Konsep Formula Gradien Aritmatik Dalam Ekonomi Teknik

7/27/2019 Konsep Formula Gradien Aritmatik Dalam Ekonomi Teknik

1/9

13 1 Ekonomi Teknik Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Buan a 2010

Konsep Formula Gradien Aritmatik

Rudini Mulya DaulayProgram Studi Teknik Industri, Fakultas Teknik Universitas Mercu Buana

email:[email protected]

Gradien Aritmatik

Pada deret gradien panjangnya periode adalah N, tetapi aliran kas dalam periode 1 adalah

0. Beberapa faktor yang mempengaruhi gradien antara lain nilai sekarang, annuitas, atau

nilai masa akan datang.

P = G (P/G, i, N) atau G = P (G/P, i, N) (3.9)

A = G (A/G, i, N) atau G = A (G/A, i, N) (3.10)

F = G (F/G, i, N) atau G = F (G/F, i, N) (3.11)

Beberapa masalah arus kas melibatkan peneriman-peneriman atau pengeluaran-

pengeluaran yang diproyeksikan agar meningkat atau berkurang.

Jumlah secara konstan, G, pada setiap periode. Situasi itu dapat dimodelkan dengan

suatu kemiringan/gradient yang seragam (uniformgradient/arithmetic gradient)

Secara umum untuk periode n tahun :

P = G(1 + i)-2 + 2 G(1 + i)-3 + 3G(1 + i)-4+ + (n -1) G (1 +i)-n ( 1 )
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/9


Persamaan ( 1 ) dikalikan dengan ( 1+i ) sehingga diperoleh :

( 1+i )P = G(1 + i)-2 + 2 G(1 + i)-3 + 3G(1 + i)-4+ + (n -1) G (1 +i)-n ( 2 )

Persamaan ( 1 ) dikurangi persamaan ( 2 ) menghasilkan :

P =

nn

n

i

n

ii

i

i

G

1)1(

1)1(

Dengan demikian, diperoleh persamaan untuk mencari P :

P = G.

n

n

ii

ini

)1(

112

Mencari P jika G diketahuiRumus dan table yang disajikan dihitung berdasarkan kondisi P yang berada dalam satu

periode sebelum nikai arus kas nol.

Diagram arus kas :

3G

2G

G

1 2 3 4

P = ?

Rumus : P = G.n

n

ii

ini

)1(

1)1(2

Atau : P = G.( P/G,i,n )

Mencari A jika G diketahui

Rumus dan table yang disajikan dihitung berdasarkan kondisi A yang berada mulai dariarus kas nol sampai dengan penerimaan atau pengeluaran yang diproyeksikan agar

meningkat atau berkurang berakhir secara konsisten.


3/9


Diagram arus kas :

3G

2G

G

0

1 2 3 4

A = ? A = ? A = ? A = ?

Rumus : A =

1)1(

)1(

)1()1(

1)1(n

n

nn

n

i

ii

i

n

ii

i

i

G

A =

iii

niiGn

n

11.1.

Atau : A = G.( A/G,i,n )

Contoh 1:Annuitas 2

Setiap bulan anda menyimpan $50 dalam rekening tabungan dengan pembayaran 1.5%

bunga digandakan bulanan. Berapa banyak yang akan anda peroleh dalam waktu duatahun?

Dapat diselesaikan dengan 2 cara.

Cara pertama:

F = 50 (F/A, 0.015, 24)

= 50 (28.634)

= $ 1431.70

Cara kedua:

Ieff = (1 + 0.015)12 1 = 19.56%

F1 = 50 (F/A, 0.015, 12) = $ 652.06

F2 = 652.06 (F/A, 0.1956, 2) = $ 1,431.66


4/9


Contoh 2 :Gradien aritmatik

Perhatikan deret aliran kas pada tabel berikut:

Apakah nilai C dapat membuat deret simpanan akuivalen dengan deret penarikan kembali

jika i = 12% setiap periode?

Arus kas pada masalah tersebut:

Kedua arus kas dievaluasi pada waktu (periode) 4, keduanya dibuat sama, merupakan

penyelesaian untuk nilai C.

C (P/G, 0.12, 6) = 1,000(F/P, 0.12, 4) + 800(F/A, 0.12, 4)

200(P/G, 0.12, 4) (F/P, 0.12, 4)

C = $ 458.90


5/9


Contoh 3: gradien aritmatik

Masalah pada bab sebelumnya (Contoh 2 ):

Berapa nilai C yang membuat rangkaian deposit di atas ekivalen dengan rangkaian

pengeluaran jika i=12% per periode?

Arus kas di atas dapat dianalisis dengan berbagai metode.

Metode 1:

Memisahkan diagram arus kas menjadi 4 dan mengevaluasinya pada t = 4:


6/9


Untuk menyeimbangkan antara penerimaan dengan pembayaran, tentukan F4 (nilai

semua arus kas pada t=4) sama dengan nol.

F4 = C(P/G, 0.12,6) 1,000(F/P,0.12,4) 800(F/A,0.12,4) +

200(P/G,0.12,4)(F/P,0.12,4) = 0

C(P/G,0.12,6) = 1000(F/P,0.12,4) + 800(F/A,0.12,4) 200(P/G,0.12,4) (F/P,0.12,4)

C = $458.90

Metode 2:

Tentukan ekivalensi dari semua arus kas pada tahun 0 menggunakan nilai sekarang.

PW = C(P/G,0.12,6) (P/F,0.12,4) 1,000 800(P/A,0.12,4) + 200(P/G,0.12,4) = 0

C(P/G,0.12,6) (P/F,0.12,4) = 1,000 + 800(P/A,0.12,4) - 200(P/G,0.12,4)

C (8.930) (0.6355) = 1000 + 800 (3.037) 200 (4.127)

C= 2,604.2/5.675 = $ 458.89

Metode 3:

Memisahkan arus kas menjadi 3 dan mengevaluasi arus kas pada t=4.

Untuk menyeimbangkan penerimaan dan pembayaran, tentukan F4 (nilai semua arus kas

pada t=4) sama dengan nol.

F4= C(P/G,0.12,6) 1,000(F/A,0.12,5) + 200(F/G,0.12,5) = 0

C(P/G,0.12,6) = 1,000(F/A,0.12,5) + 200(F/P,0.12,5)*(P/G,0.12,5)

C (8.930) = 1,000 (6.353) 200 (1.762)*(6.397)

C = 4,098.697 / 8.930 = $458.98


7/9


Contoh 4:

Seseorang mengharapkan hasil investasi untuk 5 tahun ke depan dengan rincian pada

tahun pertama sebesar Rp 600,- yang akan meningkat sebesar Rp 200,- pada setiap

tahun berikutnya. Jika tingkat suku bunga 15% per tahun, berapakah yang harus

diinvestasikan orang tersebut saat ini ?

Penyelesaian :

1.200 1.400 800

800 1.000 A = 600 600

600 200 400

1 2 3 4 5 = 1 2 3 4 5 + 1 2 3 4 5

P = ? P1 P2

P = P1 + P2

P = 600 ( P/A,15%,5 ) + 200 ( P/G,15%,5 )

P = 600 ( 3,35216 ) + 200 ( 5,77514 )

P = 3.166,32

Contoh 6 :

Sebuah tambang minyak diperkirakan akan memproduksi minyak selama 20 tahun.

Produksi minyak pada tahun pertama diperkirakan sebesar 300.000 barrel, dan setiap

tahunnya akan menurun sebesar 15.000 barrel dibandingkan tahun sebelumnya. Minyak

diperkirakan bernilai $20 setiap barrel untuk 13 tahun pertama, dan bernilai $25 setiap

barrel untuk tahun tahun berikutnya. Menggunakan tingkat suku bunga 12% setiap

tahun, berapa nilai saat ini yang ekuivalen dengan nilai yang akan diperoleh dari produksi

minyak pada tambang tersebut ?

Penyelesaian :

1 2 3 4 5 19 20

P


8/9


Nilai sekarang dari produksi minyak selama 13 tahun pertama :

P1 = [300.000(P/A,12%,13)-15.000(P/G,12%,13)]$20

P1 = [300.000(6,42355)-15.000(28,70237)]$20

P1 = $29.930.589.

Nilai sekarang dari produksi minyak selama 7 tahun terakhir :

P2 = [105.000(P/A,12%,7) 15.000(P/G,12%,7)](P/F,12%,13)$25

P2 = [105.000(4,56376) 15.000(11,64427)](0,22917)$25

P2 = $1.744.732,80

Sehingga total nilai sekarang sebesar :

PT = P1 + P2

PT = 29.930.589 + 1.744.732,80

PT = $ 31.675.321,80

Contoh 7 :

Seorang pegawai memiliki pengjhasilan pertama sebesar Rp 50.000.000,- per tahun yang

akan meningkat sebesar Rp 5.000.000,- setiap tahun. Pegawai tersebut memiliki rencana

untuk pension setelah bekerja selama 30 tahun. Untuk mempersiapkan masa pension,

pegawai tersebut menyisihkan 10% dari penghasilan tahunan untuk didepositokan dengan

tingkat pengembalian sebesar 12% per tahun. Berapakah nilai investasi yang akan

diperoleh pegawai tersebut saat memasuki masa pension ?

Penyelesaian : 6.5jt

5.5 jt 6 jt

5 jt

1 2 3 4

F = 5.000.000(F/A,12%,30) + 500.000(P/G,12%,30) (F/P,12%,30)

F = 5.000.000(241,33268) + 500.000(58,78205) (29,95992)

F = 2.087.216.158,-


9/9


Contoh 8 :

1.200

800 1.000

600 i = 15%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A=? A=? A=? A=? A=?

Penyelesaian :

X

1.200

800 1.000

600 i = 15%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y A=? A=? A=? A=? A=?

X = Y

600 ( P/A,15%,4 ) + 200 ( P/G,15%,4 ) = A ( P/A,15%,5 ) ( P/F,15%,4 )

600 ( 2,85498 ) + 200 ( 3,78644 ) = A ( 3,35216 ) ( 0,57175 )

A = 1.288,89

Konsep Formula Gradien Aritmatik Dalam Ekonomi Teknik

Documents

Transcript of Konsep Formula Gradien Aritmatik Dalam Ekonomi Teknik