1

Tugas 1

KEBUTUHAN AKAN BILANGAN BARU

(Disusun dalam rangka memenuhi

tugas mata kuliah Psikologi Pendidikan Matematika)

Disusun Oleh: Kelompok VII

Kelas 02

1. MUH. AFIF WARDIMAN 161050701023

2. MUH. ALFIANSYAH 161050701024

PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

MAKASSAR

2016

2

A. Pengertian Pecahan

Ditingkat sekolah dasar kelas satu dan dua siswa mempelajari konsep

bilangan yang dapat digunakan untuk merepresentasikan benda-benda yang

berbentuk utuh. Sehingga, yang dipelajari adalah konsep bilangan cacah atau

bilangan bulat positif. Konsep pecahan muncul ketika ternyata dalam kehidupan

sehari-hari ada benda-benda yang dapat disajikan tidak dalam bentuk utuh.

Misalnya, ketika ada sebuah kue tart yang akan dimakan oleh sebuah keluarga

yang terdiri dari empat orang dan setiap orang mendapat bagian kue tart yang

sama banyak. Maka, masing-masing anggota keluarga akan mendapat bagian kue

tart secara tidak utuh yaitu masing-masing orang medapat seperempat bagian dari

kue tart (Rachmiati, 2011).

Pecahan adalah salah satu konsep yang mendasar dalam matematika.

Menurut Rachmiati (2011) pecahan diartikan sebagai banyaknya bagian

berukuran sama dari beberapa bagian yang menyusun sesuatu yang utuh atau

perbandingan bagian yang sama terhadap keseluruhan. Menurut Karim (Mayang,

2014) pecahan adalah (1) perbandingan bagian yang sama dari suatu benda

terhadap keseluruhan benda tersebut. Maksudnya suatu benda dibagi menjadi

beberapa bagian yang sama maka perbandingan setiap bagian dengan keseluruhan

bendanya menciptakan lambang suatu pecahan. (2) perbandingan himpunan

bagian yang sama dari suatu keseluruhan himpunan terhadap keseluruhan

himpunan semula. Maksudnya suatu himpunan dibagi atas himpunan yang sama

maka perbandingan setiap bagian yang sama terhadap keseluruhan himpunan

semula akan menciptakan lambang dasar suatu pecahan.

Menurut Sugiarto (Mayang, 2014) pecahan saat ini diperkenalkan sebagai

hal baru yaitu bilangan yang digunakan untuk menyatakan bagian-bagian benda.

Jika benda dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang sama. Lebih lanjut, menurut

Suyati (Mayang, 2014) menyatakan bahwa pecahan terjadi karena suatu benda

dibagi menjadi bagian sama besar yang bagian-bagian itu mempunyai nilai pecah.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa pecahan merupakan bagian dari sesuatu yang utuh.

Sementara menurut (Sukayati, 2003) pecahan merupakan himpunan bagian dari

bilangan rasional.

3

Umumnya digunakan istilah pemotongan atau pemisahan sebagai cara

memecah suatu obyek ke dalam bagian-bagian.

Gambar di bawah ini menunjukkan suatu obyek standard

Gambar di bawah ini menunjukkan obyek yang dipotong ke dalam lima bagian

Cara pemotongan di atas tidak menggunakan pengukuran, karena kita tidak

mengetahui berapa besar potongan-potongannya, dan kita tidak dapat

menghitungnya apabila besar potongannya tidak sama.

Jika kita memotong obyek-obyek standard ke dalam potongan yang sama,

berapa besar potongan-potongan itu selanjutnya akan tergantung pada berapa

banyaknya potongan yang ada. Jenis pemotongan pada obyek standard ini disebut

pembagian; potongan-potongan yang sama akan disebut bagian-bagian, dan

ukuran dari bagian-bagian itu dinyatakan dengan berapa banyak bagian obyek

standard yang telah dibagi. Berikut ini akan ditunjukkan obyek standard yang

dibagi ke dalam bagian yang sama:

Obyek standar yang dibagi ke dalam lima bagian

Obyek standar yang dibagi ke dalam delapan bagian

Obyek standar yang dibagi ke dalam tiga bagian

Gambar di bawah ini menunjukkan hasil pembagian ke dalam delapan bagian, dan

kemudian menggabungkan tiga dari bagian itu.

Kita menyebut bagian pecahan di atas tiga dari delapan bagian atau secara singkat

disebut tiga per delapan.

4

Satu bagian pecahan adalah bagian yang diperoleh dengan dua kegiatan

yaitu pembagian dan penggabungan. Pengabstraksian yang biasanya terjadi dari

kedua operasi tersebut diperoleh tiga dari delapan bagian sebagai hasil operasi

ganda matematika (pembagian dan penggabungan) yang disebut suatu pecahan.

Notasi matematika untuk hasil operasi ganda tersebut adalah 8

3 (dibaca

sebagai tiga dari delapan). Karena angka di bawah garis menyatakan nama dari

bagian-bagian yang diwakili, apakah itu lima bagian, delapan bagian, tiga bagian

dan lain-lain inilah yang disebut penyebut (denominator) dalam pecahan.

Sedangkan angka di atas garis menyatakan berapa banyak bagian yang

digabungkan disebut dengan pembilang (numerator).

Notasi 8

3 biasa kita baca dari atas ke bawah dan sering ditulis sebagai 3/8

untuk menyesuaikan dengan pencetakan atau pengetikan, hal ini memberi kesan

bahwa penggabungan yang dilakukan pertama, sedangkan pada materi

sebelumnya pertama-tama kita membaginya dalam 8 bagian dan kemudian

menggabungkan 3 dari 8 bagian. Oleh karena itu terlihat bahwa hal ini bersifat

komutatif, yaitu penggabungan lalu pembagian. Hasil yang diperoleh sama

apapun yang dikerjakan terlebih dahulu. Jadi notasi 8

3 boleh diambil sebagai

pengenalan secara keseluruhan dari dua kemungkinan urutan operasi ganda

matematika.

Obyek standar:

Membagi ke dalam delapan bagian:

Menggabung tiga dari bagian-bagian perdelapan itu: hasilnya tiga perdelapan

bagian dari obyek:

5

Cara lain, mulai dengan obyek standar:

Gabungkan tiga obyek standar:

Bagi ke dalam delapan bagian: hasilnya seperdelapan bagian dari tiga obyek:

Kecuali untuk susunannya (yang tidak mempengaruhi kuantitas), bagian

yang diarsir adalah sama seperti sebelumnya. Jadi pecahan 8

3mewakili ( : 8 x 3 )

seperti dalam diagram pertama terdahulu, dan ( x 3 : 8 ) seperti dalam diagram

kedua. Hal ini menjadi alasan untuk membaca 8

3 sebagai tiga dari delapan,

daripada tiga perdelapan yang mengakibatkan hanya yang pertama dari alternatif

urutan itu.

B. Pecahan Equivalen

Pecahan senilai disebut juga pecahan ekuivalen, pecahan seharga atau

pecahan yang sama. Pecahan ini termasuk pecahan sederhana yang mudah.

Dengan menggunakan bentuk operasi ganda yang disebut pecahan, dapat

diperoleh himpunan-himpunan pecahan yang ekuivalen, dan suatu relasi

ekuivalen antara pecahan-pecahan itu.

Pecahan Wujudnya

3

2

6

6

4

9

6

12

8

dan seterusnya, polanya adalah jelas.

Meskipun pecahan-pecahan itu sendiri berbeda, pecahan-pecahan itu sama dalam

kualitas fisik apapun yang diamati. Jika diterapkan kegiatan yang berkaitan

dengan pembagian dan penggabungan terhadap suatu obyek standar menghasilkan

bagian-bagian obyek yang sesuai, pecahan-pecahan ,...12

8,

9

6,

6

4,

3

2menampilkan

nilai yang sama. Dalam hal ini pecahan-pecahan tersebut adalah ekuivalen, dan

dapat dikumpulkan bersama kedalam kelas ekuivalen

,...12

8,

9

6,

6

4,

3

2

Dengan cara yang sama dapat diperoleh himpunan lain tentang pecahan yang

ekuivalen. Sebagai contoh:

Pecahan Wujudnya

2

1

4

2

6

3

8

4

dst dst

7

Himpunan pecahan yang ekuivalen:

,...8

4,

6

3,

4

2,

2

1

Contoh lain tanpa diagram:

,...32

20,

24

15,

16

10,

8

5

Tidak hanya pola dari setiap kelas yang ekuivalen ini yang jelas tetapi metode

umum untuk membentuk pecahan ekuivalen mulai muncul.

Mulai dengan pecahan 12

9

Menggandakan bilangan atas dan bawah 24

18

Melipattigakan bilangan atas dan bawah 36

27 dan seterusnya

Kelas ekuivalennya:

,...36

27,

24

18,

12

9

Secara umum, jika a, b, dan k adalah bilangan asli maka pecahan b

a

kb

ka.

Karena b

a

kb

ka , dapat ditentukan pecahan lain yang ekuivalen dengan pecahan

yang diberikan, dengan cara mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut

dengan bilangan asli yang sama. Yang pertama selalu dapat dilakukan; yang

terakhir dikenal sebagai aturan pencoretan. Sebagai contoh:

4

3

34

33

12

9

diperoleh pula: 8

6

24

23

4

3

jadi pecahan-pecahan ini masuk dalam kelas ekuivalen yang dapat ditulis:

,...24

18,

12

9,

8

6,

4

3

C. Bilangan Pecahan

Sifat tertentu dari suatu himpunan pecahan yang ekuivalen disebut

”bilangan pecahan”. Menurut Soewito (Maulida, 2010) bilangan pecahan adalah

bilangan yang lambanganya terdiri dari pasangan berurutan bilangan bulat dan

8

dengan yang merupakan penyelesaian persamaan , ditulis

Sedangkan menurut Nugroho (Maulida, 2010), bilangan pecahan terdiri atas dua

bagian yaitu pembilangan dan penyebut, pembilang adalah bilangan yang berada

di bagian atas suatu pecahan, yang menunjukkan berapa besar bagian yang

digunakan. Penyebut adalah bilangan yang berada di bagian bawah suatu pecahan.

Dengan suatu satuan yang terkait, setiap pecahan dalam suatu kelas

ekuivalen mewakili ukuran yang sama; dan tanpa satuan, pecahan-pecahan

tersebut mewakili bilangan yang sama. Ini berarti bahwa kita dapat menggunakan

salah satu pecahan dari himpunan tersebut sebagai nama untuk banyaknya

anggota himpunan tersebut; dan meskipun hal ini dapat mengacaukan jika kita

tidak mengetahui apa yang sedang berlangsung, jika kita mengerti, ini akan

memberikan keuntungan yang lebih besar dalam perhitungan.

Jadi kita mengatakan tentang pecahan, dengan operasi ganda;

6

4

3

2

Jika kita mengatakan dalam bilangan pecahan;

6

4

3

2

Masing-masing menyatakan kelas ekuivalen yang sama. Oleh sebab itu tanda

ditengah menunjukkan bahwa keduanya mempunyai arti/maksud yang sama.

PENJUMLAHAN BILANGAN PECAHAN

Kita ingin menghubungkan operasi matematika dengan penggabungan.

Hal ini mudah dipahami jika bilangan-bilangan itu ditampilkan dengan pecahan

yang penyebutnya sama, kemudian kita gabungkan bagian obyek dari jenis yang

sama. tetapi kita harus ingat bahwa penjumlahan tidak berarti sama persis untuk

bilangan pecahan seperti pada bilangan asli. Untuk mengingatkan kita akan hal ini

kita menggunakan untuk penjumlahan jenis baru dan + untuk penjumlahan

jenis lama.

Contoh: 8

2

8

3=

8

32 =

8

5

9

Jika penyebutnya tidak sama, hal ini dibantu dengan kemampuan merubah ke

dalam himpunan-himpunan ekuivalen. Karena semua pecahan dalam suatu

himpunan ekuivalen itu merupakan bilangan yang sama, kita dapat memilih salah

satu pecahan yang dianggap paling baik untuk suatu tujuan lain, dalam kasus ini

untuk perhitungan. Misalnya kita akan menjumlahkan:

9

3

4

2

Ubah menjadi pecahan ekuivalennya: 49

43

94

92

Yang beraku untuk bilangan-bilangan yang ekuivalen: 36

12

36

18

Sebagaimana sebelumnya. Untuk penyebut, kita pilih: 4 x 9 = 36

Sekarang kita dapat menjumlahkan 36

1218 =

36

30

Tentunya ini tidak ada perbedaan dengan pecahan yang kita gunakan sebagai

pengganti, dengan syarat bahwa hal ini berlaku bagi bilangan asli dan mempunyai

penyebut-penyebut yang sama. Selanjutnya dicoba perhitungan dengan suatu cara

yang berbeda. Pertama kita akan mengubah:

9

3

4

2

Pecahan asal dengan pecahan ekuivalen = 33

31

22

21

Dengan menggunakan hukum pencoretan = 3

1

2

1

10

Sekarang ditemukan = 23

21

32

31

Penyebut bersama yang lebih kecil = 6

2

6

3

Yaitu 2 x 3 sama = 6

23=

6

5

Jawaban ini kelihatan berbeda, tetapi 6

5menyatakan bilangan pecahan yang sama

dengan 36

30 karena

36

30=

66

65

=

6

5.

Pembuktian secara umum tidaklah sukar tetapi memerlukan penggunaan aljabar.

PERKALIAN BILANGAN PECAHAN

Sampai saat ini kita belum mempunyai pengertian mengenai “perkalian”

dalam konteks baru tentang bilangan pecahan. Tentunya kita dapat memutuskan

untuk mengerjakan tanpa suatu pengertian, ada banyak system matematika yang

hanya mempunyai satu operasi. Tetapi kita tidak akan mengeneralisasikan sistem

bilangan asli secara lengkap, jadi kita harus mencoba. Kita juga dapat mencari

pengertian ”perkalian” yang memuaskan dalam matematika murni dan kemudian

melihat apakah ini memberikan suatu model yang bermanfaat untuk alam real 1;

atau kita dapat menggunakan keperluan terhadap model kerja yang memuaskan

untuk menghasilkan suatu pengertian, dan kemudian meneliti apakah hal itu

secara matematis dapat diterima. Kedua pendekatan ini mempunyai kebaikan.

Yang terakhir kurang abstrak yaitu salah satu yang akan kita gunakan disini.

Seperti biasa dimulai dengan obyek standar:

Selanjutnya obyek ini menggambarkan pecahan 3

2

Dalam bilangan asli, 4 x 3 bila diwujudkan dalam obyek-obyek fisik/berarti:

11

Mulai dengan suatu himpunan 3-an

Dan menggabungkan 4 himpunan itu.

Sedangkan dalam bilangan pecahan 5

4

3

2

Dapat diartikan dengan bagian dua pertiga bagian dari suatu obyek

Dan ambil empat seperlimanya

Dalam bilangan asli menghitung 4 x 3 berarti ’menentukan banyaknya anggota

himpunan hasil’. Dalam bilangan pecahan menghitung 5

4

3

2 dapat diartikan

menentukan berapa bagian pecahan dari obyek yang merupakan bagian obyek

hasil. Bagian obyek hasil ditunjukkan dengan daerah arsiran bersilang. Obyek asal

sekarang dibagi kedalam lima belas bagian ( ), dan daerah arsiran bersilang

menggabungkan 8 ( ) dari itu.

12

Ini menunjukkan bahwa15

8

53

42

5

4

3

2

cara ini masuk akal untuk mengalikan

pecahan-pecahan itu; dalam arti bahwa hal ini memberikan model pengerjaan

yang baik untuk bagian dari obyek bagian. Hal ini juga memenuhi keperluan

untuk (i) dan (ii) di halaman 186 (buku asli) sebelumnya dengan sangat baik.

Kedua metode ini telah disepakati oleh para matematikawan untuk

penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan pecahan, kita menggunakan bahkan

tidak tahu bagaimana bentuk sampai pada metode ini disampaikan. Secara umum

dinyatakan jika a, b, c, d adalah bilangan asli maka metode untuk penjumlahan

adalah

d

ba

d

b

d

a

Dan metode untuk perkalian adalah

db

ca

d

c

b

a

dimana dan mengacu pada operasi dalam bilangan pecahan, sedangkan + dan

x pada operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan asli.

Banyak yang belum diungkapkan mengenai bilangan pecahan. Teknik-

teknik untuk memanipulasi belum disistemasikan dan notasi desimal yang sangat

mempermudah manipulasi tersebut belum perlu. Tak satupun dari teknik-teknik

itu akan digunakan disini, karena tujuan yang diharapkan adalah lebih ke

pemahaman daripada ketrampilan perhitungan. Juga, belum diperiksa bahwa

bilangan pecahan memiliki lima sifat dari suatu sistem bilangan (dalam bab 9)

yang sangat penting. Ini seharusnya dikaitkan dengan perlakuannya yang bersifat

aljabar, hal ini ditempatkan didalam suatu lampiran dalam bab ini.

Pembaca yang sulit berpikir dalam istilah-istlah aljabar dapat

menggunakannya untuk lebih meyakinkan, karena sudah mempunyai ide-ide dan

hanya perlu meyakinkan bahwa sifat-sifat itu berlaku juga dalam bilangan

pecahan. Persoalan ketiga adalah apakah perluasan bilangan asli dan pecahan

dapat saling melengkapi. Hal terakhir ini akan dibahas dalam bab 12, dengan

bantuan ide-ide isomorfisma dan generalisasi matematika.

13

CATATAN TAMBAHAN

Bilangan pecahan mempunyai lima sifat dari suatu sistem bilangan

Misalkan , sebarang bilangan asli

Lalu b

a dll, akan menunjukkan bilangan pecahan.

Komutatif terhadap penjumlahan.

Kita hanya dapat menjumlahkan jika penyebutnya sama,

d

ba

d

b

d

a

d

ba =

d

b

d

a

Sifat ini mengikuti sifat yang sesuai untuk bilangan asli, dan adalah benar sama

untuk semua sifat yang lain.

Assosiatif terhadap penjumlahan

d

cba

d

cba

d

c

d

ba

d

c

d

b

b

a )()()(

=

d

c

d

b

d

a

d

cb

d

a )(

Komutatif terhadap perkalian

b

a

d

c

bd

ac

db

ca

d

c

b

a

Assosiatif terhadap perkalian

fdb

eca

f

e

db

ca

f

e

d

c

b

a

)(

)(

=

f

e

d

c

b

a

fd

ec

b

a

fdb

eca

)(

)(

Distributif perkalian terhadap penjumlahan

d

ba

y

x

d

b

d

a

y

x )(

= dy

bax

)(=

dy

bxax

= dy

bx

dy

ax

=

d

b

y

x

d

a

y

x

14

IMPLIKASI DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA

1. Mengenal Konsep Pecahan

Kegiatan mengenal konsep pecahan akan lebih berarti bila didahului dengan

soal cerita yang menggunakan obyek-obyek nyata misalnya buah, kue dll. Peraga

selanjutnya dapat berupa daerah-daerah bangun datar beraturan misalnya persegi

atau lingkaran yang akan sangan membantu dalam mempergakan konsep pecahan.

Pecahan

dapat diperagakan dengan cara melipat kertas berbentuk

lingkaran atau persegi, sehingga lipatnnya tepat menutupu satu sama lain.

Selanjutnya bagian yang dilipat dibuka dan diarsir sesuai bagian yang

dikehendaki, sehingga akan didapatkan gambar daerah seperti di bawah ini.

Pecahan

dibaca setengah atau satu perdua atau seperdua. “1” disebut

sebagai pembilang yaitu merupakan bagian pembilang atau 1 bagian yang

diperhatikan dari bagian yang sama dari/secara keseluruhan. Peragaan tersebut

dapat dilanjutkan sebagai berikut:

2. Pecahan Senilai

Misalnya akan ditunjukkan contoh bahwa

dengan menggunakan

tiga lembar kertas yang berbentuk persegipanjang dengan ukuran yang sama.

Anggap selembar kertas sebagai 1 bagian utuh. kertas pertama dilipat menjadi dua

bagian yang sama sehingga diperoleh

. Kertas kedua dilipat menjadi dua bagian

yang sama, kemudian dilipat lagi menjadi dua, sehingga diperoleh

. begitupun

untuk kertas ketiga dilipat menjadi dua bagian yang sama sebanyak tiga kali.

Kertas pertama yang dilipat menjadi dua bagian yang sama

dan diperoleh

.

15

Dari lipatan pertama dilipat lagi menjadi dua bagian yang

sama dan diperoleh

.

Dari lipatan yang kedua lipat lagi menjadi

dua bagian yang sama dan diperoleh

Dari gambar di atas jelas bahwa

senilai dengan

dan

atau

.

Peragaan dilanjutkan untuk pecahan-pecahan yang lain sehingga akan tampak

pola hubungan kelipatan atau pembagian yang sama antara pembilang dan

penyebut.

3. Penjumlahan Pecahan

a. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama

Misal:

b. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya berbeda

Saat anak harus mempelajari materi ini, maka mereka harus diberikan

pengalaman-pengalaman dalam ilustrasi kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh

dapat dikemukakan cerita berikut ini:

Adik mempunyai

bagian dari cakenya di atas meja. Kemudian ibu

memberinya sepotong lagi yang besarnya

bagian. Berapa kue adik sekarang.

Dari peragaan ini tampak bahwa hasil akhir adalah

. Berarti

.

Tampak pula bahwa

. Sehingga

.

16

4. Perkalian Pecahan

Satu resep roti membutuhkan

bagian coklat batangan. Jika kakak membuat

resep maka coklat yang dibutuhkan ... bagian.

Untuk mengkongkretkan masalah di atas dapat digunakan media kertas yang

mudah dilipat sebagai media individual.

Tahap 1

Kertas dilipat menjadi 5 bagian yang sama sesuai dengan penyebut dari

pecahan yang digunakan pada coklat batangan. Arsir tiga bagian dari lipatan

untuk membentuk pecahan

.

Tahap 2

Lipat

menjadi 2 bagian sama atau

dari

, maka akan terbentuk lipatan:

Tahap 3

Ikuti lipatan kecil tersebut sampai seluruh kertas membentuk lipatan kecil

yang sama. maka akan terbentuk 10 lipatan kecil, dan

dari

tersebut ternyata

sama dengan 3 lipatan kecil dari 10 lipatan atau

(yang diarsir dobel).

Jadi,

dari

adalah

atau

17

DAFTAR PUSTAKA

Maulida, Naila. 2010. Meningkatkan Keterampilan Menghitung Bilangan Pecahan

Melalui Pendekatan Kontekstual pada Siswa Kelas IV SD Negeri

Cangkirangan Kecamatan Banyudono Kabupaten Boyolali Tahun

2009/2010. Skripsi tidak diterbitkan. Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Universitas Sebelas Maret.

Mayang, Nurhayati H. 2014. Upaya Meningkatkan Kemampuan Mengubah

Pecahan Biasa ke Desimal di Kelas V SDN 8 Limboto Barat Kabupaten

Gorontalo. Skripsi tidak diterbitkan. Jurusan Pendidikan Guru sekolah

Dasar, Fakultas Ilmu Pendidikan Universitas Negeri Gorontalo.

Rachmiati, Wida. 2011. Membangun Pemahaman Siswa SD terhadap Konsep

Pecahan dengan Pembelajaran Konstruktif. Primary, Vol 3, No.2, Hal:123-

200.

Skemp, Richard R. 1971. The Psychology of Learning Mathematics. Harmonds-

worth: Penguin Books.

Sukayati. 2003. Pecahan. Yogyakarta: Dapartemen Pendidikan Nasional,

Direktoral Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah Pusat Pengembangan

Penataan Guru (PPPG) Matematika.