Klasifikasi Materi

Klasifikasi Materi

1. Fakta yaitu segala hal yang bewujud kenyataan dan kebenaran, meliputi nama-

nama objek, peristiwa sejarah, lambang, nama tempat, nama orang, nama bagian

atau komponen suatu benda, dan sebagainya

2. Konsep yaitu segala yang berwujud pengertian-pengertian baru yang bisa timbul

sebagai hasil pemikiran, meliputi definisi, pengertian, ciri khusus, hakikat, inti /isi

dan sebagainya.

3. Prinsip yaitu berupa hal-hal utama, pokok, dan memiliki posisi terpenting,

meliputi dalil, rumus, adagium, postulat, paradigma, teorema, serta hubungan

antarkonsep yang menggambarkan implikasi sebab akibat.

4. Prosedur merupakan langkah-langkah sistematis atau berurutan dalam

mengerjakan suatu aktivitas dan kronologi suatu sistem.

5. Sikap atau Nilai merupakan hasil belajar aspek sikap, misalnya nilai kejujuran,

kasih sayang, tolong-menolong, semangat dan minat belajar dan bekerja, dsb.

Untuk semua jenjang pendidikan, materi pembelajaran matematika meliputi

(Ebbutt dan Straker, 1995):

1. Fakta (facts), meliputi informasi, nama, istilah dan konvensi

2. Pengertian (concepts), meliputi membangun struktur pengertian, peranan

struktur pengertian, konservasi, himpunan, hubungan pola,urutan, model, operasi,

dan algoritma.

3. Keterampilan penalaran, meliputi memahami pengertian, berfikir logis,

memahami contoh negatif, berpikir deduksi, berpikir sistematis, berpikir

konsisten, menarik kesimpulan, menentukan metode, membuat alasan, dan

menentukan strategi.

4. Keterampilan algoritmik, meliputi : mengikuti langkah yang dibuat orang lain,

membuat langkah secara informal, menentukan langkah, menggunakan langkah,

menjelaskan langkah, mendefinisikan langkah sehingga dapat dipahami orang

lain, membandingkan berbagai langkah, dan menyesuaikan langkah.

5. Keterampilan menyelesaikan masalah matematika (problem-solving) meliputi:

memahami pokok persoalan, mendiskusikan alternatif pemecahannya, memecah

persoalan utama menjadi bagian-bagian kecil, menyederhanakan persoalan,

menggunakan pengalaman masa lampau dan menggunakan intuisi, untuk

menemukan alternatif pemecahannya, mencoba berbagai cara, bekerja secara

sistematis, mencatat apa yang terjadi, mengecek hasilnya dengan mengulang

kembali langkah-langkahnya, dan mencoba memahami persoalan yang lain.

6. Keterampilan melakukan penyelidikan (investigation), meliputi:

mengajukan pertanyaan dan menentukan bagaimana memperolehnya, membuat

dan menguji hipotesis, menentukan informasi yang cocok dan memberi

penjelasan mengapa suatu informasi diperlukan dan bagaimana

mendapatkannya, mengumpulkan dan menyusun serta mengolah informasi secara

sistematis, mengelompokkan criteria, mengurutkan dan membandingkan;

mencoba metode alternatif, mengenali pola dan hubungan; dan menyimpulkan.

Uraian Materi Matematika SMP Kelas VIII

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas/Semester : VIII/1

Ruang Lingkup : Aljabar

Standar Kompetensi : 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan

persamaan garis lurus

No. Kompetensi Dasar Uraian Materi

1.1. Melakukan operasi

aljabar

1.1.1.Contoh-contoh Bentuk Aljabar

12x2 – 9x – 8y + 2xy - 4x2 + 5y + 9 (Fakta)

1.1.2.Konsep-konsep Dasar Bentuk Aljabar

Variabel

Variabel adalah lambang pengganti suatu

bilangan yang belum diketahui nilainya

dengan jelas. Variabel disebut juga peubah.

Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf

kecil a, b, c, ... z. (Konsep)

Konstanta

Konstanta dalah suku dari suatu bentuk

aljabar yang berupa bilangan dan tidak

memuat variabel disebut konstanta. (Konsep)

Koefisien

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor

konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

(Konsep)

Suku

Suku adalah variabel beserta koefisiennya

atau konstanta pada bentuk aljabar yang

dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

(Konsep)

Jenis-Jenis Suku:

a. Suku satu

Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak

dihubungkan oleh operasi jumlah atau

selisih. (Konsep)

Contoh: 4a, 5a2b, -4xy, dan lain-lain.

b. Suku dua

Suku dua adalah bentuk aljabar yang

dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau

selisih. (Konsep)

Contoh suku dua: a2 + 2, x + 2y

c. Suku tiga

Suku tiga adalah bentuk aljabar yang

dihubungkan oleh dua tingginya. (Konsep)

Contoh suku tiga: 3x2+ 4x – 5, 2x2 + 2y –

xy, dan lain-lain.

Suku banyak (polinom) adalah bentuk

aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku.

(Konsep)

Suku sejenis adalah suku-suku yang

memiliki variabel yang sama dan variabel

yang sama itu harus memiliki pangkat yang

sama juga. Selain suku sejenis disebut suku

tak sejenis. (Konsep)

Pangkat

Derajat

Derajat adalah jumlah pangkat pada satu suku

dalam suatu bentuk aljabar. (Konsep)

1.1.3. Operasi bentuk aljabar

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada

bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan

memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan

distributif dengan memerhatikan suku-suku

yang sejenis. (Konsep)

b. Perkalian

Perkalian suatu bilangan dengan bentuk

aljabar.

Perkalian suku dua (ax + b) dengan

skalar/bilangan k dinyatakan sebagai berikut.

k(ax + b) = kax + kb (Konsep)

Perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk

aljabar

Perkalian antara bentuk aljabar suku dua (ax

+ b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh

sebagai berikut.

(ax + b) (cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)

= ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd

= acx + (ad + bc)x + bd (Konsep)

Perpangkatan Bentuk Aljabar

Operasi perpangkatan diartikan sebagai

operasi perkalian berulang dengan unsur

yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat

berlaku

an = a x a x a x a…x a

a sebanyak n kali

(Konsep)

Untuk menentukan perpangkatan pada

bentuk aljabar suku dua, perhatikan uraian

berikut.

(a + b) = a + b

(a + b)2 = (a + b) (a + b)

= a2 + ab + ab + b

= a + 2ab + b

Konsep (a + b)3 = (a + b)2 (a + b)

= (a + b) (a + 2ab + b2 )

= a3 + 2a 2b + ab2 + a2b + 2ab2 +

b3

= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

Pembagian

Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor

sekutu yang sama maka hasil bagi kedua

bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam

bentuk yang lebih sederhana. (Konsep)

Pada operasi pembagian bentuk aljabar

ditentukan terlebih dahulu faktor sekutu

kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian

baru dilakukan pembagian. (Prosedur)

1.2. Menguraikan

bentuk aljabar ke

dalam faktor-

faktornya

1.2.1.Definisi pemfaktoran

Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar

adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi

suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar

tersebut. (Konsep)

1.2.2.Faktorisasi dari beberapa bentuk aljabar

Faktorisasi dengan hukum distributif

Bentuk ax + ay + az + ... dan ax + bx – cx

Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau

lebih dan memiliki faktor sekutu dapat

difaktorkan dengan menggunakan sifat

distributif.

ax + ay + az + ...= a(x + y + z + ...)

Konsep ax + bx – cx = x(a + b – c)

Faktorisasi selisih dua kuadrat

Bentuk selisih dua kuadrat x2 – y2 adalah

bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku dan

merupakan selisih dua kuadrat dapat

dijabarkan sebagai berikut

x2 – y2 = ( x – y)(x + y) (Konsep)

Faktorisasi kuadrat sempurna

Bentuk x + 2xy + y dan x – 2xy + y dapat

difaktorkan menjadi

x2 + 2xy + y2 = (x + y) (x + y) = (x + y)2

Konsep x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y) = (x – y)2

Faktorisasi bentuk ax2+bx +c dengan a = 1

Untuk memfaktorkan bentuk x2+ bx + c

dilakukan dengan cara mencari dua bilangan

real yang hasil kalinya sama dengan c dan

jumlahnya sama dengan c dan jumlahnya

sama dengan b.

x2 + bx + c = x2 +( m + n)x + mn

Konsep x2 + bx + c = (x + m) (x + n)

dengan

m x n = c dan m + n = b

Faktorisasi bentuk ax2+bx+ c dengan a ≠ 1

Menggunakan sifat distributive

ax + bx + c = ax + px + qx + c

dengan

Konsep p x q = a x c dan

p + q = b

1.2.3.Operasi pada pecahan bentuk aljabar

Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan

Aljabar

Penjumlahan dan pengurangan pecahan

aljabar dengan penyebut berbeda dapat

dilakukan dengan cara menyamakan

penyebutnya terlebih dahulu menjadi

kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari

penyebut-penyebutnya.

Konsep ab+ c

d=ad+bc

bd atau

ab− c

d=ad−bc

bd

Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar

Perkalian antara dua pecahan dapat dilakukan

dengan mengalikan antara pembilang dengan

pembilang dan penyebut dengan penyebut.

Konsep ab

xcd=adxbc

bxd =

acbd

Pembagian antara dua pecahan aljabar

dilakukan dengan mengubah bentuk

pembagian menjadi bentuk perkalian dengan

cara mengalikan dengan kebalikan pecahan

pembagi.

Konsep

ab

:cd=a

bx

dc=a x d

b x c=ad

bc

Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Menyederhanakan pecahan aljabar dapat

dilakukan dengan memfaktorkan pembilang

dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudian

dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang

dan penyebut tersebut. (Konsep)

1.3. Memahami relasi

dan fungsi

1.3.1. Pengertian Relasi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah

hubungan yang memasangkan anggota-anggota

himpunan A dengan anggota-anggota himpunan

B. (Konsep)

1.3.2. Cara Menyajikan Suatu Relasi

Dengan diagram panah

A B

Arah panah menunjukkan anggota-anggota

himpunan A yang berelasi dengan anggota-

anggota tertentu pada himpunan B. (Konsep)

Dengan diagram Cartesius

Anggota-anggota himpunan A berada pada

sumbu mendatar dan anggota-anggota

himpunan B berada pada sumbu tegak.

(Konsep)

B

y

x A

Dengan himpunan pasangan berurutan

Relasi antara dua himpunan, misalnya

himpunan A dan himpunan B dapat

dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y)

dengan x є A dan y є B. (Konsep dan

Fakta)

1.3.3. Pengertian Fungsi

Fungsi (pemetaan) dari himpunan A ke

himpunan B adalah relasi khusus yang

memasangkan setiap anggota A dengan tepat

satu anggota B. (Konsep)

Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau

fungsi adalah

a. Setiap anggota A mempunyai pasangan di

B;

b. Setiap anggota A dipasangkan dengan

tepat satu anggota B. (Konsep)

1.3.4. Notasi Fungsi

Misalnya suatu fungsi yang memetakan

x anggota himpunan A ke y anggota himpunan

B dan himpunan C: = y =f(x)

f: xy atau f : xf (x) (Fakta)

Himpunan A disebut domain (daerah

asal).

Himpunan B disebut kodomain (daerah

kawan).

Himpunan C B yang memuat y disebut

range (daerah hasil).

Variabel x dapat diganti dengan sebarang

anggota himpunan A dan disebut variabel

bebas.

Variabel y anggota himpunan B yang

merupakan bayangan x oleh fungsi f

ditentukan (bergantung pada) oleh aturan

yang didefinisikan, dan disebut variabel

bergantung.

(Konsep)

1.4. Menentukan nilai

fungsi

1.4.1. Menghitung nilai fungsi

Misalkan bentuk fungsi f(x) = ax + b.

Untuk menentukan nilai fungsi f(x) untuk x

tertentu, caranya dengan mengganti

(mensubstitusi) nilai x pada bentuk fungsi

f(x)=ax+b. (Prosedur)

1.4.2. Menyusun suatu rumus fungsi jika nilai fungsi

dan data fungsi diketahui

Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f:xax+b,

dengan a dan b konstanta dan x variabel maka

rumus fungsinya adalah f(x)=ax+b.

Jika nilai variabel x = m maka nilai f(m)=am+b.

Dengan demikian, kita dapat menentukan

bentuk fungsi f jika diketahui nilai-nilai

fungsinya. Selanjutnya, nilai konstanta a dan b

ditentukan berdasarkan nilai-nilai fungsi yang

diketahui. (Prosedur)

1.4.3. Menghitung nilai perubahan fungsi jika nilai

variabel berubah

Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka

akan menyebabkan perubahan pada nilai

fungsinya. (Konsep)

1.5. Membuat sketsa

grafik fungsi

aljabar sederhana

pada system

koordinat kartesius

1.5.1.Membuat tabel pasangan antara nilai peubah

dengan nilai fungsi

Langkah-langkah menggambar grafik

persamaan garis lurus y = mx + c, dengan

menggunakan tabel pasangan antara nilai

peubah dengan nilai fungsi sebagai berikut.

1) Tentukan dua pasangan titik yang

memenuhi persamaan garis tersebut dengan

membuat tabel untuk mencari

koordinatnya.

2) Gambar dua titik tersebut pada bidang

Cartesius.

3) Hubungkan dua titik tersebut, sehingga

membentuk garis lurus yang merupakan

grafik persamaan yang dicari. (Prosedur)

1.5.2.Menggambar grafik fungsi aljabar dengan cara

menentukan koordinat titik-titik pada system

koordinat cartesius

1.6. Menentukan

gradient, persaman

dan grafk garis

lurus

1.6.1.Pengertian gradien

Gradien adalah tingkat kemiringan garis.

(Konsep)

Gradien = ordinatabsis

(Prinsip)

m = yx

y = mx

1.6.2.Nilai gradien

a. Pada persamaan garis y = mx

Dengan cara menentukan nilai konstanta di

depan variabel x.

b. Pada persamaan ax + by + c = 0

Dengan cara mengubah persamaan awal

menjad berbentuk y = mx + c.

c. Pada garis yang melalui 2 titik

m = y2− y1

y2+ y1

(Konsep)

1.6.3.Sifat-sifat Gradien

a. Gradien garis yang sejajar sb x

Jika garis yang sejajar sb x maka nilai

gradiennya adalah nol.

b. Gradien garis yang sejajar sb y

Jika garis yang sejajar sb y maka garis

tersebut tidak memiliki gradien.

c. Gradien 2 garis sejajar

Setiap garis yang sejajar memiliki gradient

yang sama

d. Gradien 2 garis yang tegak lurus

Hasil kali 2 gradien yang tegak lurus adalah -

1.

(Konsep)

1.6.4.Menentukan Persamaan Garis Lurus

a. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik

(x1, y1) dengan Gradien m.

Untuk menentukan persamaan garis tersebut

perhatikan langkah-langkah berikut.

Substitusi titik (x1, y1) ke persamaan

y=mx+c.

Substitusi nilai c ke persamaan y = mx + c.

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan

bergradien m adalah y – y1 = m(x – x1).

(Prinsip)

b. Persamaan Garis yang Melalui titik (x1, y1)

dan Sejajar dengan Garis y = mx + c


sejajar garis y = mx + c adalah y – y1 = m(x –

x1). (Prinsip)

c. Persamaan Garis yang Melalui (x1, y1) dan

Tegak Lurus dengan Garis y = mx + c


tegak lurus dengan garis y = mx + c adalah

y – y1 = - 1m

(x – x1) (Prinsip)

d. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik

Sebarang (x1,y1) dan (x2,y2)

Persamaan garis yang melalui dua titik dapat

diselesaikan dengan substitusi ke fungsi linear

y = ax + b.

Persamaan garis yang melalui titik A(x1, y1)

dan B(x2, y2) adalah

y – y1 = y2− y1x2−x1

(x−x 1) (Prinsip)

1.6.5.Menggambar Garis yang Melalui Titik (x1, y1)

dengan Gradien m

Langkah:

Gambar titik (x1 – y1) pada bidang cartesius

Karena gradient adalah perbandingan antar

komponen y dan x maka m = ΔyΔx

Δy artinya keatas atau kebawah dari titik

(x1,y1) diperoleh titik (x2,y2)

Δx artinya kekananatau kekiri dari titik (x1,y1)

diperoleh titik (x3,y3)

Hubungkan titik (x2,y2) dengan (x3,y3)

Garis yang melaui 2 titik ini adalah garis yang

dimaksud. (Prosedur)



Ruang Lingkup : Aljabar

Standar Kompetensi : 2. Memahami sistem persamaan linear dua variabel

dan menggunakannya dalam pemecahan masalah.

No.Kompetensi

DasarUraian Materi

Klasifikasi

Materi

2.1 Menyelesaikan

sistem

persamaan linear

dua variabel

2.1.1 Pengertian Persamaan linear dua

variabel.

Bentuk umum PLDV: ax + by = c

dengan a, b, c konstanta, a≠ 0 dan b

≠ 0 (Konsep)

Fakta

Konsep

2.1.2 Bentuk dan variabel SPLDV

(Konsep)

Konsep

2.1.3 Menentukan himpunan Penyelesaian

PLDV

Penyelesaian persamaan linear dua

variabel dapat ditentukan dengan

cara mengganti kedua variabelnya

dengan bilangan yang memenuhi

persamaan linear tersebut. Hasilnya

berupa koordinat yang memuat nilai

x dan y. (Prosedur)

Prosedur

2.1.4 Pengertian Sistem Persamaan Linear

dua variabel.

SPLDV adalah dua persamaan atau

lebh yang menggunakan variabel

yang sama. (Konsep)

Konsep

2.1.5 Perbedaan PLDV dengan SPLDV

a) Persamaan linear dua variabel

adalah persamaan yang memiliki

dua variabel dan pangkat masing-

Fakta

Konsep

Prinsip

masing variabelnya satu. (Konsep).

Jika dua variabel tersebut x dan y,

maka PLDV-nya dapat dituliskan :

ax + by = c

dengan a, b ≠ 0

(Konsep)

b) SPLDV adalah suatu system

persamaan yang terdiri atas dua

persamaan linear (PLDV) dan

setiap persamaan mempunyai dua

variabel. Bentuk umum SPLDV

adalah:

ax + by = c

px + qy = r

dengan a, b, p, q ≠ 0

(Konsep)

c) SPLDV dibentuk dari beberapa

PLDV (Konsep).

2.1.6 Menyelesaikan SPLDV dengan

metode grafik, substitusi, dan

eliminasi.

a. Metode Grafik

Langkah pertama, menentukan titik

potong terhadap sumbu x dan

sumbu y pada masing-masing

persamaan linear dua variabel.

Langkah kedua, gambarkan ke

dalam bidang koordinat Cartesius.

prosedural

Langkah ketiga, tentukan titik

potong grafik tersebut. Titik potong

ini merupakan penyelesaian

SPLDV tersebut. (Konsep)

b. Metode Substitusi

1) Langkah pertama, tuliskan

masing-masing persamaan dalam

bentuk persamaan (1) dan (2).

2) Langkah kedua, pilih salah satu

persamaan, misalkan persamaan

(1). Kemudian nyatakan salah

satu variabelnya dalam bentuk

variabel lainnya.

3) Langkah ketiga, nilai variabel y

pada persamaan (3)

menggantikan variabel y pada

persamaan (2).

4) Langkah keempat, nilai x pada

persamaan (4) menggantikan

variabel x pada salah satu

persamaan awal, misalkan

persamaan (1).

5) Langkah kelima, menentukan

penyelesaian

(Prosedur)

c. Metode Eliminasi

1) Langkah pertama,

menghilangkan salah satu

variabel dari SPLDV tersebut.

2) Langkah kedua, menghilangkan

variabel yang lain dari SPLDV

tersebut, yaitu variabel x.

Perhatikan koefisien x pada

SPLDV tersebut tidak sama.

Jadi, harus disamakan terlebih

dahulu.

3) Langkah ketiga, menentukan

penyelesaian SPLDV tersebut.

(Prosedur)

d. Metode Gabungan

Langkah pertama yaitu dengan

metode eliminasi.

Langkah kedua yaitu substitusi.

(Prosedur)

2.2 Membuat model

matematika dari

masalah yang

berkaitan

dengan system

persamaan linear

dua variabel

2.2.1 Mengubah masalah sehari-hari ke

dalam matematika berbentuk

SPLDV (Prosedur)

prosedural

2.3 Menyelesaikan

model

matematika dari

masalah yang

berkaitan

dengan system

2.3.1 Mencari penyelesaian suatu

masalah yang dinyatakan dalam

model matematika dalam bentuk

SPLDV

Langkah-langkah menyelesaikan

soal cerita sebagai berikut.

prosedural

persamaan linear

dua variabel dan

penafsirannya

1) Mengubah kalimat-kalimat

pada soal cerita menjadi

beberapa kalimat matematika

(model matematika), sehingga

membentuk sistem persamaan

linear dua variabel.

2) Menyelesaikan sistem

persamaan linear dua variabel

(kemampuan penalaran).

3) Menggunakan penyelesaian

yang diperoleh untuk

menjawab pertanyaan pada

soal cerita.

(Prosedur)



Ruang Lingkup : Geometri dan Pengukuran

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan teorema Phytagoras untuk

menunjukkan panjang sisi-sisi segitiga siku-

siku

No. Kompetensi Dasar Uraian MateriKlasifikasi

Materi

3.1 Menggunakan

teorema

phytagoras untuk

3.1.1 Luas Persegi dan Luas

Segitiga Siku-Siku

Luas persegi = sisi x sisi

Prinsip

menentukan

panjang sisi-sisi

segitiga siku-siku

(prinsip)

Luas segitiga siku-siku = 12

x alas x tinggi (prinsip)

3.1.2 Menemukan teorema

phytagoras

Luas daerah persegi yang

panjang sisinya adalah sisi

miring suatu segitiga siku-siku

sama dengan jumlah luas

daerah persegi yang panjang

sisinya adalah sisi siku-siku

segitiga tersebut. (prinsip)

3.1.3 Teorema phytagoras

Dalam segitiga siku-siku berlaku

jumlah kuadrat sisi siku-sikunya

sama dengan kuadrat

hipotenusanya (prinsip)

a2 = b2 + c2

C a

b

A c B

Prinsip

3.1.4 Menggunakan teorema

pythagoras untuk menghitung

panjang salah satu sisi segitiga

siku-siku jika kedua sisi lain

diketahui. (keterampilan

algoritmik)

3.2 Memecahkan

masalah pada

bangun datar

yang berkaitan

dengan Teorema

Phytagoras

3.2.1 Kebalikan teorema

phytagoras untuk menentukan

jenis suatu segitiga

Untuk setiap segitiga jika

jumlah kuadrat panjang dua

sisi yang saling tegak lurus

sama dengan kuadrat panjang

sisi miring maka segitiga

tersebut merupakan segitiga

siku-siku.(konsep)

Pada suatu segitiga berlaku

Jika a, b dan c panjang

sisi-sisi suatu segitiga

yang memenuhi persamaan

a2 = b2 + c2 dengan a adalah

sisi terpanjang, maka

segitiga tersebut adalah

segitiga siku-siku

Jika a, b dan c panjang sisi-

sisi suatu segitiga dengan a

sisi terpanjang tetapi a, b

dan c tidak memenuhi

bilangan Tripel Pythagoras,

terdapat dua kemungkinan

bentuk segitiga:

Jika b2 + c2 < a2 maka

segitiga ABC segitiga

tumpul

Jika b2 + c2 > a2 maka

segitiga ABC segitiga

lancip

(Konsep)

3.2.2 Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras adalah

kelompok tiga bilangan bulat

positif yang memenuhi

kuadrat bilangan terbesar

sama dengan jumlah kuadrat

dua bilangan lainnya. Atau

jika a, b dan c panjang sisi-

sisi suatu segitiga siku-siku

dengan a, b dan c bilangan

asli, maka a, b, c disebut

bilangan Tripel Pythagoras.

(konsep)

3.2.3 Perbandingan Sisi-Sisi pada

Segitiga Siku-Siku dengan

Sudut Istimewa

a. Sudut 30° dan 60°

Perbandingan hipotenusa :

sisi tegak : sisi datar = 1:

√3 : 2 (konsep)

b. Sudut 45°

Perbandingan hipotenusa :

sisi tegak : sisi datar = 1:

1 : √2 (konsep)

3.2.4 Penggunaan Teorema

Pythagoras pada Bangun

Datar dan Bangun Ruang

Pada kondisi tertentu, teorema

Pythagoras digunakan dalam

perhitungan bangun datar.

Misalnya, menghitung

panjang diagonal, menghitung

sisi miring trapesium, dan lain

sebagainya.

3.2.5 Menyelesaikan masalah

sehari-hari dengan

menggunakan teorema

Pythagoras




Standar Kompetensi : 4. Menentukan unsur, bagian lingkaran serta

ukurannya

No.Kompetensi

DasarUraian Materi

4.1 Menentukan

unsur dan

4.1.1 Lingkaran dan bagian-bagiannya

a. Pengertian lingkaran

bagian-bagian

lingkaran

Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang

merupakan tempat kedudukan titik-titik yang

berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

(konsep)

b. Bagian-bagian lingkaran (konsep)

Pusat lingkaran

Garis tengah atau diameter yaitu ruas garis

yang menghubungkan dua titik pada

keliling lingkaran dan melalui pusat

lingkaran

Tali busur yaitu ruas garis yang

menghubungkan dua titik pada keliling

lingkaran.

Apotema, yaitu jarak terpendek antara tali

busur dan pusat lingkaran.

Busur lingkaran yaitu bagian dari keliling

lingkaran. Busur terbagi menjadi dua, yaitu

busur besar dan busur kecil

Juring atau sector yaitu daerah yang

dibatasi oleh dua jari-jari serta sebuah

busur.

Tembereng yaitu daerah yang dibatasi oleh

tali busur dan busurnya, terdapat tembereng

kecil dan tembereng besar

4.2 Menghitung

keliling dan

luas lingkaran

4.2.1 Menemukan Pendekatan Nilai π (pi)

KelilingDiameter

= π (prinsip)

akan memberikan nilai yang mendekati 3,14.

π=¿3,14 atau 227

(konsep)

4.2.2 Menghitung Keliling dan luas Lingkaran

K = πd atau K = 2πr (prinsip)

L = πr2 atau L = 14 πd2

(prinsip)

4.2.3 Menghitung perubahan luas dan keliling lingkaran

jika jari-jari berubah

Lingkaran yang berjari-jari r, setelah mengalami

perubahan jari-jari menjadi r dengan r > r , maka

selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya

sebagai berikut:

L1 – L2 = π (r2 - r1 ¿(r2+ r1)

K2 - K1 = π(r2+ r1)

L1: L2 = r22 : r1

2

K2 : K1 = r2 : r1

(prinsip)

4.3 Menggunakan

hubungan sudut

pusat, panjang

busur, luas

juring dalam

pemecahan

masalah

4.3.1 Hubungan sudut pusat dan sudut keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap

busur yang samamaka besar sudut pusat = 2

besar sudut keliling.

Besar sudut keliling yang menghadap diameter

lingkaran besarnya 90° (sudut siku-siku).

Besar sudut-sudut keliling yang menghadap

busur yang sama adalah sama besar atau 12

x

sudut pusatnya.

(Konsep)

4.3.2 Menghitung panjang busur, luas juring dan

tembereng

panjang busur AB = α

360° x 2πr

luas juring OAB = α

360° x 2 π r2

luas tembereng AB = luas juring OAB – luas

segitiga AOB. (prinsip)

4.3.3 Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas

Juring

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh

dua jari-jari yang berpotongan pada pusat

lingkaran. (Konsep)

Panjang busur dan luas juring pada suatu

lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut

pusatnya. (prinsip)

4.3.4 Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan

Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas

Juring

4.4 Menghitung

panjang garis

singgung

persekutuan

dua lingkaran

4.4.1 Mengenal sifat-sifat garis singgung lingkaran

a. Pengertian Garis Singgung Lingkaran. Garis

singgung lingkaran adalah garis yang

memotong suatu lingkaran di satu titik dan

berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik

singgungnya. (konsep)

b. Sifat- sifat garis singgung lingkaran

Garis singgung lingkaran tegak lurus pada

diameter lingkaran yang melalui titik

singgungnya.

Melalui suatu titik pada lingkaran hanya

dapat dibuat satu garis singgung pada

lingkaran tersebut.

Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat

dibuat dua garis singgung pada lingkaran

tersebut.

Jika P di luar lingkaran maka jarak P ke

titik-titik singgungnya adalah sama.

(konsep)

c. Melukis Garis Singgung Lingkaran

1. Melukis Garis Singgung Lingkaran Yang

Melalui Titik pada Lingkaran

Langkah-langkah melukisnya adalah:

a)Buatlah lingkaran yang berpusat di titik

O dengan titik A terletak pada lingkaran

b)Buatlah jari-jari OA

c)Perpanjanglah jari-jari OA

d)Lukislah busur lingkaran dengan pusat A

(panjang jari-jari kurang dari OA)

sehingga memotong OA dan

perpanjangannya di titik P dan Q

e)Lukislah busur lingkaran dengan pusat P

dan Q yang berjari-jari sama panjang

sehingga saling berpotongan di titikR

dan S (panjang jari-jari kedua lingkaran

tersebut harus lebih dari ½(PQ) )

f) Hubungkan titik R dan S sehingga

terbentuk garis RS. Garis RS merupakan

garis singgung lingkaran yang pusatnya

di titik O.

(Prosedur)

2. Melukis Garis Singgung Lingkaran Yang

Melalui Titik di Luar Lingkaran

a)Lukislah lingkaran dengan pusat O dan

titik A di luar lingkaran

b)Hubungkan titik O dan A

c)Lukislah busur lingkaran dengan pusat O

dan A yang berjari-jari sama panjang

sehingga saling berpotongan di titik P

dan Q (panjang jari-jari kedua lingkaran

tersebut harus lebih dari ½(OA))

d)Hubungkan titik P dan Q sehingga

memotong OA di titik R

e)Lukislah lingkaran dengan pusat R

dengan jari-jari RA sehingga memotong

lingkaran dengan pusat O di titik B dan

C

f) Hubungkan titik A dengan titik B, dan

titik A dengan titik C sehingga diperoleh

garis AB dan AC yang merupakan garis-

garis singgung lingkaran

(Prosedur)

d. Panjang Garis Singgung Lingkaran

Panjang garis singgung adalah:

AB = √OA2−OB2

(Prinsip)

4.4.2 Kedudukan Dua Lingkaran

Jika terdapat dua lingkaran masing-masing

lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan

lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di

mana R > r maka terdapat beberapa kedudukan

lingkaran sebagai berikut.

(i) L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q

berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam

hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan

konsentris (setitik pusat).]

(ii) L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R.

Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam

L1 dan tidak konsentris.

(iii) L2 terletak di dalam L1 dan

PQ = r = 12

R, sehingga L1 dan L2

bersinggungan di dalam.

(iv)L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R.

(v) L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R +

AO

r.

(vi)L2 terletak di luar L2 dan PQ = R + r,

sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar.

(vii) L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r,

sehingga L2 dan L2 saling terpisah.

(Konsep)

4.4.3 Garis singgung persekutuan luar lingkaran

a.Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Dua

Lingkaran

Garis singgung melalui satu titik pada

lingkaran

Garis Singgung Melalui Titik di Luar

Lingkaran

(Prosedur)

b. Panjang Garis Singgung

Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

d = √ p2−(R+r )2 (prinsip)

d = panjang garis singgung persekutuan dalam

p = jarak kedua titik pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari

sebuah titik di luar lingkaran mempunyai

panjang yang sama. (prinsip)

4.4.4 Garis Singgung Persekutuan Dalam

a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

(prosedur)

b. Menghitung Panjang Garis Singgung

Persekutuan Dalam

d = √k2−(R+r )2 (prinsip)

d = panjang garis singgung persekutuan dalam

k = jarak kedua titik pusat lingkaran

R = jari-jari lingkaran pertama

r = jari-jari lingkaran kedua

4.5 Melukis

lingkaran dalam

dan

lingkaran luar

segitiga

4.5.1. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam suatu segitiga adalah

lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan

menyinggung ketiga sisinya. (konsep)

Langkah-langkah melukis lingkaran dalam

segitiga sebagai berikut

a. Lukis segitiga ABC kemudian lukis garis

bagi ∠ ABC

b. Lukis pula garis bagi ∠CAB sehingga

kedua garis bagi berpotongan di titik P.

c. Lukis garis PQ tegak lurus AB sehingga

memotong garis AB di titik Q. Lukis

lingkaran berpusat di titik P dengan jari-jari

PQ. Lingkaran tersebut merupakan

lingkaran dalam segitiga ABC.

(procedural)

Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran

Dalam Segitiga

Luas segitiga yang diketahui panjang ketiga

sisinya dapat ditentukan dengan rumus

L = √s (s – a)(s – b)(s – c) prinsip

s = 12

keliling segitiga

Dengan L = luas segitiga

dan a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga fakta

4.5.2. Melukis Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang

terletak diluar segitiga dan melalui ketiga titik

sudut segitiga tersebut. (konsep)

Langkah-langkah melukis lingkaran luar

segitiga sebagai berikut:

a. Lukis segitiga ABC, kemudian lukis garis

sumbu sisi AB.

b. Lukis pula garis sumbu sisi BC, sehingga

kedua garis sumbu saling berpotongan di

titik P.

c. Lukis lingkaran berpusat di P dengan jari-

jari PB. Lingkaran

d. tersebut merupakan lingkaran luar ABC.

(procedural)

Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Luar

Segitiga

Rumus panjang jari-jari lingkaran luar segitiga

adalah

r = abc4 L

atau

r = abc

4 √s(s – a)(s – b)(s – c) prinsip

dengan

r = jari-jari lingkaran luar segitiga ABC

a, b, dan c = panjang sisi segitiga ABC fakta

L= luas segitiga ABC

s = 12

keliling segitiga prinsip




Standar Kompetensi : 5. Memahami sifat-sifat kubus, balok, prisma, limas,

dan bagian-bagiannya serta menentukan

ukurannya

No. Kompetensi

Dasar

Uraian Materi

5.1. Mengidentifikasi

sifat-sifat kubus,

balok, prisma,

dan limas serta

bagian-

bagiannya

5.1.1.Berbagai macam bangun ruang di sekitar

5.1.2.Unsur-unsur kubus, balok, prisma, dan limas

(konsep)

Titik sudut

Rusuk

Sisi

Diagonal bidang

Diagonal ruang

Bidang diagonal

5.1.3. Sifat-sifat kubus, balok, prisma, dan limas

(konsep)

a. Kubus

Memiliki 8 titik sudut

Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi

yang saling kongruen.

Memiliki 12 rusuk yang sama panjang

rusuk alas, rusuk tegak., Rusuk-rusuk yang

sejajar, Rusuk-rusuk yang saling

berpotongan, Rusuk-rusuk yang saling

bersilangan

Memiliki 8 titik sudut

Memiliki 12 diagonal bidang yang sama

panjang

Memiliki 4 diagonal ruang yang sama

panjang dan berpotongan di satu titik

Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk

persegi panjang yang saling kongruen

b. Balok

Memiliki 8 titik sudut,

Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi

panjang yang tiap pasangnya kongruen.

Memiliki 12 rusuk, dengan kelompok rusuk

yang sama panjang

Memiliki 12 diagonal bidang

Memiliki 4 diagonal ruang yang sama

panjang dan berpotongan di satu titik

Memiliki 6 bidang diagonal yang berbentuk

persegi panjang dan tiap pasangnya

kongruen

c. Prisma segi-n

Jumlah titik sudut adalah 2n

Jumlah sisi adalah n+2

Jumlah rusuk adalah 3n

Diagonal bidang alas adalah garis yang

menghubungkan dua titik sudut yang tidak

bersebelahan pada bidang alas.

Bidang diagonal adalah bidang yang

memuat diagonal bidang alas dan diagonal

bidang atas serta keduanya sejajar.

Diagonal ruang adalah garis yang

menghubungkan titik sudut pada alas

dengan titik sudut pada bidang atas yang

tidak terletak pada sisi tegak yang sama

Banyak diagonal bidang alas prisma segi

n= x( x−3)

2

Banyak bidang diagonal prisma segi n =

x( x−3)2

Banyak diagonal ruang prisma segi n = n(n

– 3)

d. Limas segi-n

Jumlah titik sudut adalah n+1

Jumlah sisi adalah n+1

5.2. Membuat jaring-

jaring kubus,

balok, prisma,

dan limas

5.2.1. Jaring-jaring kubus, balok

Jaring-jaring kubus adalah sebuah bangun datar

yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis pada

dua persegi yang berdekatan akan membentuk

bangun kubus. (konsep)

Jaring-jaring balok adalah sebuah bangun datar

yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis pada

dua persegi panjang yang berdekatan akan

membentuk bangun balok. (konsep)

5.2.2. Langkah melukis juring prisma dan limas

(prosedur)

Langkah-langkah melukis prisma berikut.

1. Lukis bidang alas prisma terlebih dahulu.

Jika bidang alasnya berbentuk segi n beraturan

maka perhatikan besar setiap sudut pusatnya.

Selanjutnya, lukislah segi n beraturan dengan

langkah-langkah sebagai berikut.

1) Lukis suatu lingkaran yang berpusat di titik

O dan jari-jari r.

2) Bagi sudut pusat menjadi n bagian yang

sama besar.

3) Lukis jari-jari lingkaran yang membatasi

sudut pusat.

4) Hubungkan tali-tali busurnya, sehingga

menghasilkan segi n beraturan yang

diminta.

2. Lukis rusuk tegak prisma, tegak lurus bidang

alas dan sama panjang.

3. Hubungkan rusuk atasnya, sehingga

membentuk bidang atas prisma, yang sejajar

dan kongruen dengan bidang alas

Cara melukis limas beraturan sama dengan cara

melukis prisma tegak beraturan, hanya

perbedaannya terletak pada rusuk tegaknya.

Untuk melukis rusuk tegak limas, lukis terlebih

dahulu tinggi limas yang tegak lurus bidang alas

dan berujung pada titik puncak limas. Kemudian

lukis rusuk tegaknya dengan menghubungkan titik

sudut bidang alas dengan titik puncak limas.

5.3. Menghitung luas

permukaan dan

volume

kubus,balok,

prisma, dan

limas.

5.3.1 Luas permukaan kubus, balok, prisma, dan limas

(prinsip)

a. Kubus

L = 6s2

L = luas permukaan kubus

s = panjang rusuk kubus

b. Balok

L = 2(p x l) + 2(l x t) + 2(p x t)

= 2{(p x l) + (l x t) + (p x t)}

dengan

L = luas permukaan balok

p = panjang balok

l = lebar balok

t = tinggi balok

c. Prisma

Luas permukaan prisma = (2 x luas alas) +

(keliling alas x tinggi)

d. Limas

Luas permukaan limas = luas alas + jumlah luas

seluruh sisi tegak

5.3.2 Volume kubus, balok, prisma, dan limas (prinsip)

Kubus

V = rusuk x rusuk x rusuk

= s x s x s

= s3

Balok

V = panjang x lebar x tinggi

= p x l x t

Prisma

Volume prisma = luas alas x tinggi

Limas

Volume limas = 13

x luas alas x tinggi

5.3.3 Menentukan luas permukaan dan volume kubus,

balok, prisma tegak serta limas beraturan jika

ukuran rusuknya berubah

Kubus

Jika panjang rusuk suatu kubus = s,

Fakta luas permukaan = L, dan volume = V, kemudian

panjang rusuk kubus itu diperbesar atau diperkecil

k kali maka

Lbaru = 6(ks x ks)

= 6k2s2

= k2 x 6s2 prinsip

= k2L

Dengan

Lbaru = luas permukaan kubus setelah diperbesar

atau diperkecil

L = luas permukaan kubus semula

Vbaru = ks x ks x ks

= k3s3

= k3V( prinsip)

Dengan

Fakta Vbaru = volume kubus setelah diperbesar atau

diperkecil

V = volume kubus semula

Balok

Suatu balok memiliki panjang = p, lebar = l,

tinggi = t, luas permukaan = L, dan volume = V.

Fakta Balok itu kemudian diubah ukurannya menjadi

panjang = ap, lebar = bl, dan tinggi = ct dengan

a, b, c konstanta positif

Lbaru = 2((ap x bl) + (bl x ct) + (ap x ct))

= 2(ab(p x l) + bc(l x t) + ac(p x l))

Prinsip Vbaru = ap x bl x ct

= abc(p x l x t)

= abcV

Prisma

Jika panjang rusuk alas suatu prisma segi empat

beraturan = s, tinggi = t, dan volume = V,

kemudian panjang rusuk alas dan tingginya

diperbesar atau diperkecil k kali maka

Vbaru = ks x ks x ks

prinsip = k2 x s2 x t

Vbaru = volume prisma segi empat beraturan

Fakta setelah diperbesar atau diperkecil

V = volume prisma segi empat beraturan semula

k = konstanta positif (perbesaran atau perkecilan)

Limas

Suatu limas segi empat beraturan memiliki

panjang rusuk alas= s dan tinggi = t. Kemudian

ukuran limas diubah menjadi panjang rusuk alas =

ks dan tinggi = kt, dengan k konstanta.

Vbaru = k3V prinsip

dengan

Vbaru = volume limas setelah panjang rusuk dan

tingginya diubah

Fakta V = volume limas semula

k = konstanta positif (perbesaran atau perkecilan)

Klasifikasi Materi

Documents

Transcript of Klasifikasi Materi