KONSEP DASAR PROBABILITAS

PERTEMUAN VIII

|EvanRamdan

PROBABILITAS Dalam menentukan banyaknya anggota kejadian, kadangkala kita tidak

selalu dapat mendaftar semua titik sampel dalam percobaan tersebut.

Untuk percobaan yang demikian kita dapat memanfaatkan aturan

perkalian atau rumus kombinasi.

Peluang Kejadian

Menentukan peluang suatu kejadian sama halnya dengan menentukan

besar kemungkinan munculnya kejadian tersebut. Peluang kejadian K,

dinotasikan dengan P(K) adalah banyak anggota kejadian K dibanding

dengan banyaknya anggota ruang sampel.

)(

)()(

Sn

KnKP

0 P(K) 1 berarti peluang suatu kejadian bernilai antara 0 dan 1

Jika P(K) = 0 berarti K adalah kejadian yang mustahil terjadi

Jika P(K) = 1 berarti K adalah kejadian yang pasti terjadi

Contoh 1:

Pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali, berapakah peluang

munculnya mata dadu ganjil?

Jawab :

Ruang Sampel

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

K = Kejadian muncul mata dadu ganjil

K = {1, 3, 5}

)(

)()(

Sn

KnKP

2

1

6

3

Jadi Peluang kejadian muncul mata dadu ganjil adalah ½

n(K) = 3

n(S) = 6

Contoh 2:

Dari seperangkat kartu bridge diambil tiga kartu sekaligus secara acak.

Tentukan peluang mendapatkan 3 kartu berwarna hitam.

Jawab :

Menentukan n(K)

)(

)()(

Sn

KnKP

17

2

22100

2600

Jadi Peluang kejadian terambil 3 kartu hitam adalah

Banyak kartu hitam yang diambil =

Kartu hitam yang tersedia =

Banyaknya kejadian K yang mungkin = n(K) =

3

26

263C

!3 )!326(

!26

= 2600

Menentukan n(S)

Banyak kartu hitam yang diambil =

Total kartu yang tersedia =

Ruang sampel K = n(S) =

3

52

523C

!3 )!352(

!52

= 22100

17

2

Frekuensi Harapan

Jika percobaan dilakukan secara terus menerus secara berulang-

ulang maka frekuensi harapan muncul suatu kejadian akan semakin

besar. Frekuensi harapan kejadian K dinotasikan dengan Fh (K)

Misalkan pada suatu percobaan yang diulang sebanyak m kali dan

peluang kejadian K adalah P(K), frekuensi harapan kejadian K adalah

Fh (K) = m.P(K)

KAIDAH PENCACAHAN

Kejadian majemuk terdiri dari :

• kejadian Bersama (Joint Event)

• kejadian saling lepas (Mutually Exclusive)

• kejadian saling bebas (Independent)

• kejadian bersyarat

Peluang Kejadian Saling Lepas

Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali.

K1 adalah kejadian muncul mata dadu prima dan K2 adalah kejadian

muncul mata dadu kelipatan 3. Menentukan peluang munculnya K1

atau K2 dilakukan dengan menggunakan rumus peluang kejadian

majemuk.

Dua kejadian K1 dan K2 yang dapat terjadi secara bersamaan disebut

kejadian

Bersama. Hal ini terjadi jika K1 K2

Misalkan pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali.

• K1 : kejadian munculnya mata dadu prima

• K2 : kejadian muncul mata dadu kelipatan 3.

K1 = {2, 3, 5}

K2 = {3, 6} K1 K2 = 3

Peluang kejadian K1 atau K2 dinotasikan dengan P(K1 K2)

Pada kejadian berasama berlaku :

P(K1 K2) = P(K1) + P(K2) – P(K1

K2)

)(

)(

)(

)(

)(

)( 2121

Sn

KKn

Sn

Kn

Sn

Kn

1. KEJADIAN BERSAMA

Contoh :

Pada percobaan melempar sebuah dadu, K1 adalah kejadian muncul mata

dadu prima dan K2 adalah kejadian munculnya mata dadu kelipatan 3.

Tentukan:

a. Peluang munculnya K1 atau K2 jika percobaan dilakukan sebanyak satu

kali.

b. Ekspektasi munculnya K1 atau K2 jika percobaan diulang sebanyak 90

kali

S =

K1 =

K2 =

K1 K2 =

P(K1 K2) = P(K1) + P(K2) – P(K1

K2)

)(

)(

)(

)(

)(

)( 2121

Sn

KKn

Sn

Kn

Sn

Kn

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{2, 3, 5}

{3, 6}

{3}

n(S) =

n(K1) =

n(K2) =

n(K1 K2) =

6

3

2

1

6

1

6

2

6

3

3

2

Jawab :

b. Frekuensi Harapan

jika percobaan

diulang 90 kali

Fh(K1 K2) = m.P(K1

K2)

= 60

3

290

a. Peluang muncul K1 atau K2 untuk 1 kali

percobaan

Dua kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersamaan disebut kejadian

saling lepas (Mutually Exclusive).

Misalkan pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali.

• K1 : kejadian munculnya mata dadu genap

• K2 : kejadian muncul mata dadu 5.

K1 = {2, 4, 6}

K2 = {5} K1 K2 =

Peluang kejadian K1 atau K2 dinotasikan dengan P(K1 K2)

Pada kejadian saling lepas berlaku :

P(K1 K2) = P(K1) +

P(K2)

)(

)(

)(

)( 21

Sn

Kn

Sn

Kn

2. KEJADIAN SALING LEPAS

Contoh :

Dari seperangkat kartu bridge akan diambil satu kartu secara acak.

Tentukan:

a. Peluang terambilnya kartu bergambar atau kartu As.

b. Ekspektasi jika percobaan dilakukan sebanyak 65 kali.

Banyak ruang sampel

P(K1 K2) = P(K1) + P(K2)

)(

)(

)(

)( 21

Sn

Kn

Sn

Kn

n(S) =

52

4

52

12

Jawab :

b. Frekuensi Harapan jika

percobaan diulang 65

kali

Fh(K1 K2) = m.P(K1 K2)

= 20

13

465

a. Peluang terambil kartu bergambar atau kartu As

521C = 52

Misal K1 : Kejadian terambil kartu bergambar

n(K1) = 121C = 12

Misal K2 : Kejadian terambil kartu As

n(K2) = 41C = 4

13

4

Peluang muncul K1 atau K2

Dua kejadian yang tidak saling bergantung/mempengaruhi disebut

kejadian saling bebas (Independent). Misalkan pada percobaan

pelemparan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu secara

bersamaan sebanyak satu kali.

• K1 : kejadian muncul sisi gambar pada uang logam

• K2 : kejadian muncul mata dadu genap.

Peluang kejadian saling bebas K1 dan K2 dinotasikan dengan P(K1 K2)

P(K1 K2) = P(K1) .

P(K2)

)(

)(

)(

)(

2

2

1

1

Sn

Kn

Sn

Kn

Perhatikan bahwa munculnya sisi gambar pada uang logam tidak

mempengaruhi munculnya mata dadu genap, sehingga K1 dengan K2

disebut

Kejadian Saling Bebas (Independent)

3. KEJADIAN SALING BEBAS

Contoh :

Dalam sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 4 bola biru, akan

diambil 2 bola satu demi satu secara acak tanpa pengembalian. Tentukan:

a. Peluang terambil bola pertama berwarna merah dan bola kedua biru,

b. Peluang terambil bola keduanya biru.

Ruang sampel pengambilan pertama

n(S1) =

8

4

9

5

Jawab :

a. Peluang terambil bola pertama berwarna merah dan bola kedua biru

91C = 9

K1 : Kejadian terambil bola merah

n(K1) = 51C = 5

Ruang sampel pengambilan kedua

n(S2) = 81C = 8

K2 : Kejadian terambil bola biru

n(K2) = 41C = 4

Peluang pertama K1 dan kedua K2 adalah :

P(K1 K2) = P(K1) . P(K2) = )(

)(

)(

)(

2

2

1

1

Sn

Kn

Sn

Kn

72

20

Banyak ruang sampel pengambilan

n(S) =

8

3

9

4

b. Peluang terambil keduanya biru

91C = 9

K3 : Kejadian terambil bola biru

n(K3) = 41C = 4

Banyak ruang sampel pengambilan

n(S) = 81C = 8

K4 : Kejadian terambil bola biru

n(K4) = 31C = 3

Peluang pertama K3 dan kedua K4 adalah

: P(K1 K2) = P(K1) .

P(K2) )(

)(

)(

)( 21

Sn

Kn

Sn

Kn

72

12

Misalkan K adalah suatu kejadian. Peluang kejadian bukan K,

dinotasikan dengan P(Kc) atau P(K’) adalah banyaknya anggota

kejadian bukan K dibagi dengan banyaknya anggota ruang sampel.

Peluang kejadian bukan K disebut juga peluang komplemen kejadian.

)(

)()(

Sn

KnKP

cc

Selain dengan menggunakan banyknya anggota kejadian bukan K,

peluang komplemen K dapat juga ditentukan dengan menggunakan

banyaknya anggota kejadian K.

)(1)( KPKP c

4. PELUANG KOMPLEMEN KEJADIAN

Contoh :

Pada seperangkat kartu bridge diambil satu kartu. Jika peluang

terambilnya kartu As adalah , tentukan peluang terambilnya kartu

bukan As ! 13

1

Jawab :

Misal K : Kejadian terambil kartu As.

Peluang terambil bukan kartu As adalah

)(1)( KPKP c 13

11

13

12

Kejadian bersyarat adalah dua kejadian pada suatu

percobaan, kejadian yang satu terjadi dengan syarat

kejadian yang lainnya telah terjadi.

Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi

adalah

)(

)()/(

BP

BAPBAP

5. PELUANG KEJADIAN BERSYARAT

Contoh : Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon

konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa

strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai

rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa

strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.

a. Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia

menyukai pasta gigi rasa strawbery?

Misal W = Wanita S = Suka pasta gigi strawberri

L = Pria J = Suka pasta gigi jeruk

Peluang menyukai pasta gigi rasa strawberri

dengan syarat ia seorang pria.

P(SL) = 100

400,4

P(L) = 100

600,6

)(

)()|(

LP

LSPLSP

6,0

4,00,67

Peluang ia menyukai pasta gigi rasa jeruk

dengan syarat ia seorang wanita.

P(W) = 100

400,4

P(JW) = 100

300,3

)(

)()|(

WP

WJPWJP

4,0

3,00,75

b. Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia

menyukai pasta gigi rasa jeruk?

b. Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa

jeruk, berapa probabilitas ia seorang pria...

Peluang ia seorang pria dengan syarat menyukai pasta gigi rasa jeruk

P(LJ) = 100

200,2

P(J) = 100

500,5

)(

)()|(

JP

JLPJLP

5,0

2,00,4

LATIHAN LAGI...... 1. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika

diambil 1 bola secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya bola :

a. Merah

b. Tidak biru

c. Merah atau putih

2. Empat bola diambil sekaligus dari kantong yang berisi 8 bola merah

dan 6 bola putih. Hitunglah peluang yang terambil adalah:

a. Keempatnya bola putih.

b. Tiga bola merah dan satu bola putih.

c. Paling banyak tiga bola putih.

3. Tiga keping mata uang logam dilemparkan secara bersamaan

sebanyak 160 kali. Hitunglah frekuensi harapan untuk kejadian-

kejadian berikut:

a. Kejadian munculnya tiga sisi gambar.

b. Kejadian munculnya tiga sisi angka.

c. Kejadian munculnya satu sisi gambar dan dua sisi angka.