Karakteristik Dinamis Struktur Domes Berelemen Membran... · elemen (shell) pada struktur...

Karakteristik dinamis struktur domes berelemen membran

(DYNAMICS CHARACTERISTIC of THE STRUCTURAL DOMES

USING SHELL ELEMENT )

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian

Persyaratan Memperoleh Gelar Sarjana Teknik

Dikerjakan Oleh :

Devy Sari PurniawatiNIM. I.0101060

JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2005

KARAKTERISTIK DINAMIS STRUKTUR DOMES

BERELEMEN MEMBRAN

(DYNAMICS CHARACTERISTIC of THE STRUCTURAL DOMES

USING SHELL ELEMENT )

Dikerjakan Oleh : DEVY SARI PURNIAWATI

NIM. I 0101060

SKRIPSI Telah disetujui untuk dipertahankan di hadapan

Tim Penguji Pendadaran Fakultas Teknik Universitas Sebelas Maret

Disetujui,

PEMBIMBING I PEMBIMBING II

Ir. AGUS SUPRIYADI, MT SENOT SANGADJI, ST, MTNIP. 131 792 199 NIP. 132 258 673

JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2005

ALGORITMA KENDALI AKTIF DENGAN KONTROL PID

PADA STRUKTUR SDOF

(ACTIVE CONTROL ALGORITHM WITH PID CONTROLLER

ON SDOF STRUCTURE)

SKRIPSI

Dikerjakan Oleh :

DEVY SARI PURNIAWATINIM. I 0101060

Dipertahankan didepan Tim Penguji Pendadaran Fakultas Teknik Universitas Sebelas Maret Surakarta dan diterima guna memenuhi salah satu persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Teknik.

Pada hari : Selasa

Tanggal : 25 Januari 2005

Tim Penguji Pendadaran :

Ketua : Ir. AGUS SUPRIYADI, MT : ………………….. NIP. 131 792 199 Anggota 1 : SENOT SANGADJI, ST,MT : ………………….. NIP. 132 134 682 Anggota 2 : STEFANUS A K, ST, MSc, PhD : ………………….. NIP. 132 134 682 Anggota 3 : EDY PURWANTO, ST, MT : ………………….. NIP. 132 163 113

Mengetahui, Disahkan oleh : a.n Dekan, Ketua Jurusan Teknik Sipil,

Ir. Paryanto, MS Ir. Agus Supriyadi, MTNIP. 131 569 244 NIP. 131 792 199

MOTTO

Keinginan manusia adalah seperti koin-koin kecil yang dibawanya dalam sebuah

kantung. Semakin banyak yang dimilikinya akan semakin memberatkannya.

Hidup adalah rintangan yang harus dihadapi, perjuangan yang harus

dimenangkan, rahasia yang harus digali, dan anugerah yang harus dipergunakan.

Hal kecil membentuk kesempurnaan, tapi kesempurnaan bukanlah hal kecil.

If life is a river and your heart is aboat, the water is flowing spirit keep you float.

Always welcome thw new morning with a new spirit, a sime on your face, love in

your heart and good thoughts in your mind.

Forget the mistake that you have made, but don’t forget the lesson you learned.

PERSEMBAHAN

UNTUK PAPA, MAMA, KEDUA KAKAK, DAN ADIKKU DI

YOGYAKARTA

ABSTRAK

Devy Sari Purniawati, 2005, Karakteristik Dinamis Struktur Domes Berelemen Membran. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sebelas Maret Surakarta.

Struktur domes adalah bangunan alternatif yang tahan terhadap gelombang air maupun tekanan angin yang cukup besar. Domes juga tahan terhadap getaran gempa bumi dan bahaya kebakaran. Biaya pembuatan domes relatif murah karena tidak memakai balok dan kolom. Analisis ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana pengaruh bentuk elemen (shell) pada struktur monolithic dome dari beton bertulang dan berapa besarnya periode getar dan frekuensi alami domes pada kondisi unforced vibration.

Hasil analisis menunjukkan bahwa modus getar dome berelemen shell persegi berbentuk asimetris dan dome berelemen shell belah ketupat terdeformasi cukup signifikan di puncak menyebabkan kedua domes tersebut tidak memiliki tingkat kestabilan yang cukup. Modus getar dome berelemen shell segitiga berbentuk simetris, hal ini menunjukkan bahwa dome berelemen shell segitiga cukup stabil. Besarnya periode getar dan frekuensi alami pada fundamental mode (modus pertama) kondisi unforced vibration shell persegi adalah 0.07354 detik dan 13.59 Hz, segitiga adalah 0.07358 detik dan 13.59 Hz, belah ketupat adalah 0.07437 detik dan 13.45 Hz.

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha esa,

sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian dengan judul Karakteristik

Dinamis Struktur Domes Berelemen Membran. Penelitian ini bertujuan untuk

melengkapi persyaratan memperoleh gelar Sarjana Teknik pada Fakultas Teknik,

Jurusan Teknik Sipil, Universitas Sebelas Maret Surakarta.

Penulis ingin mengucapkan terima kasih secara khusus kepada Bapak

Ir.Agus Supriyadi, MT dan Bapak Senot Sangadji, ST, MT selaku pembimbing

skripsi penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian ini dengan baik.

Semoga penelitian ini dapat memberikan manfaat bagi semua pembaca

yang budiman.

Surakarta, Januari 2005

Penulis,

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ii

HALAMAN PENGESAHAN iii

HALAMAN MOTTO iv

HALAMAN PERSEMBAHAN v

ABSTRAK vi

KATA PENGANTAR vii

UCAPAN TERIMA KASIH viii

DAFTAR ISI ix

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL xi

DAFTAR TABEL xiv

DAFTAR GAMBAR xv

DAFTAR LAMPIRAN xvi

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 2

1.3 Rumusan Masalah 3

1.4 Batasan Masalah 3

1.5 Manfaat dan Tujuan 4

BAB II LANDASAN TEORI 5

2.1 Tinjauan Pustaka 5

2.2 Dasar Pemikiran 6

2.3 Persamaan Differensial Gerakan Struktur MDOF 7

2.4 Solusi Modus Getar dan Frekuensi Alami 9

2.5 Model Elemen Hingga 11

2.5.1 Idealisasi Matriks Kekakuan Struktur Segitiga 15

2.5.2 Idealisasi Matriks Kekakuan Struktur Persegi 21

2.5.3 Proses pembentukan Persamaan Global Struktur 24

2.5.4 Perhitungan Tegangan Elemen 25

BAB III METODOLOGI PENELITIAN 25

3.1 Uraian Umum 25

3.2 Analisis Model 25

3.3 Deskripsi Domes 25

3.3.1 Permodelan Struktur 26

3.4 Metode Analisis 26

3.5 Kerangka Analisis 26

3.6 Tahap Analisis 28

BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN 30

4.1 Analisis Struktur Dome 30

4.1.1 Struktur Dome Elemen Shell Persegi 30

4.1.2 Struktur Dome Elemen Shell Segitiga 34

4.1.3 Struktur Dome Elemen Shell Belah Ketupat 38

4.2 Pembahasan 41

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 44

5.1 Kesimpulan 44

5.2 Saran 44

DAFTAR PUSTAKA xvii

LAMPIRAN xviii

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Tabel Partisipasi Mode 32

Tabel 4.2 Data Frekuensi Alami dan Periode Getar 32

Tabel 4.3 Joint Displacement Struktur 33

Tabel 4.4 Gaya Dalam dan Tegangan Elemen Shell 35

Tabel 4.5 Data Frekuensi Alami dan Periode Getar Struktur 36



Tabel 4.8 Data Frekuensi Alami dan Periode Getar Struktur 40



Tabel 4.11 Perbandingan Nilai Joint Displacement Maksimum 43

Tabel 4.12 Perbandingan Nilai Periode Getar dan Frekuensi Alami 43

Tabel 4.13 Perbandingan Gaya Dalam dan Tegangan Dalam Shell 43

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Model Dome yang Bervariasi 1

Gambar 1.2 Desain Elemen Struktural Dome 2

Gambar 2.1 (a) Sistem dengan Tiga Derajat Kebebasan Teredam

(b) Free-Body Diagram 7

Gambar 2.2 Elemen Segitiga Dalam Tiga Dimensi 14

Gambar 2.3 Elemen Segitiga Pada Koordinat Global 15

Gambar 2.4 Elemen Segitiga Pada Koordinat Lokal 16

Gambar 2.5 Elemen Shell Rectangular dengan Empat Joint 20

Gambar 2.6 Elemen Persegi dengan Koordinat Global 21

Gambar 3.1 Diagram Ilustrasi Global Penelitian 27

Gambar 3.2 Diagram Alir Proses Perhitungan Secara Umum 28

Gambar 3.3 Diagram Alir Perhitungan dengan Komputer 29

Gambar 4.1 Crenosphere Stadion di Amerika Serikat Tinggi

Maksimum dome mencapai 500ft dengan diameter

Maksimum 1000ft 30

Gambar 4.2 Dome dengan Elemen Shell Persegi 30

Gambar 4.3 Modus Getar Pertama dengan Periode Getar

(T= 0,07354 detik) 31

Gambar 4.4 Distribusi Gaya Shell Maksimum pada Tiap Tingkat Mode 32

Gambar 4.5 Distribusi Momen Shell Maksimum pada

Tiap Tingkat Mode 32

Gambar 4.6 Distribusi Gaya Shell Maksimum pada


Gambar 4.7 Distribusi Tegangan Shell Maksimum pada


Gambar 4.8 Dome Kaca dengan Elemen Shell Segitiga 34

Gambar 4.9 Dome dengan Elemen Shell Segitiga 34


(T= 0,07358 detik) 35

Gambar 4.11 Distribusi Gaya Shell Maksimum

pada Tiap Tingkat Mode 35

Gambar 4.12 Distribusi Momen Shell Maksimum

Pada Tiap Tingkat Mode 35

Gambar 4.13 Distribusi Gaya Geser Shell Maksimum


Gambar 4.14 Distribusi Tegangan Shell Maksimum


Gambar 4.15 Dome dengan Elemen Shell Belah Ketupat 38


(T=0,07438 detik) 38

Gambar 4.17 Distribusi Gaya Shell Maksimum


Gambar 4.18 Distribusi Momen Shell Maksimum


Gambar 4.19 Distribusi Gaya Geser Maksimum


Gambar 4.20 Distribusi Tegangan Shell Maksimum


Gambar 4.21 Perbandingan Pola Getaran Struktur Domes 41

Gambar 4.22 Domes dengan Elemen Shell Belah Ketupat

Tampak dari atas 41

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A Hasil Analisis Model

A-1 Model Shell Elemen Persegi

A-2 Model Shell Elemen Segitiga

A-3 Model Shell Elemen Belah Ketupat

Lampiran B Surat-surat Skripsi

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dome merupakan suatu alternatif bangunan struktural yang memiliki

banyak keunggulan. Model struktur dome yang spherical atau elliptical

membuatnya sangat aerodinamis dalam menahan beban angin, tornado, maupun

hurricane apabila dibandingkan dengan struktur biasa yang cenderung memakai

bentuk flat/datar. Sebuah dome mampu menahan angin hingga berkecepatan 150

mph bahkan juga hurricane dengan kecepatan 300 mph.[1]

Struktur dome banyak digunakan sebagai struktur rumah tinggal di pantai-

pantai Amerika Serikat karena memiliki ketahanan terhadap gelombang air

maupun tekanan angin yang cukup besar misalnya seperti bangunan dome di

Porth Arthur, Texas.

Keunggulan lain dari dome adalah ketahanannya terhadap getaran gempa

bumi. Hal ini disebabkan oleh karena ikatan antara struktur dome dengan pondasi

yang dibuat rigid dan monolith sehingga tidak terdapat eksentrisitas yang bisa

menyebabkan puntir pada struktur utama.

Gambar 1.1. Model Dome yang Bervariasi

Struktur dome juga sangat preventif terhadap bahaya kebakaran.

Monolithic dome yang terbuat dari beton tentu saja tahan terhadap panas api bila

dibandingkan dengan struktur biasa yang masih memakai elemen kayu dan baja.

Resiko bangunan rusak oleh serangga, tikus, maupun kucing dapat dihindari

karena struktur dome terbuat dari beton dan monolithic.

Biaya pembuatannya pun lebih murah, hal ini bisa dilihat dari desain dome

yang tidak memakai elemen atap dan plafond yang kadang biaya konstruksinya

mencapai 300.000.000 rupiah tiap 941.411 m2.

Gambar 1.2. Desain Elemen Struktural Dome

Desain dome yang baik dan optimal harus mampu memberi ketahanan

struktural terhadap beban angin dan beban gempa bumi. Gempa bumi, tanah, dan

pondasi struktur biasanya bergetar pada periode 0.2 hingga 1.2 detik, sedangkan

angin pada umumnya berhembus dengan periode getar sebesar 2 detik atau

dengan frekuensi alami 0.5 Hz. Sehingga diperlukan desain elemen shell dari

dome yang tepat baik berbentuk triangular, rectangular, maupun diamond untuk

mencapai kondisi getaran struktur yang berada jauh dari resonansi getaran gempa

bumi maupun beban angin.

1.2 Identifikasi Masalah

Dome dapat dibuat dari bermacam-macam elemen mulai dari beton, beton

bertulang, aluminium (logam), batu, batu bata (masonry), polyurethane, dan

sebagainya. Masing-masing bahan memiliki ketahanan dan modulus elastisitas

yang berbeda sehingga dalam desain dome perlu diperhatikan pemilihan elemen

yang tepat sehingga bisa dicapai desain yang optimal dari segi durabilitas,

ketahanan struktur, dan ekonomis.

Model shell element dari struktur dome juga perlu dikaji untuk

mendapatkan desain yang terkuat, shell element dengan area yang luas dan bentuk

yang jauh dari segitiga akan memperlemah struktur karena memberikan respon

dinamis dan tegangan inersia yang besar saat struktur diguncang oleh gempa bumi

atau tertekan oleh angin.

Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan sebelumnya maka

ditemukan beberapa masalah yang dapat dikaji diantaranya adalah tentang

pengaruh bentuk atau model shell element pada struktur Plane Stress terhadap

respon dinamis struktur yang berupa respon perpindahan (joint displacement),

frekuensi alami, tegangan membran dan modus getar.

1.3 Rumusan Masalah

Bagaimana pengaruh bentuk elemen (shell) pada struktur monolithic

dome dari beton bertulang : triangular, rectangular, atau diamond terhadap

karakteristik dinamis (frekuensi alami, periode getar, modus getar, dan

displacement).

1.4 Batasan Masalah

Pada penulisan tugas akhir ini analisis struktur dibatasi secara elastis,

struktur dome yang dianalisis hanya sampai dengan keadaan bahwa struktur

belum mengalami retak. Dalam kondisi elastis beton dapat dianggap sebagai

bahan yang homogen dan isotropis. Lingkup permasalahan penulisan skripsi ini

adalah sebagai berikut :

a. Bangunan sebagai building house ditepi pantai bertingkat dua terbuat dari

beton bertulang.

b. Jenis dome yang ditinjau adalah monolithic dengan model hemispherical.

c. Struktur didiskritisasikan ke dalam bentuk dua dimensi, yaitu plane stress

d. Derajat kebebasan struktur berupa MDOF.

e. Rasio panjang sisi-sisi elemen shell rectangular 1:2.

f. Rasio panjang sisi-sisi elemen shell triangular 1:1.

g. Rasio panjang sisi-sisi elemen shell diamond 1:1.

h. Respon dinamis yang ditinjau adalah sebagai berikut :

1. Reaksi perpindahan (joint displacement)

2. Frekuensi alami

3. Periode getar struktur

4. Tegangan membran (axial, bending tensile, shear)

1.5 Manfaat dan Tujuan

Tujuan utama dari penulisan skripsi ini adalah untuk menjawab rumusan

masalah yang ada, yaitu bagaimana menciptakan model desain shell element yang

terbaik untuk menciptakan struktur domes yang memiliki kekuatan maksimal

terhadap gempa bumi dan angin.

Sedangkan manfaat yang dapat diambil adalah sebagai berikut :

a. Manfaat Teoritis

Untuk dijadikan dasar pengetahuan di bidang perencanaan desain shell

element struktur domes hemispherical yang tahan terhadap angin dan gempa

bumi.

b. Manfaat Praktis

Untuk lebih menyebarluaskan pemakaian domes hemispherical berelemen

membran sebagai salah satu alternatif dalam desain struktur di Indonesia.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka

Beban dinamik adalah setiap beban yang besarnya, arah atau posisinya

berubah menurut waktu. Demikian pula respon struktur terhadap beban dinamik,

yaitu lendutan dan tegangan yang dihasilkan juga mengalami perubahan waktu,

atau bersifat dinamik. (R.W. Clough & Penzein, 1988).

Kemudian R.W. Clough & Penzein (1988) juga mengatakan bahwa

masalah dinamika struktur adalah sifat perubahan menurut waktu sehingga

masalah dinamik tidak mempunyai penyelesaian tunggal, seperti pada masalah

statis. Analisisnya harus menentukan penyelesaian berturut-turut sesuai dengan

semua waktu yang penting dalam riwayat respon. Jadi masalah dinamis jelas lebih

kompleks dan banyak menyita waktu daripada masalah statis.

Analisis dinamik ini digunakan pada struktur-struktur khusus yaitu :

gedung yang strukturnya tidak beraturan, gedung dengan loncatan bidang muka

yang besar, gedung dengan tingkat kekakuan yang tidak merata, gedung yang

tingginya lebih dari 40 m, gedung yang bentuk, ukuran, dan penggunaannya tidak

umum. (Pedoman Perencanaan Ketahanan Gempa untuk Rumah dan Gedung,

1987).

Anil K Chopra (1995) menyatakan bahwa salah satu aplikasi penting dari

teori dinamika struktur dalam rekayasa gempa adalah analisis respon dari struktur

terhadap gerakan tanah yang diakibatkan oleh gempa bumi.

Pada analisis dinamik pertama-tama haruslah menentukan frekuensi alami

dan modus getar struktur sebagai parameter dasar. Metode yang dikenal untuk

masalah ini adalah penyelesaian nilai eigen dan vektor eigen dari struktur. (Senot

Sangadji, 2004).

Modal Analysis Method adalah metode yang memakai standar mode

shapes pada struktur MDOF dengan kondisi unforced vibration. Pada kondisi

tersebut akan diperoleh suatu pola/ragam goyangan struktur MDOF yang dikenal

secara umum dengan standar mode shapes, karena respon struktur merupakan

fungsi langsung atas mode shapes struktur yang bersangkutan. (Widodo. 2001).

Clough & Penzien (1993) mengatakan bahwa metode ini juga mempunyai

kelemahan yaitu terletak pada penyelesaian eigenproblem untuk mencari

nilai/koordinat mode shapes. Karena proses tranformasi dari coupled menjadi

uncoupled, persamaan differensial menjadi uncoupled maka tidak diperlukan

matriks massa, matrik redaman, dan matriks kekakuan.

Persamaan eigenproblem merupakan karakteristik struktur yang berupa

hubungan antara massa dan kekakuan struktur. Hubungan tersebut akan

menentukan nilai frekuensi sudut dan periode getar dari struktur. (Widodo, 2001).

2.2 Dasar Pemikiran

Cangkang (domes) adalah bentuk struktural tiga dimensional yang kaku

dan tipis yang mempunyai permukaan lengkung. Permukaan cangkang dapat

mempunyai sembarang bentuk. Bentuk yang umum adalah permukaan yang

berasal dari kurva yang diputar terhadap satu sumbu (misalnya permukaan bola,

ellips, kerucut dan parabola).

Beban – beban yang bekerja pada permukaan domes diteruskan ke tanah

dengan menimbulkan tegangan geser, tarik, dan tekan pada arah dalam bidang (in-

plane) permukaan tersebut. Tipisnya permukaan domes menyebabkan tidak

adanya tahanan momen yang berarti.

Domes tersusun atas elemen – elemen shell yang tertata rapi membentuk

kubah. Elemen – elemen shell ini sangat tipis dengan bentang relatif besar tetapi

sangat kuat untuk menahan beban angin dan gempa bumi.

Berdasarkan definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa dalam struktur

domes elemen shell berperan sebagai penahan beban, baik beban mati maupun

beban hidup yang bekerja pada struktur.Kondisi tersebut menyebabkan integritas

domes sangat bergantung pada elemen shell, baik bentuk, ukuran maupun

ketebalannya.

Pemilihan bentuk, ukuran maupun ketebalan shell yang tepat harus

menjadikan struktur memiliki kekakuan yang cukup sehingga memiliki frekuensi

alami tertentu yang jauh dari frekuensi alami angin dan gempa bumi.

2.3 Persamaan Differensial Gerakan Struktur MDOF

Secara umum struktur bangunan gedung tidaklah selalu dapat dinyatakan

didalam suatu sistem yang mempunyai derajat kebebasan tunggal (SDOF).

Struktur seperti domes dan sejenisnya yang mempunyai bentuk fisik kontinu,

maka pada struktur – struktur seperti itu akan mempunyai derajat kebebasan tak

terhingga atau derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom).

Derajat kebebasan adalah derajat independensi yang diperlukan untuk

menyatakan posisi suatu sistem pada suatu saat, jadi sistem kebebasan derajat

banyak adalah suatu sistem yang punya beberapa titik yang dapat berpindah

secara berbeda. Anggapan seperti prinsip shear building berlaku pada struktur

dengan derajat kebebasan banyak (MDOF). Untuk memperoleh persamaan

differensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic

equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan

tersebut maka diambil model struktur MDOF seperti Gambar 2.1

Gambar 2.1 (a) Sistem dengan tiga derajad kebebasan teredam;

(b) Free-Body Diagram dimana : m = massa struktur

c = koefisisen redaman struktur

•u = kecepatan relatif

k = kekakuan tingkat

u = nodal displacement

p(t) = beban luar saat t

Berdasarkan pada kesetimbangan dinamik pada free body diagram gambar

maka akan diperoleh :

P3(t) c1 c2 c3

k1 k2 k3

P1(t) P2(t)

u1 u2 u3

(a)

(b)

0(t)p)uu(c)u(ukucum 11221221111 =−−−−−+•••••

(2.1)

0(t)p)uu(c)u(uk)uu(c)u(ukum 223323312212222 =−−−−−−+−−••••••

(2.2)

0(t)p)uu(c)u(ukum 312323333 =−−+−+••••

(2.3)

Pada persamaan tersebut diatas tampak bahwa keseimbangan dinamik

suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan

simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat – sifat seperti

itu umumnya disebut coupled equation, karena persamaan – persamaan tersebut

akan tergantung satu sama dengan yang lainnya. Penyelesaian persamaan tersebut

harus dilakukan secara simultan, artinya dengan melibatkan seluruh persamaan

yang ada.

Selanjutnya menyusun persamaan – persamaan diatas menurut parameter

yang sama (percepatan, kecepatan, dan simpangan) sehingga akan diperoleh :

(t)puk)uk(kucu)c(cum 1121212212111 =−++−++••••

(2.4)

(t)puk)uk(kukucu)c(cucum 23323212332321222 =−++−−++−•••••

(2.5)

(t)pukukucucum 33323332233 =+−+−••••

(2.6)

Persamaan – persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut

:

••

••

••

3

2

1

3

2

1

uuu

m000m000m

+

−−+−

−+

•

•

•

3

2

1

33

3322

221

u

uu

cc0cccc0ccc

+

=

−−+−

−+

(t)p(t)p(t)p

uuu

kk0kkkk0kkk

3

2

1

3

2

1

33

3322

221

(2.7)

Persamaan di atas dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompak :

p(t)kuucum =++•••

(2.8)

Apabila struktur dengan derajat kebebasan banyak tersebut dikenai beban

gempa bumi maka persamaan (2.8) menjadi :

{ }•••••

−=++ gu1mkuucum(2.9)

dimana {1}adalah vektor angka satu dan ••

gu adalah percepatan tanah.

2.4 Solusi Modus Getar dan Frekuensi Alami

Setiap benda memiliki bentuk modus dan frekuensi tertentu yang disebut

modus getar dan frekuensi alami. Frekuensi memiliki satuan Hertz (Hz),

seringkali dinyatakan dalam radian tiap satuan waktu dan disimbolkan dengan

huruf latin ω. Frekuensi dapat didefinisikan sebagai banyaknya siklus yang

dilakukan selama satu detik. Invers dari frekuensi adalah periode, yaitu waktu

yang dibutuhkan suatu benda untuk menyelesaikan satu siklus, dengan satuan

detik (second). Setiap benda memiliki frekuensi alami dengan jumlah yang tidak

terbatas, tetapi yang diperlukan dalam analisis seringkali hanyalah yang terendah

(fundamental frequency).

Sedangkan modus atau mode adalah bentuk deformasi struktur ketika

bergerak dalam satu periode tertentu. Modus sangat penting untuk diketahui

karena ketika modus muncul, berarti ada banyak energi yang memakai suatu

struktur dan membuatnya bergetar. Jika energi yang memasukinya terlalu banyak

sehingga melebihi kapasitas struktur, maka struktur akan mengalami keruntuhan

karena amplitudo getarannya akan menjadi tak terhingga seiring dengan waktu

dan disusul dengan hilangnya integritas struktur.

Angin topan memisahkan suatu rumah dari atapnya yaitu ketika angin

menggunakan tekanan dan mulai mengangkat atap. Karena struktur domes tidak

memiliki atap, maka angin tidak dapat memisahkan struktur domes. Frekuensi

alami angin yang berkisar antara 0.5 Hz terletak diluar jangkauan frekuensi gempa

yang berkisar antara 0.8-5 Hz.

Oleh karena itu sangatlah penting untuk mengetahui pada frekuensi berapa

sebuah domes akan bergetar, sehingga struktur domes dapat dibuat agar memiliki

modus pertama dengan deformasi tertentu dan frekuensi tertentu yang dianggap

lebih baik bagi kekakuan dan integritas tertentu.

Karena sistem bergerak dengan getaran bebas, dapat diperoleh dengan

menghilangkan matriks redaman dan vektor beban yang dikenakan dari

persamaan (2.8) sehingga diperoleh :

0kuum =+••

(2.10)

dimana 0 adalah vektor nol. Masalah analisis getaran terdiri dari penentuan

kondisi didalam persamaan diatas akan memungkinkan terjadi gerak. Untuk suatu

sistem MDOF, diasumsikan getaran bebas adalah harmonis sederhana, yang

dinyatakan sebagai :

θ)sin(ωiφu(t) n +=

(2.11)

dalam pernyataan nφ menggambarkan bentuk sistem (yang tidak berubah

menurut waktu; hanya amplitudo yang berubah) dan θ adalah sudut fase.

Perubahan perpindahan menurut waktu dinyatakan dalam fungsi harmonis

sederhana sin (ωt+θ). Bila diambil turunan kedua dari persamaan diatas,

percepatan pada getaran bebas adalah :

sinφωu n2−=

••(ωt+θ) = - uω2

(2.12)

dengan mensubstitusikan persamaan (2.11) dan (2.12) ke persamaan (2.10)

didapatkan :

sinmφω n2− (ωt+θ)+k nφ sin (ωt+θ) = 0

(2.13)

karena bentuk sinus sembarang dan dapat dihilangkan persamaan diatas dapat

ditulis :

(k- 0m)φω n2 =

(2.14)

persamaan tersebut selalu mempunyai penyelesaian tak berarti (trivial solution)

nφ = 0, yang tidak berguna karena dengan penyelesaian ini berarti tidak ada

getaran. Persamaan diatas mempunyai penyelesaian yang berarti (nontrivial

solution) jika :

0mωk 2 =−

(2.15)

persamaan (2.15) disebut persamaan karakteristik, persamaan frekuensi, atau

eigenproblem.

Dengan memperluas determinan akan diperoleh persamaan aljabar berderajat N,

dalam parameter 2ω untuk sistem yang mempunyai N derajat kebebasan.

Ke-N akar-akar persamaan ini ( N321 ,......ωω,ω,ω ) menunjukkan frekuensi

natural dari ke-N getaran yang mungkin terjadi pada sistem. Akar dari persamaan

karakteristik dikenal sebagai nilai karakteristik, nilai normal atau nilai eigen. Jika

frekuensi natural getaran Nω sudah diketahui, persamaan (2.14) dapat

diselesaikan untuk mendapatkan vektor nφ . Nilai eigen atau nilai karakteristik

tidak memberikan amplitudo yang pasti pada vektor nφ , tetapi nilai tersebut

hanya akan sebanding antara yang satu dengan yang lain. Sehingga akan diperoleh

N vektor nφ yang dikenal sebagai pola normal (normal modes) atau bentuk pola

natural (natural mode shapes), atau vektor eigen (eigenvectors).

2.5 Model Elemen Hingga (Plane Stress)

Realitas perilaku struktur yang rumit pada domes dan pada semua struktur

pada umumnya menuntut proses analisis yang rumit dan hampir tidak dapat

dilakukan, karena pada kenyataannya, struktur seperti ini memiliki massa yang

terdistribusi secara kontinu pada keseluruhan bagiannya. Keadaan tersebut

membuat struktur memiliki derajat kebebasan (Degree of Freedom) atau DOF

yang tidak terhingga, sehingga jumlah komponen perpindahan yang harus

dipertimbangkan menjadi tidak terhingga pula.

Agar perilaku domes ini dapat dianalisis dengan lebih mudah namun tetap

mendekati perilaku yang sebenarnya, maka komponen perpindahan harus

dinyatakan dalam bentuk jumlah terhingga dari koordinat yang sudah

didiskretisasikan.

Untuk mendiskretisasikan koordinat perpindahan yang akan dianalisis,

keseluruhan sistem harus dibagi-bagi menjadi sejumlah bagian yang tepat atau

elemen-elemen yang perilakunya dengan mudah telah dimengerti dan telah dapat

diformulasikan dalam bentuk aplikasi konsep matematis biasa dan kemudian

merakit kembali sistem struktur asli dari elemen – elemen tersebut untuk

mempelajari perilakunya.

Pada analisis tugas akhir ini, model didiskretisasikan ke dalam Plane

Stress. Plane Stress adalah keadaan dimana tegangan normal dan tegangan geser

yang tegak lurus bidang diasumsuikan nol (Daryil L Logan,1986).

Jenis elemen hingga yang dipakai untuk mendiskretisasikan elemen –

elemen dalam mengidealisasikan domes yang akan dianalisis pada skripsi ini

adalah elemen shell, dimana elemen shell yang akan dianalisis ada 3 macam

bentuk yaitu segitiga (triangular), persegi (rectangular), dan belah ketupat

(diamond).

Hubungan tegangan dan regangan yang didasari atas hukum Hooke dapat

ditulis dalam bentuk sebagai berikut :

( ) [ ]( )σ=ε .C

(2.16)

( ) [ ] ( ) [ ]( )ε=ε=σ − .D.C 1

(2.17)

[ ]C adalah operator matriks yang menghubungkan vektor tegangan ( )σ dan

vektor regangan ( )ε . Sedangkan matriks [ ] [ ] 1CD −= sebagai matriks konstitutif

tegangan (matriks kekakuan material), adalah operator matriks yang

menghubungkan vektor tegangan ( )σ dan vektor regangan ( )ε . Matriks [ ]C dan

matriks [ ]D keduanya merupakan matriks simetris.

Material kontinu yang diasumsikan bersifat isotropik, sehingga hubungan

antara tegangan dan regangan dapat diturunkan, baik itu tegangan bidang maupun

regangan bidang.

Tegangan bidang didasarkan atas asumsi bahwa :

0

0

0

z

yzxz

yzxzz

=ε

=γ=γ

=τ=τ=σ

akan didapatkan komponen tegangan dari regangan:

y2x2x 1E

1E

ευ−

υ+ευ−

=σ

(2.18)

y2x2y 1E

1E

ευ−

+ευ−

υ=σ

(2.19)

Gxy

xy

τ=γ

(2.20)

Pada persamaan (2.20), G adalah konstanta elastisitas lain yang disebut modulus

geser. Hubungan G terhadap modulus elastisitas (E) dinyatakan :

)1(2EGυ+

=

(2.21)

persamaan (2.21) disubstirusikan ke persamaan (2.20) diperoleh :

xyxy E)1(2τ

υ+=γ

(2.22)

υ adalah angka poisson (Possion Ratio).

Persamaan (2.18), (2.19), dan (2.22) disubstitusikan ke persamaan (2.17) didapat

hubungan antara tegangan dan regangan bidang sebagai berikut :

γεε

υ−υ−υ

υυ−

υ−=

τσσ

xy

y

x

2

xy

y

x

2100

0101

1E

(2.23)

dengan :

υ−υ−υ

υυ−

υ−=

2100

0101

1ED 2

(2.24)

[ ]D adalah matriks kekakuan material tegangan bidang untuk Plane Stress.

2.5.1. Idealisasi Matriks Kekakuan Struktur Segitiga

Gambar (2.2) Elemen Segitiga dalam 3 Dimensi

Sifat – sifat material (material properties) yang diperlukan dalam analisis

dengan elemen shell meliputi :

a. Modulus elastisitas (modulus of elasticity)

b. Modulus geser (shear nodulus)

c. Poisson’s ratio, ketiga material properties diatas digunakan untuk

menghitung kekakuan lentur dan geser transversal.

d. Koefisien ekspansi thermal (coefficient of thermal expansion), untuk

menghitung ekspansi membran dan regangan lentur thermal.

e. Massa jenis (mass density), untuk menghitung massa elemen.

f. Berat jenis (weight density), untuk menghitung berat sendiri dan beban

gravitasi.

x

y

Y

X

Gambar (2.3) Elemen Segitiga pada Koordinat Global

Untuk mengembangkan [ ]K didasarkan pada koordinat local x,y

y

vk

uk

k

vi vj

ui uj

i j xGambar (2.4) Elemen Segitiga pada Koordinat Lokal

u = u (x,y) : komponen displacement arah sumbu x

v = v (x,y) : komponen displacement arah sumbu y

Untuk persoalan ini “The Assumed Displacement Field” diambil sebagai

polinomial linier dalam x dan y untuk u maupun v :

yaxaau 321 ++=

(2.25)

yaxaav 654 ++=

(2.26)

selanjutnya parameter non dimensional 6321 a.....a,a,a tersebut akan dinyatakan

dalam fungsi “nodal degrees of freedom” di titik nodal i,j,k.

k6k54k

k3k21k

j6j54j

j3j21i

i6i54i

i3i21i

yaxaavyaxaau

yaxaav

yaxaauyaxaavyaxaau

++=++=

++=

++=++=++=

persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks :

=

6

5

4

3

2

1

kk

jj

ii

kk

jj

ii

k

j

i

k

j

i

aaaaaa

.

yx1000yx1000yx1000000yx1000yx1000yx1

vvvuuu

(2.27)

bila diinvers persamaan (2.27) menjadi :

=

k

j

i

k

j

i

6x6

6

5

4

3

2

1

vvvuuu

.H00H

A21

aaaaaa

(2.28)

dimana A : Luas elemen segitiga

: ½ ( )( )ikij y,yx,x

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3x3ijkiik

jiikkj

ijjikiikjkkj

xxxxxxyyyyyy

yxyxyxyxyxyxH

−−−−−−−−−

=

(2.29)

agar lebih simple titik nodal di elemen segitiga tersebut berimpit dengan titik awal

koordinat lokal x-y sehingga :

0y0y0x jii ===

A = ½ ( )( )0y0x kj −− = ½ kjyx

3x3jkjk

kk

kj

xxxx0yy00yx

H

−−−=

(2.30)

persamaan (2.25) dan (2.26) dapat ditulis dalam bentuk matriks :

=

6

5

4

3

2

1

aaaaaa

.yx1000000yx1

vu

(2.31)

persamaan (2.31) disubstitusikan ke persamaan (2.28) diperoleh :

=

k

j

i

k

j

i

vvvuuu

H00H

yx1000000yx1

A21

vu

[ ] { } 1x66x2

k

j

i

k

j

i

321

321

U.Nvvvuuu

NNN000000NNN

A21

=

=

(2.32)

dengan : N = shape function

u = nodal displacement vector

( )kj1 yxN = - ( )yxxxy jkk −+

2N = yxxy kk −

3N = yx j

(2.33)

menggunakan “Strain Displacement Equations” dapat ditulis sebagai berikut :

[ ] { } 1x66x2

xy

y

x

xy

y

x

u.N.0

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

γεε

(2.34)

persamaan (2.32) disubstitusikan ke persamaan (2.34) didapat :

{ } [ ]{ }u.B=ε

(2.35)

sehingga didapat matriks kekakuan local :

[ ] [ ] [ ][ ]dvB.D.BKv

T∫∫∫=

(2.36)

dimana untuk Plane Stress matriks kekakuan material tegangan bidang dapat

dilihat pada persamaan (2.24):

υ−υ−υ

υυ−

υ−=

2100

0101

1ED 2

proses integrasi persamaan diatas cukup panjang, sehingga tidak ditulis secara

lengkap disini. Hasil stiffness matrik elemen segitiga sebagai berikut :

[ ] [ ] [ ] [ ]BDBAtK T ××××=

(2.37)

dimana : K = matrik kekauan elemen

t = tebal struktur

A = luas penampang elemen

D = matriks konstitutif (material) elemen

[ ]

βγβγβγγγγ

βββ=

kkjjii

kji

kji

000000

A21B

(2.38)

[ ] =TB Transpose matriks [ ]B

jkikji xxyy −=γ−=β

kijikj xxyy −=γ−=β

ijkjik xxyy −=γ−=β

2.5.2. Idealisasi Matriks Kekakuan Struktur Persegi

Elemen Shell (gabungan dari plate dan membrane) digunakan untuk

memodelkan suatu komponen struktur yang memiliki ketebalan lebih kecil

dibandingkan dimensi panjang dan lebarnya seperti pada pelat lantai rumah pada

umumnya. Diasumsikan bidang potongan pelat melintang tetap dan tidak

mengalami deformasi ketika pelat mengalami tegangan. Shell rectangular

dibentuk oleh empat joint j1,j2,j3, dan j4 dengan aspect ratio (perbandingan

dimensi panjang dan lebar) mendekati satu dan memiliki enam derajat kebebasan

aktif pada setiap joint yang terhubung.

Gambar (2.5 ) Elemen Shell Rectangular dengan Empat Join

untuk mengembangkan [ ]K didasarkan pada koordinat lokal x, y.

e f

gh

Y

XGambar (2.6) Elemen Persegi pada Koordinat global

Gambar (2.7) Elemen persegi pada koordinat lokal

u (x,y) = komponen displacement arah sumbu x

v (x,y) = komponen displacement arah sumbu y

xyayaxaayxu 4321),( +++=

xyayaxaayxv 8765),( +++=

(2.39)

persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :

[ ]4321 u)yh)(xb(u)yh)(xb(u)yh))xb(u)yh)(xb(bh41)y,x(u +−++++−++−−=

……………………………………………………………………………………(2

.40)

[ ]4321 v)yh)(xb(v)yh)(xb(v)yh))xb(v)yh)(xb(bh41)y,x(v +−++++−++−−=

……………………………………………………………………………………(2

.41)

kemudian diperoleh nilai N “Shape Function” :( )( ) ( )( )

bh4yhxbN

bh4yhxbN 21

−+=−−=

( )( ) ( )( )bh4

yhxbNbh4

yhxbN 43+−=++=

yang dapat ditulis kedalam bentuk matriks :

ef

gh

x,u

b b

h

h

eu

ev

fufv

gu

gv

hu

hv

y,v

=

h

h

g

g

f

f

e

e

4321

4321

vuvuvuvu

N0N0N0N00N0N0N0N

vu

(2.42)

[ ] { } 1x88x2 u.N=

dengan menggunakan displacement regangan, dapat ditulis sebagai berikut :

[ ] { } 1x88x2

xy

y

x

xy

y

x

u.N.0

0

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

γεε

(2.43)

persamaan (2.42) disubstitusikan ke persamaan (2.43) menjadi :

{ } [ ]{ }u.B=ε

(2.44)

sehingga didapat matriks kekakuan lokal :

[ ] [ ] [ ][ ]∫ ∫− −

=h

h

b

b

T dydxt.BDBK

(2.45)

dimana untuk Plane Stress matriks kekakuan material tegangan bidang dapat

dilihat pada persamaan (2.24):

υ−υ−υ

υυ−

υ−=

2100

0101

1ED 2

proses integrasi persamaan diatas cukup panjang, sehingga tidak ditulis secara

lengkap disini. Hasil stiffness matrik elemen segitiga sebagai berikut :

[ ] [ ] [ ] [ ]BDBAtK T ××××=

(2.46)

dimana : K = matrik kekauan elemen

t = tebal struktur

A = luas penampang elemen

D = matriks konstitutif (material) elemen

=

+−−++−+−−−−−−++−−−

+−+−−−

y)(hx)(by)(hx)(by)(hx)(by)(hx)(bx)(b0x)(b0x)(b0x)(b0

0y)(h0y)(h0y)(h0y)(h

bh41B

………………………………………………………………………………….(2.4

7)

2.5.3. Proses Pembentukan Persamaan Global Struktur

Setelah mendapatkan nilai [ ]K dari tiap-tiap elemen, nilai [ ]K tersebut

digabung untuk mendapatkan nilai displacement. Penggabungan ini disebut

assembling pada matriks kekakuan elemen, menggunakan metode yang sangat

popular yaitu Direct stiffness Method.

Persamaan global struktur adalah sebagai berikut :

{ } [ ] { }d.Kf s=

(2.48)

dimana : { }f = global nodal forces

[ ] =sK matriks kekakuan struktur global

{ }d = displacement

Sebelum syarat batas diterapkan determinan [ ] =sK 0 sehingga tidak dapat

di inverskan. Tetapi setelah syarat batas diterapkan struktur akan bersifat

immobile (tidak berpindah), determinan [ ]sK menjadi ≠ 0 sehingga solusi bisa

dilakukan dan didapatkan nilai displacement.

Setelah syarat batas diterapkan persamaan (2.46) akan menghasilkan 1 set

persamaan simultan :

=

n

2

1

n

2

1

mn2n1n

n22221

n11211

f

ff

d

dd

.

KKK

kKKKKK

MM

L

MMMM

L

L

(2.49)

dengan metode persamaan linier program SAP 2000 dapat menghasilkan nilai

displacement.{ }d merupakan unknown degrees of freedom yang biasa disebut

Primary Unknowns yang merupakan parameter pertama kali terhitung dalam

metode kekakuan.

2.5.4 Perhitungan Tegangan Elemen

Untuk struktur Plane Stress tegangan masing-masing elemen adalah sebagai

berikut :

{ } [ ] [ ] { }dBD ××=σ

(2.50)

dimana : { }=σ Tegangan bidang tiap elemen

[ ] =D matriks kekakuan material

[ ] =B matriks B

{ } =d displacement

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Uraian Umum

Metodologi adalah cara atau prosedur untuk menjawab rumusan masalah

yang telah dikemukakan, yaitu untuk mengetahui pengaruh bentuk atau model

shell element pada struktur Plane Stress terhadap respon dinamis struktur yang

berupa respon perpindahan (joint displacement), frekuensi alami, tegangan

membran dan modus getar.

3.2 Analisis Model

Permodelan suatu struktur adalah mengidealisasikannya sebagai suatu

sistem yang tersusun dari elemen – elemen yang layak, yang masih memberikan

ketepatan yang cukup ketika perilakunya dianalisis dan dengan jumlah

perhitungan yang masuk akal. (Walter, 1988)

3.3 Deskripsi Domes

Struktur dome yang dipilih untuk dianalisis adalah bangunan rumah

sebagai building house di tepi pantai bertingkat dua berjenis monolithic dan

spherical berdiameter 16 m dan tinggi 8 m.

3.3.1 Permodelan Struktur

Sifat–sifat material yang diidealisasikan dan digunakan sebagai parameter

dalam analisis adalah sifat dari satu material utama pembentuk struktur aslinya,

yaitu material beton C651. Sifat-sifat material tersebut adalah sebagai berikut :

a. Massa per unit volume (m) = 1922.2063 kg/m3

b. Berat per unit volume (w) = 18850.404 N/m3

c. Modulus Elastisitas (E) = 2.57 x 1010 N/m2

d. Poisson’s Ratio (υ ) = 0.2

e. Koefisien ekspansi thermal = 4 x 10-6 m/m/ Co

3.4 Metode Analisis

Proses analisis struktur domes tidak mungkin dilakukan tanpa program

komputer karena banyaknya derajat kebebasan (DOF) yang dimiliki struktur akan

membuat matriks kekakuan dan matriks massa mempunyai ordo yang besar

sehingga menyulitkan perhitungan, menyita waktu dan kurang akurat bila

perhitungan dilakukan secara manual. Metode analisis yang digunakan adalah

Modal Analysis Method.

3.5 Kerangka Analisis

Tahap analisis yang dilakukan untuk mencari pengaruh bentuk atau model

shell element pada struktur Plane Stress terhadap respon dinamis struktur yang

berupa respon perpindahan (joint displacement), frekuensi alami, tegangan

membran dan modus getar dapat diuraikan sebagai berikut :

a. Memodelkan struktur dome dengan metode elemen hingga, termasuk

pembebanan, dan parameter penyusunnya.

b. Menganalisis model struktur untuk mendapatkan ferekuensi alami, modus

getar, dan displacement dari struktur dengan bantuan program komputer yaitu

SAP 2000 menggunalkan Modal analysis Method.

c. Membandingkan dan mengevaluasi hasil analisis dari ketiga elemen shell.

Ilustrasi global penelitian ini bisa digambarkan dalam diagram sebagai berikut :

Gambar 3.1 Diagram Ilustrasi Global Penelitian

STRUKTUR

Domes

BEBAN Berat sendiri

Material

Parameter Penyusunnya

ANALISIS DINAMIS

Modal Analysis

RESPON I Frekuensi alami

RESPON II Modus Getar

RESPON III Displacement

Persamaan Karakteristik

3.6 Tahap Analisis

Analisa dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

Gambar 3.3 Diagram Alir Proses Perhitungan Secara Umum

Data Struktur (Material dan Frame)

Pemodelan Struktur

Analisa Dinamis Struktur dengan Modal Analysis

Respon Perpindahan Struktur

MULAI

SELESAI

Frekuensi Natural/Periode Getar

Gambar 3.5 Diagram Alir Perhitungan dengan Program Komputer

Program di atas dilakukan berulang-ulang dengan variasi model struktur

Data Struktur (Material dan Frame)

Pemodelan Struktur

MULAI

Analisa Data (Run Data)

Output : Frekuensi Alami dan Periode Getar Modus Getar, Joint Displacement

SELESAI

BAB IV

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

4.1 Analisis Struktur Dome

Setelah selesai memodelkan 3 shell struktur domes, yaitu persegi, segitiga,

dan belah ketupat dengan bantuan program SAP2000 didapatkan frekuensi alami,

periode getar, displacement dan bentuk modus getar. Hasil analisis selengkapnya

dapat dilihat pada lampiran A.

4.1.1 Struktur Dome Elemen Shell Persegi

Salah satu contoh model struktur dome dengan elemen shell persegi :

Gambar 4.1 Crenosphere Stadium di Amerika Serikat. Tinggi maksimum dome mencapai 500 ft dengan diameter maksimum 1000 ft.

Model struktur dome yang digunakan pada analisis ini adalah gambar 4.2 berikut :

Gambar 4.2 Dome dengan elemen shell persegi

Monolithic domes di atas disusun oleh : 200 buah elemen shell, dengan

luasan shell maksimum pada bagian dasar lengkung sebesar 3.1225 m2, dan luas

daerah shell minimum di puncak dome sebesar 0.2428 m2.

Hasil analisis didapatkan bahwa pada mode ke-1 kumulatif partisipasi

modenya memberikan pengaruh terbesar bagi keseluruhan mode. Maka mode ke-

1 akan digunakan sebagai dasar analisis desain struktur dome.

Gambar 4.3 Modus getar pertama dengan periode getar ( T = 0.07354 detik ).

Pada mode pertama dome mengalami deformasi terbesar pada bagian

dasar struktur, hal ini terjadi karena luas elemen shell yang lebih besar

dibandingkan dengan luasan shell di atasnya sehingga kekakuannya menjadi lebih

kecil.

Data periode getar dan frekuensi alami struktur dalam kondisi tanpa beban

dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

Tabel 4.2 Data frekuensi alami dan periode getar struktur

OutputCase Step Period Frequency Text Text Sec Cyc/sec

MODAL Mode 1 0,073539 13,598 MODAL Mode 2 0,073539 13,598 MODAL Mode 3 0,064251 15,564

Tabel 4.1 Tabel Partisipasi Mode Step Period UX UY UZ SumUX SumUY SumUZ Text Sec Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless

Mode 1 0,073539 0,695236 0,18267 2,17E-10 0,695236 0,18267 2,17E-10 Mode 2 0,073539 0,182671 0,695235 9,551E-11 0,877907 0,877905 3,125E-10 Mode 3 0,064251 3,501E-12 1,496E-11 6,386E-11 0,877907 0,877905 3,764E-10 Mode 4 0,06339 8,698E-12 2,536E-12 9,519E-11 0,877907 0,877905 4,715E-10 Mode 5 0,06339 1,792E-13 5,412E-12 1,057E-11 0,877907 0,877905 4,821E-10 Mode 6 0,060918 7,172E-15 1,144E-11 4,107E-12 0,877907 0,877905 4,862E-10 Mode 7 0,060918 4,426E-12 5,178E-13 1,124E-12 0,877907 0,877905 4,873E-10 Mode 8 0,057386 2,294E-11 3,594E-11 6,617E-13 0,877907 0,877905 4,88E-10

Tabel 4.3 Joint displacement struktur

U1 (m) U2(m) U3 (m) R1 (rad.) R2 (rad.) R3 (rad.) maksimum 0,25714 0,253645 0,220642 0,218774 0,200597 0,221889minimum -0,25364 -0,25711 -0,22081 -0,23563 -0,25367 -0,22181

Modus getar struktur pada step mode pertama, kedua, dan ketiga bisa

dilihat perbedaannya pada gambar diagram gaya dan tegangan dalam shell berikut

ini :

Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.4 Distribusi gaya shell maksimum pada tiap tingkat mode

Dari gambar diatas dapat diketahui modus getar ke-1 dan ke-2 masih

simetris dan tegangan berpusat di dasar sebesar 1530 ton/m. Pada mode ke-3

modus getar sudah asimetris, garis meredian satu dengan yang lain berbeda arah

perpindahannya. Tegangan terbesar terletak pada tiap – tiap garis merediannya

sebesar 3650 ton/m.

Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.5 Distribusi momen shell maksimum pada tiap tingkat mode

Mode ke-1 distribusi momen terbesar terletak pada 2 shell bawah dan

momen terbagi rata menuju puncak domes. Mode ini masih cukup stabil karena

deformasi struktur sangat kecil. Kondisi pada mode ke-2 masih sama dengan

mode ke-1 tetapi struktur sudah terdeformasi cukup besar ke kiri. Pada mode ke-3

distribusi momen terbesar terdapat pada garis meredian.

Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.6 Distribusi gaya geser shell maksimum pada tiap tingkat mode

Distribusi gaya geser terbesar mode ke-1 dan mode ke-2 berpusat pada

dasar dome dan struktur masih bersifat simetris dan hanya terdeformasi ke kanan

dan ke kiri. Mode ke-3 sudah bersifat asimetris dan gaya geser terbesar mendekati

puncak dome.

Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.7 Distribusi tegangan shell maksimum pada tiap tingkat mode

Mode ke-1 struktur dome masih stabil karena hampir tidak terdeformasi

dan tidak ada distribusi tegangan yang besar. Hal ini ditunjukkan dengan tidak

adanya warna biru pada struktur. Mode ke-2 distribusi tegangan shell terbesar

berpusat pada dasar dome sebelah kiri dan struktur sudah mulai terdeformasi ke

kanan. Mode ke-3 sangat tidak stabil karena distribusi tegangan shell terbesar

terdapat pada garis meridian menerus dari puncak menuju dasar sehingga

menyebabkan struktur tidak simetris.

Selanjutnya gaya dan tegangan maksimum maupun minimum dapat

ditabelkan sebagai berikut:

Tabel 4.4 Gaya dalam dan tegangan elemen shell

Maksimum Minimum F (ton/m) 6187,23 -6186,54 M (ton-m/m) 29,61 -29,61 V (ton/m) 37,17 0,08 S Top (ton/m^2) 145132,17 -145108,82 S Bottom (ton/m^2) 108239,06 -108239,02 S Average (ton/m^2) 743,54 1,69

4.1.2 Struktur Dome Elemen Shell Segitiga

Salah satu contoh model struktur dome dengan elemen shell segitiga :

Gambar 4.8 Dome kaca dengan elemen shell segitiga

Model struktur dome yang digunakan pada analisis ini adalah gambar 4.9 berikut :

Gambar 4.9 Dome dengan elemen shell segitiga

Monolithic domes di atas disusun oleh : 1534 buah elemen shell, dengan

luasan shell maksimum pada bagian dasar lengkung sebesar 0.6213 m2, dan luas

daerah shell minimum di puncak dome sebesar 0.0814m2.


Pada mode pertama dome tidak mengalami deformasi yang signifikan, hal

ini terjadi karena luas elemen shell yang able sama pada setiap bagian

sehingga kekakuan strukturnya merata.


dapat dilihat pada table di bawah ini :


Step Period FrequencyText Sec Cyc/sec

Mode 1 0,073583 13,59 Mode 2 0,073578 13,591 Mode 3 0,055663 17,965





ini :



Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.13 Distribusi gaya geser shell maksimum pada tiap tingkat mode

dome. Mode ke-3 terdistribusi merata dan tidak ada warna biru menunjukkan

tidak ada gaya geser shell yang besar.


Distribusi tegangan shell pada ketiga mode ini hampir sama dengan

distribusi gaya shell. Distribusi terbesar ditunjukkan dengan warna biru dan

terkecil dengan warna kuning. Bentuk ketiga mode ini simetris sehingga struktur

masih cukup stabil.

Selanjutnya gaya dan tegangan shell maksimum maupun minimum dapat

ditabelkan sebagai berikut :



4.1.3 Struktur Dome Elemen Shell Belah Ketupat

Model struktur dome dengan menggunakan bantuan perangkat lunak

analisis struktur adalah sebagai berikut :

Gambar 4.15 Dome dengan elemen shell belah ketupat

Adapun monolithic domes di atas disusun oleh : 504 buah elemen shell,

dengan luasan shell maksimum pada bagian dasar lengkung sebesar 1.2404 m2,

dan luas daerah shell minimum di puncak dome sebesar 0.1898m2.


Pada mode pertama dome mengalami deformasi yang cukup signifikan

pada bagian puncak dome, bentuk elemen yang tidak stabil berupa belah ketupat

dan makin mengecil di bagian puncak dome.


dapat dilihat pada tabel di bawah ini :


OutputCase Step Period Frequency Text Text Sec Cyc/sec

MODAL Mode 1 0,07437 13,445 MODAL Mode 2 0,07428 13,463 MODAL Mode 3 0,06707 14,909





ini :


Mode ke-1 dan mode ke-3 terdeformasi di puncak tetapi tidak terdeformasi

ke kanan maupun ke kiri. Sedangkan pada mode ke-2 terdeformasi ke kanan.

Kondisi seperti di atas menunjukkan bahwa struktur tidak stabil di puncak dome.


Distribusi momen pada struktur dome ini merata, ditunjukkan dengan

warna hijau yang seragam di tiap shellnya. Warna hijau ini berkisar antara 220-

660 tonm.

Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3

Gambar 4.19 Distribusi gaya geser shell maksimum pada tiap tingkat mode

Distribusi gaya geser pada ketiga mode tersebut terbesar terletak pada

puncak dome. Kondisi ini ditunjukkan dengan adanya perbedaan warna di puncak

dome yaitu merah. Warna merah berkisar antara 4200-5600 ton/m, sedang warna

ungu berkisar antara 0-14 ton/m.


Ketiga mode tersebut terdistribusi merata dengan warna yang sama tetapi

pada mode ke-1 dan mode ke-3 terdeformasi besar di puncak.

Selanjutnya gaya dan tegangan shell maksimum maupun minimum dapat

ditabelkan sebagai berikut :



4.2 Pembahasan

a. Hasil analisis menunjukkan bahwa modus pertama struktur domes dengan

elemen shell berbentuk dasar persegi, segitiga, dan belah ketupat memiliki

deformasi yang sedikit berbeda seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini :

a. dome persegi b. dome segitiga c. dome belah ketupat

Gambar 4.21 Perbandingan pola getaran struktur domes

Gambar di atas menunjukkan bahwa struktur domes dengan elemen shell

segitiga dan persegi memiliki simpangan yang tidak terlalu besar hal ini

disebabkan karena bentuk dasar elemen shellnya cukup stabil.

b. Hasil analisis menunjukkan bentuk modus getar yang dihasilkan elemen shell

persegi mode ke-3 pada distribusi gaya, momen, gaya geser dan tegangan

shell berbentuk asimetris. Garis meridian satu dengan yang lain berbeda arah

perpindahannya. Kalau dikaji lebih lanjut elemen shell persegi tidak memiliki

tingkat kestabilan yang tinggi, karena terdapat 4 titik yang bisa dibuat

bermacam–macam ruang misalnya belah ketupat.

c. Modus getar shell segitiga dari mode ke-1 sampai mode terakhir berbentuk

simetris. Kalau dikaji lebih lanjut elemen shell segitiga yang memiliki 3 titik

hanya bisa dibuat 1 bidang saja. Hal ini menunjukkan bahwa shell segitiga

memiliki tingkat kestabilan yang lebih tinggi dari shell persegi.

d. Domes dengan elemen shell berbentuk dasar belah ketupat cenderung

mengalami deformasi yang cukup besar pada bagian puncak domes, diduga

karena perbedaan aspek rasio sisi belah ketupat bagian bawah dengan bagian

puncak yaitu 1:1 dengan 1:4 sehingga elemen shell di puncak lebih tidak kaku.

Lokasi deformasi

Lokasi deformasi Lokasi deformasi

e. Nilai perbandingan joint displacement ketiga struktur dapat dilihat pada tabel

di bawah ini :

Tabel 4.11 Perbandingan nilai joint displacement maksimum

Maximum joint displacement

(m) Domes shell persegi 0,25714 Domes shell segitiga 0,32607 Domes shell belah ketupat 2,28589

Tabel di atas menunjukkan bahwa Domes berelemen shell belah ketupat

memiliki simpangan yang sangat besar, yaitu lebih dari 2 meter. Simpangan

ini tentu sangat berbahaya bagi penghuni dome apabila terjadi gempa atau

tiupan angin yang cukup besar (tornado).

f. Data periode getar dan frekuensi alami struktur menunjukkan angka yang

saling mendekati, dimana berkisar pada nilai 0.074 detik atau sekitar 13,5 hz.

Frekuensi alami ini cukup aman terhadap getaran dinamis angin yang berkisar

pada nilai 0.5 Hz.

Tabel 4.12 Perbandingan nilai Periode getar dan Frekuensi alami

Periode Getar

(detik) Frekuensi Alami

(Hz) Domes shell persegi 0,073539 13,59 Domes shell segitiga 0,073583 13,59 Domes shell belah ketupat 0,074379 13,44

g. Data gaya dalam dan tegangan dalam elemen shell struktur dapat dilihat pada

tabel berikut ini :

Tabel 4.13 Perbandingan gaya dalam dan tegangan dalam shell

Domes shell persegi Domes shell segitiga Domes shell belah ketupat F max. (ton/m) 6187,23 11555,3 354047,60 M max. (ton-m/m) 29,61 105,72 389,30 V max. (ton/m) 37,18 341,88 4451,82 S max. (ton/m^2) 145132,17 237318,93 6556956,95

Semakin besar gaya dalam yang ditahan oleh elemen shell, maka semakin

besar pula faktor keamanan yang harus dianalisis dalam desain struktur

domes.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisis yang telah dilakukan terhadap tiga model dengan tiga

tipe shellyang berbeda, yaitu persegi (rectangular), segitiga (triangular), dan

belah ketupat (diamond), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

a. Elemen shell persegi menunjukkan modus getar yang asimetris karena pada

garis meridian satu dengan yang lain berbeda perpindahannya.

b. Elemen shell belah ketupat memiliki modus getar yang terdeformasi besar di

puncak domes.

c. Elemen shell segitiga menunjukkan modus getar yang simetris dari mode

pertama sampai terakhir.

d. Besarnya periode getar dan frekuensi alami pada fundamental mode (modus

pertama) kondisi unforced vibration shell persegi adalah 0.07354 detik dan

13.59 Hz, segitiga adalah 0.07358 detik dan 13.59 Hz, belah ketupat adalah

0.07437 detik dan 13.45 Hz.

5.2 Saran

Beberapa pembatasan dan penyederhanaan yang dilakukan dalam analisis

ini dapat menjadi bahan pertimbangan pada analisis selanjutnya. Misalnya jumlah

model, bentuk struktur domes lain yang belum dikaji dalam analisis ini.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim, 1997. Pedoman Penulisan Skripsi dan Laporan Kerja Praktek.

Surakarta: UNS Press.

Ayala, D.D & C, Kasapula. 2001. Limit State Analysis of Hemispherical Domes

with Finite Friction. Inggris, from:http://.www.monolitihicdome.com .

Bambang Suhendro. 1992. Metode Elemen Hingga dan Aplikasinya. Yogyakarta.

Clough, Ray, W ., Joseph Penzein. 1975. Dynamics of Structure. London: Mc-

Graw-Hill, Inc.

Copra, Anil K. 1995. Dynamics of Structure: Theory and Applications to

Earthquake Engineering. New Jersey:Prentice Hall, Inc.

Departemen Pekerjaan Umum, 1987. Pedoman Perencanaan Ketahahan Gempa

untuk Rumah dan Gedung. Yayasan Badan Penerbit Pekerjaan Umum.

Gaoboging & Wen, En H. 2003. Sensitivity Analisys of Cable to Suspense dome

structural system. China: Departemen of Civil Engineering Zhe Chiang University

Hang Zao.

Logan, Daryl L. 1986. A First Course in Finite Element Method. Boston: PWS

Engineering.

Paz, Mario. 1993. Dinamika Struktur: Teori dan Perhitungan. Edisi kedua. New

York: Van Nostrand Reinhold Company.

Schodek, Daniel. 1990. Struktur. Yogyakarta:Erlangga.

Svensson, H.S., and E. Jordet. 1996. The Concrete Cable Stayed Helgeland

Bridge in Norway. Accessed on September 9th, 2003, from: http://www.aas-

jakobsen.no/Brodges/Publication/Helgeland_bridge/Helgeland_Bridge_e.htm.

Widodo. 2001. Respon dinamik Struktur Elastik. Yogyakarta: UII Press.

Zimmerman, Jonathan & Robert Bisset. 2004. Dome of a Home Premiers on The

Travel Channel. Accssed on September 13th, 2004, from:

www.domeofhome.com.

Karakteristik Dinamis Struktur Domes Berelemen Membran... · elemen (shell) pada struktur...

Documents

Transcript of Karakteristik Dinamis Struktur Domes Berelemen Membran... · elemen (shell) pada struktur...