KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE …

i

KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN

NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP

MAKSIMUM

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Dewita Nur Fahma

NIM: 123114022

PROGRAM STUDI MATEMATIKA/JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

OPTIMAL CONTROL ON THE NERLOVE-ARROW

ADVERTISING MODEL WITH MAXIMUM PRINCIPLE

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement

to Obtain the Sarjana Sains Degree

in Mathematics

By:

Dewita Nur Fahma

Student Number: 123114022

MATHEMATICS STUDY PROGRAM/DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


iii


iv


v


vi


vii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“Pelangi tidak akan indah jika hanya ada satu warna”.

Karya ini saya persembahkan untuk:

Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya

sehingga skripsi ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya.

Bapak dan Ibu yang telah membesarkan, mendidik, mendoakan dan

memberikan dukungan saya dalam segala hal. Terima kasih atas perhatian,

kasih sayang dan dukungan yang telah diberikan, sehingga skripsi ini dapat

selesai.

Bapak Hartono yang dengan sabar membimbing dan membantu saya dalam

penulisan skripsi ini.


viii

ABSTRAK

Teori kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk

mencari penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Teori kendali optimal dapat dit-

erapkan dalam bidang manajemen. Aplikasi kendali optimal pada bidang

manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi

dan penyimpanan, periklanan, dan lain-lain. Dalam tugas akhir ini akan dibahas

mengenai model periklanan, yaitu model periklanan Nerlove-Arrow. Tujuan dari

model periklanan Nerlove-Arrow adalah untuk mencari keadaan yang optimal,

yaitu nilai maksimal dari fungsi tujuan. Prinsip maksimum digunakan dalam tugas

akhir ini untuk memperoleh keadaan optimal. Konsep-konsep yang digunakan

dalam memperoleh keadaan optimal adalah persamaan Hamiltonian, dan fungsi ad-

join.

Kata kunci: Kendali optimal, Goodwill, Model Periklanan, Persamaan Hamilto-

nian, Fungsi Adjoin, Prinsip Maksimum.


ix

ABSTRACT

Optimal control theory is a branch of mathematics developed to find optimal

ways to control dynamical system. Optimal control theory can be applied in man-

agement area. Optimal control can be applied in finance, economics, production

and inventory, advertising, etc. This thesis will discuss Nerlove-Arrow advertising

model. The purpose of Nerlove-Arrow advertising model is to find the optimal way,

to maximize value of the objective function. Concepts which are used to find the

optimal ways is Hamiltonian equation and adjoint function.

Keyword: Optimal control, Goodwill, Advertising Model, Hamiltonian equation,

Adjoint Function, Maximum Principle.


x

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah

memberikan rahmat, taufik, dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di

Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena

dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan ataupun lembaga.

Untuk itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terima kasih

kepada:

1. Y.G. Hartono, Ph. D, selaku dosen pembimbing skripsi, Dosen Pembimbing

Akademik, dan sekaligus Ketua Program Studi Matematika yang telah

meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan

sehingga terselesaikannya skripsi ini.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,

Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P.

Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.

selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak

pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.


xi


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv

HALAMAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................... vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ....................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ......................................................................................... x

DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ........................................................................ 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................. 1

C. Batasan Masalah ................................................................................... 2

D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 2

E. Metode Penulisan .................................................................................. 2

F. Manfaat Penulisan ................................................................................ 2


xiii

G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 4

BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL .................................................... 5

A. TEORI KENDALI OPTIMAL .............................................................. 5

B. Contoh-Contoh Kendali Optimal ........................................................... 7

C. Notasi dan Konsep .............................................................................. 14

D. Pengantar Prinsip Maksimum ............................................................. 15

D.1. Model Matematika ..................................................................... 15

D.2. Kendala ...................................................................................... 16

D.3. Fungsi Tujuan ............................................................................ 17

D.4. Masalah Kendali Optimal ........................................................... 17

E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum ........................................... 18

E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman .......................................... 18

F. Derivasi Persamaan Adjoin ................................................................. 23

G. Prinsip Maksimum .............................................................................. 25

G.1. Contoh Prinsip Maksimum .......................................................... 26

H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran ......... 31

H.1. Contoh Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Cam-

puran .................................................................................................. 33

I. Nilai Sekarang (Current Value) ........................................................... 37


xiv

J. Titik Akhir Bebas (free-end-point) ...................................................... 40

K. Jangka Waktu Tak Berhingga (Infinite Horizon) dan Stasioneritas ...... 41

BAB III MODEL PERIKLANAN NERLOVE ARROW ................................... 44

A. Model Matematis ................................................................................ 44

B. Solusi Menggunakan Prinsip Maksimum ............................................ 47

BAB IV PENUTUP ........................................................................................... 52

A. Kesimpulan ......................................................................................... 52

B. Saran .................................................................................................. 53

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 54

LAMPIRAN ...................................................................................................... 55


1

BAB I

PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan

masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika

penulisan.

A. Latar Belakang

Pemasaran merupakan salah satu aspek penting untuk menentukan kesuksesan

keuangan suatu perusahaan. Pemasaran akan berdampak banyak dalam perkembangan

ekonomi suatu perusahaan. Pemasaran produk suatu perusahaan akan membuat

konsumen mengetahui keberadaan perusahaan dan produk yang dihasilkan. Apabila

keduanya semakin dikenal oleh konsumen, maka akan meningkatkan pendapatan suatu

perusahaan tersebut. Salah satu strategi pemasaran adalah periklanan.

Periklanan yang dilakukan dengan cara yang tepat akan membuat konsumen

tertarik dengan produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Oleh karena itu, ada

keyakinan yang timbul dari para ahli ekonomi bahwa biaya yang dikeluarkan untuk

periklanan merupakan investasi.

Masalah menentukan kebijakan periklanan dari waktu ke waktu merupakan aspek

penting dalam bidang pemasaran. Ada beberapa pendekatan yang berhubungan dengan

masalah ini. Di antaranya dengan menggunakan pemrograman matematis dan


2

pemrograman dinamis. Ada pendekatan lain yaitu dengan menggunakan

pendekatan teori kendali optimal. Dalam pendekatan ini, sistem dinamik dimodelkan

sebagai satu atau lebih persamaan diferensial yang kemudian dioptimalkan

menggunakan prinsip maksimum.

Diasumsikan bahwa perusahaan ingin memaksimalkan fungsi tujuan, yaitu nilai

sekarang dari keuntungan bersih suatu perusahaan dengan waktu yang terbatas maupun

tak terbatas. Jelas bahwa keuntungan bersih suatu perusahaan tergantung pada

penjualan dan periklanan. Peranan dari teori kendali optimal adalah untuk menemukan

kebijakan periklanan yang memaksimalkan fungsi tujuan perusahaan.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana memodelkan periklanan dengan model Nerlove-Arrow?

2. Bagaimana menyelesaikan model periklanan Nerlove-Arrow menggunakan

prinsip maksimum?

C. Batasan Masalah

Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:

1. Aplikasi kendali optimal pada bidang periklanan yang akan dibahas adalah

model Nerlove-Arrow.


3

2. Model periklanan Nerlove-Arrow akan diselesaikan menggunakan prinsip

maksimum.

3. Model periklanan Nerlove-Arrow hanya akan dibahas pasa kasus linier.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengenalkan aplikasi kendali

optimal pada bidang model periklanan Nerlove-Arrow dan menyelesaikannya dengan

menggunakan prinsip maksimum.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah pembaca

dapat mengetahui aplikasi kendali optimal pada bidang periklanan serta bagaimana

cara penyelesaiannya dengan menggunakan prinsip maksimum. Selain itu pembaca

juga dapat memaksimalkan hasil pendapatan bersih suatu perusahaan.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi

pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang

berkaitan dengan model periklanan Nerlove-Arrow serta penyelesaiannya mengguna-

kan prinsip maksimum.


4

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL

A. Teori Kendali Optimal

B. Contoh-Contoh Kendali Optimal

C. Prinsip Maksimum

BAB III MODEL NERLOVE-ARROW

A. Model Periklanan Nerlove-Arrow

B. Penyelesaian Model Nerlove-Arrow

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Penutup

DAFTAR PUSTAKA


5

BAB II

PENGANTAR KENDALI OPTIMAL

A. Teori Kendali Optimal

Banyak aplikasi dari bidang manajemen yang menggunakan teori kendali optimal.

Kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk mencari

penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Aplikasi kendali optimal pada bidang

manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi dan

penyimpanan, periklanan, dan lain-lain.

Dimisalkan variabel 𝑥(𝑡) merupakan variabel kondisi (state variable) dari suatu

sistem pada waktu 𝑡 ∈ [0, 𝑇], dengan 𝑇 > 0 menunjukkan jangkauan waktu (time

horizon) pada suatu sistem. Sebagai contoh, 𝑥(𝑡) dapat menyatakan banyaknya

penyimpanan suatu barang pada waktu 𝑡, seberapa populer suatu produk (goodwill)

pada waktu t, ataupun besarnya sumber daya alam yang tidak dipakai pada waktu 𝑡.

Diasumsikan bahwa ada cara untuk mengendalikan suatu keadaaan pada sistem.

Misalkan 𝑢(𝑡) adalah variabel kendali dari suatu sistem pada waktu 𝑡. Sebagai contoh,

𝑢(𝑡) dapat menyatakan besarnya tingkat produksi pada waktu 𝑡, besarnya tingkat

periklanan pada waktu 𝑡, dan lain-lain.

Diberikan variabel kondisi 𝑥(𝑡), variabel kendali 𝑢(𝑡), dan persamaan sistem

dinamis sebagai berikut:


6

�̇�(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0, (2.1)

di mana �̇�(𝑡) adalah notasi untuk 𝑑𝑥(𝑡)/𝑑𝑡 yang menyatakan laju perubahan variabel

kondisi terhadap waktu 𝑡, 𝑓 adalah fungsi dari 𝑥, 𝑢, 𝑡, dan 𝑥0 adalah kondisi awal dari

variabel kondisi. Variabel kondisi dan kendali digunakan untuk memaksimalkan fungsi

tujuan yang berbentuk integral sebagai berikut:

𝐽 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑆[𝑥(𝑇), 𝑇]𝑇

0

. (2.2)

Pada persamaan (2.2), 𝐹 bisa menyatakan tentang besarnya keuntungan dikurangi

biaya periklanan, besarnya kegunaan dari konsumsi suatu barang, besarnya biaya

minimum pada proses penyimpanan dan produksi, dan lain-lain. 𝑆 pada persamaan

(2.2) menyatakan besarnya nilai sisa pada kondisi 𝑥(𝑇) waktu 𝑇. Variabel kendali

𝑢(𝑡) seringkali terbatas, yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝑢(𝑡) ∈ 𝛺(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], (2.3)

dengan Ω(𝑡) adalah himpunan dari variabel kendali yang memungkinkan pada waktu

𝑡. Namun, ada beberapa kendala khusus yang mungkin diperlukan, yaitu:

Kendala ketaksamaan campuran

𝑔(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) ≥ 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇] (2.4)

dengan 𝑔 adalah fungsi dari 𝑢, 𝑡 dan juga 𝑥.

Kendala yang hanya melibatkan variabel kondisi:

ℎ(𝑥, 𝑡) ≥ 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇] (2.5)


7

dengan ℎ adalah fungsi dari 𝑥 dan 𝑡. Kendala (2.5) seringkali disebut dengan kendala

kondisi murni.

Kendala batas dari kondisi akhir 𝑥(𝑇):

𝑥(𝑇) ∈ 𝑋(𝑇), (2.6)

dengan 𝑋(𝑇) disebut batasan permintaan atau target dari variabel kondisi pada waktu

𝑇.

B. Contoh-Contoh Kedali Optimal

Berikut ini adalah contoh-contoh kendali optimal pada bidang produksi, periklaan,

dan ekonomi. Pada contoh-contoh berikut ini akan ditunjukkan variabel-variabel dan

fungsi yang digunakan pada masing-masing bidangnya.

Contoh 2.2 Model Periklanan

Model periklanan yang akan dibahas pada contoh ini adalah Model Periklanan

Nerlove-Arrow. Masalah yang harus diselesaikan adalah menentukan tingkat

pengiklanan suatu produk pada waktu 𝑡. Variabel kondisinya adalah goodwill, 𝐺(𝑡),

yaitu seberapa populer suatu produk pada waktu 𝑡. Diasumsikan bahwa ada koefisien

lupa (forgetting) 𝛿, yang menyatakan seberapa besar pelanggan mulai melupakan suatu

produk. Untuk mengatasi masalah tersebut, proses periklanan dilakukan pada tingkat


8

tertentu dan diukur menggunakan variabel kendali 𝑢(𝑡). Maka diperoleh persamaan

kondisinya sebagai berikut:

�̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡),

dengan 𝐺(0) = 𝐺0 > 0 adalah kondisi awal dari goodwill suatu produk.

Berikut ini akan diberikan variabel-variabel yang digunakan dalam Model

Periklanan Nerlove-Arrow yang akan ditunjukkan pada tabel 1.2:

Variabel Kondisi 𝐺(𝑡) = Goodwill

Variabel Kendali 𝑢(𝑡) = Tingkat periklanan

Persamaan Kondisi �̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0

Fungsi Tujuan Memaksimumkan {𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡

∞

0

}

Kendala Kondisi -

Kendala Kendali 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑄

Kondisi Akhir -

Fungsi Eksogen 𝜋(𝐺(𝑡)) = Laba kotor

Parameter 𝛿 = Nilai konstan goodwill

𝜌 = Tingkat diskon

𝑄 = Batas atas tingkat periklanan

𝐺0 = Nilai awal goodwill

Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan


9

Fungsi tujuan 𝐽 memerlukan kajian khusus. Perlu diperhatikan bahwa fungsi J

akan diintegralkan dari waktu 𝑡 = 0 ke waktu 𝑡 → ∞; karena memiliki batas waktu

atas ∞ maka disebut dengan horizon tak hingga (infinite horizon problem). Karenanya,

integran dari fungsi tujuan tersebut memuat faktor diskonto 𝑒−𝜌𝑡, dengan 𝜌 > 0 adalah

tingkat diskon (konstan). Sisa integran di fungsi tujuan terdiri dari tingkat laba kotor

𝜋(𝐺(𝑡)). Tingkat goodwill 𝐺(𝑡) pada waktu t dikurangi biaya iklan yang diasumsikan

sebanding dengan 𝑢(𝑡) (faktor proporsionalitas = 1); dengan demikian 𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)

adalah tingkat laba bersih pada waktu t. Begitu juga [𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑒−𝜌𝑡 adalah nilai

sekarang dari tingkat keuntungan pada waktu t. Oleh karena itu, J dapat diartikan

keuntungan masa depan dan hasil yang ingin kita maksimalkan. Ada kendala kendali

0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑄 mana 𝑄 adalah batas atas tingkat periklanan. Namun, tidak ada kendala

kondisi, karena goodwill 𝐺(𝑡) tidak pernah bernilai negatif.∎

Agar lebih mudah dimengerti, berikut akan diberikan contoh pengaplikasian

kendali optimal pada kasus periklanan. Misalkan 𝜋(𝐺) = 2√𝐺, 𝛿 = 0.05, 𝜌 =

0.2, 𝑄 = 2, dan 𝐺0 = 16. Diberikan 𝑢(𝑡) = 0.8 untuk 𝑡 ≥ 0. Buktikan bahwa 𝐺(𝑡)

konstan untuk setiap 𝑡. Hitunglah nilai dari fungsi tujuan 𝐽.

Penyelesaian:

Seperti yang telah diketahui, persamaan kondisi dari model periklanan adalah

�̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0 . Kemudian masing-masing kondisi yang telah

diberikan dalam soal disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut, menjadi:


10

�̇�(𝑡) = 0.8 − (0.05)𝐺(𝑡)

Karena diketahui kondisi awal 𝐺(0) = 16, maka informasi ini dapat dibawa ke

dalam persamaan �̇�(𝑡), sehingga diperoleh:

�̇�(0) = 0.8 − (0.05)𝐺(0)

�̇�(0) = 0.8 − (0.05)(16) = 0.8 − 0.8 = 0

Selanjutnya,

�̇�(𝑡) + (0.05)𝐺(𝑡) = 0.8 (1)

Untuk membuktikan bahwa 𝐺(𝑡) konstan, maka dicari faktor integral 𝜇(𝑡) yaitu

sebagai berikut:

𝜇(𝑡) = 𝑒∫𝑃(𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑒∫ 0.05 𝑑𝑡

= 𝑒0.05𝑡

Kemudian faktor integral tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (1)

menjadi:

�̇�(𝑡)𝜇(𝑡) + (0.05)𝐺(𝑡)𝜇(𝑡) = 0.8𝜇(𝑡)

�̇�(𝑡)𝑒0.05𝑡 + (0.05)𝐺(𝑡)𝑒0.05𝑡 = 0.8𝑒0.05𝑡

𝑑

𝑑𝑡[𝑒0.05𝑡𝐺(𝑡)]𝑑𝑡 = 0.8𝑒0.05𝑡𝑑𝑡

∫𝑑

𝑑𝑡[𝑒0.05𝑡𝐺(𝑡)]𝑑𝑡 = ∫0.08𝑒0.05𝑡𝑑𝑡

𝑒0.05𝑡𝐺(𝑡) = 0.8 (1

0.05𝑒0.05𝑡) + 𝑐


11

𝑒0.05𝑡𝐺(𝑡) = 16𝑒0.05𝑡 + 𝑐

𝐺(𝑡) =16𝑒0.05𝑡 + 𝑐

𝑒0.05𝑡

𝐺(𝑡) = 16 + 𝑐𝑒−0.05𝑡.

Karena 𝐺(0) = 16, maka:

𝐺(0) = 16 + 𝑐0

16 = 16 + 𝑐

𝑐 = 0

Jadi, terbukti 𝐺(𝑡) = 16 konstan untuk semua 𝑡.

Selanjutnya nilai dari fungsi tujuan 𝐽 dapat dihitung menggunakan informasi-

informasi yang sudah didapatkan di atas.

𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡∞

0

= ∫ 𝑒−0.2𝑡[2√𝐺 − 0.8]𝑑𝑡∞

0

= ∫ 𝑒−0.2𝑡[2√16 − 0.8]𝑑𝑡∞

0

= ∫ 𝑒−0.2𝑡[7.2]𝑑𝑡∞

0

= 7.2∫ 𝑒−0.2𝑡𝑑𝑡∞

0

= 7.2 [−1

0.2𝑒−0.2𝑡]

0

∞


12

= 7.2 [−1

0.2𝑒−∞ − (−

1

0.2𝑒0)]

= 7.2(0 + 5)

𝐽 = 36

Jadi, didapatkan 𝐽 = 36.

Gambar 2.1. Grafik Nerlove-Arrow Dari Contoh Di Atas

Permasalahan lain misalkan 𝐺 menyatakan banyaknya orang yang mengetahui

suatu produk. 𝐴 menyatakan populasi, maka 𝐴 − 𝐺 adalah banyaknya orang yang tidak

mengetahui suatu produk. Jika 𝑢(𝑡) menyatakan besarnya laju periklanan pada waktu

𝑡, diasumsikan bahwa 𝑢(𝐴 − 𝐺) menyatakan laju kenaikan dari 𝐺 karena proses


13

periklanan. Buatlah model baru dari persamaan kondisi berdasarkan informasi-

informasi tersebut!

Penyelesaian:

�̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡)[𝐴 − 𝐺] − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0

memaksimalkan

𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡.

∞

0

Berikut akan diberikan ilustrasi numerisnya. Misalkan 𝐴 = 10000, 𝐺(0) = 𝐺0 =

1000, 𝜋(𝐺) =1

2√𝐺, 𝛿 = 0.6, 𝜌 = 0.2, 𝐺(𝑡) = 2500, dan 𝑢(𝑡) = 0.5 untuk 𝑡 ≥ 0.

Maka,

�̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡)[𝐴 − 𝐺] − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0

= 0.5[10000 − 2500] − 0.6 ∗ 2500

= 3750 − 1500

= 2250.

Jadi, perubahan goodwill terhadap waktu 𝑡 sebesar 2250 orang. Dengan menggunakan

informasi-informasi di atas, dapat dihitung nilai dari fungsi tujuan 𝐽.

𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡.

∞

0

= ∫ 𝑒−0.2𝑡 [

1

2√2250 − 0.5] 𝑑𝑡

∞

0

= ∫ 𝑒−0.2𝑡[23.22]𝑑𝑡

∞

0


14

= 23.22∫ 𝑒−0.2𝑡𝑑𝑡

∞

0

= 23.22 [−1

0.2𝑒−0.2𝑡]

0

∞

= 23.22 [−1

0.2𝑒−∞ − (−

1

0.2𝑒0)]

= 23.22(0 + 5)

𝐽 = 116.1 ∎

C. Notasi dan Konsep

Berikut akan diberikan penjelasan mengenai konsep yang akan dipakai dalam

tugas akhir ini. Hal ini bertujuan agar pembaca dapat memahami dengan jelas ketika

membaca tugas akhir ini.

Misalkan 𝑦 menyatakan 𝑛-komponen vektor kolom dan 𝑧 menyatakan 𝑚-

komponen vektor baris, seperti berikut:

𝑦 = (

𝑦1⋮𝑦𝑛) = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)

𝑇dan 𝑧 = (𝑧1, 𝑧1, … , 𝑧𝑛),

dengan huruf 𝑇 di atas sebuah vektor atau matriks menyatakan transpose dari

suatu vektor atau matriks. Jika 𝑦 dan 𝑧 merupakan fungsi dari waktu 𝑡 dan merupakan

suatu skalar, maka turunan dari �̇� = 𝑑𝑦 𝑑𝑡⁄ dan �̇� = 𝑑𝑧 𝑑𝑡⁄ didefinisikan sebagai

berikut:


15

�̇� =𝑑𝑦

𝑑𝑡= (�̇�1, �̇�2, … , �̇�𝑛)

𝑇dan �̇� =𝑑𝑧

𝑑𝑡=(�̇�1, �̇�2, … , �̇�𝑚),

di mana �̇�𝑖dan �̇�𝑗 masing-masing menyatakan turunan dari 𝑑𝑦𝑖 𝑑𝑡⁄ dan 𝑑𝑧𝑖 𝑑𝑡⁄ .

Ketika 𝑛 = 𝑚, perkalian dalam (inner product) dapat didefinisikan sebagai:

𝑧 ∙ 𝑦 = ∑ 𝑦𝑖𝑧𝑖 = 𝑦𝑇𝑧𝑛𝑖=1 . (2.7)

Lebih jelasnya, jika terdapat matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] berukuran 𝑚× 𝑘 dan matriks 𝐵 =

[𝑏𝑖𝑗] berukuran 𝑘 × 𝑛, perkalian matriks didefinisikan sebagai 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗] = 𝐴𝐵

berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan

𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑟𝑏𝑟𝑗𝑘𝑟=1 . (2.8)

sebagai komponen-komponennya.

Misalkan 𝐸𝑘 menyatakan 𝑘-dimensi ruang Euclides. Elemen-elemennya berupa

vektor-vektor dengan 𝑘-komponen, baik itu vektor baris ataupun vektor kolom.

Dengan begitu pada persamaan (2.7), 𝑦 ∈ 𝐸𝑛 merupakan vektor kolom, sedangkan 𝑧 ∈

𝐸𝑚 merupakan vektor baris.

D. Pengantar Prinsip Maksimum

D.1. Model Matematika

Dalam aplikasi kendali optimal, hal yang terpenting yaitu membuat model dari

suatu sistem. Model yang baik yaitu model yang jelas, sederhana, dan mudah dipahami.

Selain itu, model yang baik juga harus realistis.


16

Diberikan nilai awal 𝑥0 dan variabel kendali 𝑢(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇]. Perubahan dari

sistem terhadap waktu 𝑡 akan didefinisikan menggunakan persamaan diferensial, yang

dikenal sebagai persamaan kondisi (state equation) sebagai berikut:

�̇�(𝑡) = 𝒇(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0 (2.8)

di mana vektor variabel kondisi, 𝒙(𝒕) ∈ 𝐸𝑛, vektor variabel kendali, 𝒖(𝒕) ∈ 𝐸𝑚,

dan 𝒇: 𝐸𝑛 × 𝐸𝑚 × 𝐸1 → 𝐸𝑛.

Fungsi 𝒇 diasumsikan terdiferensial secara kontinu. Selain itu, diasumsikan bahwa

𝒙 merupakan sebuah vektor kolom dan 𝒇 merupakan vektor kolom dengan elemen-

elemennya suatu fungsi. Lintasan 𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], disebut dengan trayektori kondisi

(state trajectory) dan 𝑢(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], disebut dengan trayektori kendali (control

trajectory) atau biasa disebut dengan kendali.

D.2. Kendala

Kendala-kendala yang akan dibahas dalam subbab ini adalah kendala yang tidak

menyerupai persamaan (2.4) dan (2.5). Namun, kendala seperti persamaan (2.3) akan

tetap digunakan. Selanjutnya akan didefinisikan kendali yang memungkinkan

(admissible control) sebagai trayektori kendali dari 𝑢(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], yaitu sebagai

berikut

𝑢(𝑡) ∈ 𝛺(𝑡) ⊂ 𝐸𝑚, 𝑡 ∈ [0, 𝑇]. (2.9)

Biasanya, himpunan 𝛺(𝑡) ditentukan oleh kondisi ekonomi dari variabel kendali

pada waktu 𝑡.


17

D.3. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan adalah ukuran kuantitatif performa sistem dari waktu ke waktu.

Kendali optimal didefinisikan sebagai suatu kendali yang memaksimalkan fungsi

tujuannya. Dalam masalah bisnis atau ekonomi, fungsi tujuan memberikan nilai yang

optimal terhadap keuntungan, penjualan, atau kerugian. Secara matematis, fungsi

tujuan didefinisikan sebagai berikut

𝐽 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑆[𝑥(𝑇), 𝑇]𝑇

0

(2.10)

dengan fungsi 𝐹: 𝐸𝑛 × 𝐸𝑚 × 𝐸1 → 𝐸1 dan 𝑆: 𝐸𝑛 × 𝐸1 → 𝐸1 diasumsikan

terdiferensialkan secara kontinu. Dalam dunia bisnis, 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) bisa digunakan untuk

mendeskripsikan fungsi keuntungan, sedangkan 𝑆[𝑥, 𝑇] bisa digunakan untuk

mendeskripsikan nilai sisa (salvage value) dari 𝑥 pada waktu tujuan 𝑇.

D.4. Masalah Kendali Optimal

Dalam kendali optimal, masalah yang harus diselesaikan yaitu mencari kendali 𝑢∗

yang sesuai sehingga dapat memaksimalkan fungsi tujuan (2.10) terhadap persamaan

kondisi (2.9). Sekarang, masalah kendali optimal dapat dinyatakan kembali dengan

{

max𝑢(𝑡)∈𝛺(𝑡)

{𝐽 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑆[𝑥(𝑇), 𝑇]𝑇

0

}

terhadap

�̇�(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0

(2.11)


18

Kendali 𝑢∗ disebut kendali optimal dan 𝑥∗ disebut dengan trayektori optimal

dengan persamaan kondisi di mana 𝑢 = 𝑢∗. Nilai optimal dari fungsi tujuan

dinotasikan dengan 𝐽(𝑢∗) atau 𝐽∗.

Masalah kendali optimal (2.11) disebut dengan persamaan Bolza. Apabila 𝑆 ≡ 0

maka disebut dengan persamaan Lagrange. Apabila diketahui 𝐹 ≡ 0 maka disebut

dengan persamaan Mayer. Selain itu, akan disebut persamaan Mayer linier ketika 𝐹 ≡

0 dan 𝑆 linier, sehingga menjadi,

{

max𝑢(𝑡)∈𝛺(𝑡)

{𝐽 = 𝑐𝑥(𝑇)}

terhadap

�̇� = 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0

(2.12)

dengan 𝑐 = (𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛) adalah vektor baris dengan dimensi-n yang elemen-

elemennya adalah konstanta-konstanta yang diberikan.

E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum

Sebelum sampai ke dalam Prinsip Maksimum, berikut ini akan dijelaskan terlebih

dahulu Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman dan Derivasi Persamaan Adjoin.

E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman

Misalkan 𝑉(𝑥, 𝑡): 𝐸𝑛 × 𝐸1 → 𝐸1 adalah nilai maksimum dari fungsi tujuan dari

masalah kendali optimal dengan waktu awal 𝑡 pada kondisi 𝑥. Dengan begitu,

𝑉(𝑥, 𝑡) = max𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)

∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)𝑇

0

, (2.15)


19

dengan 𝑠 ≥ 𝑡,

𝑑𝑥

𝑑𝑠= 𝑓(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠), 𝑥(𝑡) = 𝑥.

Diasumsikan nilai dari fungsi 𝑉(𝑥, 𝑡) ada untuk semua 𝑥 dan 𝑡 pada interval yang

relevan. Selanjutnya, digunakan optimisasi untuk menderivatifkan kondisi pada fungsi

𝑉(𝑥, 𝑡). Pertama, batas integral pada fungsi tujuan 𝐽 menjadi 𝑡 sampai 𝑡 + 𝛿𝑡; kedua,

nilai fungsi 𝑉(𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑡 + 𝛿𝑡) pada waktu 𝑡 + 𝛿𝑡. Kendali 𝑢(𝜏) harus dipilih agar

terdapat di dalam 𝛺(𝜏), 𝜏𝜖[𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡], dan memaksimalkan integralnya. Agar

mempermudah memahami maksud dari kalimat di atas, berikut ini akan diperlihatkan

langkah-langkah untuk mendapatkan bentuk 𝑉(𝑥, 𝑡) yang baru.

𝑉(𝑥, 𝑡)

= max𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)

{∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠𝑡+𝛿𝑡

𝑡

+∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)𝑇

𝑡+𝛿𝑡

}

= max

𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠𝑡+𝛿𝑡

𝑡

+ max𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)

∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)𝑇

𝑡+𝛿𝑡

sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut

𝑉(𝑥, 𝑡) = max𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)

∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠𝑡+𝛿𝑡

𝑡

+ 𝑉(𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡 + 𝛿𝑡) (2.16)

dengan 𝛿𝑡 adalah kenaikan atau penambahan waktu 𝑡 yang sangat kecil. Hal ini

digunakan untuk membandingkan persamaan (2.16) dengan persamaan (2.15).


20

Karena 𝐹 adalah fungsi kontinu, integral dari persamaan (2.16) dapat

diaproksimasikan 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡, sehingga dapat ditulis menjadi

𝑉(𝑥, 𝑡) = max𝑢(𝑡)∈𝛺(𝑡)

{𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡 + 𝑉[𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡 + 𝛿𝑡]} + 𝑜(𝛿𝑡) (2.17)

dengan 𝑜(𝛿𝑡) disebut “little-o” yang menunjukkan koleksi dari suku-suku di dalam 𝛿𝑡

dengan order tinggi. Fungsi 𝐹(𝛿𝑡): 𝐸𝑚 → 𝐸1 dikatakan order dari 𝑜(𝛿𝑡) jika

lim‖𝛿𝑡‖→0

𝐹(𝛿𝑡)

‖𝛿𝑡‖= 0. Diasumsikan bahwa fungsi 𝑉 merupakan fungsi yang bisa diturunkan

dan kontinu (continously differentiable). Maka kita bisa menderetkan Taylor fungsi 𝑉

terhadap 𝛿𝑡, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:

𝑉[𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡 + 𝛿𝑡] = 𝑉(𝑥, 𝑡) + [𝑉𝑥(𝑥, 𝑡)�̇� + 𝑉𝑡(𝑥, 𝑡)]𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡), (2.18)

dengan 𝑉𝑥 dan 𝑉𝑡 merupakan turunan parsial dari 𝑉(𝑥, 𝑡) terhadap 𝑥 dan 𝑡, serta �̇� yang

diperoleh dari

𝛿𝑥 = 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑥(𝑡)

𝛿𝑥

𝛿𝑡 =

𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑥(𝑡)

𝛿𝑡

lim𝛿𝑡→0

𝛿𝑥

𝛿𝑡 = lim

𝛿𝑡→0

𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑥(𝑡)

𝛿𝑡

= �̇�

kemudian mensubstitusikan �̇� pada persamaan (2.8) ke dalam persamaan (2.17),

sehingga didapatkan:

𝑉(𝑥, 𝑡) = max𝑢∈𝛺(𝑡)

{𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡 + 𝑉(𝑥, 𝑡) +

𝑉𝑥(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡 + 𝑉𝑡(𝑥, 𝑡)𝛿𝑡} + 𝑜(𝛿𝑡).

(2.19)


21

Dengan menghilangkan 𝑉(𝑥, 𝑡) pada kedua ruas dan diikuti membagi kedua ruas

dengan 𝛿𝑡 didapatkan

0 = max𝑢∈𝛺(𝑡)

{𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑥(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑡(𝑥, 𝑡)} +𝑜(𝛿𝑡)

𝛿𝑡. (2.20)

Misalkan 𝛿𝑡 → 0 maka persamaan di atas berubah menjadi


{𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑥(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑡(𝑥, 𝑡)} (2.21)

dengan batas

𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑚𝑎𝑥𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)

∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)𝑇

𝑡

𝑉(𝑥, 𝑇) = 𝑚𝑎𝑥𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)

∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)𝑇

𝑇

𝑉(𝑥, 𝑇) = 𝑚𝑎𝑥𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)

0 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)

𝑉(𝑥, 𝑇) = 𝑆(𝑥, 𝑇). (2.22)

Perlu diingat bahwa vektor 𝑉𝑥(𝑥, 𝑡) dapat diinterpretasikan sebagai kontribusi

marginal dari variabel kondisi 𝑥 untuk memaksimalkan fungsi tujuannya. Disimbolkan

vektor marginal sepanjang lintasan 𝑥∗(𝑡) dengan vektor baris adjoin 𝜆(𝑡)𝜖𝐸𝑛 sebagai

berikut:

𝜆(𝑡) = 𝑉𝑥(𝑥∗(𝑡), 𝑡) ≔ 𝑉𝑥(𝑥, 𝑡)|𝑥=𝑥∗(𝑡). (2.23)

dengan 𝜆(𝑡) dapat diinterpretasikan sebagai perubahan kecil fungsi tujuannya sebesar

𝑥∗(𝑡) pada waktu 𝑡.

Selanjutnya akan diberikan bentuk fungsi Hamiltonian, yaitu:


22

𝐻[𝑥, 𝑢, 𝑉𝑥, 𝑡] = 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.24)

atau dapat disederhanakan menjadi,

𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] = 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡). (2.25)

Persamaan (2.21) dapat dituliskan kembali menjadi,


[𝐻(𝑥, 𝑢, 𝑉𝑥, 𝑡) + 𝑉𝑡], (2.26)

yang disebut dengan persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman atau persamaan (HJB).

Hamiltonian memaksimalkan kondisi dari prinsip maksimum dapat dihitung dari

persamaan (2.26) dan (2.23) dengan memastikan bahwa, jika 𝑥∗(𝑡) dan 𝑢∗(𝑡)

merupakan nilai yang paling optimal dari variabel kondisi dan kendali serta 𝜆(𝑡) adalah

nilai dari variabel adjoin pada waktu 𝑡 yang bersesuaian, maka kendali optimal 𝑢∗(𝑡)

harus memenuhi persamaan (2.26) untuk semua 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡),

𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡(𝑥∗(𝑡), 𝑡)

≥ 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡(𝑥∗(𝑡), 𝑡)

(2.27)

Dengan menghilangkan 𝑉(𝑡) pada kedua ruas, maka didapatkan

𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] (2.28)

untuk semua 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡).

Untuk sampai pada prinsip maksimum, ada aspek yang lain yang digunakan untuk

menghitung prinsip maksimum, yaitu derivasi persamaan adjoin.


23

F. Derivasi Persamaan Adjoin

Derivasi persamaan adjoin didapatkan dari persamaan HJB (2.26). Perlu diingat

kembali bahwa 𝑥∗, 𝑢∗ memaksimalkan ruas kanan pada persamaan (2.26) dan nilai

maksimumnya adalah nol. Karenanya, misalkan

𝑥(𝑡) = 𝑥∗(𝑡) + 𝛿𝑥(𝑡), (2.29)

dengan 𝛿𝑥(𝑡), ∥ 𝛿𝑥(𝑡) ∥< 휀 untuk 휀 kecil positif.

Persamaan (2.26) dapat dituliskan kembali sebagai

𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝑉𝑥(𝑥∗(𝑡), 𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡(𝑥

∗(𝑡), 𝑡)

≥ 𝐻[𝑥(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝑉𝑥(𝑥∗(𝑡), 𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡(𝑥(𝑡), 𝑡).

(2.30)

Agar lebih mudah dipahami, persamaan (2.26) menjelaskan bahwa ruas kanan

dari persamaan (2.30) sama dengan nol jika 𝑢∗(𝑡) juga merupakan kendali optimal

untuk 𝑥(𝑡). Pada umumnya, untuk 𝑥(𝑡) ≠ 𝑥∗(𝑡) maka ruas kanan tidak akan bernilai

nol. Ruas kanan dari persamaan (2.30) akan mencapai nilai maksimumnya (nol) saat

𝑥(𝑡) = 𝑥∗(𝑡). Dengan kata lain, apabila ingin mencari fungsi 𝑥(𝑡) yang paling

maksimum maka harus dihitung turunan pertama ruas kanan terhadap 𝑥,

𝐻𝑥[𝑥(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝑉𝑥(𝑥

∗(𝑡), 𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡𝑥(𝑥(𝑡), 𝑡) = 0. (2.31)

Diasumsikan bahwa 𝑉 merupakan fungsi yang bisa diturunkan dua kali secara

kontinu. Dengan menggunakan definisi Hamiltonian pada persamaan (2.24), identitas

(2.22), dan fakta bahwa 𝑉𝑥𝑥 = (𝑉𝑥𝑥)𝑇, didapatkan

𝐹𝑥 + 𝑉𝑥𝑓𝑥 + 𝑓𝑇𝑉𝑥𝑥 + 𝑉𝑡𝑥 = 𝐹𝑥 + 𝑉𝑥𝑓𝑥 + (𝑉𝑥𝑥𝑓)

𝑇 + 𝑉𝑡𝑥 = 0, (2.32)

dengan simbol ᵀ merupakan operasi transpose.


24

Persamaan (2.32) merupakan langkah terpenting dalam menentukan turunan atau

derivasi dari persamaaan adjoin. Untuk menentukan turunan dari persamaan adjoin,

dimulai dari menurunkan 𝑉𝑥(𝑥, 𝑡) terhadap 𝑡. Maka,

𝑑𝑉𝑥𝑑𝑡

= (𝑑𝑉𝑥1𝑑𝑡

,𝑑𝑉𝑥2𝑑𝑡

, … ,𝑑𝑉𝑥𝑛𝑑𝑡

)

= (𝑉𝑥1𝑥�̇� + 𝑉𝑥1𝑡, 𝑉𝑥2𝑥�̇� + 𝑉𝑥2𝑡, … , 𝑉𝑥𝑛𝑥�̇� + 𝑉𝑥𝑛𝑡)

= (∑ 𝑉𝑥1𝑥𝑖�̇�𝑖

𝑛

𝑖=1,∑ 𝑉𝑥2𝑥𝑖�̇�𝑖

𝑛

𝑖=1, … ,∑ 𝑉𝑥𝑛𝑥𝑖�̇�𝑖

𝑛

𝑖=1) + (𝑉𝑥)𝑡

= (𝑉𝑥𝑥�̇�)𝑇 + 𝑉𝑥𝑡

= (𝑉𝑥𝑥𝑓)𝑇 + 𝑉𝑡𝑥.

(2.33)

Karena ruas kanan persamaan (2.33) sama dengan dua langkah terakhir pada

persamaan (2.32), maka persamaan (2.33) menjadi

𝑑𝑉𝑥

𝑑𝑡= −𝐹𝑥 − 𝑉𝑥𝑓𝑥. (2.34)

Pada persamaan (2.23) telah didefinisikan 𝜆 = 𝑉𝑥, jadi persamaan (2.34) dapat

dituliskan kembali menjadi

�̇� = −𝐹𝑥 − 𝑉𝑥𝑓𝑥.

Apabila dilihat kembali, persamaan di atas merupakan hasil dari turunan parsial 𝐻

pada persamaan (2.25) tehadap 𝑥. Karenanya, bentuk dari persamaan adjoin adalah

sebagai berikut:

�̇� = −𝐻𝑥. (2.35)


25

Dari definisi 𝜆 pada persamaan (2.23) dan kondisi batas pada persamaan (2.22),

maka didapatkan kondisi batas akhir (terminal boundary condition),

𝜆(𝑇) = 𝑉𝑥(𝑇)

=𝜕𝑉(𝑥, 𝑇)

𝜕𝑥

=𝜕𝑆(𝑥, 𝑇)

𝜕𝑥

=𝜕𝑆(𝑥, 𝑇)

𝜕𝑥|𝑥=𝑥(𝑇) = 𝑆𝑥[𝑥(𝑇), 𝑇].

(2.36)

Dari definisi Hamiltonian pada persamaan (2.25), persamaan kondisi juga dapat

ditulis sebagai

�̇� = 𝑓 = 𝐻𝜆, (2.37)

Persamaan (2.25) dan (2.37) dapat dituliskan menjadi sebuah sistem sebagai berikut

{�̇� = 𝐻𝜆, 𝑥(0) = 𝑥0

�̇� = −𝐻𝑥, 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥[𝑥(𝑇), 𝑇], (2.38)

G. Prinsip Maksimum

Karena sebelumnya telah dijelaskan mengenai persamaan Hamiltonian dan

derivasi persamaan adjoin, maka prinsip maksimum sudah bisa dirumuskan. Berikut

ini adalah kondisi-kondisi yang harus dipenuhi agar 𝑢∗ merupakan suatu kendali

optimal:


26

{

�̇�∗ = 𝑓(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑡), 𝑥∗(0) = 𝑥0,

�̇� = −𝐻𝑥[𝑥∗, 𝑢∗, 𝜆, 𝑡], 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥[𝑥(𝑇), 𝑇],

𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢, 𝜆(𝑡), 𝑡],

(2.39)

untuk semua 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇].

Hal ini menegaskan kembali bahwa kondisi 𝑥∗(𝑡) dan adjoin 𝜆(𝑡) pada

Hamiltonian di kedua ruasnya ikut memaksimalkan persamaan (2.39). Selanjutnya,

𝑢∗(𝑡) harus maksimum global dari Hamiltonian 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢, 𝜆(𝑡), 𝑡] dengan 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡).

Oleh karena itu, persamaan (2.39) disebut Prinsip Maksimum (maximum principle).

Terdapat dua cara untuk menyelesaikan sistem tersebut. Cara pertama dengan

menyelesaikan persamaan adjoin terlebih dahulu untuk mendapatkan kendali optimal

𝑢∗ kemudian didapatkan 𝑥∗. Cara kedua digunakan apabila Hamiltonian dapat

dimaksimalkan dengan fungsi kendali

𝑢∗(𝑡) = 𝑢[𝑥∗(𝑡), 𝑢, 𝜆(𝑡), 𝑡],

kemudian disubstitusikan pada fungsi kondisi dan fungsi adjoin untuk mendapatkan

dua nilai batas pada persamaan diferensial,

{�̇�∗ = 𝑓(𝑥∗, 𝑢(𝑥∗, 𝜆, 𝑡), 𝑡), 𝑥∗(0) = 𝑥0,

𝜆 = −𝐻𝑥(̇ 𝑥∗, 𝑢(𝑥∗, 𝜆, 𝑡), 𝑡), 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥[𝑥∗(𝑇), 𝑇].

Untuk lebih memahami cara menyelesaikan masalah kendali optimal

menggunakan prinsip maksimum, akan diberikan contoh-contoh sederhana sebagai

berikut.


27

G.1. Contoh Prinsip Maksimum

Diberikan masalah:

𝑚𝑎𝑥 {𝐽 = ∫ −𝑥𝑑𝑡1

0

}

terhadap kondisi

�̇� = 𝑢, 𝑥(0) = 1

dan kendali

𝑢 ∈ Ω = [−1,1]

Diketahui bahwa 𝑇 = 1, 𝐹 = −𝑥, 𝑆 = 0, dan 𝑓 = 𝑢. Karena 𝐹 = −𝑥, hal ini bisa

dianggap sebagai masalah meminimalkan luas daerah di bawah kurva 𝑥(𝑡), untuk 0 ≤

𝑡 ≤ 1.

Penyelesaian

Menurut informasi-informasi yang telah didapatkan di atas, dapat dibentuk persamaan

Hamiltonian sebagai berikut:

𝐻(𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡) = 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡)

𝐻 = −𝑥 + 𝜆𝑢.

Persamaan Hamiltonian tersebut linier dalam 𝑢. Fungsi yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan Hamiltonian di atas adalah

𝑢∗(𝑡) = 𝑏𝑎𝑛𝑔[−1,1; 𝜆(𝑡)].

Fungsi bang (bang function) digunakan pada masalah kendali optimal linier yang

didefinisikan sebagai berikut:


28

𝑏𝑎𝑛𝑔[𝑏1, 𝑏2;𝑊] = {𝑏1

tidak terdefinisi

𝑏2

jika 𝑊 < 0,

jika 𝑊 = 0,

jika 𝑊 > 0.

Pada contoh ini,

𝑢∗ = {−1

tidak terdefinisi

1

jika 𝜆(𝑡) < 0,

jika 𝜆(𝑡) = 0,

jika 𝜆(𝑡) > 0.

Untuk mencari nilai 𝜆, digunakan persamaan adjoin sebagai berikut

�̇� = −𝐻𝑥

�̇� = −(−𝑥 + 𝜆𝑢)𝑥

�̇� = (𝑥 − 𝜆𝑢)𝑥

�̇� = 1

dan

𝜆(1) = 𝑆𝑥[𝑥(𝑇), 𝑇]

𝜆(1) = 0

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mudah karena tidak memuat 𝑥 dan 𝑢.

�̇� = 1

𝑑𝜆

𝑑𝑡 = 1

𝑑𝜆 = 𝑑𝑡


29

𝜆(𝑡) = 𝑡 + 𝐶

Dengan menggunakan informasi 𝜆(1) = 0, didapatkan

𝜆(1) = 0

𝜆(1) = 1 + 𝐶

0 = 1 + 𝐶

𝐶 = −1

𝜆(𝑡) = 𝑡 − 1

Yang berarti bahwa 𝜆(𝑡) = 𝑡 − 1 ≤ 0 untuk semua 𝑡 ∈ [0,1] dan 𝑢∗(𝑡) = −1 dengan

mendefinisikan 𝑢 pada satu titik 𝑡 = 1, didapat kendali optimal 𝑢∗(𝑡) = −1 untuk 𝑡 ∈

[0,1]. Kemudian masukkan persamaan tersebut pada persamaan kondisi �̇� = 𝑢, 𝑥(0) =

1 didapatkan

�̇� = −1, 𝑥(0) = 1

Yang mana penyelesaiannya adalah sebagai berikut

�̇� = −1

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = −1

𝑑𝑥 = −𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = −𝑡 + 𝐶

Karena 𝑥(0) = 1

𝑥(0) = 1

𝑥(0) = 0 + 𝐶


30

1 = 𝐶

𝐶 = 1

Maka penyelesaiannya adalah 𝑥(𝑡) = 1 − 𝑡 untuk 𝑡 ∈ [0,1]. Nilai dari fungsi

tujuannya adalah sebagai berikut

𝐽∗ = ∫ (1 − 𝑡)𝑑𝑡1

0

= (𝑡 −1

2𝑡2)]

0

1

𝐽∗ = −1

2.

Berikut adalah grafik yang akan menampilkan laju 𝑥(𝑡), 𝑢∗(𝑡), dan 𝜆(𝑡) terhadap

waktu 𝑡:

Gambar 2.2. Grafik Contoh H.1.


31

H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran

Dalam subbab sebelumnya telah dijelaskan mengenai prinsip maksimum namun

tanpa kendala ketidaksamaan campuran. Yang membedakannya, pada subbab ini

ditambahkan kendala pada variabel keaadaan dan variabel kendali. Khususnya, untuk

setiap 𝑡 ∈ [0, 𝑇], 𝑥(𝑡) dan 𝑢(𝑡) harus memenuhi

𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) ≥ 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇], (2.40)

dengan 𝑔: 𝐸𝑛 × 𝐸𝑚 × 𝐸1 → 𝐸𝑞 terdiferensial secara kontinu di semua titik dan harus

memuat 𝑢. Kendala (2.40) disebut dengan kendala ketaksamaan (inequality

constraint).

Kondisi akhir (terminal state) dibatasi oleh pertidaksamaan dan persamaan:

𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) ≥ 0 (2.41)

𝑏(𝑥(𝑇), 𝑇) = 0 (2.42)

dengan : 𝐸𝑛 × 𝐸1 → 𝐸𝐼𝑎 dan 𝑏: 𝐸𝑚 × 𝐸1 → 𝐸𝐼𝑏 terdiferensial secara kontinu di semua

titik. Kendali 𝑢 disebut kendali yang memungkinkan (admissible control) apabila 𝑢

kontinu sepotong-sepotong atau lebih lanjutnya 𝑢(𝑡) dan 𝑥(𝑡) harus memenuhi

kendala (2.40), (2.41), dan (2.42).

Dalam merumuskan prinsip maksimum, didefinisikan fungsi Hamiltonian

𝐻:𝐸𝑛 × 𝐸𝑚 × 𝐸𝑛 × 𝐸1 × 𝐸1 → 𝐸1 sebagai

𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] ∶= 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.43)

dengan 𝜆 ∈ 𝐸𝑛 (vektor baris). Didefinisikan pula fungsi Lagrangian 𝐿: 𝐸𝑛 × 𝐸𝑚 ×

𝐸𝑛 × 𝐸𝑞 × 𝐸1 → 𝐸1 sebagai


32

𝐿[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝜇, 𝑡] ∶= 𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] +𝜇𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.44)

dengan 𝜇 ∈ 𝐸𝑞 sebuah vektor baris, yang kompennya disebut dengan pengali Lagrang.

Pengali Lagrang ini memiliki sifat:

𝜇 ≥ 0, 𝜇𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 0. (2.45)

Vektor adjoin harus memenuhi

�̇� = −𝐿𝑥[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝜇, 𝑡] (2.46)

dengan batas

𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) +𝛼𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) +𝛽𝑏(𝑥(𝑇), 𝑇)

𝛼 ≥ 0, 𝛼𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) = 0

dengan 𝛼 ∈ 𝐸𝐼𝑎 dan 𝛽 ∈ 𝐸𝐼𝑏 adalah vektor konstan.

Informasi-informasi di atas dapat diringkas ke dalam tabel 2.3 sebagai berikut:

�̇�∗ = 𝑓(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑡), 𝑥∗(0) = 𝑥0,

Memenuhi kendala akhir

𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) ≥ 0 dan 𝑏(𝑥∗(𝑇), 𝑇) = 0,

�̇� = −𝐿𝑥[𝑥∗, 𝑢∗, 𝜆, 𝜇, 𝑡]

Dengan kondisi transversalitas

𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥(𝑥∗(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) + 𝛽𝑏(𝑥∗(𝑇), 𝑇),𝛼 ≥ 0, 𝛼𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) = 0

Syarat maksimum Hamiltonian

𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡]

Untuk setiap 𝑡 ∈ [0, 𝑇] semua 𝑢 memenuhi


33

𝑔[𝑥∗(𝑡), 𝑢, 𝑡] ≥ 0,

Dan pengali Lagrange 𝜇(𝑡) sedemikian sehingga

𝜕𝐿

𝜕𝑢|𝑢=𝑢∗(𝑡) ∶= (

𝜕𝐻

𝜕𝑢+ 𝜇

𝜕𝑔

𝜕𝑢) |𝑢=𝑢∗(𝑡) = 0

Dan kondisi complementary slackness

𝜇(𝑡) ≥ 0, 𝜇(𝑡)𝑔(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑡) = 0 dipenuhi

Tabel 2.3. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran

H.1. Contoh Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran

Maks {𝐽 = ∫ 𝑢𝑑𝑡1

0}

terhadap

�̇� = 𝑢, 𝑥(0)

= 1,

(2.47)

𝑢 ≥ 0, 𝑥 − 𝑢

≥ 0.

(2.48)

Ingat bahwa kendala (3.11) dapat ditulis sebagai 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑥.

Penyelesaian

Dari soal di atas dapat dibentuk fungsi Hamiltonian sebagai berikut:

𝐻 = 𝐹 + 𝜆𝑓

𝐻 = 𝑢 + 𝜆𝑢


34

𝐻 = (1 + 𝜆)𝑢,

Karena 𝑢 linier, maka bentuk kendali optimalnya adalah

𝑢∗ = bang[0, 𝑥; 1 + 𝜆]. (2.49)

Ingat bahwa kendala (2.48) merupakan kasus khusus, sehingga untuk mendapatkan

persamaan adjoinya terlebih dahulu dibentuk Lagrangian sebagai berikut:

𝐿 = 𝐻 +𝜇𝑔

= 𝐻 + 𝜇(𝑔1 + 𝑔2)

= 𝐻 + 𝜇1𝑢 + 𝜇2(𝑥 − 𝑢)

= (1 + 𝜆)𝑢 + 𝜇1𝑢 + 𝜇2(𝑥 − 𝑢)

𝐿 = 𝜇2𝑥 + (1 + 𝜆 + 𝜇1 − 𝜇2)𝑢

Dari Lagrangian didapatkan persamaan adjoin

�̇� = −𝐿𝑥

= (𝜇2𝑥 + (1 + 𝜆 + 𝜇1 + 𝜇2)𝑢)𝑥

�̇� = 𝜇2, 𝜆(1) = 0. (2.50)

Adapun hal lain yang perlu diingat bahwa kendali optimal harus memenuhi 𝐿𝑢 sebagai

berikut

𝐿𝑢 = 1 + 𝜆 + 𝜇1 − 𝜇2 = 0, (2.51)

dan dari persamaan (2.45) 𝜇1 dan 𝜇2 harus memenuhi sifat

𝜇1 ≥ 0, 𝜇1𝑔 = 𝜇1𝑢 = 0, (2.52)

𝜇2 ≥ 0, 𝜇2 = 𝜇2(𝑥 − 𝑢) = 0. (2.53)


35

Dari persamaan (2.47) dan (2.48) didapatkan 𝑢∗ = 0 atau 𝑢∗ = 𝑥. Untuk 𝑢∗ = 𝑥

solusi persamaan (2.47) adalah

�̇� = 𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 𝑥

∫𝑑𝑥

𝑥 = ∫𝑑𝑡

𝑙𝑛(𝑥) = 𝑡 + 𝐶

𝑥 = 𝑘𝑒𝑡

Diketahui kondisi awal 𝑥(0) = 1, dengan begitu

𝑥(0) = 𝑘𝑒0

1 = 𝑘

𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡

Karena 𝑥 = 𝑒𝑡 > 0 menyebabkan 𝑢∗ = 𝑥 > 0; dengan begitu dari persamaan (2.52)

dapat disimpulkan 𝜇1 = 0.

Dari persamaan (2.51) substitusikan 𝜇1 = 0

1 + 𝜆 + 𝜇1 − 𝜇2 = 0

1 + 𝜆 + 0 − 𝜇2 = 0

𝜇2 = 1 + 𝜆

Kemudian substitusikan 𝜇2 = 1 + 𝜆 ke dalam persamaan (2.50) dan

menyelesaikannya sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut

�̇� = −𝜇2


36

�̇� = −(1 + 𝜆)

𝑑𝜆

𝑑𝑡 = −(1 + 𝜆)

∫𝑑𝜆

(1 + 𝜆) = ∫−𝑑𝑡

𝑙𝑛(1 + 𝜆) = −𝑡 + 𝐶

1 + 𝜆 = 𝑘𝑒−𝑡

Diketahui 𝜆(1) = 0,

𝜆(1) = 0

1 + 𝜆(1) = 𝑘𝑒−1

1 =𝑘

𝑒

𝑒 = 𝑘

1 + 𝜆(𝑡) = 𝑒𝑒−𝑡

1 + 𝜆(𝑡) = 𝑒1−𝑡. (2.54)

Karena ruas kanan dari persamaan (2.54) selalu positif, 𝑢∗ = 𝑥 memenuhi (2.49).

Perhatikan bahwa 𝜇2 = 1 + 𝜆 = 𝑒1−𝑡 ≥ 0 dan 𝑥 − 𝑢∗ = 0, jadi persamaan (2.53)

terpenuhi.

Berikut adalah grafik yang memperlihatkan laju 𝑥(𝑡) dan 𝑢∗ terhadap waktu 𝑡:


37

Gambar 2.3. Grafik Contoh I.1

I. Nilai Sekarang (Current-Value)

Dalam masalah ekonomi dan manajemen, satuan dari fungsi tujuan adalah uang.

Nilai uang di masa depan akan mengalami penurunan. Sebagai permisalannya yaitu

uang sebesar Rp 100.000,00 pada tahun 2016 masih dianggap banyak, namun belum

tentu demikian pada tahun 2020.

Diasumsikan suatu tingkat diskon konstan kontinu 𝜌 ≥ 0. Fungsi tujuan yang

disertai dengan tingkat diskon 𝜌 merupakan bentuk khusus dari persamaan (2.10).

Karenanya,


38

𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 𝜙(𝑥, 𝑢)𝑒−𝜌𝑡 dan 𝑆(𝑥, 𝑇) = 𝜎(𝑥)𝑒−𝜌𝑇.

Fungsi tujuannya menjadi

𝑚𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 {𝐽 = ∫ 𝜙(𝑥, 𝑢)𝑒−𝜌𝑡𝑑𝑡 + 𝜎[𝑥(𝑇)]𝑒−𝜌𝑇𝑇

0

} (2.54)

terhadap (2.8), (2.40), (2.41), dan (2.42).

Untuk masalah nilai sekarang, bentuk dari persamaan Hamiltonian standar adalah

𝐻𝑠 ∶= 𝑒−𝜌𝑡𝜙(𝑥, 𝑢) + 𝜆𝑠𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.55)

dan bentuk dari persamaan Lagrangian standar adalah

𝐿𝑠 ∶= 𝐻𝑠 + 𝜇𝑠𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.56)

dengan variabel adjoin standar 𝜆𝑠 dan pengali-pengali standar 𝛼𝑠 dan 𝛽𝑠 memenuhi

�̇�𝑠 = −𝐿𝑥𝑠 (2.57)

𝜆𝑠(𝑇) = 𝑆𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑠𝑎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛽

𝑠𝑏𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)

= 𝑒−𝜌𝑡𝜎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑠𝑎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)

+ 𝛽𝑠𝑏𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇),

(2.58)

𝛼𝑠 ≥ 0, 𝛼𝑠𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) = 0, (2.59)

dan 𝜇𝑠 memenuhi

𝜇𝑠 ≥ 0, 𝜇𝑠𝑔 = 0. (2.60)

Pangkat 𝑠 digunakan untuk membedakan fungsi nilai sekarang. Sekarang akan

didefinisikan Hamiltonian dari nilai sekarang:

𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] ≔ 𝜙(𝑥, 𝑢) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) (2.61)


39

dan Lagrangian dari nilai sekarang:

𝐿[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝜇, 𝑡] ∶= 𝐻 + 𝜇𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡). (2.62)

Sekarang didefinisikan

𝜆 ∶= 𝑒𝜌𝑡𝜆𝑠 dan 𝜇 ∶= 𝑒𝜌𝑡𝜇𝑠, (2.63)

Kemudian persamaan (2.55) dan (2.56) dapat ditulis kembali menjadi

𝐻 = 𝑒𝜌𝑡𝐻𝑠 dan 𝐿 = 𝑒𝜌𝑡𝐿𝑠 . (2.64)

Karena 𝑒𝜌𝑡 > 0, memaksimalkan 𝐻𝑠 teradap 𝑢 pada waktu 𝑡 ekivalen dengan

memaksimalkan nilai sekarang dari Hamiltonian 𝐻 terhadap 𝑢 pada waktu 𝑡.

Selanjutnya, persamaan (2.63) diturunkan teradap 𝑡 didapatkan

�̇� = 𝜌𝑒𝜌𝑡𝜆𝑠 + 𝑒𝜌𝑡�̇�𝑠. (2.65)

Untuk menyederanakan persamaan (2.65) digunakan persamaan (2.57), (2.63), dan

fakta bahwa 𝐿𝑥 = 𝑒𝜌𝑡𝐿𝑥

𝑠 yang diperoleh dari persamaan (2.64). Karenanya,

�̇� = 𝜌𝑒𝜌𝑡𝜆𝑠 + 𝑒𝜌𝑡�̇�𝑠

= 𝜌𝜆 + 𝑒𝜌𝑡(−𝐿𝑥𝑠 )

= 𝜌𝜆 + 𝑒𝜌𝑡(−𝐿𝑥𝑒−𝜌𝑡)

= 𝜌𝜆 − 𝐿𝑥,

𝜆(𝑇) = 𝜎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑠𝛼𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)

+ 𝛽𝑠𝛽𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇),

(2.66)

dengan kondisi akhir untuk 𝜆(𝑇) merupakan akibat langsung dari persamaan (2.58)

dengan menyubstitusikan definisi dari


40

𝛼 = 𝑒𝜌𝑡𝛼𝑠 dan 𝛽 = 𝑒𝜌𝑡𝛽𝑠. (2.67)

𝜆𝑠(𝑇) = 𝑒−𝜌𝑡𝜎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑠𝑎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛽

𝑠𝑏𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)

𝑒𝜌𝑡𝜆𝑠(𝑇) = 𝑒𝜌𝑡[𝑒−𝜌𝑡𝜎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝑒−𝜌𝑡𝛼𝑎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)

+ 𝑒−𝜌𝑡𝛽𝑏𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇)]

𝜆(𝑇) = 𝜎𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑠𝛼𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛽

𝑠𝛽𝑥(𝑥(𝑇), 𝑇).

Kondisi complimentary slackness ditentukan oleh pengali nilai Lagrang sekarang 𝜇 dan

𝛼

𝜇𝑠 ≥ 0 𝜇𝑠𝑔 = 0

𝜇𝑒−𝜌𝑡 ≥ 0 𝜇𝑒−𝜌𝑡𝑔 = 0

𝜇 ≥ 0, 𝜇𝑔 = 0,

𝛼𝑠 ≥ 0 𝛼𝑠𝑎 = 0

𝛼𝑒−𝜌𝑡 ≥ 0 𝛼𝑒−𝜌𝑡𝑎 = 0

𝛼 ≥ 0, 𝛼𝑎 = 0.

Jadi, nilai sekarang pada persamaan (3.14) akan menjadi

𝐻[𝑥∗(𝑇∗), 𝑢∗(𝑇∗), 𝜆(𝑇∗), 𝑇∗] − 𝜌𝜎[𝑥∗(𝑇∗)] = 0 (2.68)

J. Titik Akhir Bebas (free-end point)

Dalam kasus ini, kondisi akhir 𝑥(𝑇) tidak dikenai kendala. Karenanya,

𝑥(𝑇) ∈ 𝑋.


41

Dari kondisi akhir pada tabel 2.3 maka memungkinkan untuk masalah free-end-

point sehingga 𝑌 = 𝑋,

𝜆(𝑇) = 𝜎𝑥[𝑥∗(𝑇)]. (2.69)

Ini juga termasuk kondisi 𝜆(𝑇) = 0 pada kasus khusus dari 𝜎(𝑥) ≡ 0.

K. Jangka Waktu Tak Berhingga (Infinite Horizon) dan Stasioneritas

Pada subbab ini akan dibahas apabila diberikan jangkauan waktu yang tak

berhingga (𝑇 → ∞) pada fungsi tujuan (2.54) yang disebut dengan masalah jangka

waktu tak beringga (infinite horizon). Ketika diberikan 𝑇 = ∞ pada fungsi tujuan

(2.10) atau (2.54) yang bisa memunculkan masalah jangka waktu tak berhingga yang

tidak stasioner. Beberapa masalah tersebut akan sulit untuk diselesaikan. Maka dari itu,

pada subbab ini hanya akan dibahas mengenai masalah jangka waktu tak berhingga

yang stasioner di mana tidak bergantung pada waktu 𝑡. Selanjutnya, diasumsikan

𝜎(𝑥) ≡ 0 untuk kasus jangka waktu tak berhingga.

Untuk kasus penting dalam free-end-point, limit dari kondisi transversalitas akan

dihitung dengan 𝑇 → ∞ pada persamaan nilai sekarang (present value):

lim𝑇→∞

𝜆𝑠(𝑇) = 0 ⇒ lim𝑇→∞

𝑒−𝜌𝑡𝜆(𝑇) = 0. (2.70)

Kasus penting yang lain adalah kendala satu sisi

lim𝑇→∞

𝑥(𝑇) ≥ 0.

Maka, kondisi transversalitasnya adalah sebagai berikut


42

lim𝑇→∞

𝑒−𝜌𝑡𝜆(𝑇) ≥ 0 dan lim𝑇→∞

𝑒−𝜌𝑡𝜆(𝑇)𝑥∗(𝑇) = 0. (2.71)

Dalam masalah ekonomi, fungsi 𝜙, 𝑓, dan 𝑔 secara eksplisit tidak bergantung pada

waktu 𝑡. Kondisi seperti ini disebut dengan stasioneritas. Khususnya pada persamaan

(2.8), (2.40), dan (2.54), di mana 𝜙 tidak bergantung pada waktu 𝑡, dan tanpa kondisi

akhir 𝑥(𝑇), stasioneritas mengakibatkan

𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑢), (2.72)

𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 𝑔(𝑥, 𝑢).

Ini berarti bahwa persamaan kondisi, persamaan adjoin nilai sekarang, dan nilai

sekarang Hamiltonian pada (2.40) secara eksplisit tidak bergantung pada waktu 𝑡.

Sistem yang demikian disebut dengan autonomous.

Dalam kasus autonomous, fokusnya ada pada kesetimbangan di mana pergerakan

akan berhenti, yaitu nilai dari 𝑥 dan 𝜆 yang mana �̇� = 0 dan �̇� = 0. Gagasan yang

demikian disebut dengan long-run stationary equilibrium. Hal ini didefinisikan dengan

quadraple {�̅�, �̅�, �̅�, �̅�} yang memenuhi

𝑓(�̅�, �̅�) = 0,

(2.73)

𝜌�̅� = 𝐿𝑥[�̅�, 𝑢,̅ �̅�, �̅�],

�̅� ≥ 0, �̅�𝑔(�̅�, �̅�) = 0, dan

𝐻(�̅�, �̅�, �̅�) ≥ 𝐻(�̅�, 𝑢, �̅�)

untuk semua 𝑢 memenuhi

𝑔(�̅�, 𝑢) ≥ 0.


43

Lebih jelasnya, jika kondisi awal 𝑥0 = �̅� maka kendali optimalnya adalah 𝑢∗(𝑡) =

�̅� untuk semua 𝑡. Jika kendala yang melibatkan 𝑔 tidak dikenakan, �̅� dapat

dihhilangkan dari quadraple. Dalam hal ini, kesetimbangan didefinisikan dengan triple

{�̅�, 𝑢,̅ �̅�} yang memenuhi

𝑓(�̅�, �̅�) = 0, 𝜌�̅� = 𝐻𝑥[�̅�, 𝑢,̅ �̅�], dan 𝐻𝑢[�̅�, 𝑢,̅ �̅�] = 0. (2.74)


44

BAB III

MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW

A. Model Matematis

Periklanan mempengaruhi penjualan pada waktu sekarang dan akan datang.

Nerlove dan Arrow memandang periklanan sebagai suatu penanaman modal dalam

mengembangkan suatu modal periklanan yang sering kali disebut dengan goodwill.

Atau dengan kata lain, goodwill adalah investasi periklanan. Goodwill dapat diciptakan

dengan menambah pelanggan baru atau dengan mengubah selera dan pilihan

konsumen, sehingga mengubah fungsi permintaan terhadap produk perusahaan.

Goodwill dapat menurun seiring berjalannya waktu karena beralih ke produk atau

brand lain sebagai akibat dari periklanan dengan terjadinya kompetisi dari perusahaan-

perusahaan dan adanya produk baru.

Misalkan 𝐺(𝑡) ≥ 0 adalah menyatakan persediaan goodwill pada waktu 𝑡.

Diandaikan bahwa persediaan goodwill menurun seiring berjalannya waktu dengan

laju proporsional 𝛿, sehingga:

�̇� = 𝑢 − 𝛿𝐺, 𝐺(0) = 𝐺0, (3.1)

dengan 𝑢 = 𝑢(𝑡) ≥ 0 merupakan usaha periklanan pada waktu 𝑡 yang diukur dalam

dollar per satuan waktu. Untuk merumuskan kendali optimal pada perusahaan,

diasumsikan bahwa tingkat penjualan 𝑆(𝑡) tergantung pada goodwill 𝐺(𝑡), harga 𝑝(𝑡),


45

dan variabel lain 𝑍(𝑡). Variabel lain yang dimaksud seperti kebutuhan konsumen,

besarnya populasi, dan pendapatan konsumen. Maka diperoleh persamaan:

𝑆 = 𝑆(𝑝, 𝐺, 𝑍). (3.2)

Kemudian diasumsikan bahwa tingkat biaya total dari proses produksi adalah

𝑐(𝑆), maka akan diperoleh total pendapatan 𝑅 yaitu perkalian antara harga dengan

tingkat penjualan dikurangi dengan tingkat biaya total proses produksi. Didapatkan

persamaan sebagai berikut:

𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) = 𝑝𝑆(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑐(𝑆). (3.3)

Karena telah didapatkan rumusan pendapatan total, maka biaya periklanan dapat

dirumuskan sebagai 𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑢. Kemudian, diasumsikan bahwa perusahaan ingin

memaksimalkan pendapatan bersih dengan tingkat diskon 𝜌, sehingga didapatkan

persamaan:

max𝑢≥0,𝑝≥0

{𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑢]𝑑𝑡∞

0

}. (3.4)

Faktor eksponensial menjelaskan bahwa nilai mata uang yang menurun seiring

berjalannya waktu. Karena 𝑝 hanya muncul pada integran, 𝐽 dapat dimaksimalkan

dengan memaksimalkan 𝑅 terlebih dulu terhadap 𝑝 dengan G tetap. Kemudian

memaksimalkan hasilnya terhadap 𝑢. Maka diperoleh persamaan:

𝜕𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑧)

𝜕𝑝= 𝑆 + 𝑝

𝜕𝑆

𝜕𝑝− 𝑐𝑠

𝜕𝑆

𝜕𝑝= 0, (3.5)


46

yang secara implisit memberikan harga optimal 𝑝∗ = 𝑝(𝐺(𝑡), 𝑍(𝑡)). Kemudian

didefinisikan elastisitas permintaan terhadap harga 𝑝, yaitu 𝜂 = −(𝑝

𝑆)(𝜕𝑆

𝜕𝑝). Elastisitas

permintaan adalah ukuran kepekaan perubahan jumlah permintaan barang terhadap

perubahan harga. Selanjutnya, persamaan (3.5) dapat ditulis menjadi:

𝑝∗ =𝜂𝑐′(𝑆)

𝜂−1, (3.6)

dengan kata lain, persamaan (3.6) tersebut menjelaskan bahwa pendapatan marjinal

(𝜂 − 1)𝑝/𝜂 harus sama dengan biaya marjinal 𝑐′(𝑆).

Untuk mendapatkan model kendali optimal yang diinginkan, selanjutnya akan

didefinisikan 𝜋(𝐺, 𝑍) = 𝑅(𝑝∗, 𝐺, 𝑍). Maka fungsi pada persamaan (3.4) dapat ditulis

sebagai:

max𝑢≥0

{𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺, 𝑍) − 𝑢]𝑑𝑡∞

0

}.

Untuk mempermudah, diasumsikan 𝑍 adalah suatu nilai konstan. Dengan

demikian, masalah kendali optimal yang baru saja dirumuskan dapat dinyatakan

kembali menjadi:

{

max𝑢≥0

𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺) − 𝑢]𝑑𝑡∞

0

dengan kendala

�̇� = 𝑢 − 𝛿𝐺, 𝐺(0) = 𝐺0

(3.7)


47

B. Solusi Menggunakan Prinsip Maksimum

Pada subbab kali ini, akan dibahas mengenai penyelesaian model periklanan

Nerlove-Arow menggunakan prinsip maksimum. Dari persamaan (3.7) didapatkan

informasi 𝐹 = 𝜋(𝐺) − 𝑢 dan 𝑓 = 𝑢 − 𝛿𝐺 untuk membentuk persamaan Hamiltonian

𝐻 = 𝐹 + 𝜆𝑓

= (𝜋(𝐺) − 𝑢) + 𝜆(𝑢 − 𝛿𝐺)

= 𝜋(𝐺) − 𝑢 + 𝜆𝑢 − 𝜆𝛿𝐺. (3.8)

Setelah itu, dirumuskan persamaan adjoinnya sebagai berikut:

�̇� = 𝜌𝜆 − 𝐻𝐺

= 𝜌𝜆 − [𝜋(𝐺) − 𝑢 + 𝜆𝑢 − 𝜆𝛿𝐺]𝐺

= 𝜌𝜆 − [𝜕𝜋

𝜕𝐺− 𝜆𝛿]

= 𝜌𝜆 −𝜕𝜋

𝜕𝐺+ 𝜆𝛿

�̇� = 𝜆(𝜌 + 𝛿) −𝜕𝜋

𝜕𝐺 (3.9)

dengan syarat cukup

lim𝑡→+∞

𝑒−𝜌𝑡 𝜆(𝑡) = 0. (3.10)

Persamaan Hamiltonian (3.8) dapat diinterpretasikan sebagai tingkat keuntungan

dinamis:

i. (𝜋(𝐺) − 𝑢) merupakan tingkat laba bersih sekarang (current net profit

rate).


48

ii. 𝜆�̇� = 𝜆(𝑢 − 𝛿) merupakan goodwill baru yang didapat setelah

periklanan ke 𝑢.

Kemudian, didefinisikan 𝛽 = (𝐺

𝑆) (

𝜕𝑆

𝜕𝐺) sebagai elastisitas permintaan dari

permintaan teradap goodwill. Dari 𝛽 bisa didapatkan (𝜕𝑆

𝜕𝐺) =

𝛽𝑆

𝐺. Ada tiga persamaan

yang perlu diingat kembali, yaitu:

i. Persamaan (3.3) yaitu 𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) = 𝑝𝑆(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑐(𝑆)

ii. Persamaan (3.5) yaitu 𝜕𝑅(𝑝,𝐺,𝑧)

𝜕𝑝= 𝑆 + 𝑝

𝜕𝑆

𝜕𝑝− 𝑐𝑠

𝜕𝑆

𝜕𝑝= 0

iii. Persamaaan (3.9) yaitu �̇� = 𝜆(𝜌 + 𝛿) −𝜕𝜋

𝜕𝐺.

Ketiga persamaan tersebut akan digunakan untuk memperolehh 𝐺 yang optimal

yaitu 𝐺∗. Pada awal telah didefinisikan 𝜋(𝐺, 𝑍) = 𝑅(𝑝∗, 𝐺, 𝑍). Maka,

𝜕𝜋

𝜕𝐺 =

𝜕𝑅

𝜕𝑝∙𝜕𝑝∗

𝜕𝐺+𝜕𝑅

𝜕𝐺

=𝜕𝑅

𝜕𝐺

= 𝑝

𝜕𝑆

𝜕𝐺− 𝑐′

𝜕𝑆

𝜕𝐺

Sedangkan dari definisi 𝛽 didapatkan 𝜕𝑆

𝜕𝐺=

𝑆𝛽

𝐺 dan dari 𝑝∗ didapatkan 𝑝 − 𝑐′ =

𝑝

𝜂. Maka

didapatkan

𝐺∗ =𝛽𝑝𝑆

𝜂[(𝜌 + 𝛿)𝜆 − �̇�]. (3.11)


49

𝐺∗ merupakan kondisi optimal dari goodwill. Di mana besarnya hasil dari

penjualan akan berbanding lurus dengan elastisitas dari goodwill, berbanding terbalik

dengan elastisitas harga, dan berbanding terbalik dengan jumlah biaya peluang

marjinal (𝜌 + 𝛿)𝜆 ditambah dengan (−�̇�).

Untuk menghitung titik kesetimbangan stasioner {�̅�, �̅�, �̅�} digunakan persamaan

(3.74). Dari persamaan (3.8) didapatkan

𝜕𝐻

𝜕𝑢 = [𝜋(𝐺) − 𝑢 + 𝜆𝑢 − 𝜆𝛿𝐺]𝑢

= −1 + 𝜆

dengan 𝜕𝐻

𝜕𝑢= 0 maka didapatkan 𝜆 = �̅� = 1 dan �̇� = 0. Dengan mensubstitusikannya

ke dalam persamaan (3.11) didapatkan

�̅� = 𝐺𝑠 =𝛽𝑝𝑆

𝜂(𝜌 + 𝛿). (3.12)

Dalam persamaan periklanan Nerlove-Arrow, untuk mengetahui berapa besarnya

�̅�, dapat dicari menggunakan �̇� = 𝑢 − 𝛿𝐺. Hal ini dikarenakan kondisi optimal yang

diperoleh adalah stasioner yang mana tidak bergantung pada waktu 𝑡. Karenanya, 𝜕𝐺

𝜕𝑡=

�̇� = 0, sehingga 𝑢 = 𝑢∗ = 𝛿�̅�.

Berikut adalah ilustrasi mengenai �̅� yang mana goodwill akan secepat mungkin

menuju �̅�. Hal ini akan dibagi menjadi dua kasus, karena besar kecilnya goodwill yang

dilakukan oleh perusahaan akan mempengaruhi kecepatannya menuju �̅�.


50

Kasus I. Kasus pertama yaitu jika 𝐺0 < �̅�, goodwill yang turun akan menuju �̅�

secara cepat dengan menggunakan impuls pada saat 𝑡 = 0 dan kemudian melakukan

kendali 𝑢∗(𝑡) = �̅� = 𝛿�̅� untuk 𝑡 > 0.

Gambar 3.1: Kasus 1 𝐺0 < �̅�.

Kasus II. Kasus kedua yaitu jika 𝐺0 > �̅�, kendali yang diberikan akan sama

dengan nol sampai stok goodwill menurun menuju �̅�. Ketika sudah mencapai �̅� maka

ada kendali yang diberikan yaitu 𝑢∗(𝑡) = �̅� = 𝛿�̅�. Karena apabila tidak diberi kendali,

maka goodwill akan terus menurun. Kendali yang diberikan tersebut tetap dengan

tujuan untuk mempertahankan laju �̅� dari goodwill.


51

Gambar 3.2: Kasus 2 𝐺0 > �̅�.


52

BAB IV

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Pemasaran merupakan salah satu aspek penting untuk menentukan kesuksesan

keuangan suatu perusahaan. Pemasaran produk suatu perusahaan akan membuat

konsumen mengetahui keberadaan perusahaan dan produk yang dihasilkan. Apabila

keduanya semakin dikenal oleh konsumen, maka akan meningkatkan pendapatan suatu

perusahaan tersebut. Salah satu strategi pemasaran adalah periklanan. Periklanan yang

dilakukan dengan cara yang tepat akan membuat konsumen tertarik dengan produk

yang dihasilkan oleh suatu perusahaan.

Pada Model Periklanan Nerlove-Arrow, periklanan dapat digunakan sebagai

suatu investasi, yang disebut goodwill, di mana akan mempengaruhi keuntungan

perusahaan di masa sekarang dan di masa depan. Model Periklanan Nerlove-Arrow

bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan perusahaan dengan melakukan

periklanan. Goodwill akan menurun seiring berjalannya waktu karena beralih ke

produk atau brand lain sebagai akibat dari periklaan dengan terjadinya kompetisi dari

perusahaan-perusahaan dan adanya produk baru. Oleh karena itu diperlukan kendali

𝑢(𝑡) untuk mengendalikan pergerakan dari goodwill. Prinsip maksimum digunakan

untuk menemukan kendali terbaik dan digunakan dalam analisis model linier.


53

B. SARAN

Dalam menuliskan tugas akhir ini, penulis berharap agar para pembaca dapat

melanjutkan penulisan Model Periklanan Nerlove-Arrow pada analisis nonlinier dan

memperbanyak contoh numeris agar lebih mudah dipahami. Selain itu, penulis

berharap agar para pembaca dapat menganalisis model periklanan lain seperti model

periklanan Vidale-Wolfe.


54

DAFTAR PUSTAKA

Chiang, Alpha C. (1992). Dynamic Optimization. New York: McGraw-Hill.

Leonard, Daniel and Long, Ngo Van. (1992). Optimal Control Theory and Static

Optimization in Economics and Management, 2nd Ed. Amsterdam: Elsevier

Science B V.

Sethi, Suresh P. dan Gerald L.T. (2000). Optimal Control Theory. Applications to

Management Science and Economics. (2nd edition). New York: Springer.

Sethi, Suresh P. (1977). Optimal Advertising for the Nerlove-Arrow Model Under a

Budget Constraint. Operational Research Quarterly. 28(3): 683-693.

Sethi, Suresh P. (1977). Dynamic Optimal Control Models in Advertising: A Survey.

SIAM Review. 19(4):6885-725.


55

55

LAMPIRAN

Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan

VariabelKondisi 𝐺(𝑡) = Goodwill

Variabel Kendali 𝑢(𝑡) = Tingkat periklanan

Persamaan Kondisi �̇�(𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0

Fungsi Tujuan Memaksimumkan {𝐽 = ∫ 𝑒−𝜌𝑡[𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡

∞

0

}

Kendala Kondisi . . .

Kendala Kendali 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑄

Kondisi Akhir . . .

Fungsi Eksogen 𝜋(𝐺(𝑡)) = Laba kotor

Parameter 𝛿 = Nilai konstan goodwill

𝜌 = Tingkat diskon

𝑄 = Batas atas tingkat periklanan

𝐺0 = Nilai awal goodwill

Tabel 2.3. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran

�̇�∗ = 𝑓(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑡), 𝑥∗(0) = 𝑥0,

Memenuhi kendala akhir

𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) ≥ 0 dan 𝑏(𝑥∗(𝑇), 𝑇) = 0,


56

56

�̇� = −𝐿𝑥[𝑥∗, 𝑢∗, 𝜆, 𝜇, 𝑡]

Dengan kondisi transversalitas

𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥(𝑥∗(𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) + 𝛽𝑏(𝑥∗(𝑇), 𝑇),𝛼 ≥ 0, 𝛼𝑎(𝑥∗(𝑇), 𝑇) = 0

Syarat maksimum Hamiltonian

𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢∗(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥∗(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡]

Untuk setiap 𝑡 ∈ [0, 𝑇] semua 𝑢 memenuhi

𝑔[𝑥∗(𝑡), 𝑢, 𝑡] ≥ 0,

Dan pengali Lagrange 𝜇(𝑡) sedemikian sehingga

𝜕𝐿

𝜕𝑢|𝑢=𝑢∗(𝑡) ∶= (

𝜕𝐻

𝜕𝑢+ 𝜇

𝜕𝑔

𝜕𝑢) |𝑢=𝑢∗(𝑡) = 0

Dan kondisi complementary slackness

𝜇(𝑡) ≥ 0, 𝜇(𝑡)𝑔(𝑥∗, 𝑢∗, 𝑡) = 0 dipenuhi

Langkah-langkah contoh 2.2

clc t=0:0.01:10; G=16; delta=0.05; rho=0.2; piG=2*sqrt(G); u=delta*G subplot(2,1,1) plot(t,G) xlabel('t') ylabel('G') subplot(2,1,2) plot(t,u) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int((exp(-rho*t))*(piG-u),0,inf); J


57

Langkah-langkah contoh G.1

clc t=0:0.01:1; lamda_t=t-1; xt=1-t; u_star=-1; subplot(3,1,1) plot(t,xt) xlabel('t') ylabel('x') subplot(3,1,2) plot(t,lamda_t) xlabel('t') ylabel('lambda') subplot(3,1,3) plot(t,u_star) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int(t-1,0,1); J

Langkah-langkah contoh H.1

clc t=0:0.01:1; xt=exp(t); u_star=xt; subplot(2,1,1) plot(t,xt) xlabel('t') ylabel('x') subplot(2,2,1) plot(t,u_star) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int(exp(t),0,1); J


KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE …

Documents

Transcript of KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE …