

21

x21

r (5.3.6)

dimana C β, α, c, b, a, , x, x,x 210 ∈γ . Hal ini dilakukan agar interpretasi fisis

dari konfigurasi instanton U(N) dengan Q = 2, lebih jelas, serta

menyederhanakan perhitungan yang menyangkut r11 dan r12. Hasil utamanya

adalah solusi kendala ADHM U(N) untuk Q = 2 dengan (8N + 4) buah parameter

real, yaitu:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−

−−

−+

=

0221

20

z

x0

1

y

1

z22

12

00

11

x21a

)1u(xx)PuP(ux

UUx

xU

xU

)1u(xx)PuP(x

x21a

r , (5.3.7)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−α−

−−

−−−+α

=

1221

21

221

21

z

x11

12

x21

)1u(xx)PuP(x

)1u(xx)PuP(ux

UUxx

21

r , (5.3.8)

dimana

61

21

20

2z

y

y

x21

22

21y10z10

xxx

UU

u

UUxxUxUxxUxxP

+=

≡

−−+≡

(5.3.9)

Selain itu, termasuk pula kondisi-kondisi berikut yang berasal dari kendala

(5.1.25, 45.1.26), yang bersama dengan pers. (5.3.7, 5.3.8), menghasilkan solusi

umum dari kendala ADHM U(N) untuk Q = 2. Pertama, dihitung dahulu

kuantitas-kuantitas berikut:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−−++−

++−++++=

22000

200

0022

0002

1111

cx41ax

21xa

21axc

21acbx

21ba

xc21acbx

21babx

41ax

21xa

21a

rr

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−−−++

−++++++=

22000

200

0022

0002

1111

bx41ax

21xa

21axc

21acbx

21ba

xc21acbx

21bacx

41ax

21xa

21a

rr

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+α−α−α+γγ+αγ+β−βα

γ+αγ+β−βα+α+α+β+α=

2111

2211

112

11122

1212

x41x

21x

21x

21x

21

x21x

21x

41x

21x

21

rr

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+α−α−α+βγ−αγ+β+βα

γ−αγ+β+βα+α+α+γ+α=

2111

2211

112

11122

1212

x41x

21x

21x

21x

21

x21x

21x

41x

21x

21

rr

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+α−−α+γγ+γ+−α

+α+β−ββ++α++α=

100101

101001

1112

xx41x

21xa

21acx

21axb

21b

xc21cx

21abxx

41x

21xa

21a

rr

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+α−−α+βγ−γ++α

−α+β+βγ++α++α=

100101

101001

1211

xx41x

21xa

21abx

21axb

21b

xc21cx

21acxx

41x

21xa

21a

rr

Dari sini, didapatkan untuk pers. (5.1.25):

62

0

cbUxxbUxcxUbcU

0rrrruu

t01z

10yx

1112121121

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ−β+γ−+−β+β−γ+

=−+

Ambilkan trace dari persamaan diatas diperoleh:

( )

0U U 0γcβbUβbγcU0rrrruuTr

tx

tx

1112121121

=+=−++−+

=−+

atau,

tx UU −= . (5.3.10)

Kendala ADHM pers. (5.1.26) selanjutnya menghasilkan:

0

cbUxxxcxbUxxxcxbUbcU

0rrrrrrrruuuu

2222411002

110022222

1

12121212111111112211

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β−γ+−+β−γ+−+

β−γ+−+γ−β+−+

=−+−+−

Dengan cara yang sama, diperoleh:

( )

0UU 0cbUbcU

0rrrrrrrruuuuTr

41

22224

22221

12121212111111112211

=+

=β−γ+−++γ−β+−+

=−+−+−

atau,

222241 cbUU β−γ+−=−= . (5.3.11)

Dalam solusi pers. (5.3.7) – (5.3.11), masih terdapat simetri sisa U(Q), yang mana

penyisihannya mereduksi jumlah parameter bebas menjadi 8N. Aksi simetri U(Q)

menurut pers. (5.1.18) pada sub-matriks a adalah sebagai berikut:

( ) ( )ΩΩ→ 2121 uuuu , (5.3.12)

Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Ω→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

1112

1211

1112

1211

rrrr

rrrr

, (5.3.13)

dimana )2(U∈Ω untuk muatan topologi Q = 2. Transformasi khusus Ω ini dapat

digunakan untuk membuat Ux = 0 dan u1,11 = 0.

63

Dengan transformasi U(2) dapat dibangun solusi instanton ADHM U(N) untuk Q

= 2 yang mempunyai interpretasi fisis tertentu. Bentuk solusi 8N-parameter,

mengikuti bentuk solusi (8N + 4)-parameter menurut pers. (5.3.7) – (5.3.11),

adalah:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−

−+

=

0221

20

1

y

1

z22

12

00

11

x21a

)1u(xx)RuR(ux

xU

xU

)1u(xx)RuR(x

x21a

r , (5.3.14)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−α−

−−

−−+α

=

1221

21

221

21

1

12

x21

)1u(xx)RuR(x

)1u(xx)RuR(uxx

21

r , (5.3.15)

dimana R adalah

22

1y10z10 UxUxxUxxR −+≡ (5.3.16)

Kondisi pers. (5.3.10) dan (5.3.11) (dengan Ux = 0 dan u1,11 = 0) melengkapi

spesifikasi solusi instanton ADHM U(N) Q = 2. Untuk kasus N = 2, konfigurasi

2-instanton eksplisit dapat diasumsikan mempunyai bentuk sederhana yang

khusus. Melanjuti pemilihan untuk simetri U(2), untuk 2-instanton U(2)

diperoleh:

(i) Dari kendala ADHM pers. (5.3.3), :)2 ,1v2N( =→=

0uuuuU 21,21,211v,21,1vx === (5.3.17)

22,21,212v,21,1vy uuuuU == (5.3.18)

21,21,2211,21,121v,21,2vz uuuuuuU +== (5.3.19)

22,21,2212,21,122v,21,2vt uuuuuuU +== (5.3.20)

dan selanjutnya jika diambil 0u 21,1 = , maka 0U y = dan tz U,U tetap.

(ii) Dari kendala ADHM pers. (5.3.4)19,

19 Supaya U1 konsiten dengan pers. (5.3.11) maka U1 < 0, sehingga solusi 2-instanton U(2) dengan simetri bantu U(2) merupakan solusi yang valid. (U1 > 0tidak memenuhi).

64

2

21,22

11,22

1v,22

1v,11 uuuuU −−=−= (5.3.21)

)uuuu(uuuuU 22,22,2112,22,112v,22,1v2v,11,1v2 +−=−= (5.3.22)

dengan pemilihan ini, setiap elemen yang bukan diagonal dan sebanding dengan

Uy akan lenyap, dan matriks r11 dan r12 dalam pers. (5.3.14) dan (5.2.15) untuk

2N = tersederhanakan menjadi:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+

=

0

21

22

210z

201

0

11

x21a0

xx

UxxUxxx

21a

r , (5.3.23)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+α−

+α

=12

12

22

11z2

00

1

12x

21

xx

UxxUxx

0x21

r . (5.3.24)

Dengan menggunakan pers. (5.3.18) – (5.3.22) dan memilih u1,21 = 0, u1,12 dapat

dieliminasi melalui hubungan Ux = -Ut = 0, [pers. (5.3.10)], yang membuat Uz

sebanding dengan 22,1u . Sedangkan modulus u1,22 dapat dilenyapkan melalui

41 UU −= [pers. (5.3.11)], dan kendala yang sisa, hubungan kedua dalam pers.

(5.3.11), melenyapkan bagian imajiner u1,22, melalui hubungan kuadratik dalam

kuantitas ini20.

Jumlah parameter bebas real yang tersisa dalam solusi kini menjadi 16 buah (8

dari u2,11, u2,12, u2,21, u2,22 dan 8 dari a, α, x0, x1), yang mana adalah sesuai

dengan hasil umum 8N = 16 parameter real menurut penghitungan parameter

dalam pers. (5.2.1). Jadi, dengan penyisihan simetri sisa U(2), data ADHM diatas

menggambarkan solusi dengan 16 buah parameter, yang unik, dari kendala

ADHM untuk grup gauge U(2) dan muatan topologi Q = 2.

20 Prosedur yang sama telah dilakukan untuk N = 3, dimana kendala pers. (5.3.11) menjadi lebih ruwet, namun pemilihan lain elemen dalam u1 dan u2 untuk dieliminasi dapat dipilih untuk memudahkan hal ini.

65

Untuk kasus grup gauge U(N), dengan N > 1, pengidentifikasian parameter fisis

dari solusi instantonnya dilakukan sebagai berikut. Koordinat pusat massa

instanton (koordinat translasi) diberikan oleh a dan α, yang sebanding dengan xµ

dan dapat diambil sama dengan nol. Posisi relatif instanton diambil x0 dan x1.

Selanjutnya, skala ukuran dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi yang

diberikan untuk skala ukuran Q-instanton U(N) sebagai berikut:

( )∑∑==

−=−=ρN

1v

21v,2

21v,1

N

1v

22v,24

21 uu

21u

21U

21 , (5.3.25)

( )∑∑==

−=−=ρN

1v

22v,2

22v,1

N

1v

21n,21

22 uu

21u

21U

21 . (5.3.26)

Orientasi gauge global (yang mengikutsertakan iso-orientasi untuk sembarang

pemilihan N) diberikan oleh parameter sisa yang terdapat dalam sub-matriks u1

dan u2, karena mereka merotasikan 2-instanton dalam ruang grup U(N). Melalui

sub-matriks ini, sembarang 2-instanton U(N) dapat ditentukan. Dengan demikian,

untuk solusi U(2) yang diberikan di atas, jarak relatif instanton adalah x0, x1,

posisi pusat massa instanton adalah a, α, dan kedua skala ukuran instanton

adalah ρ1 dan ρ2, seperti didefinisikan dalam pers. (5.3.25) dan (5.3.26). Keenam

iso-orientasi U(2) terkandung dalam elemen-elemen sisa u2,11, u2,12, u2,21, u2,22

bersama dengan kondisi yang menghubungkannya.

Sekarang dapat dihitung parameter yang muncul dalam solusi 2-instanton U(N).

Koordinat translasi instanton dan jarak relatif, a, α, x0, x1, memberikan 8 buah

parameter. Terdapat 2 skala ukuran, ρ1, ρ2, yang diberikan oleh pers. (5.3.25)

dan (5.3.26); keduanya merupakan parameter real. Juga terdapat, untuk Q = 2,

(4N -5)Q = 8N – 10 buah iso-orientasi real. Jumlahkan semuanya memberikan:

8N – 10 + 8 + 2 = 8N buah parameter real, sesuai dengan perhitungan jumlah

parameter menurut pers. (5.2.1).

66

5.4 Solusi Q = 2 instanton U(N)

Setelah pada dua bab sebelumnya ditentukan kendala dan parameter kendala

solusi instanton U(N) Q = 2, maka sekarang dapat diuraikan konstruksi medan

gauge instanton Aµ dan menunjukkan bagaimana medan gauge (solusi) untuk

U(N) dengan Q = 2 dapat diperoleh dari solusi 8N-parameter yang diberikan oleh

pers. (5.3.10, 11) dan (5.3.14 – 5.3.16). Ambil dekomposisi untuk objek ADHM,

∆ dan M seperti:

( )'Q2NNN)Q2N(N'

NQ2

NNN)Q2N( MVM ,

MV

M ××+××

××+ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (5.4.1)

( )'Q2Q2NQ2)Q2N(Q2'

Q2Q2

Q2NQ2)Q2N( u ,

u××+×

×

××+ ∆=∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

=∆ (5.4.2)

Pertama Aµ dibangun dengan cara menentukan M dalam suku ∆. Hubungan

kelengkapan dalam pers. (5.1.7) dapat juga dituliskan dengan,

)Q2N(Q2QQ2Q)Q2N()Q2N()Q2N()Q2N(NN)Q2N( FIMM +×××××++×++××+ ∆∆−= . (5.4.3)

Substitusi dekomposisi pers. (5.4.1) dan (5.4.2) ke dalam persamaan di atas

diperoleh:

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆∆∆∆

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

××××××

××××××

××

××

××××

××××

××××

××

×

×

××

××××

×

×

'Q2Q2QQ

'Q2Q2NQ2QQ

'Q2Q2

'Q2Q2QQQ2NNQ2QQQ2N

Q2Q2Q2N

Q2NNN'

Q2N'

NQ2NN'

NQ2

'Q2NNNNNNN

'Q2Q2NQ2

QQQQ

QQQQ'

Q2Q2

Q2N

Q2k2Q2N

Q2NNN'Q2NNN'

NQ2

NN

FuFFuuFu

I00I

MMVMMVVV

uFFFFu

I00I

MVMV

Secara eksplisit setiap komponen persamaan di atas adalah

NQ2QQQ2NNNNNNN uFuIVV ×××××× −= (i)

'Q2Q2QQQ2N

'Q2NNN ∆FuMV ××××× −= (ii)

NQ2QQ'

q2Q2NN'

NQ2 uFVM ××××× ∆−= (iii)

'Q2Q2QQ

'Q2Q2Q2Q2

'QN

'NQ2 FIMM ×××××× ∆∆−= (iv)

dari pers. (i) diperoleh:

uuFIVVV 2 −== . (5.4.4)

67

Sembarang matriks V yang memenuhi pers. (5.4.4) dihubungkan satu sama lain

melalui transformasi gauge NVgV → , dimana )N(Ug N ∈ . Pemilihan V secara

khusus berhubungan dengan penentuan gauge (lokal) dari instanton. V (dalam

singular gauge) diberikan oleh salah satu akar matriks pada pers. (5.4.4)

( ) 21

uuFIV −= . (5.4.5)

Selanjutnya, dari pers. (iii) dapat diperoleh ekspresi 'M dinyatakan dalam V yaitu:

1''

''

VuFMuFVM

−∆−=

∆−= (5.4.6)

Pers. (5.4.5) dan (5.4.6) yang menentukan M dalam pers. (5.4.1), dan juga medan

gauge Aµ melalui pers. (5.1.5).

Selanjutnya, untuk memulai prosedur ini, pertama harus ditentukan matriks

Hermitian .F QQ× Untuk Q = 2, gunakan pers. (5.1.1) dan (5.1.2) untuk

membangun matriks ∆ = a + bx, dengan a diberikan oleh pers. (5.1.21) dan

( ) ( )

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

××

××

221222

222221

IzIzIzIz00

xb . (5.4.8)

Masukkan pers. (5.1.21) dan pers. (5.4.8) ke dalam pers. (5.1.1) menghasilkan:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∆

111212

212111

21

12

21

1112

1211

21

ZrZrZrZr

uu

ZZZZ00

rrrruu

(5.4.9)

dimana,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

11 z0

0zZ , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

22 z0

0zZ . (5.4.10)

Dengan demikian,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

2

1111 Ac

bAZr , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

β=+

2

1212 B

BZr (5.4.11)

dimana telah didefinisikan

68

.zx

21B ,zx

21B

,zx21aA ,zx

21aA

212211

102101

+−α≡++α≡

+−≡++≡ (5.4.12)

Dengan pilihan di atas, maka diperoleh:

⎟⎟⎠

⎞+++++++−++++

⎜⎜⎝

⎛−−+++++−−−++++

=∆∆

)Zr)(Zr()Zr)(Zr(uu)Zr)(Z-r()Zr)(Zr(uu

)Zr)(Zr()Zr)(Zr(uu)Zr)(Z-r()Zr)(Zr(uu

11111121221222

11121221211121

21211111121212

21221211111111

(5.4.13)

Untuk Q = 2 kondisi faktorisasi pers. (5.1.6) menjadi

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∆∆

−×

×−

×−×× 1

222

221

122

12244 F0

0FIF (5.4.14)

sehingga,

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )11111121221222

1222

212212111111111

111

ZrZrZrZruuF

ZrZr-ZrZruuF

++++++=↔∆∆

−−−++++=↔∆∆−

−

(5.4.15)

dimana

( )( ) ( )( )

∑

∑

=

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

γ++++β+γ+++

β+γ+++β++++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ+β+γ

β+γβ++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

+++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

−−−++++=

N

1v22

222

22

2v,121211v,11,2v

21212v,11,1v22

122

12

1v,1

N

1v22

221

2122

122

221

2122

12

2v,11v,11,2v

2v,11,1v2

1v,1

212212111111111

1

BbAuBBcAbAuu

BBcAbAuuBcAu

BBBBBB

bAcAbAcAbAcA

uuu

uuu

ZrZr-ZrZruuF

( )( ) ( )( )

∑

∑

=

=

−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

β++++++γ+β+

++γ+β+γ++++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

+++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β+γ+β

γ+βγ++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

++++++=

N

1v222

22

22

2v,221211v,22,2v

21212v,22,1v

22221

21

21v,2

N

1v22

221

2122

122

221

2122

12

2v,21v,22,2v

2v,22,1v2

1v,2

111111212212221

2

cBAubAcABBuu

bAcABBuubBAu

cAbAcAbAcAbA

BBBBBB

uuu

uuu

ZrZrZrZruuF

Elemen ( )∆∆ yang lain dapat diperoleh dengan membandingkan pers. (5.4.15)

dengan kendala ADHM, yang menghasilkan:

69

( ) ( )( ) ( )( )

0 RRRRuu

ZrZr-ZrZruu

1112121121

1112122121112112

=−+=

+−++++=∆∆

(5.4.16)

( ) ( )( ) ( )( )

0 RRRRuu

ZrZrZrZruu

1211111212

2121111112121221

=−+=

−−+++++=∆∆

(5.4.17)

dengan,

.ZrR

ZrR

21212

11111

+=+=

(5.4.18)

Terlihat kesesuaiannya dengan ekspresi 1k2k2F−

× yaitu:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆∆∆∆∆∆∆

=∆∆−

−

12

11

2221

1211

F00F

)()()()(

. (5.4.19)

Baik 11F− maupun 1

2F− dapat diambil sebagai bentuk F untuk menentukan V dan 'M . Hubungan 1

21

1 FF −− = yang dimplikasikan oleh pers. (5.4.14) menghasilkan

dua kendala ADHM U(N) untuk Q = 2. Merujuk ke sifat Hermitian dari F,

matriks V dalam pers. (5.4.5) jelas Hermitian. Dari pers. (5.4.4), matriks V2 dapat

dihitung, yang menghasilkan suatu matriks NN× yang bergantung pada elemen

dari F dan u1, u2.

Untuk menentukan V, diambil akar dari matriks V2, yang dihitung dengan cara

mendiagonalisasi V2 kemudian mengambil akar dari setiap elemen diagonalnya.

Bentuk umum matriks terdiagonalisasi V adalah seperti berikut:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

λλ

=

N

2

1

00

0000

V

L

MOMM

L

L

(5.4.20)

dimana λvadalah akar dari nilai-eigen matriks V2. Untuk matriks V di atas

diperoleh beberapa kuantitas berikut:

VV = ; v

N

1vN21Vdet λΠ=λ⋅⋅⋅λ⋅λ==

L (5.4.21)

maka

70

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ⋅⋅λ⋅λ⋅λ

λ⋅⋅λ⋅λ⋅λλ⋅⋅λ⋅λ⋅λ

λΠ=

=

−=

−

1N321

N431

N432

v

N

1v

C1

0000000

1

VVdet

1V

LL

OMM

LL

LL

atau secara ringkas:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

λ

λ

=−

N

2

1

1

100

010

001

V

L

MOMM

L

L

. (5.4.22)

Akhirnya dengan bentuk V dalam pers. (5.4.20), 'M dapat ditentukan melalui

pers. (5.4.6), melalui tahapan perhitungan sebagai berikut.

Untuk sederhananya ditinjau kasus Q = 2. Pertama dihitung dahulu matriks 'M :

1NNN422

'44

'N4 VuFM −

××××× ∆−= (5.4.23)

dengan

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

. ZrZrZrZr

zzzz

I00I

rrrr

xba

111212

212111

ZZZZ

12

21

2222

2222

22112212

22122211

''44

'44

'44

12

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

+=∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

××

××

××

××

×××

4444 34444 21

Substitusikan pers. (5.4.11) dan (5.4.12), diperoleh bentuk eksplisit:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−αβ−

++γ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++α−

+−αγ+−

β++α++

=∆

1021

1021

2110

2110

'

zx21abzx

21

czx21azx

21

zx21zx

21ac

zx21bzx

21a

71

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−β−γ−−

γβ

=

22

11

22

11

AbBcAB

BAcBbA

. (5.4.24)

Selanjutnya, untuk F diambil representasi matriksnya (dalam ruang spinor Weyl

α):

α

×

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

,lm

2221

1211

lm2221

121122

1000010000FF00FF

FFFF

F (5.4.25)

dan u sebagai berikut:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

××

××

2,2N2,222,12

2,1N2,212,11

1,2N1,221,12

1,1N1,211,11

N22

2N,21N,22N,11N,1

22,221,222,121,1

12,211,212,111,1

22N

uuuuuuuuuuuu

u

uuuu

uuuuuuuu

u

L

L

L

L

MMMM

(5.4.26)

Kalikan pers. (5.4.25) dengan pers. (5.4.26) diperoleh:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛++++++

= α

2,2N2,222,12

2,1N2,212,11

2,2N221,1N211,22221,21211,12221,1121

1,2N121,1N111,22121,21111,12121,1111

,mvlm

uuuuuu

uFuFuFuFuFuFuFuFuFuFuFuF

uFuF

L

L

L

L

. (5.4.27)

Kemudian pers. (5.2.27) dikalikan dengan pers. (5.4.22) dari kanan yang

menghasilkan:

72

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλλ

λλλ

+λ

+λ

+λ

+λ

+λ

+λ

=−

2,2NN

2,222

2,121

2,1NN

2,212

2,111

1,2N221,1N21N

1,22221,21212

1,12221,11211

1,2N121,1N11N

1,22121,21112

1,12121,11111

1

u1u1u1

u1u1u1

uFuF1uFuF1uFuF1

uFuF1uFuF1uFuF1

VuF

L

L

L

L

atau,

( )

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

λ

+λ

+λ

=−

2,2vv

2,1vv

1,2v221,1v21v

1,2v121,1v11v

1

u1

u1

uFuF1

uFuF1

VuF (5.4.28)

dimana v = 1, 2,…, N.

Jadi, untuk Q = 2, dengan bentuk V diberikan menurut pers. (5.4.20), untuk N

yang umum, dari pers. (5.4.23) didapati bahwa matriks 'M berbentuk sebagai

berikut:

( )

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

λ

+λ

+λ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−β−γ−−

γβ

−=

∆−= −×

2,2vv

2,1vv

1,2v221,1v21v

1,2v121,1v11v

22

11

22

11

1''N4

u1

u1

uFuF1

uFuF1

AbBcAB

BAcBbA

VuFM

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

'N4

'42

'41

'N3

'32

'31

'N2

'22

'21

'N1

'12

'11

MMMMMMMMMMMM

L

L

L

L

(5.4.29)

atau,

73

[ ] [ ]

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=×

'v4

'v3

'v2

'v1

'N4

MMMM

M (5.4.30)

dimana telah dimanfaatkan definisi menurut pers. (5.4.12) dan F dituliskan

sebagai Fij. Pernyataan elemen-elemen matriks 'M dalam pers. (5.4.30) adalah

sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 2,2v22,1v1,2v221,1v2121,2v121,1v11v

'v4

2,2v2,1v11,2v221,1v211,2v121,1v111v

'v3

2,2v22,1v1,2v221,1v2121,2v121,1v11v

'v2

2,2v2,1v11,2v221,1v211,2v121,1v111v

'v1

uAubuFuFBuFuF1M

ucuAuFuFuFuFB1M

uBuuFuFAuFuFc1M

uuBuFuFbuFuFA1M

+++−+β−λ

=

+++γ−+−λ

=

+γ++++λ

=

β+++++λ

=

Jadi, matriks ADHM-M untuk U(N) dengan Q = 2 diberikan oleh:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

×

××+ '

N4

NNN)4N( M

VM . (5.4.31)

Konfigurasi medan gauge instanton Aµ yang berkaitan, selanjutnya diperoleh

dengan mensubstitusikan M ke dalam pers. (5.1.5).

Metoda di atas dapat pula diaplikasikan untuk grup U(N) dengan Q = 3, namun

tingkat kerumitannya menjadi lebih tinggi mengingat meningkatnya secara

berlebihan jumlah kendala terkopel yang harus diselesaikan.

Konstruksi ADHM memberikan secara implisit konfigurasi solusi (aksi

berhingga) instanton dari teori gauge Yang-Mills murni untuk semua grup Lie

kompak sederhana dan muatan topologi Q. Akan tetapi sejauh ini terbukti

konstruksi solusi eksplisitnya, untuk muatan topologi lebih besar daripada 3,

sangat sulit secara teknis. Seperti disinggung di atas, terhambatnya kemajuan

dalam memperoleh solusi instanton YM eksplisit ini diakibatkan oleh sifat

kendala ADHM yang menjadi semakin kompleks.

74

BAB VI INTERPRETASI DAN APLIKASI

FISIS INSTANTON

Dalam bahasan di depan telah diperlihatkan bahwa solusi instanton berkaitan

dengan konfigurasi medan gauge yang memiliki fungsi aksi S minimal. Dengan

demikian, solusi ini, secara kuantum, menyatakan keadaan vakum (vacuum state)

0 dari sistem kuantum medan gauge. Namun, telah diperlihatkan bahwa setiap

solusi instanton dicirikan oleh muatan topologi Q = n, (n = 1, 2, 3…) yang

menunjukkan bahwa terdapat tak hingga banyaknya keadaan vakum terbilangkan.

Masing-masing keadaan vakum ini dicirikan oleh muatan topologi Q = n: n

0 ,

dan terpisahkan satu dari yang lainnya. Secara kualitatif, berarti terdapat semacam

potensial halang (barrier) antar mereka. Dengan demikian, akan terjadi transisi

dari satu keadaan vakum ke keadaan vakum lainnya melalui efek tunneling

(penerobosan halang). Solusi tunneling inilah solusi instanton yang dibahas di

dalam tugas akhir ini.

Hadirnya keadaan vakum non-trivial yang degenerate (bertindihan) ini

mensyaratkan bahwa keadaan vakum sebenarnya dari teori kuantum medan Yang-

Mills haruslah merupakan superposisi dari semua keadaan vakum dengan muatan

topologi Q = n yang berbeda. Yakni:

n

n

in 0e0 ∑+∞

−∞=

θθ= (6.1)

dimana π≤θ melabel sektor terpisah, dari teori kuantum medan Yang-Mills,

yang tak terhubungkan lewat sembarang operator invarian gauge. Superposisi

keadaan vakum pada pers. (6.1) lazimnya disebut: vakum-θ (θ-vacuum). Dengan

demikian tiap θ

0 dengan θ tertentu memiliki ruang Hilbert (keadaan kuantum)

75

yang berbeda. Ini adalah analogi dari keadaan vakum Bloch dalam teori kristal

dengan potensial periodik (sebagai misal dalam potensial Kronig-Penney).

Kehadiran instanton dalam teori kuantum medan Yang-Mills menyiratkan bahwa

bila digunakan satu keadaan vakumn

0 dengan n tertentu, ketimbang θ

0 , maka

akan terdapat suku tambahan dalam Lagrangian efektif, yakni:

)F~F(Tr16

L 2YMefektif µνµνπθ

+=L . (6.2)

Suku tambahan sebanding θ adalah tak lain daripada suku anomali terkenal dalam

teori QCD [Quantum Chromodynamics, teori Yang-Mills SU(3)] Berkaitan

dengan ini, θ memainkan peran sebagai sebuah tetapan kopling yang

menggandeng ruang Hilbert berbeda yang dibangun dari konfigurasi solusi

instanton tertentu.

Karena keadaan θ

0 bukanlah eigen-state dari transformasi paritas P dan

Transformasi CP (Charge Conjugation plus Parity), sedangkan QCD adalah P

dan CP invarian maka θ seharusnya nol. Namun, berdasarkan batas pengukuran

eksperimen bahwa neutron memiliki momen dipol, maka lazimnya dipilih 910−≤θ . Upaya untuk memahami kecilnya nilai θ ini dikenal sebagai: strong CP

problem [12, 14].

Aplikasi lain dari konfigurasi solusi instanton ini adalah pada pemecahan

persoalan U(1) [U(1) problem] oleh ‘t Hooft [9, 14, 21], yang berkaitan dengan

anomali pada simetri chiral: ψ→ψ αγ5ie , dimana γ5 adalah matriks Dirac gamma-

5 sedangkan ψ adalah medan spinor kuark.

76

BAB VII KESIMPULAN

Dari pembahasan dalam bab II sampai V dapat diambil kesimpulan sebagai

berikut:

1. Persamaan gerak medan Yang-Mills adalah persamaan diferensial non-

linear terkopel orde-2 untuk medan potensial gauge Aµ. Oleh karena itu,

persamaan ini sulit untuk dipecahkan.

2. Instanton adalah solusi self-dual dari persamaan medan Yang-Mills dalam

ruang-waktu Euclidean R4. Solusi ini dicirikan oleh fungsi aksi S yang

berhingga nilainya dan muatan topologi Q. Solusi umum instanton grup

gauge SU(N) adalah solusi Q-instanton yang memenuhi jumlah parameter

solusi sebanyak: [8Q – (N2 –1)].

3. Metoda ADHM mereduksi persamaan self-dual menjadi kondisi aljabar

murni yang lebih mudah untuk diselesaikan. Metoda ini merupakan

konstruksi yang paling umum dan dibenarkan secara matematika. Artinya,

dengan mengikuti prosedur konstruksi ADHM dengan baik (masukan

yang tepat untuk data ADHM), maka akan diperoleh solusi umum multi-

instanton untuk sembarang grup kompak: SU(N), SO(N) dan Sp(N).

4. Solusi 2-instanton untuk grup U(N) pada bab V adalah solusi umum,

karena solusi ini memenuhi jumlah parameter yang disyaratkan.

5. Untuk muatan topologi 3Q ≥ , solusi instanton dengan metoda ADHM,

sangat sulit untuk diperoleh, sebab seiring dengan bertambahnya Q maka

jumlah kendalanya turut meningkat dan begitu pula dengan tingkat

kerumitannya..

6. Solusi umum multi-instanton U(N) untuk jumlah instanton 3Q ≥ masih

belum ditemukan (OPEN PROBLEM!).

77

APENDIKS

78

APENDIKS A

A1. Notasi dan konvensi indeks21 A1.1 Ruang-waktu Minkowski

Ruang Minkowski adalah ruang dimensi-4, dimana koordinat ruang-waktu (vektor

– empat)22 didefinisikan sebagai:

)z ,y ,x ,t()x ,t(),x ,x ,x ,x(x 3210 ===µ r (A1.1)

dengan elemen garis23

νµµνη=−−−= dxdx)dx()dx()dx()dx(ds 232221202 , (A1.2)

dimana

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=η=η µν

µν

1000010000100001

(A1.3)

adalah tensor metrik Minkowski dimana tensor metrik kontravarian µν−µν η≡η )( 1 .

Berikut adalah definisi gradien (operator diferensial) dalam ruang Minkowski:

)- ,(x

) ,(x

x ,

x ,

x

0

0

321

∇∂=∂∂

η=∂

∇∂=∂∂

=∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∂∂

=∇

αµαµ

µµ (A1.4)

maka operator d’ Alembertian ٱ dapat ditulis

= ٱ 2

3

2

2

2

1

2

0 xxxx⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂∂ µµ (A1.5)

21 Dalam skripsi ini digunakan sistem satuan dimana c = ћ = 1. 22 Vektor kontravarian. 23 Kuantitas infinitesimal yang invariant terhadap transformasi dan rotasi Lorentz.

79

A1.2 Ruang Euclidean

Dalam ruang ini, elemen garisnya adalah:

νµµνδ=+++= dxdx)dx()dx()dx()dx(ds 232221202 (A1.5)

Untuk membedakan pelabelan koordinat dari ruang Minkowski di sini digunakan

label berikut:

) t,z ,y ,x() t,x()x ,x ,x ,x(x 4321 ===µ r (A1.6)

dan elemen garis (A.1.2) menjadi:

νµµνδ=++++= dxdx)dx()dx()dx()dx(ds 242322212 (A1.7)

dengan tensor metrik:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=δµν

1000010000100001

(A1.8)

yang tak adalah simbol Delta Kronecker:

⎩⎨⎧ =

=δlain yang ,0

j i jika ,1ij (A1.9)

Dengan demikian dalam ruang waktu Euclidean ini tidak dibedakan antara indeks

kovarian (bawah) dan kontravarian (atas).

Simbol Levi-Civita ijk∈ :

Definisi simbol ini adalah sebagai berikut:

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−=

=∈lainnya 0,

312atau 231, 123, ijk jika 1,312atau 231, 123, ijk jika 1,

ijk (A1.10)

Tensor Medan Elektromagnetik µνF :

Secara komponen, dalam pernyataan matriks, tensor ini berkaitan dengan

komponen medan listrik E dan magnet B sebagai berikut:

80

kijkijii0

123

132

231

321

µν

BF,EF0BBE

B0BEBB0E

EEE0

AAF

ε==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−−=∂−∂= µννµ (A1.11)

A2. Matriks Pauli dan Dirac

Matriks Pauli adalah ketiga matriks kompleks Hermitian, uniter, traceless, berikut:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=σ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=σ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=σ

1001

,0ii0

,0110

321 (A2.1)

(Biasanya dituliskan dengan indeks numeric: z1y1x1 ,, σ=σσ=σσ=σ , σ bukanlah

vector-4, sehingga tidak dibedakan antara indeks atas dan indeks bawah: 3

12

11

1 ,, σ=σσ=σσ=σ .) Dua sifat menarik yang dipenuhi ketiga matriks Pauli,

yang digunakan di dalam tugas akhir ini, adalah:

(a) Aturan perkalian.

ljkljkkj i σ∈+δ=σσ (A2.2)

(Suku pertama adalah matriks satuan 22× , dan penjumlahan untuk k

dalam suku kedua).

Maka, secara khusus:

12z

2y

2x =σ=σ=σ (A2.3)

yxzxzyzyx i ,i ,i σ=σσσ=σσσ=σσ (A2..4)

ljklj1 i2],[ σ∈=σσ (KOMUTATOR) (A2.5)

jkj1 2, δ=σσ (ANTI-KOMUTATOR) (A2.6)

dan untuk sembarang 2 vektor ar dan br

,

)ba(iba)b)(a(rrrrrrrrr

×⋅σ+⋅=σ⋅σ⋅ (A2.7)

(b) Eksponensial.

θσ⋅θ+θ=σ⋅θ sinˆicosei rrr

(A2.8)

81

Matriks Dirac γµ (µ = 0, 1, 2, 3) adalah keempat matriks uniter traceless 44× yang

dibangun dari matriks Pauli sebagai berikut:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡γ

I00I0 , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ−σ

≡γ0

0j

jj (A2.9)

Di sini I adalah matriks satuan 22× , dan 0 adalah matriks nol 22× ; σj adalah

ketiga matriks Pauli. Secara eksplisit pers. (A2.9) adalah:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=γ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=γ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=γ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=γ

001000011000

0100

,

000i00i00i00i000

,

0001001001001000

,

1000010000100001

32

10

(A2.10)

Indeks bawah dibedakan dari indeks atas menurut metrik gµν yaitu:

γ0 = γ0, γj = - γj (A2.11)

γ0 adalah Hermitian, sedangkan γj , j > 0 anti Hermitian, yang memenuhi sifat

µνµννµ η=γγ+γγ (A2.12)

dan 00 γγγ=γ µ+µ .

82

A3. Kuaternion

Kuaternion merupakan perluasan dari bilangan kompleks, sama halnya dengan

bilangan kompleks sebagai perluasan dari bilangan real. Dengan demikian

kuaternion tersusun dari 4 buah bilangan real, namun perkalian antar 2 kuaternion

berbeda tidaklah komutatif. Suatu kuaternion24 dapat dituliskan sebagai berikut:

4321 qkqjqiqq +++= (A3.1)

dimana q4, q1, q2, and q3 adalah bilangan-bilangan real, yang ditentukan oleh

kuaternion q, dengan ,i ,j dan k adalah basis kuaternion (perluasan bilangan

imajiner satuan i) yang memenuhi sifat perkalian:

1kjikji 222 −==== , kijji =−= (permutasi genap). (A3.2)

Jadi, setiap kuaternion adalah kombinasi linear real dari kuaternion satuan 1, i, j,

dan k, yang diekspresikan secara unik menurut pers. (A3.1).

Penjumlahan kuaternion dilakukan dengan menjumlahkan koefisien yang

bersesuaian, seperti halnya pada aturan penjumlahan bilangan kompleks.

A3.1 Sifat-sifat kuaternion

Tidak seperti bilangan real atau kompleks, perkalian kuaternion tidak komutatif:

jki ,jik ,ijk ,ikj ,kij ,kji −==−==−== (A3.1.1)

Konjugat dari kuaternion q didefinisikan sebagai,

kqjqiqqq 3214 −−−= (A3.1.2)

dan nilai absolut (modulus) dari q adalah bilangan real non-negatif yang

didefinisikan oleh:

)qqqq()qq(q 24

23

22

21 +++== (A3.1.3)

Invers multiplikatif dari kuternion yang tak-nol z dapat dihitung sebagai 24 Bilangan real diperluas menjadi bilangan kompleks dengan menambahkan bilangan i dimana i2 = -1, kuaternion diperoleh dengan menambahkan elemen i, j and k ke bilangan real sedemikian rupa yang memenuhi sifat pers. (A3.2).

83

2

1

q

qq =− (A3.1.4)

A3.2 Representasi kuaternion dengan matriks

Sedikitnya terdapat dua cara untuk mempresentasikan kuaternion sebagai matriks,

sedemikian rupa sehingga penjumlahan dan perkalian kuaternion berkaitan

dengan penjumlahan dan perkalian matriks. Salah satunya adalah dengan

menggunakan matriks kompleks 22× dan yang lain adalah dengan menggunakan

matriks real 44× . Dengan cara yang pertama kuaternion direpresentasikan

sebagai:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−++

=3412

1234

iqqiqqiqqiqq

q (A3.2.1)

Representasi ini mempunyai beberapa sifat menarik:

• Semua bilangan kompleks (q2 = q3 = 0) berkaitan dengan matriks yang

elemen-elemennya adalah bilangan real.

• Kuadrat nilai absolut dari suatu kuaternion sama dengan determinan dari

matriks yang bersesuaian.

• Konjugat dari kuaternion berkaitan dengan konjugat transpos dari matriks.

Sedangkan dalam cara yang kedua, kuaternion q direpresentasikan sebagai:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=

4132

1423

3241

2314

qqqqqqqqqqqqqqqq

q (A3.2.2)

Dalam representasi ini, konjugat dari suatu kuaternion, berkaitan dengan transpos

dari matriks.

84

Sifat basis kuaternion (A.3.2) sama seperti sifat yang dimiliki ketiga matriks

(kompleks) Pauli, sehingga mereka dapat direalisasikan dalam pernyataan

matriks:

4321 1 ,k ,j ,i σ=σ=σ=σ= (A3.2.2)

Dengan demikian setiap bilangan kuaternion dapat direalisasikan dalam matriks

uniter )22( × :

µµτ= qq , ).i,( j4 σσ=τµ (A3.2.3)

Koordinat ruang-waktu 4Rx ∈µ yaitu:

1xkxjxixx 4321 +++= (A3.2.4)

juga dapat direpresentasikan sebagai kuaternion sebagai berikut:

+µµ

+µµ τ=τ= xx ,xx (A3.2.5)

dimana

( )( )j4

j4

i,x

i,x

σ−σ=τ=∂

σσ=τ=∂+µ

+µ

µµ (A3.2.6)

sehingga

( ) µν+µν

+νµ

+µν

+νµ τ=ττ−ττ=∂∂−∂∂ xxxx (A3.2.7)

Pers. (A3.2.7) tak lain adalah ekspresi self-dual pada pers. (C3.6).

85

APENDIKS B

B1. Teori Grup

Definisi

Sebuah himpunan G = g1, g2,...bersama “aturan perkalian”, antar elemennya

mendefinisikan sebuah grup, jika dipenuhi 4 syarat berikut:

(a) Ketertutupan (closure)

,Gg ,g lk ∈∀ maka G)gg( lk ∈⋅

(b) Asosiatif

,Gg,g ,g mlk ∈∀ maka )gg(gg)gg( mlkmlk ⋅⋅=⋅⋅

(c) Terdapat elemen satuan GI∈ , sehingga Gg∈∀

ggIIg =⋅=⋅

(d) Gg∈∀ , terdapat elemene invers Gg 1 ∈− , sehingga

Igggg 11 =⋅=⋅ −−

Perkalian n-buah elemen yang sama ditulis dengan notasi pangkat

43421L

faktorn

n gg g gg−

=

Jika Gg ,g ba ∈∀ berlaku:

abba gg g g = maka G dikatakan komutatif (Abelian)

abba gg g g ≠ tak termasuk elemen identitas, dan perkalian invers

maka G: tak komutatif (non-Abelian)

Orde grup G

Jika n adalah jumlah elemen G, maka n menyatakan orde grup G. Untuk n

terbatas, grup G adalah berhingga, sebaliknya G adalah tak-hingga.

86

Seluruh bahasan dalam skripsi ini berkaitan dengan grup Lie, atau lebih khusus

lagi grup uniter U(N). Hubungan antara grup Lie dengan persamaan Yang-Mills,

adalah bahwa grup Lie yang berbeda akan memberikan persamaan Yang-Mills

yang berbeda juga, dan ini akan memdeskripsikan bermacam-macam gaya dalam

standar model fisika.

B2. Grup Lie

Grup Lie tergolong dalam grup tak-hingga yang memiliki jumlah elemen tak-

hingga banyaknya: G∞.

(a) Grup ∞ terbilangkan

Elemen grup G dibedakan oleh indeks diskrit: n = 1, 2, 3,...

G = g1, g2,...

(b) Grup kontinu/ topologi

Elemen grup G dibedakan oleh kebergantungannya pada sejumlah

parameter kontinu (α1, α2, ...,αn) ∈Rn.

Jadi,

G = g(α1, α2, ...,αn), dengan I = (0, 0,...,0)

dimana

dimensi G = jumlah parameter αk(n) = r.

(c) Grup Lie

G adalah grup Lie, jika

(1) G adalah grup topologi, dan

(2) Elemen g(α1, ...,αn) adalah fungsi analitik dari (α1,...,αn). Jadi

kk

lk

n

1l,k 1k

12

k0

n

1k k

kn1

TI

gi2

1g)0,,0(g),,(g

k

α+=

+ααα∂α∂

∂+α

α∂∂

+=αα ∑∑==α=

LKK

dimana

0k

kk

k

gT=α

α∂∂

= (B2.1)

87

adalah “generator” dari grup Lie G.

Jika Rk ≤α , maka grup Lie adalah compact, sedangkan jika ada 1

generator yang terbatas nilainya maka G non-compact.

B3. Grup Uniter B3.1 U(N)

Grup uniter U(N) adalah grup yang elemen-elemennya adalah matriks

bujursangkar g NN× yang memenuhi sifat:

gg+ = g+g = 1. (B3.1.1)

Jumlah parameter grup matriks U(N).

Dari syarat uniter:

ITTI)TI)(TI(gg =∈+∈+≅∈+∈+≅ +++ , (B3.1.2)

diperoleh:

0TT =++ , TT −=+ (anti Hermitis) (B3.1.3)

Untuk elemen diagonal: aa*aa tt −= yang berarti:

Rt ,t~it aaaaaa ∈= (B3.1.4)

Syarat (B3.1.3) dan (B3.1.4) memberikan matriks T memiliki bentuk umum:

1)1n(2

122112

1

t~ittt

tt~ittttt~ittttt~i

T

NN3N2N1N

*3N333231

*2N

*232221

*1N

*31

*2111

+−⋅

+⋅+⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=M

L

MOMMM

L

L

L

(B3.1.5)

Jadi,

NN)1N(2121k2R

N

1k

1N

1k+−⋅=+= ∑∑

=

−

=

(B3.1.6)

atau

R = N2 (B3.1.7)

88

B3.2 SU(N)

Grup SU(N) adalah grup matriks25 uniter orde N, dimana selain ),N(Ug∈ juga

disyaratkan:

det g = 1 g+ = g-1. (B3.2.1)

Karena elemen diagonal ,Rt~aa ∈ tak semuanya nol, maka

det g = e trT = 0 (B3.2.2)

atau

∑=

=N

1aaa 0t~ (B3.2.3)

yang memberikan 1 persamaan kendala tambahan.

Jadi

R = N2 – 1. (B3.2.4)

B3.3 Representasi grup

Setiap matriks uniter SU(N)26 dapat direpresentasikan melalui generator TJ(J = 1,

..., N2 - 1) sebagai:

JJTie)(U ω=ω (B3.3.1)

dengan penjumlahan untuk indeks A. Karena matriksnya uniter, maka

generatornya harus Hermitian. Lebih lanjut, karena det g = 1, generator TJ

haruslah traceless

TrTJ = 0 untuk setiap ωJ (B3.3.2)

Generator TJ memenuhi aljabar:

LJKLKJ Tif]T,T[ = (B3.3.3)

25 Definisi grup matriks adalah himpunan matriks non-singular N)G(N× dengan aturan perkalian matriks. 26 Untuk grup U(N) representasinya dapat ditulis U = exp (iΛCTC) dimana C = 1, 2,…,N2. Untuk N = 1, maka Λ adalah suatu bilangan.

89

dan ternormalisasi, yakni:

JKKJ

21)TT(Tr δ= (B3.3.4)

Di sini fJKL adalah konstanta struktur antisimetrik dari grup.

Berikut akan ditinjau grup SU(2), dimana konstanta strukturnya diberikan oleh

tensor antisimetrik:

3) 2, 1,(a 1εε acbabc ==−= (B3.3.5)

Generator Tk SU(2) dapat diturunkan dari bentuk infinitesimal grup matriks27

dimana di sini:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dcba

g , ( ) Cd,,a ∈K , (B3.3.6)

dan memenuhi syarat (B3.1.1) dan (B3.2.1).

Tinjau bentuk infinitesimal g:

LL +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅

s1rqp1

srqp

1001

g (B3.3.7)

Dari syarat determinan, 1gdet = :

( ) 1qrpssp1 =+−+++ L

diperoleh:

0qr 0,ps ,0sp ===+ (B3.3.8)

Dari syarat unitaritas:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+1001

s1rqp1

s1qrp1

atau

0rrpp,0pp1srpppp1 =+=+→=++++ (B3.3.9)

0srqp,0rq0rsrpqq0srrqpq

=+=+→⎭⎬⎫

=+++=+++

(B3.3.10)

0ss,0ssqq1ssss1qq =+=+→=++++ (B3.3.11)

dari pers. (B3.3.8) dan (B3.3.9, B3.3.11) diperoleh: 27 Pernyataan eksplisit generator dapat diturunkan dari simetrinya.

90

R,isp0pp,0sp ∈ϕϕ=−=→=+=+ (B3.3.12)

substitusi pers. (B3.3.12) ke dalam pers. (B3.3.9, B3.3.11) didapat:

0rq,0qq,0rr =+== (B3.3.13)

yang memiliki solusi infinitesimal:

,iq ψ+θ= dan R,;ir ∈ψθψ+θ−= (B3.3.14)

Jadi, pernyataan infinitesimal ( )2SUg∈ dalam ( ) R,, ∈ψϕθ :

( )ψϕθ≡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ−ψ+θ−ψ+θϕ+

= ,,gi1iii1

g L (B3.3.15)

Generator yang bersangkutan:

30

20

10

i10

01i

i00igT

i0ii0

i0110gT

i0110

i0ii0gT

σ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=ϕ∂∂

=

σ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=θ∂∂

=

σ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ψ∂∂

=

=ϕϕ

=θθ

=ψψ

(B3.3.16)

Tampak bahwa:

332θθ11ψ TiσT ;TiσT ;TiσT ====== ϕ (B3.3.17)

dimana σi(i = 1, 2, 3) adalah matriks Pauli. Perhatikan bahwa ketiga generator ini

bersifat anti-Hermitis.

Untuk kasus N = 3, maka generator representasi grupnya diberikan oleh matriks

Gell-Mann )33( × sebanyak 32 - 1 = 9 buah.

91

APENDIKS C

C1. Elemen integral d4x

α=

θα=

ϕθα=

ϕθα=

cosrxcossinrx

sinsinsinrxcossinsinrx

4

3

2

1

(C1.1)

ϕθα=⇔= dddrdgxddxdxdxdxxd 443214 (C1.2)

Untuk koordinat di atas elemen garisnya adalah (misal R = rsinα ):

[ ]

2222222222

2222222

2

222222

2222222

222222

242322212

dsinsinrdsinrdrdr )dcosrsindr()dsind(sinr)dcosrsindr(

)sinr(d

d)sincossin(sinR d)sinsincoscos(cosR )cossinsincos(sin)dR(

)dx()dx()dx()dx(ds

ϕθα+θα+α+=

αα−α+ϕθ+θα+αα+α=

α+

ϕϕθ+ϕθ+

θθ+ϕθ+ϕθ+

θ+ϕθ+ϕθ=

+++=

dimana diperoleh,

θα=

θαα=

sinsinrg

)sinsinr)(sinr)(r)(1(g23

222222

(C1.3)

maka

ϕθαθα= dddrdsinsinrxd 234 (C1.4)

α

S3

92

C2. Aksi Solusi 1-instanton (BPST)

Aksi medan Yang-Mills (Euclidean) didefinisikan dengan:

xdFTr21xdF~FTr

21S 42

µν4

µνµν ∫∫ == (C2.1)

Dalam bab III telah diturunkan solusi kuat medan 1-instanton yang diberikan

oleh:

( ),irffF 2

2

µ+

νν+

µµν ττ−ττ−−

= ( )22

2

rrfλ+

= (C2.2)

sehingga sekarang dapat dihitung nilai aksi untuk 1-instanton sebagai berikut:

( )( )

( )

( )

( ) ( )[ ]( )

( )[ ] ( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )ϕθαθα

λ+λ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

λ+

λ+−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

λ+

λ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ττττ−ττ−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

λ+

λ+ττττ−δ−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

λ+

λ+ττττ−=

−ττττ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=

+−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⋅⋅

ν+µµ

+νµ

+µ

ν+µµ

+νµν

ν+µν

+µ

ν+µν

+µ

++++++++

++++

dddrdsinsinrr

148

rxd]323216[

rxd32TrTr2

rxd322Tr

rxdITr16Tr

I16irff

xdTr

ττττττττττττττττirff

xdTr21

xdττττττττirff

xdTr21

S

23422

4

422

44

422

44

I44TrI4Tr

422

44

422

44

2

2

2

2

24

µνµν

32I

16I

ν

4I

µµν

16I

µ

4I

ννµνµνµ

2

2

24

4µννµµννµ

2

2

24

22

2

2

2

2

2

443442143421

4444 34444 2143421321

43421321

93

( )( )

( )∫

∫∫ ∫∫

∞

π

π∞

θ−

π

αα−

π

λ+λπ=

ϕθθ

∫

ααλ+

λ=

π

π

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−α

π

0422

342

2

2

00

cos

0

d2cos121

0

2422

34

rdrr96

ddsindsinr

drr48

2

0

2

02sin

21

21

0

4342143421

43421

444 3444 21

444 3444 21

misalkan:

dudr2ur 2 =→=

maka,

( )∫∞

+=

042

42

λuuduλ48πS

integralkan secara parsial, diperoleh:

( ) ( )

( )

.8π

λu21

31λ48π

λu3du

λu3uλ48π

26λ

1

0

22

42

032

0

0

32

42

4

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−⋅=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−−

+

−=

∞

∞

=

∞

∫

444 3444 21

43421

Hasil ini sesuai dengan pers. (3.3.11), untuk Q = 1, yang menunjukkan solusi 1-

instanton.

94

C3. Ekspresi self-dual dan antiself-dual

Dengan fungsi matriks gauge U pada pers. (3.5.6), berikut dihitung pernyataan

eksplisit self-dual dan antiself-dualnya. Pertama pandang ekspresi berikut,

+µν

+νµµν ττ−ττ=τ• (C3.1)

dimana

σ+ρµνρσρ

+σσ

+ρµνρσρσµνρσµν ττ=∈ττ−ττ∈=τ∈=τ )(

21

21 (C3.2)

Untuk µ = 0; ν = 1, ruas kiri pers. (C3.2) memberikan:

101100110 i2))(i()i)(( σ=σσ−−σσ=ττ−ττ ++++ (C3.3)

sedangkan ruas kanan:

1

32

320123230132320123

i2 )i)(i(2

2

σ=σ−σ=ττ∈=ττ∈+ττ∈ +++

(C3.4)

Bandingkan pers. (C3.3) dengan (C3.4) diperoleh:

)(21

ρ+σσ

+ρµνρσ

+µν

+νµ ττ−ττ∈=ττ−ττ (C3.5)

maka,

DUALSELF −→ττ−ττ=τ +µν

+νµµν . (C3.6)

Kemudian pandang ekspresi:

µ+νν

+µµν ττ−ττ=τ• ~ (C3.7)

dimana untuk µ = 0; ν = 1, ruas kanan dari persamaan di atas memberikan:

101100110 i2))(i()i()( σ−=σσ−σ−σ=ττ−ττ +++ (C3.8)

sehingga dengan membandingkan pers. (C3.3) dengan (C3.8) diperoleh:

( )ρ+σσ

+ρµνρσµ

+νν

+µ ττ−ττ∈−=ττ−ττ

21 (C3.9)

maka

DUALANTISELF~ −→ττ−ττ=τ µ+νν

+µµν . (C3.10)

95

C4. Operator proyeksi

Operator proyeksi adalah operator yang dibangun dari matriks ortogonal yang jika

dikerjakan terhadap basis-basisnya akan menghasilkan basis tersebut kembali.

Secara umum matriks

nm ),nm(M >×= (C4.1)

tidaklah ortonormal, yakni:

2

nn

MMM =×

+321 . (C4.2)

Matriks ortonormal berkaitannya adalah:

1MMMMM −== (C4.3)

Ini dapat dilihat sebagai berikut:

I MMM

MMMM

)MM()MM(MM

121

11

11

=

=

=

=

−−

−+−

−+−+

(C4.4)

Sekarang dapat didefinisikan operator proyeksi sebagai berikut:

+−+

+−

+−

+−−

+−−+

=

=

=

=

==

M)MM(M

M)M(M

MMM

MMMM

)MM)(MM(MMP

1

12

2

11

11

(C4.5)

Bila dikerjakan pada matriks M, kita peroleh:

MMIMM)MM(MPM 1 === +−+ (C4.6)

sebagaimana disebutkan di atas.

Karena operator proyeksi dibangun dari matriks ortonormal, maka ada n buah

kolom/baris yang tidak nol, yang berarti bahwa rank dari P sama dengan n.

Konsekuensinya: TrP = n.

96

DAFTAR PUSTAKA

[1] A. Actor, Classical Solutions of SU(2) Yang-Mills Theories, Reviews of

Modern Physics 51 (1979) 461.

[2] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwartz dan Yu. S. Tyupkin,

Pseudoparticle Solutions of the Yang-Mills Equations, Physics Letters B59

(1975) 85.

[3] A. S. Schwartz, Regular Solution of Euclidean Yang-Mills Equation,

Physics Letters 67B (1977) 172.

[4] C. N. Yang dan R. L. Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic

Gauge Invariance, Physical Review 96 (1954) 191.

[5] C. Nohl, C. Rebbi dan R. Jackiw, Conformal Properties of Pseudoparticle

Configuration, Physical Review D15 , (1977) 1642.

[6] E. Corrigan, D.B. Fairlie, S. Templeton dan P. Goddard, A Green Function

for the General Self-Dual Gauge Field, Nuclear Physics B140 (1978) 31.

[7] E. Witten, Some Exact Multipseudoparticle Solutions of Classical Yang-

Mills Theory, Physical Review Letters 38 (1977) 121.

[8] F. Gross, Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, Wiley, 1993.

[9] G. ‘t Hooft, Symmetry Breaking through Bell-Jackiw Anomalies, Physical

Review Letters 37 (1976) 8.

[10] M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, I. M. Singer, Deformation of Instanton, Proc.

Nat. Acad. Sci. 74 (1977) 2662.

[11] K. Huang, Quarks Leptons and Gauge Fields, World Scientific, 1982.

[12] L.H. Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, 1985.

[13] M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld dan Yu. I Manin, Construction

of Instantons, Physics Letters A65 (1978) 185.

[14] M. Guidry, Gauge Field Theories: An Introduction with Application,

Wiley, 1980.

97

[15] M. J. Slater, M. P. Mattis dan V. V. Khoze, The Instanton Hunter’s Guide

to Supersymmetric SU(N) Gauge Theories, Nuclear Physics B536 (1998)

69 [arXiv:hep-th/9804009].

[16] M. P. Mattis, N. Dorey, T. J. Hollowood dan V. V. Khoze, The Calculus

of Many Instantons, Physics Report 371 (2002) 231 [arXiv:hep-

th/0206063].

[17] N. B. Pomeroy, Response to ‘Comments on the U(2) ADHM two-

instanton’, arXiv:hep-th/0307164.

[18] N. B. Pomeroy, The U(N) ADHM Two-Instanton, Physics Letters B547

(2002) 85 [arXiv:hep-th/0203184].

[19] N. H. Christ, E. J. Weinberg dan N. K. Stanton, General Self-Dual Yang-

Mills solutions, Physical Review D18 (1978) 2013.

[20] P. Ramond, Field Theory : A Modern Primer, 2nd ed., Addison-Wesley,

1990.

[21] R. Rajaraman, Solitons and Instantons, North-Holland, 1982.

98