Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko

8/2/2019 Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko

1/138

i k

k

l

h

Pangarso YuliatmokoDewi Retno Sari S

MATEMATIKAMATEMATIKAUntuk Sekolah Menengah Atas& Madrasah AliyahUntuk Sekolah Menengah Atas& Madrasah AliyahXIIXII BahasaBahasa

PUSAT PERBUKUANDepartemen Pendidikan Nasional


2/138

M a t e m a t i k a

Pangarso YuliatmokoDewi Retno Sari S

X II Pr o g r a m B a h a s a

SMA/MA

Pusat Perbukuan

Departemen Pendidikan Nasional


3/138

i i

Penulis:

Pangarso YPangarso YPangarso YPangarso YPangarso Yu l ia tmokou l ia tmokou l ia tmokou l ia tmokou l ia tmoko

Dewi Retno Sari SDewi Retno Sari SDewi Retno Sari SDewi Retno Sari SDewi Retno Sari S

Editor:

Enik YEnik YEnik YEnik YEnik Yuliatinuliatinuliatinuliatinuliatin

Penata Letak Isi:

SudaryantoSudaryantoSudaryantoSudaryantoSudaryanto

Desainer Sampul:

Adi WahyonoAdi WahyonoAdi WahyonoAdi WahyonoAdi Wahyono

Ilustrator:

SusantoSusant oSusantoSusant oSusantoSumber Ilustrasi Cover:

CD ImageCD ImageCD ImageCD ImageCD Image

Ukuran Buku

17,6 25 cm17,6 25 cm17,6 25 cm17,6 25 cm17,6 25 cm

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional

Dilindungi Undang-undang

Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasionaldari Penerbit Karya Mandiri Nusantara, PT

MatematikaMatematikaMatematikaMatematikaMatematikaUntuk SMA/MA KUntuk SMA/MA KUntuk SMA/MA KUntuk SMA/MA KUntuk SMA/MA Kelas XII Program Bahasaelas XII Program Bahasaelas XII Program Bahasaelas XII Program Bahasaelas XII Program Bahasa

510.07YUL YULIATMOKO, Pangarso

m Matemat ika : untuk Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyahkelas XII program bahasa/Pangarso Yuliatmoko, Dewi Retno Sari S ;editor Enik Yuliatin. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan

Nasional, 2008.

viii, 128 hlm. : ilus. ; 25 cm.Bibliografi : hlm.125Indeks.

ISBN 979-462-911-11. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul

II. Dewi Retno Sari S III. Yuliatin, Enik

Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan

Departemen Pendidikan NasionalTahun 2008

Diperbanyak oleh ...

http://belajaronlinegratis.com

bukubse@belajaronlinegratis com


4/138

i i i

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya,

Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah

membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan

kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.

Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan

telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk

digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional

Nomor 34 Tahun 2008.

Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/

penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen

Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh

Indonesia.

Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen

Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak,

dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang

bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan

oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses

sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada

di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.

Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa

kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami

menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran

dan kritik sangat kami harapkan.

Jakarta, Juli 2008

Kepala Pusat Perbukuan

Kata Sambutan


5/138

i v

Puji syuku r k ami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa

atas rahmat-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan buku ini. Buku

ini kami tujukan untuk membantu siswa-siswi SMA Kelas XII Program

Bahasa untuk dapat belajar secara mandir i dalam mempersiapkan

dir i sebagai generasi penerus bangsa, dan secara umu m agar dapat

membantu suksesnya pendidikan nasional dalam rangka

mencerdaskan kehidu pan bangsa.

Di k elas ini k alian kembali belajar m atematik a. Agar k alian

mu dah mempelajarinya, buk u ini disajik an dengan bahasa yang

sederhana dan komun ikatif. Setiap kajian dilengkapi tu gas dengan

arahan kegiatan dan tugas yang sesuai dengan kehidupan sehar i-

hari agar kalian dapat menghubungkan antara konsep dan

penerapannya. Setipa akhir bab juga dilengkapi dengan uji kompetensi

yang bisa mengevaluasi kemampuan kalian dalam memahami materi

yang sudah dijelaskan. Materi yang diberi tanda (**) dimaksudkansebagai pengayaan un tuk siswa.

Ucapan terima kasih kami sampaikan kepada semua pihak yang

tekah membantu terselesaikannya buku ini sehingga dapat disajikan

kepada siswa. Namu n demikian buku ini pastilah t ak lu put dari

kekurangan-keku rangan. Oleh karena itu berbagai macam perbaikan

termasuk saran dan kri tik dari pembaca sangat kami harapkan demi

kesempurnaan buku ini.

Tim Penyusun

Kata Pengantar


6/138

v

Pet a Konsep mempermudah

alur berpikir dan pemahaman

materi sehingga lebihsistematis.

Petunjuk Penggunaan Buku

Kata Kunci berisi kata-kata

pent in g dalam set iap bab yang

nantinya mempermudah dalammengingat bahan ajar yang

dibahas.

Apersepsi , mengantarkan siswa kepada

materi yang akan dipelajari. Berisiur aian singkat, contoh penerapan, dan

prasyarat yang haru s dikuasai.

In fomedia berisi pengetahuan

um um atau wawasan yang

berkaitan dengan materi yangdibahas.

Sudut Matemat ika berisi

kegiatan yang menuntutkemampuan analisis dan sikap

kritis siswa.


7/138

v i

Kegiatan menulis disajikan sebagai tugas

yang dapat mengungkap kemampuan analisis

siswa.

Latihan setiap akhir subbab disajikan untuk menguji

kemampuan siswa setiap subbabnya.

Rangkuman merupakan intisari materi sehingga

memudahkan siswa mengingat inti dari materi.

Uji Kompetensi disajikan untuk meningkatkan

kemampuan siswa memahami materi satu bab dan

sebagai latihan dalam satu bab.

Refleksi disajikan untuk mengungkap kesan

siswa setelah mempelajari suatu bab.

Latihan Semester pada tiap akhir

semester untuk menguji kemampuan

siswa dalam satu semester.


8/138

v i i

Daftar Simbol

Not asi Ket erangan Halam an

> Lebih dar i atau sama dengan 2, 7, 8, 9

< Kurang dari atau sama dengan 2, 7, 8, 9

> Lebih dar i 2, 93, 95

< Kurang dar i 2, 93, 95

a b

c d

, Mat r ik s 25, 27, 29, 30, 31, 32, 34,

35, 40, 45, 51, 52, 55, 57,

58, 59, 62, 63

a b

c d

l imn Limit n menuju tak hingga 96, 97

At Transpose matr iks 29, 34

| A| Determinan matr iks A 51, 52, 53, 59, 65

I Mat r iks ident i tas 30

A-1 Invers matr iks A 55, 57, 59, 60

Un

Suku ke-n 81, 82, 85, 86, 90, 100

b Beda bar isan ar itmet ika 81, 82, 90

a Suku per tama bar isan 81, 82, 86, 90, 97

r Rasio bar isan geometr i 85, 86, 93, 97, 103

Sn

Jumlah n suku per tama deret 90 , 93, 97

Sigma, jumlah dar i 100,101

| | Harga mu t lak , n i lai mut lak 95


9/138

v i i i

3

1

Daftar Isi

Kata Sambutan - iiiKata Sambutan - iiiKata Sambutan - iiiKata Sambutan - iiiKata Sambutan - iii

Kata PengantarKata PengantarKata PengantarKata PengantarKata Pengantar - iv- iv- iv- iv- iv

Petunjuk Penggunaan BukuPetunjuk Penggunaan BukuPetunjuk Penggunaan BukuPetunjuk Penggunaan BukuPetunjuk Penggunaan Buku -v-v-v-v-v

Daftar SimbolDaftar SimbolDaftar SimbolDaftar SimbolDaftar Simbol -vii-vii-vii-vii-vii

Daftar IsiDaftar IsiDaftar IsiDaftar IsiDaftar Isi - viii- viii- viii- viii- viii

Program LinearProgram LinearProgram LinearProgram LinearProgram Linear - 1- 1- 1- 1- 1

A. Sistem Pertidaksamaan LinearDua Variabel - 2

B. Merancang ModelMatematika Masalah ProgramLinear - 11

Rangkuman - 18

Uji KompetensiUji KompetensiUji KompetensiUji KompetensiUji Kompetensi - 20- 20- 20- 20- 20

Barisan dan DeretBarisan dan DeretBarisan dan DeretBarisan dan DeretBarisan dan Deret ----- 7979797979

A. Barisan - 80

B. Deret - 89

C. Anuitas - 110

Rangkuman - 115


Latihan SemesterLatihan SemesterLatihan SemesterLatihan SemesterLatihan Semester 22222 - 1- 1- 1- 1- 12222222222

2

MatriksMatriksMatriksMatriksMatriks - 23- 23- 23- 23- 23

A. Pengertian Matriks - 24

B. Operasi Aljabar Matriks - 35

C. Determinan dan Invers

Matriks - 51Rangkuman - 67


Latihan Semester 1 - 73Latihan Semester 1 - 73Latihan Semester 1 - 73Latihan Semester 1 - 73Latihan Semester 1 - 73

Daftar PustakaDaftar PustakaDaftar PustakaDaftar PustakaDaftar Pustaka - 125- 125- 125- 125- 125

IndeksIndeksIndeksIndeksIndeks - 126- 126- 126- 126- 126

GlosariumGlosariumGlosariumGlosariumGlosarium - 127- 127- 127- 127- 127

KunciKunciKunciKunciKunci - 128- 128- 128- 128- 128


10/138

Bab

1Program

Linear

Dalam bab ini terdapat beberapa kata kunci yang perlu kalian ketahui.

1. Per t idak samaan l inear 3. Bentuk objekt if2. Ni lai optimum 4. Fungsi tu juan

Peta konsep berikut memudahkan kalian dalam mempelajari seluruh materipada bab ini.

Salah satu ukuran untuk menentukan baik tidaknya suatu model matematis

adalah kemampuan model tersebut membuat prediksi. Apabila sebuah model

matematis dapat membantu membuat suatu prediksi yang lebih baik, maka prediksi

yang dihasilkan akan sangat berarti. Dengan prediksi yang tepat maka seorang

pialang bisa mendapatkan laba maksimum dalam melaksanakan kegiatannya.

Berikut ini akan kalian pelajari salah satu cara yang dapat digunakan untuk

mengoptimumkan suatu model matematika dari masalah-masalah yang mungkin

dialami oleh para pelaku produksi dalam kehidupan.

Program Linear SistemPertidaksamaan

SistemPertidaksamaan

Linear D ua VariabelPada Program Lin ear

Penyelesaian

PtLDV

PenyelesaianSPtLDV

Model matematika

Nilai optimum

menentukan

mempelajari

menentukan

1B a b 1 Program Linear

sebagai d asar


11/138

Matematika XII SMA/MA Program Bahasa2

Dalam mempelajari pokok bahasan program linear ini, caramenentukan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaanlinear dua peubah merupakan prasyarat yang harus dikuasai. Olehkarena itu perlu dipelajari kembali sistem pertidaksamaan linear

berikut.

A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang peubah

bebasnya berbentuk linear (pangkat satu). Kalian tentu masih ingatbentuk -bentuk di bawah in i.

1. 2x 4; pertidaksamaan linear satu peubah2. 3x + y < 0; pertidaksamaan linear dua peubah

3. x 2y 3; pertidaksamaan linear dua peubah4. x + y 2z > 0; pertidaksamaan linear tiga peubah

Dalam bab ini kita hanya akan mempelajari pertidaksamaanl i nea r dengan dua peubah . Gabungan da r i dua a tau l eb ihpertidaksamaan linear dua peubah disebut sistem pertidaksamaanlinear dua peubah.

Contoh sistem pertidaksamaan lineardua peubah adalah sebagai berikut.

3x+ 8y 24 ,x+ y 4,x 0,y 0.

1. Daerah Him punan Penyelesaian Per t idaksamaan L in ear DuaPeubah

Penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dua peubah adalahpasangan berurut (x,y) yang memenuhi pertidaksamaan lineartersebut. Himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan dengansuatu daerah pada bidang kartesius (bidang XOY) yang diarsir.

Un tuk l eb ih memahami dae rah h impunan penye lesa ianpertidaksamaan linear dua peubah, pelajari contoh-contoh berikut.

C ontoh 1.1Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dibawah ini.

a. 2x+ 3y 12 c. 4x 3y< 12b. 2x- 5y> 20 d. 5x+ 3y 15

Sudut Matematika

Meningkatk an Sik ap

Kr i t i s S iswa

Apakah perbedaan linierdan linear? Jelaskan.


12/138


Penyelesaian:

a. Mula-mula d iluk is gar is 2x + 3y = 12 dengan menghubungkantitik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.Titik potong garis dengan sumbu Xberarti y = 0, diperoleh x =6 (titik (6,0)).Titik potong garis dengan sumbu Yberarti x = 0, diperoleh y =4 (titik (0,4)).Garis 2x+ 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadidua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakanhimpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salahsatu t i t ik uj i dar i salah satu sisi daerah. Misalkan diambilt i t i k (0 ,0 ) , kemud ian d isubst i tus ikan ke per t idaksamaansehingga diperoleh:

2 0 + 3 0 < 12

0 < 12

Jadi 0 > 12 salah, ar t inya t idak d ipenuhi sebagai daerahpenyelesaian.

Jadi , daerah penyelesaiannya adalah daerah yang t idakmemuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini.

b. Mu la-mula d iluk is gar is 2x 5y = 20 dengan menghubungkantitik potong garis di sumbu Xdan sumbu Y.Titik potong garis dengan sumbu X y = 0, diperoleh x = 10(titik (10,0))Titik potong garis dengan sumbu Y x = 0, diperoleh y = 4(titik (0,4))Garis 2x 5y = 20 tersebut membagi bidang kartesius menjadidua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakanhimpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil titik ujidar i sa lah satu sis i daerah. Misalkan d iambi l t i t ik (0,0) ,kemud ian d i subs t i tus i kan ke pe r t i daksamaan seh ingga

diperoleh:2 0 5 0 > 200 > 20 (salah), artinya tidak dipenuhi.

Y

4

0 6X


13/138


Jadi , daerah penyelesaiannya adalah daerah yang t idakmemuat titik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar disamping.

c . Mu la-mula d iluk is gar is 4x 3y = 12 dengan menghubungkantitik potong garis di sumbu Xdan sumbu Y.

Titik potong garis dengan sumbu Xmaka y = 0 diperoleh x = 3(titik (3,0))Titik potong garis dengan sumbu Ymaka x= 0 diperoleh y = 4(titik (0,4))Garis 4x 3y = 12 tersebut membagi bidang kartesius menjadidua bag ian . Untuk menentukan daerah yang merupakanhimpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salahsatu t i t ik uj i dar i salah satu sisi daerah. Misalkan diambilt i t i k (0 ,0 ) , kemud ian d isubst i tus ikan ke per t idaksamaansehingga diperoleh:

4 0 3 0 < 120 < 12 (benar) , ar t in ya d ipenuhi sebagai daerah

penyelesaian.Jadi , daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memu attitik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di bawah.

Y

0

-4

10 X

2x5

y=20

Sudut Matematika

Meningkatk an Sik apKr i t i s S iswa

Menurut kalian, selain

digunakan dalam bidang

ekonomi, digunakan dalambidang apakah program

linear itu?

Y

X

4x-3

y=12

3

-4


14/138


d. Mula-mula d iluk is gar is 5x + 3y = 15 dengan menghubungkantitik potong garis di sumbu Xdan sumbu Y.Titik potong garis dengan sumbu Xmaka y = 0, diperoleh x= 3(titik (3,0))

Titik potong garis dengan sumbu Ymaka x= 0, diperoleh y = 5(titik (0,5))Garis 5x+ 3y = 15 tersebut membagi bidang kartesius menjadidua bagian. Untuk menentukan daerah yang merupakanhimpunan penyelesaian dilakukan dengan mengambil salahsatu t i t ik uj i dar i salah satu sisi daerah. Misalkan diambilt i t i k (0 ,0 ) , kemud ian d isubst i tus ikan ke per t idaksamaansehingga diperoleh:

5 0 + 3 0 < 150 < 15 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memu attitik (0,0), yaitu daerah yang diarsir pada gambar di samping.

Berdasarkan contoh d i a tas, cara menentukan h impunan

penyelesaian pertidaksamaan linear dengan dua peubah dapatdilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Lu k i sl ah gar is ax + by = c pada bidang kartesius dengan

menghubu ngkan tit ik potong garis pada sum bu Xdi t i t ik (c

a,0 )

dan pada sumbu Ydi titik (0,c

b).

2 . Sel id ik i sebuah t i t ik u j i yang ter letak d i luar gar is denganca r a m e n yu b s t i t u s i ka n n ya p a d a p e r t i d a ksa m a a n . J i kapertidaksamaan dipenuhi (benar), maka daerah yang memuattit ik t ersebut m eru pakan daerah him punan penyelesaian. Jik apertidaksamaan tidak dipenuhi (salah), maka daerah yang tidak

memuat titik uji merupakan daerah himpunan penyelesaian.

Y

X30

55x+3y=15


15/138


Kegiatan Menulis 1.1

L a t i h a n 1.1

b> 0

Daerah himpunan

p e n y e l e s a i a n

berada di bawah

garis ax+ by = c

Daerah himpunan


berada d i a tas

garis ax+ by = c

b< 0

Daerah himpunan


berada di atas garis

ax+ by= c

Daerah himpunan


berada di bawah

garis ax+ by = c

b= 0

Daerah himpunan


berada di ki ri garis

x = c/a

Daerah himpunan


berada d i kanan

garis x = c/a

Pert idaksamaan

ax+ by < c

ax+ by > c

Lukiskan daerah himpunan penyelesaian setiap pert idak-samaan l inear ber ikut.

1. x> 1 6. 2x+ 7y> 14

2. y < -3 7. x 3y < 93. x+ y > 4 8. 2x+ 5y> 104. 2xy < 2 9. 2x+ y < 45. 3x+ 2y< 6 10. 8x+ 3y> 48

2. Daerah Penyelesaian Sist em Perti daksamaan Linear

a. Menentuk an Daerah Penyelesa ian S istem Per t idak samaanL inear

Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear duapeubah adalah himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam

bidang kartesius yang memenuhi semua pertidaksamaan lineardalam sistem tersebu t. Sehingga daerah him punan penyelesaiannya

Setelah mempelajari contoh di atas, cara menentukan daerahhimpunan penyelesaian tanpa titik uji secara cepat dapatdilihat pada tabel di bawah.

Dari tabel di atas, apa yang dapat kalian simpulkan?


16/138


m e r u p a ka n i r i sa n h i m p u n a n - h i m p u n a n p e n ye l e sa i a n d a r ipertidaksamaan dalam sistem pertidaksamaan linear dua peubahitu. Agar kalian lebih mudah dalam memahami daerah penyelesaiandari sistem pertidak-samaan linear dua peubah, perhatikan contoh-

contoh di bawah ini.

C ontoh 1.2Ten tukan dae rah h impunan penye lesa ian da r i s i s tempertidaksamaan berikut.a. 3x+ 5y< 15 b. x+ y 6

x> 0 2x+ 3y 12 y > 0 x 1

y 2

Penyelesaian:

a. Mula-mula gambar gar is 3x+ 5y =15, x= 0, dan y =0Untuk 3x+ 5y < 15

Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaansehingga diperoleh:

3 0 + 5 0 < 15

0 < 15 (benar), artinya dipenuhiJadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (0,0)

Un tuk x > 0, p i l ih t i t ik (1,1) kemudian d isubst i tusikan kepertidaksamaan sehingga diperoleh:1 > 0 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (1,1)

Un tu k y > 0 , p i l ih t i t i k (1 ,1 ) kemud ian subst i tus ikan ke

pertidaksamaan sehingga diperoleh:1 > 0 (benar), arti nya dipenuh i.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (1,1).

Daerah h impunan penye-lesa ian s i s tem pe r t i dak -samaan merupakan i r isandari k etiga daerah h impu nanpenye lesa ian pe r t i dak -samaan di atas, yaitu sepert iterlih at pada gambar berik utini (daerah yang diarsir).

0

Y

3

5 X


17/138


b. Mula-mula gambar gar is x+ y=6, 2x+ 3y= 12, x= 1, dan y= 2 .Untuk x + y < 6, pilih titik (0, 0), kemudian substitusikan kepertidaksamaan sehingga diperoleh:

1 0 + 1 0 < 6

0 < 6 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (0,0).

Untuk 2x + 3y < 12, pilih titik (0,0), kemudian substitusikanke pertidak-samaan sehingga diperoleh:

2 0 + 3 0 < 12

0 < 12 (benar), artinya dipenuhi.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (0,0).

Untuk x > 1, p i l ih t i t ik (2,1) kemudian d isubst i tusikan kepertidaksamaan sehingga diperoleh 2 > 1 (benar), art inya

dipenuhi.Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (2,1).

Un tu k y > 2 , p i l ih t i t i k (1 ,3 ) kemud ian subst i tus ikan kepertidak samaan sehi ngga dip eroleh 3 > 2 (benar), art in yadipenuhi.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuattitik (1,3).

Daerah himpunan penyelesaiansistem pertidaksamaan tersebutmerupakan i r i san dar i ke t iga

daerah himpunan penyelesaianpertidaksamaan di atas, yangseperti terlihat pada gambar disamping (daerah yang diarsir)

Y

6

4

2

0 6X

Kegiatan Menulis 1.2Berdasa r con toh d i a tas , baga imana langkah - langkahmenentukan daerah himpunan penyelesaian dari sebuahsistem pertidaksamaan linear dua peubah?


18/138


b. Menentuk an Sis tem Per t idak samaan j i ka Daerah HimpunanPenyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua PeubahD ike tahu i

Ca r a m e n e n tu ka n d a e r a h h i m -punan penye lesa ian da r i s i s temper t idaksamaan l inear dua peubahtelah dipelajari sebelumnya. Sekarangbagaimana menentukan sistem per-t idaksamaan j i ka daerah h impunanpenyelesaiannya yang diketahui? Untukitu simaklah beberapa contoh di bawahin i .

C ontoh 1.3Daerah yang diarsir di bawah ini merupakan daerah himpunanpenyelesaiaan dar i suatu sistem per t idaksamaan l inear dua

peubah. Tentukanlah sistem pertidaksamaan tersebut.

a. b.

Penyelesaian:

a. Garis l1 melalui titik (2,0) dan (0,2), persamaan garis l1adalah:

1 22 2

x yx y

Garis l2

melaui titik (1,0) dan (0,2), persamaan garis l2

adalah:

1 2 21 2

x yx y

Dari gambar terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaian(yang diarsir) berada di bawah garis l

1, di atas garis l

2, di kanan

sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannyaadalah:x+ y < 2, 2x+ y > 2, x> 0, dan y > 0

Y

X210

l2 l1

2

0

-1

2 4X

l2

l1

4

Y

S is tem pe r t i daksamaan

linear merupakan ir isan daribeberapa pertidaksamaan

linear.

Infomedia


19/138


b. Gar is l1

melalui titik (4,0) dan (0,4), persamaan garis l1

adalah:

1 44 4

x yx y

Garis l2 melalui tit ik (2,0) dan (0,1), persamaan garis l2 adalah:

1 2 22 1

2 2

x yx y

x y

Dari gambar terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaian(yang diarsir) berada di bawah garis l

1, di atas garis l

2, di kanan

sumbu Y, dan di atas sumbu X. Sistem pertidaksamaannyaadalah:

x+ y < 4, x 2y < 2, x> 0, dan y > 0

Kegiatan Menulis 1.3Setelah mempelajari contoh di atas, coba kalian simpulkanlangkah-langkah menentukan sistem pertidaksamaan j ikadaerah himpunan penyelesaiannya yang diketahui?

L a t i h a n 1.21. Tentuk an daerah h impunan penyelesa ian dar i s istem

pertidaksamaan berikut.a. 3x+ 8y> 24, x+ y > 4, x > 0 dan y > 0b. x+ y > 3, x+ 2y > 4, x> 1, dan y > 0c. x+ 2y < 8, 4x+ 3y < 24, x> 0, dan y > 1d. 2x+ y < 40, x+ 2y < 40, x> 0, dan y > 0e. x+ 2y > 10, x+ y > 8, dan xy > -4f. x+ 3y> 30, 5x+ y > 50, dan 5x+ 3y > 90g. x+ y > 5, 0 < y < 3, dan x> 0h . 1 < x< 4 dan 0 < y < 4i . x+ y < 20, 0 < y < 10, dan x> 0j . yx> 4, 2x+ y < 8, 0 < x< 6, dan y > 0

2. Ten t u k a n si s t em p er t i d a k s a m a an y an g h i m p u n a npenyelesaiannya adalah daerah yang diarsir pada gambar -gambar di bawah ini.


20/138


a. c.

b. d.

B. Merancang Model Matematika Masalah Program LinearPada awalnya program linear dikembangkan oleh W.W. Leontife,

seorang ahli ekonomi, yang berupa analisis dari metode input-output(metode masukan dan keluaran). Kemudian dilanjutkan Hitchock(1941) dan Koopmans (1947) yang mempelajari m asalah tr ansportasi.Selanjutnya G.B. Dantzig (1948) memperkenalkan sebuah metodeyang dapat digunakan untu k menentu kan solusi optim um yang serin gdisebut dengan metode simpleks.

Dalam sebuah perusahaan sering menggunakan program linearini untuk menyelesaikan masalah pengoptimalan yang merekahadapi, seperti pemaksimalan keuntungan, peminimuman biayaproduksi dan sebagainya. Misalkan sebuah perusahaan roti inginmemproduksi dua jenis roti. Setiap jenis roti memerlukan bahantepung dan mentega. Jenis roti I membutuhkan 200 gram tepung

dan 75 gram mentega, sedang jenis roti II membutuhkan 100 gramtepung dan 50 gram mentega. Jika tersedia 100 kg tepung dan 25 kg

Y

3

2

2 3

Y

0X

4

2

2 4

Y

4

0

-2

2 6

-2 0 6X

-2

-6

Y

X

X

0


21/138


mentega berapa roti jenis I dan jenis II yang dapat dibuat supayamemperoleh jumlah yang sebanyak-banyaknya, sedang untuk bahanyang lain cukup tersedia?

Contoh di atas adalah salah satu persoalan yang menyangkutprogram linear. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, soal harusditerjemahkan lebih dahulu dalam model matematika.

1 . Model Mat em at i k a

Dalam menyelesaikan masalah yang menyangkut programl inear , mode l matemat ika sangat d ibu tuhkan. Da lam mode lmatematika nantinya akan terlihat fungsi tujuan dan fungsi batasan.Fungsi tu juan adalah fungsi yang menunjukkan sasaran dar ipengoptimalan yang mungkin dicapai berdasar batasan-batasan yangada. Agar kalian lebih memahami tentang model matematika dancara pembuatannya perhatikan beberapa contoh berikut ini.

C ontoh 1.4a. Seorang pedagang sepeda ingin m embeli sepeda balap dan

sepeda motor sebanyak 25 bu ah un tu k persediaan. Harga sebuahsepeda balap Rp1.500.000,00 dan sepeda motor Rp8.000.000,00 .Jika modal yang dimil iki Rp100.000.000,00 buatlah modelmatematika dari permasalahan tersebut.

b. Ali menjual es krim dalam termos yang paling banyak memuat500 bungkus. Harga es krim jenis I Rp2.000,00 dan jenis IIRp1.000,00. Jika modal yang tersedia Rp1.100.000,00 dan labamasing-masing jenis es krim Rp200,00 dan Rp250,00 buatlahmodel matematika untuk permasalahan tersebut.

c . Makanan A d ibuat dar i 4 ons tepung dan 2 ons mentega,sedangkan makanan B dibuat dari 3 ons tepung dan 3 ons

mentega. Pengusaha makanan mempunyai 6 kg tepung dan4,5 kg mentega. Jika harga makanan A Rp5.000,00 per buahdan makanan B Rp3 .000 ,00 pe r buah , ten tukan mode lmatematika dari permasalahan tersebut.

Penyelesaian:

Untuk memudahkan dalam membuat model matematika daripermasalahan di atas, terlebih dahulu disusun dalam sebuah tabelyang menggambarkan unsur-unsur yang ada.

a. Misalkan banyaknya sepeda balap yang mungkin dibeli x buahdan sepeda motor ybuah, dengan demik ian t abel pemodelannyaditunjukkan sebagai berikut.


22/138


Sepeda SepedaModal

Pertidak-Balap (x) Mot or (y) sam aan

Harga (dalam 15 80 1000 15x+ 80y 0y > 0, dengan x, y cacah.

b. Misalkan banyaknya es kr im jen is I yang mungkin d i jua l xbuah dan es krim jenis II y buah. Tabel pemodelannya sebagaiberikut.

Es k r i m Es K ri mModal

Pertidak-Jen i s I Jeni s I I sam aan

(x) (y)

Harga(dalam 2.000 1.500 1.100.000 2000x+1500yr ibu an) 0y > 0,(syarat nonnegatif)Dengan fungsi tujuan memaksimumkan 200x + 150y; x, y cacah.


23/138


c. Misalkan banyaknya makanan A yang mungkin dibuat x buahdan makanan B y buah. Tabel pemodelan masalahnya sebagaiberikut.

Bahan Mak an an A Mak an an B Per sed i aan Per t i dak -(x) (y) Bah an sam aan

Tepung 4 ons 2 ons 60 ons 4x+ 2y< 6 0

Mentega 3 ons 3 ons 45 ons 3x+ 3y< 4 5

Har ga Rp5.000,00 Rp3.000,00 5.000x+3.000y

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:4x+ 2y< 603x+ 3y< 45Karena banyak makanan tidak mungkin negatif maka harusditambahkan syarat nonnegatif yaitu:x, y > 0(syarat nonnegatif)

Dengan fungs i tu juan memaksimumkan 5 .000x + 3.000y;x, y cacah.

2 . Ni l ai Opt im um Suatu Fungsi Objek t i f

a . Penger t i an Fungsi Objek t i f

Dari Contoh 1.4b, diperoleh model matematika sebagai berikut.

2.000x+ 1.500y< 1.100.000x+ y< 500

. . . . (1)x> 0

y > 0(syarat nonnegatif)dengan fungsi tu juan memaksimumkan 200x + 150y . . . (2);x, y cacah.

Persamaan (1) disebut fungsi batasan atau fungsi kendala,sedang persamaan (2) disebut fungsi tujuan.

Coba kalian baca lagi Contoh 1.4, m ana yang merupakan fun gsibatasan dan mana yang merupakan fungsi tujuan?

Dari contoh-contoh d i atas terdapat fu ngsi yang dioptim um kan(dimaksimumkan atau diminimumkan). Fungsi yang demikian itusering disebut dengan fungsi objektif. Jadi secara umum bentukobjektif dapat ditulis sebagai berikut.

ax+ by . . . . (3)


24/138


b. Menen tukan Ni l a i Op t imum Fungsi Objek t i f

Dalam menentukan nilai optimum dari suatu fungsi objektifpada umumnya sering menggunakan metode grafik dan metodesimpleks. Metode grafik sering digunakan untuk menyelesaikanmasalah program linear dua peubah, karena metode grafik relatifmudah dan leb ih prakt is. Sedangkan metode simpleks padaumumnya digunakan untuk memecahkan masalah program lineartiga peubah atau lebih. Karena kita mempelajari program lineardua peubah maka metode yang digunakan adalah metode grafik.

Langkah-langkah yang harus ditempuh dalam menyelesaikanpersoalan program linear dengan menggunakan metode grafikadalah sebagai berikut.

1 ) Mengubah soa l cer i t a men jad i model matemat ik a denganmengident i f ikasi fungsi batasan atau kendala dan fungsitujuannya.

2) Menggambar semua gar is yang merupakan fungsi kendaladalam koordinat kartesius.

3) Menentuk an daerah himpu nan penyelesaian yang memenuhisemua fungsi kendala dengan mengarsir daerah himpunanpenyelesaian tersebut.

4) Menentukan ni lai optimum dari fungsi tujuan yang diketahui.

Dalam menetukan nilai optimum ini dapat dilakukan dengandua cara yaitu dengan metode titik sudut dan metode garis selidik.

C ontoh 1.5Dari Contoh 1.4c, diperoleh model matematika sebagai berikut.4x+ 2y< 603x+ 3y< 45

x, y > 0(syarat nonnegatif)dengan fu ngsi t uju an 5.000x + 3.000y ; x, y cacah.Tentu kan n ilai xdan ysehingga bentuk 5.000x+ 3.000y, maksimum .

Penyelesaian:

Cara I (menggambar semua pertidaksamaan)

Langkah 1

Dari soal telah diketahui model matematikanya sebagai berikut.4x+ 2y< 603x+ 3y< 45x, y > 0

dengan fu ngsi t uju an 5.000x + 3.000y ; x, y cacah.


25/138


Langkah 2

Menggambar semua garis dar i fungsikendala.

Langkah 3M e n e n tu ka n d a e r a h h i m p u n a npenyelesaian, sehingga diperoleh daerahyang diarsir.

Langkah 4

Menentukan nilai optimum fungsi tujuan5.000x+ 3.000y, sebagai berikut.

Cara I (dengan met ode t i t ik sudut )

T i t i k F= 5.000x + 3.000y

(0,0) 5.000(0) + 3.000(0) = 0

(15 ,0) 5.000(15) + 3.000(0) = 75.000(0,15) 5.000(0) + 3.000(15) = 45.000

Berdasarkan hasil pada perhitungan tabel di atas nilai maksimumfungsi objektif 5.000x + 3.000y adalah 75.000 dan dicapai dititik(15,0). Dari sini dapat disimpulkan agar pembuat roti memperolehpendapatan yang paling besar, maka dia harus membuat 15 buahmakanan A dan tidak memproduksi makanan B.

Cara II (metode garis selidik)

Cara lain untuk menentukan nilaioptimum suatu program linear adalah

menggunakan ga r i s se l i d i k . Ga r i ssel id ik (k) d ibuat dar i fungsi tu juanp rog ram l i nea r te r sebu t . Denganmenggeser-geser garis tersebut padat i t i k p o j o k - t i t i k p o j o k d a e r a hpenyelesaian sistem pertidaksamaanlinear tersebut.

Dari soal di atas dapat dibuat tabelsebagai berikut.

Cara ini dil aku kan dengan menggambar

ga r i s 5 .000 x + 3 .000 y = k u n t u k

bebe rapa n i l a i k , seh ingga gar is

te r sebu t meny inggung dae rahhimpunan penyelesaian dengan nilai k

30

15

5

0 3 15

g2

g1 g3

Y

X

30

15

0 15

Y

X


26/138


K egiat an M enul i s 1.4

L a t i h a n 1.3

Coba kal ian simpulkan langkah-langkah menentukan ni laioptimum dengan menggunakan garis selidik! Bagaimana untukmasalah meminimumkan?

1. Sebuah pesawat penumpang mempunyai tempat duduk

tidak lebih dari 50 penumpang yang terdir i atas dua kelas.Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasimaksimum 30 k g dan untu k kelas ekonomi maksimum 20kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.000 kg. Hargat ike t ke las u tama Rp150.000,00 dan ke las ekonomiRp100.000,00. Agar pendapatan dar i penjualan t iketmaksimum, tentukan banyaknya tempat duduk untukmasing-masing kelas yang harus tersedia.

2. Untu k menghasi lkan barang A seharga Rp2.000,00 perbuah diperluk an bahan baku 30 kg dan waktu k erja mesin18 jam. Sedangkan ba rang B yang juga be rha rgaRp2.000,00 memerlu kan bahan baku 20 kg dan waktu kerja

mesin 24 jam. Tentukan nilai maksimum produk selama720 jam dan jik a bahan bak u yang tersedia 750 k g.

terbesar. Misalkan k = 15.000 sehingga diperoleh persamaan garis

5.000x+ 3.000y = 15.000 atau 5x+ 3y = 15. Kemudian gambarkan

garis tersebut pada gambar di atas, dari gambar tampak lebih dari

satu titik pada garis tersebut yang menyinggung daerah himpunan

penyelesaian. Oleh karena i tu gar is 5x + 3y = 15 kita geser

ke kanan. Misa lkan k = 45.000, m aka persamaan gar is menjadi

5x + 3y= 45 dan diwakili oleh garis g2pada gambar. Tampak m asih

terdapat lebih satu titik pada garis tersebut yang menyinggung

daerah penyelesaian. Kemudian garis 5x + 3y = 45 kita geser lagi

menjadi garis g3, yang menyinggung daerah penyelesaian di (15,0)

dengan persamaan 5x + 3y = 75. Artinya, bentuk objektif tersebut

akan maksimum u ntuk x = 15 dan y = 0 dengan nilai maksimum5.000(15) + 3.000(0) = 75.000.


27/138


3. Luas daerah park i r 360 m 2. Luas rata-rata untuk sebuahmobil 6 m 2 dan sebuah bus 24 m 2. Daerah tersebut hanyamemuat tidak lebih dari 30 kendaraan. Tentukan jumlah

uang maksimum yang dapat diperoleh tukang parkir jikab iaya park i r sebuah mob i l Rp500,00 dan un tuk busRp1.000,00.

4. Den ga n m en ggu n a ka n d u a m a cam te n da , 70 o r an gpramuka mengadakan kemah. Tenda per tama dapatmenampun g 7 orang, harganya Rp20.000,00. Tenaga keduahanya menampung dua orang saja harganya Rp4.000,00.Banyaknya tenda yang d ibu tuhkan t i dak l eb ih da r i19 buah. Berapa jumlah tenda pertama dan kedua yangharus dibeli agar pengeluaran seminim mungkin? Berapabiaya minimal untuk membeli tenda?

5. Seorang pedagang beras membeli beras jenis I dengan

harga Rp2.000,00/ kg dan beras jenis II Rp3.000,00/ kg.Uang yang dimiliki pedagang tadi sebesar Rp500.000,00.Jika kiosnya hanya memuat 200 kg beras dan bila dijuallagi mendapat unt un g unt uk jenis I Rp200,00/ kg danunt ung jenis II Rp250,00/ kg, berapa laba maksimu m yangdiperoleh pedagang itu?

R a n g k u m a n1. Langkah- langk ah menentuk an h impu nan penyelesaian

pertidaksamaan linear dengan dua peubah:

a . Lu k isl ah gar is ax+ by= cpada bidang k artesius denganmenghu-bungkan titik potong garis pada sumbu X di

t i t ik ( ca

,0) dan pada sumbu Ydi titik (0, cb

).

RefleksiBuatlah rangkuman dari internet atau sumber lain berkaitan

dengan mater i program l inear ini . Buatlah dalam bentuklaporan.


28/138


b. Sel idiki sebuah t i t ik uj i dengan cara mensubsti tusi-kannya pada pertidaksamaan. Jika pertidaksamaandipenu hi, m aka daerah yang memu at tit ik uji tersebut

merupakan daerah himpunan penyelesaian.2. Daerah himpunan penyelesaian ax + bx < c, untuk:

a. b > 0, daerah himpunan penyelesaian berada di bawahgaris ax+ by= c.

b. b < 0, daerah himpunan penyelesaian berada di atasgaris ax+ by = c.

c. b = 0, daerah himpunan penyelesaian berada di kirigaris ax+ by = c.

3. Daerah himpunan penyelesaian ax + bx > c, untuk:

a. b > 0, daerah himpunan penyelesaian berada di atasgaris ax+ by= c.

b. b < 0, daerah himpunan penyelesaian berada di bawah

garis ax+ by= c.

c. b = 0, daerah himpunan penyelesaian berada di kanangaris ax+ by= c.

4. L an g k ah - l a n gk a h d a l a m m e n yel esa i k a n p er s oa l anprogram linear dengan metode grafik, yaitu:

a. Mengubah soal cerita menjadi model matematika.

b. Menggambark an semua garis yang merupakan fungsikendala dalam koordinat kartesius.

c . Menentuk an daerah h impunan penyelesaian yangmemenuhi semua fungsi kendala dengan mengarsirdaerah himpunan penyelesaian tersebut.

d. Menentuk an n i lai opt imum dar i fungsi tu juan yangdiketahui .


29/138


A. Ber i l ah t anda si lang (X) pada huruf a, b, c, d, atau e yangkalian anggap benar.

1 . Da er a h h i m p u n a n p en yel esai an x 0 , y 0 , x + y 8 ,2x+ 5y 10, x, y R. Maka nilai maksimum untu k x+ 2ypadahimpunan penyelesaian tersebut adalah . . . .a. 20 d. 5b. 16 e. 4c. 8

2. Daerah himpunan penyelesaian untuk 2x+ y 40 , x+ 2y 40 ,

x

0, y

0 adalah berupa . . . .a. t rapesium d. segi t igab. persegi panjang e. persegic. segi em pat

3. Daerah yang diarsir pada gambar disamping adalah himpunan jawabandari . . . .

a. {(x,y) | x 0, y 0, x+ 2y 2, 3x+ 4y 12 }

b. {(x,y) | x 0, y 0, x+ 2y 2, 3x+ 4y 12 }c. {(x,y) | x 0, y 0, x+ 2y 2, 3x+ 4y 12 }d. {(x,y) | x 0, y 0, x+ 2y 2, 3x+ 4y 12 }e. {(x,y) | x 0, y 0, x+ 2y 2, 3x+ 4y 12}

4. Daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan:3x+ 8y 24x+ y 4x 0 dan y 0x, y R adalah . . . .a. I d. IVb. I I e. Vc. III

Y

3

1

0 2 4X

I

I I

I I I

IV

V

x+ y= 43x+ 8y= 24

X

Y

U j i K o m p e t e n s i


30/138


5. Titik berikut ini yang merupakan anggota himpu nan penyelesaiandari sistem pertidaksamaan linear: x + 3y 30, 5x + y 50 dan5x+ 3y 90 adalah . . . .a. (10,12) d. (20,3)

b. (5,20) e. (25,2)c. (15,5)

6 . Ni lai m in imum dar i 2x + 3y pada himpunan penyelesaian darisistem pertidaksamaan linear x + y 3 dan x + 2y 6 adalah. . . .a. 3 d. 7b. 5 e. 8c. 9

7. Suatu masalah dalam program l inear setelah diter jemahkanke dalam model matematika adalah sebagai berikut: x + y 12,x + 2y 16, x 0 dan y 0. Ji ka fungsi objekt if 2x + 5y = k,maka nilai optimum adalah . . . .

a. 52 d. 24b. 40 e. 12c. 36

8. Sebuah lapangan parki r dapat memuat sebanyak-banyaknya15 mobil. Setiap tempat parkir 3 mobil, hanya dapat dipakaiparkir untuk sebuah bus saja. Jika banyaknya mobil x danbanyaknya bus y, maka model matematika dari persoalantersebut di atas adalah . . . .a. x 0, y 0; x+ 3y 15b. x 0, y 0; x+ 2y 15c. x 0, y 0; 3x+ y 15d. x 0, y 0; 3xy 15

e. x 0, y 0; x 3y 159.

Jika segi l ima OABCD merupakan himpunan penyelesaianprogram l inear, maka m aksimu m fungsi sasaran x+ 3y terletakdi titik . . . .a. O d. Cb. A e. Dc. B

A (6,0)

B (5,3)

C (2,5)

D (0,3)

O


31/138


10. Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlu kan 4 un sur x dan6 unsur y per minggu u ntu k masing-masing hasil produk sinya.Setiap tas memerlukan 2 unsur x dan 2 unsur y. Bila setiaptas untung Rp3.000,00 dan setiap sepatu untung Rp2.000,00,

maka banyak tas dan sepatu yang dihasilkan per minggu agardiperoleh untung yang maksimal adalah . . . .a. 3 tasb. 4 tasc. 2 sepatud. 3 sepatue . 2 tas dan 1 sepatu

B. Jawablah pert anyaan-pert anyaan di bawah in i dengan benar.

1. Untuk membuat ku e tersedia ter igu sebanyak 1.750 gr dan1.200 gr mentega. Untuk membuat k ue A diperlu kan 5 gr t erigu

dan 3 gr mentega, sedangkan untuk kue B diperlukan 5 grmentega dan 4 gr terigu. Direncanakan akan dibuat x buahkue A dan y buah kue B. Tentukan model matematika daripersoalan tersebut.

2. Minuman A yang harganya Rp2.000,00 per botol dijual denganlaba Rp400,00 per botol, sedang minuman B yang harganyaRp1.000,00 per botol dijual dengan laba Rp300,00 per botol.Seorang pedagang minuman punya modal Rp800.000,00 dankiosnya maksimum dapat menampung 500 botol minuman.Tentukan banyaknya minuman yang harus d ia jua l agarkeuntungannya maksimal.

3. Ten t u k a n si st em p er t i d ak -

samaan yang memenuhi daerahyang d ia rs i r pada gambar d isamping.

Y

9

5

0 3 4X


32/138

Bab

2Ma t r i k s

Dalam bab ini terdapat beberapa kata kunci yang perlu kalian ketahui.

1. Transpose 3. Inver s2. Deter m inan 4. Ordo

Peta konsep berikut memudahkan kalian dalam mempelajari seluruh materipada bab ini.

23

Seringkali kita berbelanja secara borongan tanpa terlebih dahulu mengetahuiharga untuk masing-masing barang. Di waktu lain terkadang kita mengulangimelakukan hal tersebut. Masalah ini bisa kita selesaikan dengan memanfaatkan

penggunaan matriks. Dengan matriks, kita dapat menyusun harga dan jumlah

barang-barang sebagai kombinasi baris dan kolom dalam matriks. Dengan sedikit

operasi matr iks, ki ta akan dapat menentukan harga masing-masing barang.

Bagaimana hal itu bisa dilakukan? Agar dapat menjawab masalah-masalah seperti

itu, pelajari materi matriks beriku ini. Kenalilah bagaimana matriks dengan sifat

dan operasinya, determinan, invers, serta penerapannya.

B a b 2 Matriks

Matr iks Pengertian Matrik s

Determinan danInvers Matriks

Ordo

Kesamaan Matriks

Operasi AljabarMatr iks

Matriks Transpose

Penjumlahan

Pengurangan

Perkalian

Determinan

Invers

Penerapan

mencakup

meliputi

mencakup

menjabarkan

menjabarkan

menentukan


33/138

24 Matematika XII SMA/MA Program Bahasa

A . Pengertian MatriksInformasi seringkali disajikan dalam berbagai model. Sebagai

contoh, hasil sementara Liga Indonesia 2005 disajikan dalam tabelber ikut.C ontoh 2.1

Sumber: Suara Merdeka, 11 April 2005.

C ontoh 2.2Jumlah siswa kelas XII yang tidak masuk pada hari Jumat, 25Maret 2008.

K el as Sak i t Izi n Tanpa Ket erangan

IIIA 0 4 2

IIIB 1 2 0

IIIC 2 5 3

IIID 3 1 1

Kalian tentu ingat bagaimana membaca data dalam tabel.Pelajari pul a bagaimana menyaji kan data dalam tabel. Kedua materii tu akan sangat membantu kal ian mempelajar i mater i matr iks.Sebagai penerapan, bacalah materi bagaimana menyelesaikan

sistem persamaan linear dua variabel.

Liga Indonesia 2005Klasemen sementaraWilayah I

1. Persi j a 7 6 0 1 15/ 6 182. Ar em a 6 4 1 1 14/ 4 133. Persib 5 4 0 1 9/ 4 134. PSMS 7 3 2 2 10/ 8 115. PSIS 7 3 2 2 9/ 7 116. PSDS 7 3 2 2 13/ 14 117. Persi k ota 5 3 1 1 9/ 6 10


34/138

25B a b 2 Matriks

baris ke-1

baris ke-2

baris ke- i

kolom k e-1

kolom ke-2

kolom ke-j

C ontoh 2.3Koefisien dari variabel dalam suatu sistem persamaan.

Per sa m aan Koef i si en dar i x Koefisien dari y

3x+ 4y = 5 3 4

3x 6y = 7 2 6

Apabila judu l k olom dua baris tersebut d ihil angkan dan susunanbi langan dibatasi dalam tanda kurung, maka disebut m a t r i k s.Matriks dari Contoh 2.1, 2.2, dan 2.3 adalah sebagai berikut.

7 6 0 1

6 4 1 1

5 4 0 1

7 3 2 2

7 3 2 2

7 3 2 2

5 3 1 1

0 0 2

1 4 0

2 5 3

3 1 1

62

43

Setiap bilangan dalam matriks disebut elemen atau unsurmatriks yang letaknya ditentukan oleh baris dan kolom di manaunsur tersebut berada. Misalnya dalam Contoh 2.3, angka 4 adalahunsur pada bar is per tama dan kolom kedua. Sebuah matr iksseringkali dinyatakan dengan huruf besar (kapital).

Misalnya:

3 4

2 6A

M a t r i k s adalah susunan b i langan dalam bentuk persegipanjang yang disusun dalam baris dan k olom.

Bentuk umum suatu matriks:

11 12

21 22 2

1 2

ij

j

i i ij

a a a

a a aA

a a a


35/138



Dari siswa kelas XII di sekolah kalian, susunlah tabel jumlahsiswa berdasarkan jenis kelamin dari masing-masing kelas!Susunlah matriks dari tabel tersebut. Berapa banyak barisdan k olomnya?

L a t i h a n 2.1

1 . D iber i kan mat ri ks:

2 8 7 10 17

3 0 9 6 15

4 3 1 16 2

1 5 12 4 14

P

a. Berapa banyak baris dan kolomnya?b. Sebutkan elemen-elemen pada:

1) baris ke-3 3) baris ke-52) kolom ke-4 4) kolom ke-1

c. J ika aij mewakili elemen-elemen yang berbeda di bariske-i dan kolom ke-j, sebutkan elemen-elemen:1) a

324) a

24

2) a23 5) a333) a42 6) a11

2. Untuk matr iks-matr iks di bawah ini , berapa banyak barisdan kolomnya?

a. 5,0,3,1 d.

01

10

b.

0652

2130e.

3

1

0

c.

252

143

021

f.

196562121040

104731


36/138

27B a b 2 Matriks

3. Suatu industr i rumah yang membuat dua jenis kue yaitukue I dan kue II. Untuk menghasilkan kue I diperlukan52 kg tepung, 90 butir telur, dan 14 kg gula. Sedangkan

untu k membuat k ue II diperluk an 46 kg tepung, 82 butirtelur, dan 10 kg gula. Nyatakan uraian tersebut dalambentuk matriks kemudian tentukan ukuran matriks danmasing-masing elemennya.

4 . Untuk set iap sis tem persamaan d i bawah in i , tu l i slahmatriks koefisien variabelnya.a. 3a 5b= 12 c. 7a+ 2b= 20

2a+ 4b= 9 7b= 14b. 3a 12b= -4

a 6b= 185. Car i lah contoh-contoh in formasi yang d isaj ikan dalam

bentuk matriks dalam surat kabar atau majalah.6. Tul is lah tabel ber iku t dalam bentuk matr iks! Sebutkan

banyak baris dan k olomnya.Resep biskuit (berat dalam satuan 25 gram dan susudalam sendok makan)

Gandum Men t ega Gu l a Susu Tel ur

Bisku it mentega 12 4 4 0 0

Biskuit biasa 8 0 1 2 1

1. Or do Mat r ik s

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dikutioleh banyaknya kolom.

0 1 0 11 0

= 0 0 2 = 1 2 3 = 2 =3 5

0 3 0 5

P B D E

Ordo matriks P adalah 3 3, karena terdiri atas 3 baris dan 3kolomOrdo matriks B adalah 1 3, karena terdiri atas 1 baris dan 3kolomOrdo matriks D adalah 3 1, karena terdiri atas 3 baris dan 1

kolomOrdo matriks E adalah 2 2, karena terdiri atas 2 baris dan 2kolom.


37/138


Apabila banyaknya baris dalam suatu matriks sama denganbanyaknya kolom, matriks tersebut disebut matr iks persegi . Eadalah matriks persegi berordo 2.

L a t i h a n 2.21. Seb u t k a n or d o da ri m a t r i k s b er i k u t d an t en t u k a n

banyaknya elemen.

a.

6

7

9

4

2

c.

454623

1002

711

b.

20316

54321d.

803

712

501

2. Ber i lah contoh dari matr iks-matr iks ber ikut .a. A berordo 3 3 d. Dberordo 2 5b. Bberordo 2 3 e. Eberordo 3 3c. Cberordo 4 2 f. Fberordo 4 4

3. Matr ik s B dan D pada contoh masing-masing disebutmatrik s baris dan kolom. Apakah perbedaannya?

Unt uk soal nomor 4 sam pai dengan 5, perhati kan perist i waber iku t .

Seorang Sosiolog melakukan survei tentang hubungan sosialantara lima orang siswa. Kepada mereka diajukan pertanyaan:Dengan siapa akan nonton f i lm dan kepada siapa akanmeminjamkan uangnya? Hasilnya dinyatakan pada matriks Pdan Q berikut ini (1 artinya ya, 0 artinya tidak).


38/138

29B a b 2 Matriks

dengan dengan

A B C D E A B C D E

A 0 1 1 1 1 A 0 0 0 1 1

B 0 0 1 1 1 B 1 0 0 1 0

C 1 0 0 1 0 C 0 0 0 1 0

D 0 1 1 0 1 D 1 1 0 0 1

E 1 0 0 1 0 E 0 1 1 0 0

P Q

4. a . Berapakah ordo masing-masing matr iks?b. Apakah jen is kedua matr iks?

5. a. Apakah A suka ke b ioskop dengan B? Apakah B sukapergi ke bioskop dengan A?

b. Dengan siapa D senang pergi menonton?c. Apa maksud dari O pada baris ke-4 dan kolom ke-3

pada matrik s Q?

d. Mengapa unsur pada diagonal utama matrik s di atas nol?

2 . Macam - m acam Mat r i k s

Berikut ini akan dijelaskan beberapa macam matriks. Setiapjeni s mat r ik s memi lik i ci r i -c i r i tertent u .a. Su at u m at rik s A

mndisebut matriks persegi bila m = n.

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

n

n

n n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

Dalam hal ini a11

, a22

, a33

, , ann

disebut unsur-unsur di agonal .Ordo dari A

nnadalah n.

Contoh matriks persegi berordo 3:

33

1 3 1

2 2 1

1 3 2

A

b. Matr iks ska la r didefinisikan sebagai matriks persegi yang

berordo 1. Contoh matriks skalar Radalah R= 2 .Suatu matr iks disebut matr iks d iagona l bi la unsur-unsurselain unsur diagonalnya adalah nol.


39/138


L a t i h a n 2.3

Contoh matriks diagonal D berordo 4 :

4 4

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 00 0 0 1

D

c . Suatu mat ri ks d isebut matr iks satuan atau matr iks i dent i tasbila unsur-unsur diagonalnya bernilai 1 dan unsur yang lainbernilai 0.

Contoh matriks satuan Iberordo 5:

5 5

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

I

d. Matriks segitiga atas adalah m atrik s persegi yang unsur-u nsur

di bawah diagonalnya adalah nol. Sedangkan matr iks segit igabawah ada lah matr iks perseg i yang unsur -unsur d i a tasdiagonalnya nol.

Contoh matriks segitiga atas A berordo 3:

4 1 1

0 2 3

0 0 1

A

Matriks segitiga bawah B berordo 4:

1 0 0 0

0 3 0 0

1 4 6 0

3 2 4 1

B

Tentukan x, y, dan z agar matr iks-matr iks ber ikut samadengan transposnya.

a.

1

0 2 3

3 1

x z

A

y

c.

0 2 0 2

1 3 4 4 2

2 4 5 2 0

0 4 3 2 7

2 0 7 0

x x

C z

y

y


40/138

31B a b 2 Matriks

b.

1 1 2 4

1 0 1

1 2 62 1 3 1

z

zB

xy x

3 . K esam aan Mat r i k s

Dua buah matriks A dan Bdik atakan sama, apabila:a. Or don ya sam ab. Elemen-elemen yang seletak pada kedua matrik s tersebut ju ga

sama.Perhatikan dua matriks berikut.

3 1 0 3 1 0= dan =

2 6 4 2 6 4

A B

Karena A dan Badalah matriks berordo 2 3 dan setiap u nsurseletak sama, maka A = B.

Perhatikan juga matriks Pdan Qdi bawah ini.

- 5 3 1= dan =

2 + 2 5

x yP Q

x y . Jika P= Q tentuk an nilai x dan y.

Dengan menggunakan sifat kesamaan matriks diperoleh P = Q.

5 3 1

2 2 5

x y

x y

. Dari kesamaan tersebu t diperoleh x - y = 3

dan x + y = 5. Dengan menggunakan eliminasi y diperoleh:

3

5

2 8

4

x y

x y

x

x

Nilai x = 4 jika disubstitusikan ke persamaan x - y = 3 diperoleh:

3

4 3

4 3

1

x y

y

y

y

Jadi diperoleh nilai x= 4 dan y = 1


41/138



L a t i h a n 2.4

D u a b u a h m a t r i k s11 12 11 12

21 22 21 2 2

= dan =a a b b

A Ba a b b

dikatakan sama jik a a11

= b11

, a12

= b12

, a21

= b21

, dan a22

= b22

.

Coba kalian diskusikan bahwa:

Jika diberikan

11

2

2 4

A dan

3 2

3 4

44

2

B , maka berlaku A = B.

1. Manakah dari matr iks ber ikut yang sama?

= 1 2 3A = 3 2 1E = 1 2 3I

2=

-1B

2=

1F

1=

2J

2=1

C 1 2=3 4

G -1 -2=-3 -4

K

1 3=

2 4D

1 2=

3 4H

-1=

2L

2. Ten tu kan n il ai a dan b dalam kesamaan matriks berikutin i .

a.3 1 6 1

1 2 1 8

a

be.

2

3

35 92

b b

aa

b.2 3 6 2 3

5 4 5 4 2

a

b af.

13

2

84

b

a


42/138

33B a b 2 Matriks

c.4 3 4 12

5 2 5 9

a

b

d. 4 5 6 7 20 15 a a b a b

3. Ten tu kan n il ai a, b, c, dan d dari matriks berikut.

a.

2 3 2 3

5 4 6 5 4 2

6 11 4 11

a b

a

b c c b

b.2 2 3

3 3 3 2 3

a b c a b

d c

4. Tentu kan j ika dik etahui A = B.

1 1

3cos sin 2 2= dan =

-sin cos 1 1- 3

2 2

A B

4 . Mat r i k s T r an spo se

Suatu matriks berordo m n dapat disusun menjadi sebuahmatrik s berordo n mdengan m embalik baris dan k olomnya. Matrik sini disebut matr iks transpos.

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m n

m m mn

a a ... a

a a ... a

A

a a ... a

matriks transposnya adalah

11 21 1

12 22 2

1 2

m

mt

n n mn

a a ... a

a a ... a A A

a a ... a


43/138


L a t i h a n 2.5

Dari suatu matr ik s A dapat dibentu k matr ik s baru dengan menu liskanbaris 1 sebagai kolom 1, baris 2 sebagai kolom 2, dan seterusnya.Matriks baru ini disebut matriks transpose dari A, dilambangkanA atau At (baca transpose matriks A).

t

1 21 3 5

Apabila = 3 4 maka =2 4 6

5 6

A A.

1. a. Per h at i k an m at r i k s p ad a L at i han 2 .1 n om or 5 .Tentukan matriks trans-posenya.

b. Apakah informasi yang disajikan matr iks transpos inisama dengan informasi semula?

2. Diketahu i dua matr iks, yai tu

6 4 6 16= dan =

8 10 12 10

xP Q

ya. Tentukan transpose dari matr iks Q.b. Tentukan transpose dar i matr iks P.c. J ika P= Qt, maka tentuk an nilai x dan y.

3 . D iketahu i dua mat r iks

a. Tentukan transpose dar i matr iks P.b. J ika Pt = Q, carilah nilai a, b, c, d, e, dan f.

Kegiatan Menulis 2.3De n g a n ka ta - ka ta m u se n d i r i , j e l a ska n ke l e b i h a n d a nkekur angan penyajian informasi m enggunak an m odel matri ks.


44/138

35B a b 2 Matriks

B . Operasi Aljabar Matriks

1 . Pen j um l ah an M at r i k s

Bono dan Yani adalah dua orang sahabat dekat, akan tetapibersaing ketat dalam pelajaran matematika. Perhatikan nilai rata-rata kedua siswa ini.

Ulangan 1 Ulangan 2 Total

Bono Yan i Bono Yan i Bono Yan i

Matematika 82 78 75 80 157 158

Bahasa Inggris 68 72 70 78 138 150

Dalam bentuk matriks data di atas menjadi:

150138

158157

7870

8075

7268

7882

Metode mengombin asik an matr ik s ini di sebut penjuml ahan matr i ks.

Apabila A dan Badalah du a matrik s berordo sama, penjumlahanA dan B, A + B diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.

C ontoh 2.41.

2 3 3 5 2 3 3 ( 5) 5 2

5 6 6 1 5 ( 6) 6 1 1 7A B

2.2 3 4 2 4 3

5 2 5 2

2 3

7

x y y x y y

x y x x y x

x

y

K egiat an M enul i s 2.4Coba kal ian buktikan apakah dalam penjumlahan matr iksberlaku sifat komutatif dan asosiatif?1 . D iketah u i m at r ik s:


45/138


L a t i h a n 2.6

-4 6 7 3 0 1

= 2 -1 = 2 1 dan = -5 6

5 2 5 2 3 2

A B C

Tentukan:a. A + B c. B+ Cb. A + C d. A + B+ C

2. J ika7 4 2 5 10

2 3 2 8 1

a b a

a b, maka tentukan

nilai adan b.

3. D iketah u i m at r ik s:

3 1 6

2 8

6 4 2

x

A x y

z

2 1 4 3

3 5 11 5

4 7 3 2

x

B y

y

7 5 -9

= 5 9 3

-2 -3 -5

C

Tentukan nilai x, y, zbila A + B = C.

4. Dik etahu i

0 5 3 2 4 8, , dan

4 1 1 7 2 5A B C .

Tunjukkan bahwa:a. A + B= B+ Ab. (A + B) + C= A + (B+ C)

5. Diber ikan penjumlahan matr iks sebagai ber iku t.

4 2 12 4 4 10 4

2 6 8 6 8

x y y x y

y x y x

Tentukan nilai x dan y.6. Matr iks yang semua unsurnya adalah 0, disebut matr iks


46/138

37B a b 2 Matriks

nol atau 0.a . D ib er ikan m at ri k s

4 2 4 2

dan5 3 5 3

x

R Sy

Tentukan nilai x dan y agar R+ S= 0.b. Dik et ah ui

4 1 0 2, ,

2 3 1 1A B .

1 0 0 0, dan

1 2 0 0C O

Hitunglah:1) a. A + D d. O+ A

b. B+ O e. O+ Bc. C+ O f. O+ C

2) a. A + B+ Ob. B+ C+ Oc. O+ A + B+ C

2 . Pen gu r an gan Mat r i k s

Kita telah mengetahui bahwa apabi la a dan b merupakanbilangan nyata, maka a b = a + (b). Dengan cara yang sama,karena setiap matr iks memil iki negati f, ki ta dapat menulis A +(B) sebagai A B. Dengan demik ian , sua tu ma t r i ks dapa t

dikurangkan dari matriks lain.

AB = A + (B)

Untuk mengurangkan matriks B dari A, jumlahkan negatif Bkepada A.

C ontoh 2.5Hitunglah operasi pengurangan matriks berikut ini.

a.

a b e f

c d g h


47/138


b.

830

127

543

052

c. 135582

Penyelesaian:

a.

a b e f a e b f

c d g h c g d h

b.2 5 0 7 2 1 2 ( 7) 5 ( 2) 0 1

3 4 5 0 3 8 3 0 4 3 5 8

5 7 1

3 1 3

c. 453153852135582

C ontoh 2.6J ika

3 2 7 5

4 0 6 1

x y

z w, tentukan matriks

x y

z w.

Penyelesaian:

3 2 7 5

4 0 6 1

3 2 7 5

4 0 6 1

3 7 2 54 3

4 6 0 1

10 1

x y

z w

x y

z w

x yx y

z w

z w

4 3Jadi, matriks

10 1

x y

z w.

Syara t agar dua matr iks

dapat diju mlah dan dikurang-

kan adalah ordonya harus

sama.

Infomedia


48/138

39B a b 2 Matriks

L a t i h a n 2.71. Hitunglah operasi pengurangan matr iks ber ikut ini .

a.

33

22

52

14

b.

031

204

310

123

c.

10

23

05

11

26

35

2. Tentu kan a, b, c, dan d j ika:

6 5 0 2

3 1 1 3

a b

c d

3 . J i ka d iketahu i mat r iks:

2 0 6 3 5 -3 -1 1 1

= -5 3 1 = -8 10 1 = 0 -5 -3

6 2 2 5 9 2 7 2 2

A B C

a. Tentu kan:1) A BC 4) AB2) A (B+ C) 5) BC3) (A + B) C 6) (A B) C

b. Apakah pernyataan berikut benar?1) AB= BA 3) A (BC) = (A B) C2) BC= CB

4. Ten tu kan m at ri k s A yang memenuhi persamaan:

6 0 -2 -4 12 8=

12 -4 10 0 8 -16A

5. Ten tu kan n il ai x, y, z, dan w dari persamaan:

2 2 2 10 0 0

2 5 20 2 3 42 0 0

x y w y

y y


49/138


6. Car i lah n i lai -n i lai p, q, r, dan spada tiap persamaan beri kutin i .

a.

2 1 1 2 3 1

3 2 3 5 3 4

p r

h s

b.1

1 2 5 032

3 1 2 83 1 2

p r

q s

3. Perkal ian Bi langan Real dengan Mat r ik s

Untuk x bilangan real, telah kita ketahui bahwa x + x = 2x,x + x + x = 3x, dan seterusnya. Sekarang akan kita selidiki dalam

operasi matriks. Misal diberikan matriks a cAb d

.

+ + 2 2+ = + = =

+ + 2 2

a c a c a a c c a c A A

b d b d b b d d b d

Dengan pengertian 2A = A + A, maka diperoleh:

2 22 2

2 2

a c a c A A A

b d b d

dan

3

3 3

3 3

a c a c a c A A A A

b d b d b d

a + a + a c + c + c

b + b + b d + d + d

a c

b d

Dengan demikian kita mendapatkan definisi perkalian bilangannyata dengan matriks.

Apabila k adalah bilangan nyata dan A adalah matriks, makakA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-

masing u nsur A dengan k.


50/138

41B a b 2 Matriks

C ontoh 2.7Diketahui matr ik s

3 -1=

4 5A .

Tentukan:a. 2A b. 3A

Penyelesaian:

a.

3 1 2 3 2 ( 1) 6 22 2

4 5 2 4 2 5 8 10A

atau

2

3 1 3 1

4 5 4 5

6 2

8 10

A A A

b.

3 1 3 3 3 ( 1) 9 33 3

4 5 3 4 3 5 12 15A

atau

3A = A + A + A =

54

13

54

13

54

13

=3 3 3 1 ( 1) ( 1)

4 4 4 5 5 5

=

1512

39

C ontoh 2.8Jika

-3 2=

1 0A , tentukan hasil kali dari:

a. 2Ab. 2At

Penyelesaian:

a.

3 2 2 ( 3) 2 2 6 42 2

1 0 2 1 2 0 2 0A

b.

3 1 2 ( 3) 2 1 6 22 2 2 0 2 2 2 0 4 0

tA


51/138


L a t i h a n 2.8

C ontoh 2.9Tentukan a, b, c, dan d dari persamaan berikut.

4 8

212 16

a b

c d

Penyelesaian:

4 8 2 2

12 16 2 2

a b

c d

2a = 4 2c = 12a = 2 c = 6

2b = 8 2d = 16b = 4 d = 8

1. Suatu pabrik ban memproduksi dua jenis ban dengan tigaukuran. Pada bulan Oktober seorang pengecer membelienam belas ban jenis 1 ukuran 15 inci, dua puluh empatban jenis 1 ukuran 16 inci, delapan jenis 1 ukuran 17inci, delapan ban jenis 2 ukuran 15 inci, dua belas banjeni s 2 ukuran 16 inci , dan empat ban jeni s 2 ukuran 17inci. Pada bulan November, pengecer tersebut memesandua belas ban jenis 1 ukur an 15 inci, tiga puluh dua jenis1 ukuran 16 inci, enam belas ban jenis 1 ukuran 17 inci,

dua belas ban jenis 2 ukuran 15 inci, dan dua puluh banjeni s 2 ukuran 16 inci .a. Buatlah matr iks pemesanan ban pada bulan Oktober

dan November. Berilah label baris dan kolomnya.b. Berapakah jumlah masing-masing jenis dan uku ran

yang d ipesan se lama dua bu lan i n i? Bua t lahmatriksnya dan berilah label baris dan kolomnya.

c. Misal selama kuar ta l ke-4 (Oktober November Desember ) pengece r te r sebu t se tu ju un tukmemesankan ban seperti pada matriks di bawah ini.

15 16 17

Jenis 1 40 52 36Jenis 2 28 32 16


52/138

43B a b 2 Matriks

Buatlah matriks yang menunjukkan berapa masing-masing jenis ukuran ban yang harus dipesan padab u l a n De se m b e r u n tu k m e m e n u h i p e r se tu j u a n

tersebut?d . Pa da b u l a n Ok to b er t a h u n b er i ku tn ya , p en gecer

tersebut memesan dua kal i dar i jumlah masing-m a s i n g j e n i s / u k u r a n yan g d i p esan O k t o b ersebelumnya. Pesanan bulan November t iga kal ipesanan November sebelumnya. Buatlah matriks yangmenunjukkan jumlah pesanan kedua bulan tersebut.

2. D iketah ui m at ri ks B =

143

102

251

, tentukan:

a. 5B c. 5Bt e.21 B

b. 5B d. Bt f. 2 (B+ Bt)

3. Dik etahu i A =

02

21

13

dan B =

431

502, tentuk an:

a. 2B c. 2At+ 3Bt

b. 5At d. 2Bt+ 5A4. Tentu kan a, b, c, dan d dari persamaan berikut.

a.

12 4 10 4 6 2 21

9 1 9 0 8 0 62

a c

b d

b.

2 3 8 6 4 01- = 3

2 3 20 36 2 62

a b

c d

5. D iketah ui m at ri ks A = (1 2 3), B= (3 2 1), dan C= (2 1 0).Tentukan:a. 2A B+ 3C c. (2A 2B) + (3A + 2B)

b. (2

1AB) + 3 (B+ C) d. 4C 2 (A + B)

6. J ika d iber ikan persamaan

1 0 2 8 2 24

2 4 1 4 0 6K ,

tentukan matr iks K.


53/138


7. J ika

6 4

-1 - 5 = 3 - 3

0 -2

B B , tentukan matriks B.

8. J ika6 12 30

2 310 6 24

a b , tentukan nilai a dan b.

4 . Per k al i an Mat r i k s

Perhatikan tabel berikut ini. Tabel 1 menunjukkan pembelianbuah-buahan oleh seorang ibu dalam dua minggu berturut-turut.Tabel 2 menunjukkan harga masing-masing jenis buah per kilogramdalam ribuan.

Tabel 1 Tabel 2

Mem bel i (k g) J er uk Pi san g Bu ah Har ga (r ibuan ) per kg

Minggu ke-1 3 1 Jeru k 8

Minggu ke-2 2 2 Pisang 5

Dengan mengalikan harga per k ilogram dengan berapa k ilogramyang dibeli, kita peroleh:

Total harga buah untuk minggu pertama = (3 8) + (1 5) =24 + 5 = 29 ribu. Dalam bentuk matriks, perhitungannya adalahsebagai berikut.

( i) Total harga minggu pertama (dalam ribu an)

8

3 1 3 8 1 5 24 5 295

Yang berarti harganya 29 ribu.

(ii ) Total harga min ggu kedua diberik an oleh:

8

2 2 2 8 2 5 16 10 265

Yang berarti pengeluaran untuk beli buah adalah 26 ribu.

(iii ) Biaya beli bu ah selama dua min ggu adalah:

3 1 8 3 8 1 5 24 5 292 2 5 2 8 2 5 16 10 26


54/138

45B a b 2 Matriks

Metode menggabungkan dua matriks ini disebut perka l ianmatr iks. Aturannya adalah kalikan baris dengan kolom dan jumlahkanhasilnya.

Misal diberikan matriks

2 2a bAc d

dan

2 1xBy

Hasil kali AB didefinisikan oleh persamaan:

2 12 2 2 1

a b x ax + by =

c d y cx + dy

Perhatikan juga perkalian matriks berikut ini!

1 3 1 1

3 1

2 3 2 13 1

dan

x

a b c y = ax +by +cz

z

xa b c ax +by +cz y =

d e f dx +ey + fz z

Nampak hasil kali ada hanya jika banyak kolom matriks di kirisama dengan banyak baris matriks yang di kanan.

Perkal ian matr iks A dan B di tu l iskan AB terdefinisi hanyajika banyaknya bar is m atr ik s Bsama dengan banyakn ya kolommatriks A.

C ontoh 2.10Jika

1 2 1 3= dan =

5 -4 2 4A B , maka tentukan:

a. AB

b. BA

Gambar 2.1 Ilustrasi perkalian matriks

1,1 1,2 1, 1,1 1,2 1, 1,1 1,2 1,

2,1 2,2 2, 2,1 2,2 2, 2,1 2,2 2,

,1 ,2 , ,1 ,2 , ,1 ,2 ,

n k k

n k k

m m m n n n n k m m m k

m n n k m k

a a a b b b c c c

a a a b b b c c c

a a a b b b c c c


55/138


Penyelesaian:

a.

1 2 1 3 1 1 2 2 1 3 2 4

5 4 2 4 5 1 ( 4 2) 5 3 ( 4 4)

1 4 3 8 5 11

5 8 15 16 3 1

AB

b.1 3 1 2 1 1 3 5 1 2 3 ( 4 )

2 4 5 4 2 1 4 5 2 2 4 ( 4 )

1 15 2 1 2 16 1 0

2 20 4 16 22 1 2

B A

C ontoh 2.11

J ika

1 2 -4 -3

= dan =3 4 -2 -1A B , maka tentukan:

a. 2 (AB) b. (2A)B

Penyelesaian:

a.

1 2 -4 -3 -4 - 4 -3 - 22 ( ) = 2 = 2

3 4 -2 -1 -1 2 - 8 -9 - 4

-8 -5 -1 6 -1 0= 2 =

-2 0 -1 3 -4 0 -2 6

AB

b.

1 2 -4 -3 2 4 -4 -3(2 ) = 2 =

3 4 -2 -1 6 8 -2 -1

-8 - 8 -6 - 4 -16 -10= =

-24 - 16 -18 - 8 -40 -26

A B

C ontoh 2.12Diketahui

1 0 5 8= dan =

0 1 6 2I A

a. Hitu nglah IA = AI.b. Apakah AI= IA = A?


56/138

47B a b 2 Matriks

Penyelesaian:

a.

1 0 5 8 5 + 0 8+ 0 5 8= = =

0 1 6 2 0 + 6 0 + 2 6 2

5 8 1 0 5 + 0 0 + 8 5 8= = =

6 2 0 1 6 + 0 0+ 2 6 2

IA

AI

b. Dari jawaban a, terbukti bahwa AI = IA = A

26

85

26

85

26

85

C ontoh 2.13Jika

2 1=

1 2A , tentukan:

a. A2 b. A3

Penyelesaian:

a. 2 =

2 1 2 1=

1 2 1 2

4 +1 2+2=

2+2 1+4

5 4=

4 5

A A A

b.3

=

2 1 5 4=

1 2 4 5

10 +4 8 +5 14 13= =

5 +8 4+10 13 14

A A A A

C ontoh 2.14Jika

2 1= 1 2A , tentukan A

3 2A + A.


57/138


Penyelesaian:

3 2 1 5 4 14 13= =

1 2 4 5 13 14

2 1 4 22 = 2 =

1 2 2 4

A

A

Jadi, A3 - 2A + A adalah:

14 13 4 2 2 1 12 12+ =

13 14 2 4 1 2 12 12

C ontoh 2.15Diketahui A =

2 3

5 7

, tentukan nilai A2-I.

Penyelesaian:

A2 =2 3 2 3 4 9

5 7 5 7 25 49

A2 - I =4 9 1 0

25 49 0 1

=3 9

25 48

Adakah proses yang salah pada penyelesaian di atas? Prosespenghitungan A2 di atas salah, yang benar adalah sebagai berikut .

22 3 2 3 2 3

5 7 5 7 5 7

4 15 6 21

10 35 15 49

19 27

45 64

Sehingga A2- I =19 27 1 0

45 64 0 1

=18 27

45 63


58/138

49B a b 2 Matriks


L a t i h a n 2.9

Apakah ber laku si fa t komutat i f da lam perkal ian matr iks?

Jelaskan.

1. Hi tunglah perkalian matr iks d i bawah in i .

a.

2

1

21

18

b.

126

205

314

215

321

c.

45

35

40

50

5234

0423

1534

d. 2143

e.

111

033

140

201

152

51023

41410

2. Jika2 3 1 1 6

5 4 2 1 3

a b

b b, tentukan nilai a dan b.


59/138


3.

1 2 3 -1 -1 2 5= , = , = dan D =

2 1 0 1 2 4 -2A B C

a. Hi tu nglah:

1) AB 7) A(BC)

2) AC 8) (AB)(AC)

3) AD 9) A2 2B+ C

4) BC 10) 2A3 3C+ B

5) (2A)B 11) 2A2 + B

6) A(2B) 12 ) B2 + C2 2AB

b. Sel id ik i apakah :

1) AB = BA

2) BC = CB

3) (AB)C = A(BC)

4) (3A)B =3AB

5) A(B + C) = AB + AC

6) (B + C) A = BA + AC

7) AD + AD = A(D + D) = A(2D)

4. Misalk an3 2 2 3 48

2 3 3 2 108

x x x y z

y y x y x

Hitun glah ni lai x, y, dan z, j ika:a. x, y, dan z bilangan aslib. x, y, dan z bilangan riil

5. D i k et ah u i

1 0 2 2 1= dan =

1 3 -1 -3 2P Q , t e n t u k a n

hasil kali dari:

a. PQ

b. QP

c. Pt Q

d. P Qt

e. Pt Qt

6. J ika

1 -6 1 1 0 0

= 5 7 0 dan = 0 1 0

-3 2 2 0 0 1

P I

a. Hitu nglah PIdan IP.

b. Apakah PI= IP= P?


60/138

51B a b 2 Matriks

C . Determinan dan Invers Matriks1 . Det er m i nan M at r i ksa . Det er m i n a n Ma t r i k s or d o 2 2

Jika diberikan matriks A =

a b

c d, maka determinan matriks

A dituliskan | A| dan dirumusk an dengan:

| A| =a b

c d= ad bc

C ontoh 2.16Diketahui matriks A =

68

97. Hitunglah determinan matriks A.

Penyelesaian:

det A = | A| =68

97= 7 6 9 8 = 42 72 = 30

C ontoh 2.17Diketahui matriks B =

5 4

4 12

x x

. Hit unglah determinan matrik s B.

Penyelesaian:

det B= | B| =5 4

4 12x x = 5 12x 4 4x= 60x 16x= 44x

L a t i h a n 2.101. Tentukan determinan dari matr iks ber ikut .

a.

1 0=

0 1A d.

10 -2=

1 2 8D

b.

5 2=

3 1B e.

1 -5=

9 -12E

c.

2 -3=

-1 5C


61/138


2. D iketah ui m at ri ks

8 8=

8 8P . Tentukan determinan dari

matr iks P.

3 . Hi tunglah determinan matr iks

0 1=

1 2Q .

4. B i la m at r i ks

12 9

2 1

aR

a, h i t u n g l a h d e te r m i n a n

matr iks R.

b. Det er m i n a n Ma t r i k s Or d o 3 3

Kita telah mempelajari bagaimana menentukan determinan

mat ri ks persegi ordo 2 dan sekarang akan dibahas determinan m atrik spersegi ordo 3.

Misalkan matrik s A =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

.

Untu k m enentu kan determi nan matrik s ordo 3 3, dapat dil akuk andengan meletakkan lagi elemen-elemen kolom pertama dan keduadi belakang kolom ketiga kemudian dioperasikan sebagai berikut.

det A = | A| =

11 12 13 11 12 13 11 12

21 22 21 22 21 22

31 3231 32 33 31 32 33

23 23

a a a a a a a a

a a a a a a a a a aa a a a a a

= a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32a13a22a31a11a23a32a12 a21a33

C ontoh 2.18

Diketahui matriks A =

1 2 3

3 1 1

2 2 1

.

Hitunglah determinan matriks A.

() () ()

(+) (+) (+)


62/138

53B a b 2 Matriks

Penyelesaian:

det A =

1 2 3 1 2

3 1 1 3 1

2 2 1 2 2

= 2 5 2 + 1 1 1 + 2 3 4 2 5 1 2 1 4 1 3 2= 1 + 4 + 18 6 2 6 = 9

Untuk menentukan determinan matr iks ordo 3 3 dapat jugadengan menggunakan determinan matr iks ordo 2 2 sebagaiberikut.

det A = | A| =

11 12 13

22 2321

31 32 33

a a a

a a a

a a a

= a11 a22 a33 + a12a23a31 + a13 a21a32 a13 a22a31 a11 a23a32 a12 a21a33

= a11 a22 a33 a11a23a32 + a12 a23a31 a12 a21a33 + a13 a21a32 a13 a22a31

= a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a21 a33 a23 a31) + a13 (a21a32 a22 a31)

= a1122 23

32 33

a a

a a a1221 23

31 33

a a

a a + a1321 22

31 32

a a

a a

= (1)1+1 a113332

2322

aa

aa

+ (1)1+2a123331

2321

aa

aa

+ (1)1+3a133231

2221

aa

aa

Cara tersebu t menggun akan elemen baris pertama.

Selain penjabaran di atas, dengan cara yang sama dapat di jabark ansebagai berikut.

A = (1)1+2 a123332

2321

aa

aa

+ (1)2+2a223331

1311

aa

aa

+ (1)3+2a322321

1311

aa

aa

Cara tersebut menggunakan elemen kolom kedua.

Dengan cara yang sama, masih dapat dijabarkan untuk elemenpada baris atau kolom yang lain . Apakah hasilnya sama?

(+)(+) (+)

() () ()


63/138


L a t i h a n 2.11

C ontoh 2.19

Diketahui

205

112

431

B .

Tentukan determinan dari matriks B dengan menggunakan elemenkolom kesatu.Jawab:

| B| =

205

112

431

= (1)1+1(1)20

11+ (1)2+1 (2)

20

43+ (1)3+1 (5)

11

43

= 1(2 0) + 2(6 0) + (5)(3 + 4)= 2 12 + 5 = 9

1. Tentukan determinan dar i matr iks ber ikut .

a.

3 5 1

2 0 41 1 2

A c. C =

1 2 3

0 0 0

1 2 3

b.

1 2 1

2 1 2

1 1 2

B d. D =

1 0 3

2 0 2

3 0 1

2. Dari pekerjaan nomor 1c dan 1d di atas, apakah kesimpulankal ian?


64/138

55B a b 2 Matriks

2 . I nver s Mat r i k s

a . Pen ger t i a n I n ver s Ma t r i k s

M i sa l

1 0= dan =0 1

a bA Ic d

. A p a b i l a ke d u a n ya k i t a

kalikan, maka didapat:

dan

1 0

0 1

1 0

0 1

a b a b IA = = = A

c d c d

a b a b AI = = = A

c d c d

Jadi, IA = AI= A.

Karena itu matriks I disebut mat r i ks i den t i tas untuk perkal ianmatriks 2 2.

Perhatikan uraian berikut.

Misal

3 5 2 -5= dan =

1 2 -1 3A B , maka diperoleh:

3 5 2 -5 6 - 5 -15 +15 1 0= = =

1 2 -1 3 2 - 2 -5 + 6 0 1

2 -5 3 5 6 - 5 10 -10 1 0= = =

-1 3 1 2 -3 + 3 -5 + 6 0 1

A B

B A

Jadi, AB = BA = I.

Karena itu Bdisebut in vers perk al ian dari A dan dilambangkandengan A1. Demikian juga, A disebut in vers perk al ian dari B dandilambangkan dengan B1. Dengan demikian kita peroleh definisisebagai berikut.

Apabila A dan B adalah matriks persegi dengan ordo yangsama, sedemikian hingga berlaku AB = BA = I, maka B adalahinvers dari A dan A invers dari B.


65/138


L a t i h a n 2.12

C ontoh 2.20D i k e t a h u i m a t r i k s

7 -4 -1 4= dan =

2 -1 -2 7A B . Apakah A

merupakan invers dari B?Penyelesaian:

7 -4 -1 4 -7 + 8 28 - 2 8 1 0= = =

2 - 1 -2 7 -2 + 2 8 - 7 0 1

-1 4 7 - 4 -7 + 8 4 - 4 1 0= = =

-2 7 2 -1 -1 4 +1 4 8 - 7 0 1

AB

BA

Jadi, AB= BA = I. Sehingga A merup akan invers Bdan Bmerupakaninvers A.

1. Tentukan hasi l perkal ian matr iks ber ikut (simpulkan apayang kalian peroleh).

a.

12

13

32

11dan

32

11

12

13

b.

41

92

21

94dan

21

94

41

92

2. Manakah yang merupakan invers satu sama lain?

a.

7 -5 3 0= dan =

4 -3 1 2C D

b.

1 5-8 -1 0 1 6 1 6

= d an =5 15 2

- -3 2 4

B C

3. Dik etahu i

7 9 4 -9= dan =

3 4 -3 7A B .

a. Hitung ABdan BA. c. Tentukan A1

dan B1

.b. Apakah AB= BA = I? d. Apakah A = B1dan B= A1.


66/138

57B a b 2 Matriks

b. Rumus Invers Ma t r i k s Bero rdo 2 2

J ika

a bA

c d, maka dengan definisi invers matriks A adalah

A1sehingga A A1= I, diperoleh:

1 1 1 , 0.| | | |

d b d b A ad bc

c a c a A ad bc

Buk t i :

Misal

dana b p q

A Bc d r s

= A1

AA1=1 0

0 1

a b p q

c d r s

Dengan definisi perkalian dua matriks,

diperoleh

1 0

0 1

1 0

0 1

a b p q

c d r s

ap br aq bs

cp dr cq ds

Selanjutnya akan dicari nilai p, q, r, dan s.

Dengan menggunakan eliminasi r diperolehap + br =1 d adp + bdr = d cp + dr =0 b bcp + bdr = 0

(ad-bc)p = d

p =

Dengan menggunakan eliminasi p diperoleh:ap + br =1 c acp + bcr = c cp + dr =0 a acp + adr = 0

(bc - ad) r = c

r =

= -

Sudut Matematika

Meningkatk an S ikapKr i t is S iswa

Syarat matriks tidak punya

invers adalah nilai

determinannya 0 (nol).

Mengapa? Jelaskan dengan

kata-kata kalian sendiri.

-

-

d

ad bc

c

bc cd c

ad bc


67/138


Dengan menggunakan eliminasi s diperoleh:aq + bs =0 d adq + bds = 0cq + ds =1 b acq + bds = b

(ad - bc) q = -b

q =

Dengan menggunakan eliminasi q diperoleh:aq + bs =0 s acq + bcs = 0cq + ds =1 a acq + ads = a

(bc - ad) s = -a

s =

s =

Jadi diperoleh , , ,d b c a p q r s ad bc ad bc ad bc ad bc

Sehingga

1 d bB =

c aad bc .

C ontoh 2.21J ika

8 2=

12 3A , tentukan invers dari matriks A.

Penyelesaian:

| A| = ad bc= 24 24 = 0

A tidak mempunyai invers.

C ontoh 2.22Tentukan invers matriks

1 2=

3 4B .

Penyelesaian:

1

| | 4 6 2

2 14 21

3 13 12

2 2

B ad bc

B

-

-

bad bc

a

bc ad

a

ad bc


68/138

59B a b 2 Matriks


C ontoh 2.23

Tentukan C1 j ika

1 3

2 2

3 1

2 2

C

.

Penyelesaian:

1

1 3 4| | 1

4 4 4

1 3 1 3

1 2 2 2 2

1 3 1 3 1

2 2 2 2

C ad bc

C

Mengapa matriks A pada Contoh 2 .21 tidak mempunyai in vers?

c. Rumus Invers Ma t r i k s Bero rdo 3 3 (**)

Sebelum dibahas tentang menentukan invers matriks denganordo 3 3, perlu diingat kembali cara menentukan invers matriksordo 2 2 dengan menggunakan rumus berikut.

1 1 1a b d b d b A Ac d c a c a A ad bc

maka

Misal:

11 3 7 3 7 31

2 7 2 1 2 11A A

maka

Selain cara di atas, ada cara lain untuk menentukan invers,yaitu dengan cara meredusir A ke I.


69/138


Salah satu cara mencari invers matriks ordo (3 3) adalahsebagai berikut.

Misal A =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a amaka A1 =

1

det A Adjoin A.

Adjoin A = Adj A =

2221

1211

3231

1211

3231

2221

2321

1311

3331

1311

3331

2321

2322

1312

3332

1312

3332

2322

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

C ontoh 2.24

Diketahui A =

5 4 8

3 3 5 .

2 2 4

Tentukan:a . determinan A b. Adj (A) c. invers A

Penyelesaian

a. det A =

5 4 8 5 4

3 3 5 3 3

2 2 4 2 2

det A = (60 + 40 48) (48 + 50 48)det A = 2

b. Adj (A) =

3 5 4 8 4 8

2 4 2 4 3 5

3 5 5 8 5 8

2 4 2 4 3 5

3 3 5 4 5 4

2 2 2 2 3 3


70/138

61B a b 2 Matriks

L a t i h a n 2.13

Adj (A) =

2 0 4

22 4 49

12 2 27

c. A1 =1

det A Adj

(A) =

2 0 41

22 4 492

12 2 27

A1 =

12

1

2

1 0 2

11 2 24

6 1 13

1. Lengkapi bukti rumus invers matr iks berordo 2.

2. Tentukan invers dar i matr iks ber ikut .

a.

2 -3=

4 1

A c.

3 4=

-1 2

C

b.

2 3=

4 5B

3. Jika

2 3 8 5= dan =

1 5 3 2A B .

tentukan:a. A1 e. A Bb. B1 f. (A

Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko

Documents

Transcript of Kelas XII SMA Bahasa Matematika Pangarso Yuliatmoko