KEKONGRUENANDefinisi Jika a, b, dan m adalah bilangan bulat dengan m > 0, Bilangan a disebut kongruen dengan b modulo m jika m| (a – b)Ditulis : a b (mod m)

Contoh : 37 mod 5 2, 9 mod 4 1

Juga -11 mod 3 4 karena -11 – 4 = -15 , yang habis dibagi 3

Latihan :Isilah kongruensi berikut !1. 125 .....mod 102. 184 .....mod 43. 384 ..... Mod 7

Sifat-sifat kongruensiJika a b mod m, maka :1. a + p b + p (mod m)2. ap bp (mod m)3. Jika a b mod m dan c d mod m, maka :

a. a + c b + d (mod m)b. ac bd (mod m)

Bukti

Bukti

Jika a b mod m maka a + p b + p (mod m)

Bukti :a b (mod m) artinya m| ( a – b) atau terdapat

bilangan bulat k shg (a – b) = mkKita bentuk persamaan bahwa a – b = a +p – b – p(a – b) = (a + p) – (b + p) = mk

Dari bentuk : (a + p) – (b + p) = mk berarti m |[(a + p) – (b + p)] sesuai bentuk

bahwa

a + p a + p (mod m)kembali

Jika a b mod m , maka ap bp mod mBukti :a b mod m ⇔ m | (a-b)Shg : (a – b) = mk, k bil. bulatKita kali dengan suatu bil bulat p shg

diperoleh :⇔ (a – b).p = mkp, kp merupakan bil bulat⇔ (ap – bp) = mkp, shg diperoleh :⇔ ap bp mod m

kembali

Contoh :Hitunglah dua angka terakhir dari 32002

Jawab :Kita dapat menghitungnya dengan menggunakan modulo 100,Dimulai dari : 34 81 mod 100 dan 32 9 mod 100,Maka : 36 729 mod 100 29 mod 100 38 6561 mod 100

61 mod 100

310 61 x 9 (mod 100) 549 mod 100 49 mod 100

320 = (310)2 492 mod 100 2401 1 mod 100

Akhirnya diperoleh :

32002 = (320)100 . 32 1 . 32 mod 100 9 mod 100

Dua angka terakhir 32002 = 09

Tentukan sisa pembagian 32006 oleh 8Jawab :Karena 32 = 9, maka 32 mod 8 132006 mod 8 (32)1003 mod 8 (32 mod 8)1003 11003 1 Jadi sisanya adalah 1

Carilah sisa pembagian 32006

dibagi oleh 11