kalkulus_2.pdf

8/18/2019 kalkulus_2.pdf

1/157

Dosen Pengampu : Fima Ratna Sari S.Pd.


2/157

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 2

Dosen Pengampu : Fima Ratna Sari S.Pd.


3/157


KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr.Wb.

Dengan memanjatkan Puji dan Syukur kehadirat Allah SWT atas

Rahmat dan Hidayah_Nya yang telah memberi kesehatan, baik kesehatan

jasmani maupun kesehatan rohani, sehingga penyusun telah berhasil

menyusun Tugas Kalkulus II yang berjudul “ Modul Kalkulus II”.

Tugas ini tidak akan terselesaikan tanpa bantuan dari pihak lain,

maka dari itu penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada Ibu

Fima Ratna Sari, S.Pd. yang telah memberi kesempatan dan kepercayaan

kepada penyusun untuk menyelesaikan tugas ini. Serta bantuan teman-

teman Mahasiswa/i Program Studi Teknik Informatika semester II, akhirnya

pembuatan tugas ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya.

Penyusun menyadari bahwa dalam modul ini masih banyak

kekurangan dan kelemahan dikarenakan kemampuan penyusun yang

terbatas. Untuk itu, kritik dan saran yang konstruktif sangat kami harapkan

dari semua pihak yang membaca. Semoga ini bermanfaat khususnya bagi

penyusun sendiri dan bagi para pembaca umumnya serta semoga dapat

menjadi bahan pertimbangan untuk mengembangkan ilmu pengetahuan

maupun wawasan di masa yang akan datang. Akhir kata, penyusun ucapkan

terima kasih.

Wassalamualaikum Wr.Wb.

Palembang, 9 Mei 2013

Penyusun


4/157


DAFTAR ISI

COVER ........................................................................................ 1

KATA PENGANTAR ................................................................. 3

DAFTAR ISI ................................................................................ 4

BAB 1. Vektor .................................................................... 5 - 27

BAB 2. Fungsi Transenden ............................................... 28 - 40

BAB 3.

Turunan Parsial .................................................... 41 - 76BAB 4. Integral Lipat ........................................................ 77 - 106

BAB 5. Persamaan DIferensial Orde II ........................... 107 - 122

BAB 6. Fungsi Gamma & Fungsi Beta ............................ 123 - 137

BAB 7. Deret Tak Hingga ................................................ 138 – 156

REFERENSI ............................................................................... 157


5/157


BAB I

VEKTOR

1. Pengertian Vektor

Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan

ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung

beberapa makna.

a. Berapa jauh perpindahannya (jarak)

b.

Ke arah mana perpindahannya.

2.

Kesamaan Dua Vektor

a. Dua buah vector dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama.

Jika AB # CD dibaca ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas

garis CD maka AB = CD.

b. Panjang dua buah vector yang arahnya sama, tetapi panjangnya

berlainan.

c. Jika dua buah vector yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak

sama maka vector yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.

3. Vector Nol

Suatu vector disebut vector nol apabila panjangnya nol. Arah vector nol

tak tentu, misalnya AA, BB,CC, dan semacamnya disebut vector nol.

4. Vector Posisi

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vector OP = P disebut

vector posisi dari titik P.

5.

Vector SatuanVector satuan adalah vector yang panjangnya satu satuan.

6. Vector dalam Ruang

a. Vector di Ruang R 2

Vector dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R 2 atau R 2.

b. Vector di R 3


6/157


Vector dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R 3 atau R 3. R 3

ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling berpotongan.

7. Vector Basis

a. Vector Basis di R 2

Diberikan titik P (x1, y1). OP merupakan titik terminal/ ujung dari

vector posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat.

b. Vector Basis di R 3

Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vector posisi

R, maka komponen – komponen r dapat dinyatakan sebagai:

x1 i (searah dengan OX )

y1 j (searah dengan OY )

z1 k ( searah dengan OZ )

8. Panjang Suatu Vektor

Besar vector P , apabila digambarkan akan membentukruas garis berarah

dengan panjnag ruas garis yang mewakili besar vector itu. Panjang vector

P ditulis dengan P .

Contoh Soal :

1.

Nyatakan titik berikut dengan vector posisi dalam bentuk komponen

vector kolom!

a.

A (2,3) dan B ( -1,4) b. P (2,1,4) dan Q (3,2,-5)

Jawab :

a.

a = 2 b = -1

3 4

b.

p = 2 q = 3

1 2

4 -5


7/157


2. Nyatakan vector-vektor a = 2 dan c = -1 sebagai kombinasi

linear dari i , j ,dan k 3 0

1 3

Jawab :

a = 2 i + 3 j + k

c = -i + 3 k

3. Diketahui p = i - 2 j + 2 k dan q = 3 i + j - 2 k carilah

a. P

b. Q

c. P + Q

d. vector satuan dari p

Jawab :

P = 1 q = 3

-2 1

2 -2

a. P = √ 12 + (-2)2 + 22 = √ 1 +4 + 4 = 3

b. Q = √ 32 + 12 + (-2)2 = √ 9 + 1 + 4 = √14

c.

Untuk menghitung P + Q , tentukan dulu

p + q ; p + q = 1 3 4

-2 + 1 = -1

2 -2 0

P + Q = √ 42 + (-1)2 + 02 = √ 16 + 1 = √ 17

d. Vector satuan dari p = p = i - 2 j + 2 k = 1 i - 2 j + 2 k

P 3 3 3 3


8/157


4. Jika v = (1,-3,2) dan w = (4,2,1), maka

V + w = (5, -1,3), 2v = (2,-6,4), -w = (-4,-2,-1),

V – w = v + (-w) = (-3,-5,1)

OPERASI ALJABAR VEKTOR

1. Penjumlahan vector

Diberikan dua vector a dan vector b . vector ketiga yaitu vector c

diperoleh dengan menjumlahkan vector a dan vector b . Jadi,

c = a + b . vector c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan jajargenjang.

a. Cara Segitiga

b. Cara Jajar Genjang

Sifat-sifat Penjumlahan pada Vektor

1. Komutatif

2. Asosiatif

3. Mempunyai elemen identitas, yaitu vector O (vector nol) sebab untuk

semua vector a berlaku a + o = o + a = a

4. Lawan suatu vektor

2. Pengurangan vector

Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . misalkan selisih

vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara

menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b.

3. Hasil kali bilangan dengan vektor

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang

panjangnya k kali panjang vektor a dan arahnya adalah

a. Sama dengan arah vektor a jika k> 0

b. Berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0

c.

Sama dengan nol jika k = 0


9/157


Sifat-sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:

1. K (-a ) = - (ka ) = - k a

2.

K (l a ) = (kl) a

3. (k + l) a = k a + l a

4. K (a + b ) = k a + k b

Contoh soal :

1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik E dan F

masing-masing titik tengah DC dan BC. Nyatakan vektor-vektor berikut

dalam u dan v

a. AE b. EF c. AF

Jawab :

a.

AE = AD + DE

= v + 1 u = 1 u + v

2 2

b. EF = EC + CF

= 1 u - 1 v

2 2c. AF = AB + BF

= u + 1 v

2

2.

Diketahui A (1,1), B (4,2), dan C (10,4) tunjukkan titik A,B,dan C

segaris (kolinear) dan carilah AB : BC

Jawab :

AB = b – a= 4 - 1 = 3

2 1 1

AC = c – a

= 10 - 1 = 9

4 1 3


10/157


3.

Diketahui titik-titik A (-2,5,4), B (2,-1,-1), dan C (p,q,l). jika A,B, dan C

segaris, carilah nilai p dan q.

Jawab :

AB = b – a = 2 -2 4

-1 - 5 = -6

-2 4 -6

BC = c – b = p 2 p-2

q - -1 = q + 1

l -2 3

karena A,B, dan C segaris maka:

AB = m . BC

4 p-2

-6 = m q + 1 , diperoleh m = -2

-6 3

4 = -2 ( p – 2 ) -6 = -2 (q + 1)

4 = -2p + 4 3 = q + 1

2p = 0 q = 2

P = 0

4. Norma vektor v = ( -3,2,1) adalah

v = √ (-3)2 + (2)2 + ( 1 )2 = √ 14

RUMUS JARAK

Diberikan titik A(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a = x1 dan titik B (x2

+ y2 + z2 ) dengan vektor posisi b = x2 y1

y2 z1

z2

jarak antara titik A dan B adalah panjang vektor AB, yaitu


11/157


AB

AB = b - a

x2 x1 x2 - x1

= y2 - y1 = y2 - y1

z2 z1 z2 - z1

Rumus Pembagian

a.

Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m : n

sedemikian rupa sehingga AP : PB = M : n

b.

Rumus Pembagian dalam bentuk Vektor

Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan

perbandingan m : n, P antara A dan B, maka p = mb + na

m + n

contoh Soal :1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandara Adi Sucipto menuju

bandara Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat

terbang tersebut bila pesawat tersebut bergerak dari titik x ( 100, 60, 8)

km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yang berposisi di titik y

( 300,30,18) km ?

Jawab :

Jarak yang ditempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta

di hitung dengan rumus jarak:

r = ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1)

2 + ( z2 – z1 )2

posisi awal pesawat terbang adalah x ( 100, 60, 8 ) km dengan titik

tujuannya adalah y ( 300, 20, 8 ) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat

tersebut adalah

r = (300-100)2 + (20-60)2 + (10-8)2


12/157


= (200)2 + (40)2 + (2)2

=

40000 + 1600 + 4= 41604

= 203,97 km

2.

Hitung jarak antara titik – titik berikut!

a. O (0,0,0) dan P ( 4,4,2)

Jawab :

O = 0 P = 4

0 4

0 4

OP = 4 0

4 - 0

4 0

OP = √ ( 4 – 0 )2 + ( 4 – 0 )2 + ( 4 – 0 )2

= √ 16 + 16 + 16

OP = √ 48

3. Tunjukkan bahwa P ( 3.4.-1), Q ( -9,-2,3), dan R ( 9,8,11) adalah titik-

titik sudut segitiga sama kaki!

Jawab :

r = √ (x2 – x1 )2 + ( y2 – y1)2 + ( z2 – z1 )2

PQ = √ (-9 – 3 )2 + ( -2 – 4)2 + ( 3 – 1 )2 = √ 144 + 36 + 16 = √196 = 14

PR = √ (-9 – 3 )2 + ( 8 – 4)2 + ( 11 – 1 )2 = √ 36 + 14 + 144 = √ 196 = 14

QR = √(-9 – 9 )2 + ( 8 – 2)2 + ( 11 – 3 )2 = √324 + 100 + 81 = √506 =

22.49


13/157


Dari hasil yang diperoleh , dengan menerapkan teorema phytagoras

diperoleh

PQ2 = 14 PR 2 = 14 QR 2 = 22,5

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC, maka

segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut

berlaku teorema phtyagoras yang menyatakan PQ2 + PR 2 = QR 2. Jadi,

segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki

4. Pergunakan rumus p = mb + n a untuk menyatakan vektor-vektor

posisi dari titik berikut dengan a dan b

a. C membagi AB dengan perbandingan 3 : 2

b. D membagi AB dengan perbandingan 3 : -2

Jawab :

a. Untuk C, m : n = 3 : 2 b. Untuk D, m : n = 3 : -2

Maka p = mb + na Maka q = mb + na

m + n m + n

= 3 b + 2 a = 3 b + 2 a

3 + 2 3 – 2= 1 ( 3 b + 2 a ) = ( 3 b - 2 a )

Hasil Kali Skalar Dua Vektor

Hasil kali scalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan

vektor nol dinyatakan dengan a . b ( dibaca a dot b ). Perkalian scalar dari

vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang didefinisikan oleh:

a . b = a b cos θθ adalah sudut antara a dan b, dengan 0 ≤ B ≤

jika a = 0 atau b = 0 maka a . b = 0 dan sudut θ tidak tertentu.


14/157


Bentuk Komponen Perkalian Skalar

Misalkan A(a1,a2,a3) dan B (b1,b2,b3), maka:

OA = √ AB = Besar Sudut Antara Dua Vektor

Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara

dua vektor tersebut adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a dan kaki

vektor b. sudut yang diambil adalah sudut terkecil.

Sifat-sifat Perkalian Skalar

a.

Sifat – sifat yang berlaku pada perkalian scalar

b. Hal-hal mengenai Perkalian scalar

Hal-hal mengenai perkalian scalar yang perlu diketahui adalah sebagai

berikut.

1. Tidak tertutup, sebab a . b bukan vektor

2. Tidak mempunyai elemen identitas, sebab a . c = a tidak mungkin

3.

Tidak memiliki elemen invers, sebab a . c bukan vektor

4. Tidak asosiatif, sebab a . ( b + c ) dan ( a . b ) . c tidak berarti.

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada vektor lain

a. Proyeksi scalar ortogonal

Proyeksi scalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi scalar

saja atau sering dikatakan dengan panjang proyeksi vektor.

b. Proyeksi vektor orthogonal

Proyeksi vektor OA pada OB adalah OC = c

Vektor satuan dari c = c

c


15/157


atau c = c , karena vektor c searah dengan vektor maka vektor

satuan dri b maka vektor satuan dari c adalah juga vektor satuan dari

b sehingga

OC = c = c vektor satuan dari b

= a . b . b = ( a . b )

b b b

jadi, proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah

c = ( a . b )

b

Perkalian silang dua vektor

Perkalian silang vektor a dan b ditulis dengan a x b ( dibaca a kros b ) yang

hasilnya adalah merupakan sebuah vektor.

Bila c = a x b, harus dipenuhi syarat:

1. c a

2. c b

3. arah putaran dari a ke b menuju c

4.

c = a b sin θ, di mana θ sudut antara a dan b

contoh soal :

1.

Jika P pada AB, carilah koordinat P, jika:

a. A(-2,-3), B(3,7), dan AP : PB = 3 : 2

b.

A(-3,-2,-1), B(0,-5,2), dan AP : PB = 4 : -3

Jawab :

a. Titik P membagi di dalam

Xp = = = 1Yp =

= = 3Jadi koordinat P( 1,3 )


16/157


b.

Titik P membagi di dalam

Xq = = = 9Yq =

= = -14Zq =

= = 12Jadi koordinat Q (9,-14,12)

2. Carilah a.b jika :

a. a = 2i + j + k dan b = 3i + 2j – k

b. a = 5i + 4 j dan b = 2i – 2j + 4 k

jawab :

a. a = b =

a . b = . = (2)(3)+(1)(2)+(10(-1) = 7

b. a =

b =

a . b = . = (5)(2) + (4)(-2) + (0) (4) = 2

3.

carilah besar sudut AOB jika titik pangkal untuk masing-masing soal

berikut ini !

a. A(1,0,0) dan B (1,1,0)

Jawab :

a = ; b = a . b = .

= 1cos =

= √ = √


17/157


= arc cos ( )

= 120°

4.

Jika a = , b = , dan c =

carilah x bilaa . ( b + c ) = a . a

jawab :

a =

b =

, dan c =

carilah x bila a . (b + c ) = a . a

.

= .

−1)(6) + (1)(x) −5 + x −x = -5

x = 5


18/157


Geometri Dalam Ruang, Vektor

1.

Kooordinat Cartesius Dalam Ruang Dimensi Tiga

Rumus jarak pandanglah dua titik P1(X1,Y1,Z1) dan (X2,Y2,Z2) dalam

ruang dimensi tiga (X1 ≠ X2, Y1 ≠ Y2, Z1 ≠ Z2). Mereka menentukan

suatu balok genjang (paralelepipedum), dengan dan sebagai titik

sudut yang berlawanan dan dengan sisi-sisi sejajar terhadap sumbu-

sumbu koordinat .Menurut teorema Pythagoras.

| P1 P2 |2 = | P1Q|

2 + |QP2|2

Dan | P1Q|2 = |P1R|

2 + |RQ|2

Jadi | P1 P2 |2 = |P1R|

2 + |QP2|2

= (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)

2 + (Z1 – Z2)2

BOLA DAN PERSAMAANNYA dari rumus jarak ke persamaan

sebuah pola merupakan suatu langkah kecil. Dengan sebuah bola, kita

maksudkan himpunan titik berjarak konstan dari suatu titik tetap.

Kenyataannya, jika(X,Y,Z) pada bola dengan radius r berpusat

pada(H,K,L)

(x – h)2 + (y – k)2 + (z – l)2 = r 2

Ini kita sebut persamaan baku sebuah bola.

Dalam bentuk terurai, persamaan dalam kotak tersebut dapat dituliskan

sebagai

X2 + y2 + z2 + Gx +Hy + Lz + J = 0


19/157


GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA adalah wajar untuk

pertama-taman memandang persamaan kuadrat karena hubungannya

dengan rumus jarak. Tetapi agaknya suatu persamaan linier yakni,

persamaan berbentuk

Ax + By + Cz = D, A2 + B2 + C2 ≠

Jika suatu bidang memotong ketiga sumbu, yaitu kasus yang akan

sering kali terjadi, kita mulai dengan mencari titik-titik potong ini, yakni

kita cari perpotongan x,y, dan z. ketiga titik ini menentukan bidang dan

memungkinkan kita menggambar jejak, yang berupa garis-garis

perpotongan dengan bidang-bidang koordinat. Kemudian dengan sedikit

berseni, kita dapat mengasir bidang tersebut.

Contoh 1. gambarkan grafik dari 3x + 4y + 2z =12

Penyelesaian :

untuk menemukan perpotongan x, tetapkan y dan z sama dengan nol

dan selesaikan untuk x, diperoleh x = 4. Titik yang berpadanan adalah

(4,0,0). Secara serupa, perpotongan y dan z adalah (0,3,0) dan (0,0,6).

Lalu tarik ruas-ruas garis yang menghubungkan titik-titik ini untuk

memperoleh jejak.

Contoh 2 gambarlah grafik persamaan liniear 2x + 3y = 6 Dalam

ruang dimensi tiga.

Penyelesaian :

perpotongan x dan y masing-masing adalah (3,0,0) dan (0,2,0) dan titik-

titik ini menentukan jejak di bidang xy. Bidang ini tidak pernah

memotong sumbuh z (x dan y keduanya tidak dapat sama dengan nol),

sehingga bidang ini adalah sejajar sumbu z.


20/157


2. Vektor dalam ruang dimensi tiga

Vector- vector dapat ditambahkan, dikalikan dengan scalar, dandikurangkan sama seperti pada bidang, dan hukum-hukum aljabar yang

dipenuhi sesuai dengan yang telah dipelajari terdahulu. Hasil kali titik

dari u = dan v = didefinisikan sebagai

U.V = U1V1 + U2V2 + U3V3

dan mempunyai tafsiran geometri yang telah dinyatakan terdahulu,

yakni

U.V = |U||V|cos Ѳ

di mana Ѳ adalah sudut antara u dan v. akibatnya, masih tetap benar

bahwa dua vector saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali

titiknya nol.

Contoh 1

cari sudut ABC jika A = (1, -2, 3), B = (2,4,-6), dan C = (5, -3, 2)

Penyelesaian pertama kita tentukan vector-vektor u dan v (berasal dari

titik asal), setara terhadap BA dan BC. Ini dilakukan dengan cara

mengurangkan koordinat-koordinat titik-titik awal dari titik-titik

ujungnya, yakni

U = = < -1, -6, 9>

V = =


21/157


Contoh 2 nyatakan u = sebagai jumlah suatu vector m yang

sejajar v = dan suatu vector n yang tegakan v.

Contoh 3 cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai α =

32° dan β = 100° sebagai dua dari ketiga sudut arahnya.

Penyelesaian pertama kita perhatikan bahwa sudut arah ketiga, y harus

memenuhi

Cos2 y = 1 - Cos2 32° - 100° = 0,25066

Cos y = ± 0,50066

Dua vektor memenuhi persyaratan soal. Keduanya adalah

5 = 5

=

Dan

Bidang satu cara yang mengutungkan untuk melukiskan suatu bidang

adalah dengan menggunakan bahasa vektor. Andaikan n=

sebuah vektor tak nol tetap dan P1(X1,Y1,Z1) adalah titik tetap.

Himpunan semua titik P(X,Y,Z) yang memenuhi P1P.n = 0 adalah

bidang yang melalui P1 dan tegak lurus n. karena tiap bidang

mengandung sebuah titik dan tegak lurus terhadap suatu vektor, maka

tiap bidang dapat dicirikan dengan cara ini.

Untuk memperoleh persamaan cartesius dari bidang itu, tulis vektor P1P

dalam bentuk komponen yakni,

P 1 P =


22/157


Maka, P1 P. n = 0 setara terhadap

A(x – x1) + B(y – y1) +C(z – z1) = 0

Persamaan ini (di mana paling sedikit salah sat A, B, C, tidak nol)

disebut bentuk baku persamaan bidang.

Jika tanda kurung kita hilangkan dan disederhanakan, persamaan dalam

kotak akan berbentuk persamaan linier umum

Ax + By + Cz = D, A2 + B2 + C2 ≠ 0

3. Hasil kali silang

Hasil kali titik dari dua vektor adalah sebuah scalar. Kita telah

menggali beberapa penggunaannya pada pasal sebelumnnya. Sekarang

kita perkenalkan hasil kali silang(hasil kali vektor atau cross product);

ini juga akan banyak penggunaannya. Hasil kali silang u x v untuk u =

(U1,U2,U3) dan v = (V1,V2,V3) didefinisikan sebagai

U x V = (U2V3 – U3V2, U3V1 – U1V3, U1V2 – U2V1)

Teorema A

Andaikan u dan v vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan Ѳ sudut

antara mereka maka:

1. u .(u x v) = 0 = v .(u x v) – yakni u x v tegak lurus terhadap u dan v;

2.

u, v, dan u x v membentuk suatu system tangan kanan rangkap tiga.

3. |u x v | = |u||v| sin Ѳ.


23/157


Bukti andaikan u = dan v = .

1.

u . (u x v) = u1(u2v3 – u3v2) +u2 (u3v1 – u1v3) + u3 (u1v2 –

u2v1). pada waktu kita menghilangkan tanda kurang, ke enam suku

saling menghapuskan dalam pasangan. Hal yang serupa terjadi pada

waktu menguraikan v.(u x v).

2.

arti system tangan kana untuk rangkap tiga u, v, u x v diilustrasikan

pada gambar. Di sana Ѳ adalah sudut antara u dan v, dan tangan

dikepalkan pada arah rotasi melalui Ѳ yang membuat u berimpitdengan v. kelihatannya sukar dikembangkan secara analistis bahwa,

rangkap tiga yang ditunjukkan adalah system tangan kanan, tetapi anda

boleh memeriksanya dengan sedikit contoh. Perhatikan secara khusus

bahwa karena i x j = k, ganda tiga i, j, i xj adalah tangan kanan.

3.

Kita memerlukan kesamaan langrange

Contoh soal:

|u x v|2 = |u|2|v|2 – (u.v)2

|u x v|2 = |u|

2|v|

2 – (|u||v| cos Ѳ)2

= |u|2|v|2 (1 – cos2 Ѳ)

= |u|2|v|

2 sin

2 Ѳ

Karena 0 ≤ Ѳ ≤ , sin Ѳ ≥ 0. Jadi, dengan mengambil akar kuadrat

yang utama menghasilkan

|u x v| = |u||v| sin Ѳ


24/157


4.

Garis dan kurva dalam ruang dimensi tiga

Garis dari semua kurva, yang paling sederhana adalah sebuah garis.

Garis ditentukan oleh suatu titik tetap P0 dan suatu vektor v = ai + bj +

ck. Garis adalah himpunan semua titik P sedemikian sehingga P 0 P

adalah sejajar terhadap v – yakni, yang memenuhi

P 0 P = tv

Contoh 1 cari persamaan parameter untuk garis yang melalui (3, -2, 4)

dan (5, 6, -2)

Penyelesaian sebuah vektor yang sejajar terhadap garis yang diberikan

adalah

V = (5 – 3, 6 + 2, -2 -4) = (2, 8, -6)

Jika kita pilih (X0, Y0, Z0) sebagai (3, -2, 4), kita peroleh ppersamaan

parameter

X = 3 + 2t, y = -2 + 8t, z = 4 – 6t

Perhatikan bahwa t = 0 menentukan titik (3, -2, 4), sedangkan t =1

memberikan (5, 6, -2). Sebenarnya, 0 ≤ t ≤ 1 berpadanan dengan ruas

garis yang menghubungkan kedua titik ini.

Contoh 2 cari persamaan simetri dari garis yang sejajar vektor


25/157


(4, -3, 2) dan melalui (2, 5, -1)

Penyelesaian

X – 2 = Y – 5 = Z + 1

4 -3 2

Contoh 3 cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang

2x – y – 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28

Penyelesaian kita mulai dengan pencarian dua titik pada garis.

Sebarang dua titik akan memenuhi, tetapi kita pilih untuk mencari titik

di mana garis menembus bidang yz dan xz. Yang terlebih dahulu di

peroleh dengan menentapkan x = 0 dan menyelesaikan persamaan-

persamaan yang dihasilkan – y – 5z = -14 dan 5y + 4z = 28 secara

serentak. Ini menghasilkan titik (0,4,2). Prosedur serupa dengan y = 0,

memberikan titik (3, 0, 4). Akibatnya, sebuah vektor yang sejajar

terhadap garis yang disyaratkan adalah

(3 – 0, 0 – 4, 4 – 2) = (3, -4, 2)


26/157


Contoh 4 cari persamaan simterik untuk garis singgung pada kurva

ditentukan oleh

R (t) = ti +t2 j + t3k

Di P(2) = (2,2,)

Penyelesaian

r’(t) = i + tj + t2k

dan

r’(2) = i + 2j + 4k

sehingga garis singgung mempunyai arah (1, 2, 4). Persamaan

simetriknya adalah

x -2 = y – 2 = z - 1 2 4

garis singgung pada kurva

r = r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

5.

Kecepatan, percepatan, dan kekurangan

Semua yang kita lakukan pada gerak kurvilinear pada bidang

dirapatkan secara alamiah ke ruang dimensi tiga. Andaikan.

R(t) = f(t)I + g(t)j + h(t)k, a ≤ t ≤ b


27/157


28/157


BAB II

FUNGSI TRANSENDEN

• Fungsi invers

• Fungsi logaritma dan eksponen

• Turunan dan integral fungsi eksponen dan logaritma

• Fungsi invers trigonometri

• Turunan dan integral fungsi invers trigonometri

Fungsi Invers

Definisi

Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi

untuk setiap x dalam domain g

untuk setiap x dalam domain f

Maka dikatakan bahwa f adalah invers dari g dan g adalah invers dari f,

atau f dan g adalah fungsi-fungsi invers.

x x g f ))((

x x f g ))((


29/157


30/157


Contoh:

Carilah invers dari

, kemudian x dan y ditukar

Maka

Turunan fungsi invers

Andaikan dapat diturunkan, monoton murni pada interval I, dan bila

f’(x) ≠ 0 pada suatu titik x dalam interval I, maka invers f dapat

diturunkan di titik y = f(x) dan berlaku

)('

1)()'( 1

x f y f

23)( x x f

23 x y

23 y x

232 y x

23

1 2 x y

0>,23

1)(

21 x x x f

)!6('tentukanmaka 2)(Misal.2

)!4('tentukanmaka

12)(Jika1.

1

3

1

5

f

x x f

f

x x x f


31/157


Logaritma

Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi xa x f )( untuk

0a dan 1a mempunyai invers, yang dinamakan fungsi logaritma

dengan bilangan dasar a, dan ditulis

x x f y a log)(1

berdasarkan sifat invers )()(1 y f x x f y diperoleh definisi

logaritma berikut.

1,0,log aaa x x y ya


32/157


Sesuai dengan daerah asal dan daerah eksponen, untuk x y a log

berlaku kondisi 0a dan R y . Karena grafik fungsi dan inversnyasimetri terhadap garis y = x, maka grafik fungsi logaritma diperoleh

dengan mencerminkan kurva f (x) = ax terhadap garis y = x.

a. Logaritma Natural

Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e

adalah 2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural

terdefinisikan untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga

didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0. Aturan pangkat,

tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah 1/ x. Tetapi,

dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kitadapat

mendefinisikan fungsi melalui integral yang turunannya adalah

1/ x.Fungsi ini kita sebut logaritma natural dari x, ditulis ln x. Dapat

dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini, bahwa fungsi ini sama

dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di SMA. Fungsi

logaritma natural didefinisikan sebagai :

0,1

ln1

xdt t x

x

x x e logln


33/157


Notasi

Ahli matematika biasanya menggunakan "ln( x)" atau "log( x)" untuk

menotasikan loge( x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan

"log10( x)" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.

Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya

menggunakan "ln( x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas)

"loge( x)" untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log( x)"

digunakan untuk logaritma berbasis 10, log10( x) atau, dalam konteks

teknik komputer , log2( x).

Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC,

"log" atau "LOG" berarti logaritma natural.

Pada kalkulator , tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol

log adalah untuk logaritma berbasis 10.

Sifat-sifat logaritma natural

Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari

ln5 x sama dengan turunan dari ln x yaitu 1/ x. Fakta ini berguna untuk

membuktikan teorema berikut.

Teorema

Jika a dan 0b dan r bilangan rasional, maka

01ln

baab lnlnln

bab

alnlnln

ar a r lnln


34/157


b. Ln sebagai invers fungsi eksponensial

natural

Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:

xe x )ln( untuk semua x yang positif dan

xe x ln untuk semua x yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak

hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel

tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

c. Mengapa disebut "natural"

Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma

yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10.

Namun, ada dua alasan mengapa ln( x) disebut logaritma natural: pertama,

persamaan-persamaan yang variable tak diketahuinya merupakan pangkat

dari e jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat dari 10

(karena sifat-sifat "natural" dari fungsi eksponensial yang dapat

menggambarkan growth/pertumbuhan dan decay/penurunan), dan kedua,

karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan

integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di bawah), dan

logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.

Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini:

b x

xdx

d b

ln

1log


35/157


Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1,

kemiringan kurva adalah 1.

d. Logaritma Umum

Sifat-sifat logaritma :

1. 01log b

2. 1log bb

3. caac bbb logloglog

4. caca bbb logloglog

5. ar a br b loglog

6.b

aa

c

cb

log

loglog

e. Turunan logaritma natural

Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh bahwa

0,1

ln1

1

x x x

dx

d dt

t dx

d x

Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa:

xudx

d

xu xu

dx

d 1ln


36/157


Eksponen

a. Fungsi Eksponensial Natural

Fungsi eksponensial natural, y=exp( x), adalah inverse dari logaritma

natural. x=exp( y) y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1)

sehingga ln e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e≈2,71828182845…

Dengan demikian,

11

1

dt t

e

Dari definisi langsung diperoleh bahwa

1. exp(ln x)= x, bila x>0.

2. ln(exp( x)) = x.


37/157


Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh

Euler), yaitu tidak ada polinom p( x) sehingga p(e)=0. Kita dapat

mengkonfirmasikan (saat ini untuk bilangan rasional r ), bahwa y=exp( x)

adalah sebuah fungsi eksponesial. er =exp(ln er )= exp(r ln e)= exp(r ) Sejauh

ini kita telah mendefinisikan bilangan pangkat dengan pangkat rasional.

Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi fungsi eksponesial, yaitu

xe x exp Jadi, untuk selanjutnya.

1. xe x ln , untuk x>0.

2. xe x ln , untuk tiap x.

b. Turunan dari exp(x)

Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x=ln y.

Apabila kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai,

diperoleh bahwa 1=(1/ y) Dxy atau Dxy = y .

Teorema

x x eedx

d

Sebagai akibat kita peroleh

Teorema

C edxe x x

c. Fungsi Logaritma dan Eksponesial Umum

Kita telah berhasil mendefinisikan xe untuk tiap bilangan real x,

termasuk e . Namun bagaimana dengan e ? Kita akan memanfaatkan

hubungan x=exp(ln x).

Definisi

Jika 0a dan adalah sebarang bilangan real, maka


38/157


a x x ea ln

Dengan demikian, kita peroleh bahwa a xea a x x lnlnln ln

Catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan

ar ea ar r lnlnln ln yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.

d. Sifat-sifat xa

Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan ,0,0

ba dan y x, sebarang bilangan real.

1. y x y x aaa

2. xy y x aa

3. x

x x

b

a

b

a

4. y x

y

x

aa

a

5. x x x baab

Teorema fungsi eksponensial

aaa D x x x ln

0,ln

1 aC a

dxa x

x

e. Fungsi xalog

Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis

bilangan positif a≠1, loga x. Fungsi ini didefinisikan sebagai inverse dari

fungsi eksponensial xa .

Definisi


39/157


Misalkan 1,0 aa , maka ya a x x y log

Catatan: xalogln Hubungannya dengan logaritma biasa dapat diperoleh

secara berikut. Misalkan x y alog sehingga y

a x .

a ya x y lnlnln sehingga x

a xa

ln

lnlog

Fungsi Invers TrigonometriDefinisi

Fungsi invers sinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari

fungsi

Fungsi invers cosinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari

fungsi

Fungsi invers tangen, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari

fungsi

Fungsi invers secan, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari

fungsi

1sin

2/2/,sin x x

1cos

x x 0,cos

1tan

2/2/,tan x x

1sec

2/32/0,sec xatau x x


40/157


Teorema

2/3

1atau

2/0

1 jikasecsec

2/2/ jikatantan

0

11 jikacoscos

2/2/11 jikasinsin

1

1

1

1

y

x

y

x x y x y

y

x x y x y

y

x x y x y

y x x y x y


41/157


BAB III

TURUNAN PARSIAL

Turunan Parsial adalah sebuah perubahan nilai dari suatu fungsi yang

mempunyai dua variabel atau lebih secara sebagian atau tidak seluruhnya

akan diturunkan satu – persatu. Jika pada fungsi z = f(y,x) kita turukan

terhadap variabel x maka y akan dianggap sebagai konstanta dan bisa

disebut kita mencari turunan turunan parsial z terhadap x.

1. Fungsi dua Peubah atau Lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit

atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit,

maka penulisannya secara umum dinyatakan dengan ),( y x F z .

Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka

penulisannya dinyatakan dengan 0),,( z y x F

Contoh:

1. y x y x F y x z 2),(2

2. 2242 ln),(2ln y x y x F y x z

3.

y x z

sinsin2

121

4.

0

yz xz xy

5. 0sin ye xy x

6. 0arctanln 22 x

y y x

7. 02arctan z x

y


42/157


Berdasarkan contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk

eksplisit adalah 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi

yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit

dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak

semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk

eksplisit.

Untuk menggambar kurva fungsi dua peubah dapat dengan membuat

sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z, sehingga

pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut

oktan .

Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0

Oktan II adalah ruang dengan x>0, y0

Oktan III adalah ruang denganx0

Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z0, y


43/157


Pada gambar di atas ),,( 111 z y x P adalah sebarang titik pada oktan I, dengan

menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang OP

sebagai

2

1

2

1

2

1 z y xOP

Dengan cara yang sama, jika ),,( 111 z y x P dan ),,( 222 z y xQ maka panjang

PQ dinyatakan dengan 2122

12

2

12 )()()( z z y y x x PQ

Selanjutnya, misal ),( y x F z maka dapat ditentukan gambar kurva ruang.

2. Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih

Misal ),( y x F z adalah fungsi dengan variabel bebas x dan y.

Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.

2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah

3.

x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

X

Z

Y

),,( 111 z y x P

1 x

1 z

1 y

Gambar 1.1 : Kubus


44/157


Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi

satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan

menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus

diferensial.

Definisi

Misal ),( y x F z adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval

tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan x

z

dan y

z

dan didefinisikan oleh

x

y x F y x x F

x

z

x

),(),(lim

0, asalkan limitnya ada

dan

y

y x F y y x F

y

z

y

),(),(lim

0, asalkan limitnya ada

Contoh :

1 Tentukan

x

z

dan

y

z

dari 22 y x z

Jawab

x y x F y x x F

x z

x

),(),(lim0

x

y x y x x

x

2222

0

)(lim


45/157


2222

22222222

0

)(

)(.

)(lim

y x y x x

y x y x x

x

y x y x x

x

.

22222222

0 )(

)()(lim

y x y x x x

y x y x x

x

222222222

0 )(

)(2lim

y x y x x x

y x y x x x x

x

2222

2

0 )(

2lim

y x y x x x

x x x

x

22220 )(

2lim

y x y x x

x x

x

222

2

y x

x

22

y x

x

y

y x F y y x F

y

z

y

),(),(lim

0

x

y x y y x

y

2222

0

)(lim

2222

22222222

0 )(

)(.

)(lim

y x y y x

y x y y x

x

y x y y x

x

.

2222

2222

0 )(

)()(lim

y x x y y x x

y x y y x

x

2222

22222

0 )(

)(2lim

y x x y y x x

y x y y y y x

x


46/157


2222

2

0

)(

2lim

y x y y x x

y y y

x

22220 )(

2lim

y x y y x

y y

x

222

2

y x

y

22

y x

y

2 Tentukan

x

z

dan

y

z

dari )sin( y x z

Jawab

x

y x F y x x F

x

z

x

),(),(lim

0

x

y x y x x

x

)(sin)sin(lim

0

x

y x y x x y x y x x

x

)(2

1sin)(

2

1cos2

lim0

x

x x y x

x

2sin)

2cos(

lim20

x

x

x y x x x 2

sin

lim2coslim2 00

2

1

2

2sin

lim2

coslim200

x

x

x y x

x x


47/157


2

1)1)(cos(2 y x

)cos( y x

y

y x F y y x F

y

z

y

),(),(lim

0

y

y x y y x

y

)(sin)sin(lim

0

y

y x y y x y x y y x

y

)(21sin)(

21cos2

lim0

y

y y y x

y

2sin)

2cos(

lim20

y

y

y y x

y y

2sin

lim2

coslim200

2

1

2

2sin

lim2

coslim200

y

y y

y x y y

2

1)1)(cos(2 y x

)cos( y x

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan

dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. Andaikan

),( y x F z maka untuk menentukan x

z

sama artinya dengan menurunkan

variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan.

Demikian pula untuk menentukan y

z

sama artinya dengan menurukan

variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.


48/157


Dengan cara yang sama, andaikan ),,( z y x F W adalah fungsi tiga

peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama

dinyatakan dengan y

W

x

W

, , dan

z

W

yang secara berturut didefinisikan

oleh:

x

z y x F z y x x F

x

W

x

),,(),,(lim

0

y

z y x F z y y x F

y

W

x

),,(),,(lim

0

z

z y x F z z y x F

z

W

z

),,(),,(lim

0

Asalkan limitnya ada.

Selain menggunakan definisi di atas, maka turunan parsial fungsi dua

peubah juga dapat dilakukan dengan metode sederhana.

Misal ),( y x F z , x

z

berarti x adalah variable dan y konstanta sedangkan

y z berarti y variabel dan x konstanta. Demikian pula, misal ),,( z y x F W

x

W

berarti x adalah variabel y dan z adalah konstanta.

y

W

berarti y

variabel x dan z adalah konstanta. z

W

berarti z variabel x dan y adalah

kosntanta.

Contoh:

1. Ditentukan

x

y xyz z y x F tan2),,(

Carilah turunan parsial pertamanya.

Dengan metode sederhana didapat


49/157


a.

22

1

2),,(

x

y

x

y yz

x

z y x F

)1(

222

2

y x

yx yz

)1(

2)1(22

222

y x

yx y yz x

b.

x

x

y xz y

z y x F 1

1

2),,(2

)1(

22

2

y x

x xy

)1(

2()1(22

222

y x

yx y yz x

c. xy z

z y x F

),,(

Berdasarkan turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih

dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n 2. Turunan parsial tersebut

dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan

parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.

Jadi andaikan ),( y x F z maka:

Turunan parsial tingkat dua adalah x y

z dan

y x

z

y

z

x

z

22

2

2

2

2

,,,

Demikian pula, jika ),,( z y x F W Turunan parsial tingkat dua adalah

y z

W

x z

W

x y

W

z y

W

z x

W

y x

W

z

W

y

W

x

W

222222

2

2

2

2

2

2

,,,,,,,,


50/157


51/157


4

23

)(

2

y x

yx x

2 Tentukan

2

2

x

z

dan

2

2

y

z

dari fungsi

22 x

y

y

x z

Jawab

Dari,diperoleh32

21

x

y

y x

z

23

12

x y

x

y

z

Sehingga

x

z

x x

z 2

2

32

21

x

y

y x

4

6

x

y

dan

232

212

x y

x

y y

z

4

6

y

x

Dengan cara yang sama dapat dicari x y

z

dan y x

z

22

3. Differensial Total

Misal ),( y x F z adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan

terhadap variable x dan y. Secara berturut-turut dapat diperoleh turunan


52/157


parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y. Keduanya dinyatakan

oleh:

x

y x F

x

z

),( ------------- (1) dan

y

y x F

y

z

),( ------------- (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

dx x

y x F dz

),( dan dy

y

y x F dz

),(

Jumlah diferensialnya diperoleh:

dy y

y x F dx

x

y x F

),(),(

Bentuk di atas disebut diferensial total.

Dengan demikian jika ),( y x F z ,maka diferensial totalnya adalah:

dy y

y x F dx

x

y x F dz

),(),(

Analog, jika ),,( z y x F W maka diferensial totalnya adalah:

dz z

z y x F dy

y

z y x F dx

x

z y x F dw

),,(),,(),,(

Contoh.

1 Tentukan diferensial total fungsi

23 2 xy y x z

Jawab

xy x y

z xy y x

x

z 4,3 322

sehingga diferensial total fungsi 23 2 xy y x z adalah

xy xdx xy y xdz 43 322

2 Tentukan turunan parsial fungsi


53/157


22 y x

x z

Jawab

22

22

221

y x

y x

x x y x

x

z

2222

222

y x y x

x y x

2222

2

y x y x

y

22

22

220

y x

y x

y x y x

y

z

2222 y x y x

xy

sehingga diferensial total fungsi22

y x

x z

adalah

dy y x y x

xydx

y x y x

ydz

22222222

2

dy y x y x

xydx

y x y x

y

22222222

2


54/157


3 Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah

222

)97,0()99,1()01,2(

Jawab

Langkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal

222)97,0()99,1()01,2(

222 z y xW

Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga W = 222 122 = 3

Karena akan dihitung 222 )97,0()99,1()01,2( maka:

x + x = 2,01 sehingga 1,0 x

x + y = 1,99 sehingga 1,0 x

x + z = 0,97 sehingga 3,0 x

dengan menggunakan definisi diferensial total W = F(x,y,z) maka

dz z

z y x F dy

y

z y x F dx

x

z y x F dW

),,(),,(),,(

)03,0(3

1)01,0(

3

2)1,0(

3

2

= -0,01

Akhirnya diperoleh 222 )97,0()99,1()01,2( = 3 + (-0,01) = 2,99

4 Suatu segitiga siku-siku panjang sisi-sisi penyikunya 15 cm dan 20 cm.

Bila sisi panjang dipendekkan cm16

5 dan kaki pendek dipanjangkan

cm8

5. Dengan menggunakan differensial tentukan perubahan panjang

sisi miringnya.

Jawab

Misal x : sisi pendek, y : sisi panjang, dan r : sisi miring maka berlaku


55/157


22 y xr .

Berdasarkan definisi diferensial total diperoleh

dy y

r dx

x

r dr

dimana dr r , dx x , dx y

didapat

y y

r x

x

r r

y y x

y x y x

x

2222 2

22

2

16

5

2015

20

8

5

2015

15

2222

16

5

25

20

8

5

25

15

cm8

1

Hal ini berarti sisi miring dipanjangkan .8

1cm

4. Turunan Total

Misal ),( y x F z dan F dapat diturunkan (differentiable).

Selanjutnya dimisalkan )()( t y ydant x x , x dan y adalah fungsi satu

peubah yaitu peubah t yang dapat diturunkan. Maka ),( y x F z adalah

fungsi satu peubah, sehingga:

dy y

y x F dx

x

y x F dz

),(),(

karena x =x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat ditentukan

dt

dxdan

dx

dy sehingga


56/157


dt

dy

y

y x F

dt

dx

x

y x F

dt

dz

),(),(

Bentuk di atas dinamakan turunan total ),( y x F z dengan

)()( t y ydant x x

Catatan

Pengertian ganda z, x, dan y padadt

dy

y

y x F

dt

dx

x

y x F

dt

dz

),(),(

Padadt

dz , z berarti )(),( t yt x F , Sedangkan

y

z dan

x

z

, z berarti f(x,y).

Padadt

dy

y

y x F

),(.

Andaikan ),( y x F z adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan misalkan

),(),( sr y ydan sr x x adalah fungsi dua peubah dan dapat diturunkan,

maka diferensial totalnya adalah dy y

y x F dx

x

y x F dz

),(),(

Karena ),(),( sr y ydan sr x x dan dapat diturunkan, maka dapat

ditentukan s

x

r

x

, dan

s

y

r

y

,

Sehingga turunan total ),(),(),,( sr y ydan sr x y x f z adalah

r

y

y

y x F

r

x

x

y x F

r

z

),(),(

s

y

y

y x F

s

x

x

y x F

s

z

),(),(

Dengan cara yang sama diperoleh

1. Jika )(),(),(),,,( t z z dant y yt x x z y x F W maka turunan

totalnya adalah:


57/157


dt

dz

z

z y x F

dt

dy

y

z y x F

dt

dx

x

z y x F

dt

dW

),,(),,(),,(

2.

Jika ),(),,(),,(),,,( sr z z dan sr y y sr x x z y x F W maka turunan

parsialnya adalah:

t

z

z

z y x F

r

y

y

z y x F

r

x

x

z y x F

r

W

),,(),,(),,(

dan

s

z

z

z y x F

s

y

y

z y x F

s

x

x

z y x F

s

W

),,(),,(),,(

Contoh

Tentukan turunan total fungsi-fungs berkut.

1) 22,1,

1,),,( t z dant y

t x xz yz xy z y x F

Jawab

Turunan total fungsi di atas adalah:

dt

dz

z

z y x F

dt

dy

y

z y x F

dt

dx

x

z y x F

dt

dW

),,(),,(),,(

t x yt

z xt

z y 412

112

2)

2

22 3,2,1

),( sr ydan sr x y x y x F

Jawab

Turunan total fungsi di atas adalah

r

y

y

y x F

r

x

x

y x F

r

z

),(),(


58/157


59/157


),( hr I I

Diketahui r = 15 cm, h = 20 cm,det5,0 cm

t r

,

det1 cm

t h

Dengan definisi turunan total

),( hr I I dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh

dt

dh

h

I

dt

dr

r

I

dt

dI

dt

dhr

dt

dr rh 22

det

115

det

5,020152

2 cmcm

cmcmcm

det225

det300

33 cmcm

det75

3cm

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Turunan parsial fungsi juga dapat dilakukan untuk fungsi-fungsi

yang ditulis dalam bentuk implisit. Misal 0),( y x f adalah fungsi implisit

maka untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan

menggunakan kaidah diferensial totalf

Karena 0),( y x f maka )0(),( d y xdf

Sehingga

dy y

y x f dx

x

y x f

),(),(= 0

Dengan membagi masing-masing bagian dengan dx, diperoleh:

0),(),(

dx

dy

y

y x f

x

y x f


60/157


x

y x f

dx

dy

y

y x f

),(),(

y

y x f x

y x f

dx

dy

),(

),(

Contoh

1) Tentukandy

dxdan

dx

dy bila diketahui 0sin),( ye xy y x f x

akan dicaridxdy , menurut definisi turunan total

y

y x f x

y x f

dx

dy

),(

),(

ye x

ye y x

x

cos

sin

x

y x f

y

y x f

dy

dx

),(

),(

ye y

ye x x

x

sin

cos

2) Tentukan daridy

dxdan

dx

dy 0arctanln),( 22

x

y y x y x f

y

y x f x

y x f

dx

dy

),(

),(


61/157


22

22

2

2

y x

x y

y x

y x

y x

y x

2

2

x

y x f

y

y x f

dy

dx

),(

),(

y x

y x

2

2

Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi dua peubah secara

implisit dinyatakan dengan 0),,( z y x f .

Contoh

1. 0 xz yz xy

2. 0sin

y

xe xy

3. 025222 z y x

a. Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah

Fungsi Implisit 2 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk

0),,( z y x f

Dengan menggunakan diferensial total

Andaikan 0),,( z y x f W maka )0(),,( d z y xdf

0),,(),,(),,(

dz

z

z y x F dy

y

z y x F dx

x

z y x F

Jika masing masing bagian dibagi dx akan diperoleh


62/157


0),,(),,(),,(

dx

dz

z

z y x F

dx

dy

y

z y x F

x

z y x F

Karena akan dicari turunan fungsi terhadap x, maka 0dx

dy. Dan karena

fungsi lebih dari satu variabel maka turunan terhadap x dinyatakan dengan

x

z

, sehingga:

0),,(),,(

x

z

z

z y x F

x

z y x F

x

z y x F

x

z

z

z y x F

),,(),,(

z

z y x F x

z y x F

x

z

),,(

),,(

Dengan menurunkan terhadap z dan menentukan z

y

diperoleh

0),,(),,(

0

z

z y x F

z

y

y

z y x F

z

z y x F

z

y

z

z y x F

),,(),,(

y

z y x F x

z y x F

x

y

),,(

),,(

Dengan menurunkan terhadap y dan menentukan y

x

diperoleh

00),,(),,(

y

z y x F

y

x

x

z y x F

y

z y x F

y

x

x

z y x F

),,(),,(


63/157


64/157


Maka

y y

x z e yz

x

y y x f xyz 1cos)(),,(

dan

y

xe xy

z

y y x f xyz sin)(),,(

, sehingga menurut definisi turunan

fungsi implisit 3 peubah

x

z y x F z

z y x F

z

x

),,(

),,(

y

xe xy

y

x

y

z e yz

xyz

xyz

sin)(

cos)(

3. Tentukan y

z

dari 025222 z y x

Jawab

Karena 025),,( 222 z y x z y x f

Maka z z

y y x f 2

),,(

dan y

y

y y x f 2

),,(

, sehingga menurut definisi

turunan fungsi implisit 3 peubah

z

z y x F

y

z y x F

y

z

),,(

),,(

z

y

2

2

z

y


65/157


b. Turunan parsial fungsi implisit 4 peubah

Bentuk umum fungsi impilisit 4 peubah dinyatakan dengan

0),,,(

0),,,(

vu y xG

vu y x F

Atau

0),,,(0),,,( vu y xGdanvu y x F

Dimana variable x sejenis dengan y (berpasangan) dan variable u sejenis

dengan v dan 0),,,(0),,,( vu y xG sertavu y x F tidak dapat berdiri

sendiri. Karena u dan v sejenis maka tidak dapat ditentukan v

u

atau u

v

dan

tidak dapat pula ditentukan x

y

atau

x

y

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh

1.

0

02

2222

2

vu y xy x

uv y x

atau

002 22222 vu y xy xdanuv y x

2.

02

02

2

2

y xyvu

xy xvu

atau

0202 22 y xyvudan xy xvu

3.

0

03222

y xuv

y xvu

atau


66/157


003222 y xuvdan y xvu

Turunan Parsial fungsi implisit 4 variabel dilakukan dengan menggunakan

metode eliminasi.

Bentuk umum 0),,,(0),,,( vu y xGdanvu y x F , u,v variabel sejenis, x,y

variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukanu

vdan

v

u

x

y

y

x

,,, .

Sehingga turunan parsial fungsi implisit yang dapat ditentukan adalah

xvdan

yv

yu

xu

u y

v y

v x

u x

,,,,,,,

Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah

menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud, lalu dari persamaan

yang diperoleh gunakan metode eliminasi..

Contoh:

1.

Tentukan u

x

dan x

u

dari

Jawab

Karena akan ditentukan x

u

maka

y

x

x

y

u

v

v

u

,,, tidak boleh

dilakukan


dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x didapat

0221

x

uv

x

vu

x

y y

x

x………………(1)

02201

x

uv

x

vu atau 122

x

uv

x

vu

dan


67/157


- 02222

x

vv

x

uu

x

y y

x

x y

x

y x

x

x x …………(2)

atau x y x

vv

x

uu 222

Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi x

v

didapat

122

x

uv

x

vu (v)

x y x

vv

x

uu 222

(u)

didapat

v x

uv

x

vuv

222

uxuy x

vuv

x

uu 222 2

atau

)(2

)2(22 uv

x yuv

x

u

=)(2

)2(22

vu

x yuv

Karena akan ditentukanu

x

maka

x

y

v

u

u

v

y

x

,,, tidak boleh

dilakukan


dengan menurunkan fungsi terhadap variabel u didapat

0221

u

uv

u

vu

u

y y

u

x………………(1)


68/157


022

v

u

y y

u

x atau v

u

y y

u

x22

dan

00222

u

uu

u

y y

u

x y

u

y x

u

x x atau

uu

y x y

u

x y x 2)2()2(

………………(2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh

1 vu

y y

u

x22

................................... . (2y-x)

uu

y x y

u

x y x 2)2()2(

…………. (2y)

Didapat

)2(2)2(2)2( x yvu

y x y y

u

x x y

)2(22)2(2)2( yuu

y

y x yu

x

y y x

)2(2)2(2)2)(2()2( yu x yvu

x y y x x y

Diperoleh

)24()2(

4242 y xy x y

uyvxvy

u

x

)242(424

2 y xy x y

uyvxvy

Berdasarkan jawaban di atas, jelaslah bahwa untuk fungsi implisit 4

peubah tidak berlaku hubungan


69/157


u

x x

u

1 atau

x

uu

x

1

2.

Tentukan y

vdan

y

u

dari fungsi

0202 22 y xyvudan xy xvu

Karena akan ditentukan y

u

maka

y

x

x

y

u

v

v

u

,,, tidak boleh

dilakukan

Selanjutnya dengan menurunkan fungsi

0202 22 y xyvudan xy xvu terhadap variabel y

didapat

022

y

x y x

y

x x

y

v

y

u ………………(1)

002 x

y

v

y

u atau x

y

v

y

u

2

dan

022

y

y y

x

y y x

y

v

y

u…………(2)

02)0(2

y x

y

v

y

u atau y x

y

v

y

u22

Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi

y

v

didapat

x y

v

y

u

2 (2)

y x y

v

y

u22

(1)


70/157


didapat

x y

v

y

u224

y x y

v

y

u22

5 x y y

u

2 atau x y

y

u

2

5

1

Karena akan ditentukan y

v

maka

y

x

x

y

u

v

v

u

,,, tidak boleh dilakukan

Selanjutnya dengan menurunkan fungsi

0202 22 y xyvudan xy xvu terhadap variabel y

didapat

022

y

x y x

y

x x

y

v

y

u ………………(1)

002 x

y

v

y

u atau x

y

v

y

u

2

dan

022

y

y y

x

y y x

y

v

y

u…………(2)

02)0(2

y x

y

v

y

u atau y x

y

v

y

u22

Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi y

u

didapat

x y

v

y

u

2 (1)

y x y

v

y

u22

(2)


71/157


didapat

x y

v

y

u

2

y x y

v

y

u4242

y x y

v

435

atau y x yv

435

1

Soal-soal

1. Ditentukan fungsi 003222 y xuvdan y xvu

Tentukan:

a. x

vdan

y

u

x

v

x

u

,,,

b.u

xdan

v

y

v

x

u

x

,,,

2. Ditentukan 0202 22 y xyvudan xy xvu

Tentukan:

a. x

vdan

x

u

b.v xdan

u x

3. Jika 002 22222 vu y xy xdanuv y x

Tentukan

a. y

vdan

y

u


72/157


73/157


02220

u

z z

u

y y

u

x x .......................(2)

03330 222

u

z z

u

y y

u

x x ...........................(3)

Karena akan ditentukanu

x

maka eliminasikan

u

z dan

u

y

dari persamaan (1), (2) dan (3)

Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasiu

y

diperoleh:

01

u z u yu x (2y) 02222

u

z y

u

y y

u

x y y

0222

u

z z

u

y y

u

x x (1) 0222

u

z z

u

y y

u

x x

yu

z y z

u

x y x 2)22()22(

........(4)

Dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi

u

y

diperoleh:

01

u

z

u

y

u

x (3y 2 )

03333 2222

y

u

y y

u

x y y

03330 222

u

z z

u

y y

u

x x (1)

03330 222

u

z z

u

y y

u

x x

22222 3)33()33( yu

z y z

u

x y x

.(5)

Selanjutnya eliminasiu

z

dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:


74/157


yu

z y z

u

x y x 2)22()22(

)(3 z y

22222 3)33()33( yu

z y z

u

x y x

(2)

atau

)(6)33)(22())((6 y z yu

z y z y z

u

x y z y x

22222 6)33(2)33(2 yu

z y z

u

x y x

222 6)(6)33(2))((6 y y z yu x

y x y z y x

Sehingga:

)33(2))((6)6()(6

22

2

y x y z y x

y y z y

u

x

))(( z x y x

yz

2. Tentukanw

z

dari

0

0

0

333

222

z y xw

z y xv

z y xu

Jawab

Persamaan di atas diturunkan terhadap variable w dan diperoleh

00

w

z

w

y

w

x ............................(1)

02220

w

z z

x

y y

w

x x ...................(2)

03331 222

w

z z

w

y y

w

x x ................(3)


75/157


Karena akan ditentukanw

z

maka eliminasikan

w

ydan

w

x

dari persamaan (1), (2) dan (3)

Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasiw

x

diperoleh:

00

w

z

w

y

w

x …………(2x) 0222

w

z x

w

y y

w

x x

02220

w

z z

x

y y

w

x x ....... (1) 0222

w

z z

x

y y

w

x x

0)22()22(

w z x z w y x y

......(4)

Selanjutnya dari (1) dan (3) dengan mengeliminasiw

x

diperoleh:

00

w

z

w

y

w

x .

kalkulus_2.pdf

Documents

Transcript of kalkulus_2.pdf