1

KAJIAN DAN STRATEGI PEMBELAJARAN

BILANGAN BERPANGKAT DAN AKAR

Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah

Pendidikan Matematika 3

Dosen Pengampu: Drs. H. Fansuri, M. Pd

Disusun Oleh:

Aulia Rahman A1E307927

Paulina Rohana A1E307955

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI S1 PGSD TERINTEGRASI

BANJARBARU

2009

2

KAJIAN DAN STRATEGI PEMBELAJARAN

BILANGAN AKAR DAN BERPANGKAT

A. Bilangan Berpangkat

Bilangan pangkat adalah bilangan yang berpangkat satu, dua, dan

seterusnya.

Misalnya :

a) 2 pangkat satu ditulis dengan bilangan 21 atau sama dengan 2

b) 2 pangkat dua ditulis dengan bilangan 22

c) 5 pangkat tiga titulis dengan bilangan 53

d) a pangkat n ditulis dengan an

selain bilangan berpangkat 1 yaitu 22, 5

3, a

n dan seterusnya adalah

merupakan perkalian antara bilangan itu sendiri dengan dirinya dan pangakat

bilangan tersebut dijumlahkan.

Misalnya a2 x a

3 = a

2+3 = a

5

Keterangan : pangkat bilangan a adalah 2 dan 3 pangkatnya dijum;ahkan

yaitu 2 + 3 = 5 bilangan faktornya yaitu a dan a tidak dijumlahkan melainkan

dikalikan yaitu a dikali a.

Pemakaian :

1 x 1 = 11+1

= 12 bilangan yang dikali dengan pengali sama yaitu 1 dan 1

2 x 1 = 21 = bilangan pengali dengan dikali beda yaitu 2 dan 1

3 x 3 = 31+1

= 12

42 x 4 = 4

2+1 = 4

3

Bilangan pangkat dua disebut juga bilangan kuadrat misalnya b pangkat

dua sama dengan b kuadrat, dan cara menuliskannya sama yaitu b2. Tetapi

bilangan pangkat tiga dan seterusnya namanya tetap bilangan pangkat tiga

dan seterusnya.

Misalnya c pangkat tiga tetap c pangkat tiga yaitu c3

Penyelesaian

32 = bilangan tiga dua kali dikalikan yaitu 3 x 3 karena pangkat dua.

43 = bilangan empat tiga kali dikalikan yaitu 4 x 4 x 4 karena pangkat tiga.

3

an = penyelesaian faktor a dikalikan sebanyak n kali yaitu a x a x a…an

sebanyak n.

B. Penyelesaian Akhir Bilangan Berpangkat

a. Untuk lebih memahami pengertian tentang bilangan berpangkat dan

penyelesaian lebih lanjut dari soal-soal bilangan berpangkat dapat

diselesaikan dengan berbagai upaya atau cara.

Salah satu contoh konkrit yang dapat dipergunakan adalah

menggunakan alat-alat disekeliling kita yaitu kertas bujur sangkar atau

kelereng sebagi alat bantu dalam pengkajian pelajaran.

1) Sediakan kelereng secukupnya.

2) Susun kelereng membentuk bujur sangkar mulai dari kelereng

satu sampai beberapa kelereng yang susunannya menyerupai

bujur sangkar.

3) Anggap satu kelereng satu bujur sangkar.

4) 1 keleremg merupakan satu bujur sangkar = 1 x 1 = 1

= 4 = 2 x 2 = 4 atau sama dengan 22 dengan demikian

22 = 2 x 2 = 4

= 3 x 3 = 9 = atau sama dengan 32 dengan demikian 3

2

= 3 x 3 = 9

pengayaan hasil, bahwa hasil bilangan pangkat dua (kuadrat) dapat

juga merupakan penjumlahan dari bilangan-bilangan ganjil.

12 = 1 = 1

22 = 4 = 1 + 3

32 = 9 = 1 + 3 + 5

42 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7

52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

Dan seterusnya

Contoh selanjutnya

4

Selesaikanlah 102

Penyelesaian

102 = 10 x 10 = 100

Selesaikanlah 112

Penyelesaian 1

112 = 11 x 11 = 121

Penyelesaian 2

112 = (10 x 1 x 2) + 102 + 12

= 20 + 100 + 1

= 121

Selesaikanlah 152

Penyelesaian 1

152 = 15 x 15 = 225

Penyelesaian 2

152 = (10 x 5 x 2) + 102 + 52

= 100 + 100 + 25

= 225

Penyelesaian 3

152 = ….

Perhatikan puluhan yaitu 1 (menurut urutan bilangan) setelah 1

adalah 2, 3 dan seterusnya (bilangan asli).

Penyelesaian lebih lanjut 1 x 2, hasilnya adalah bilangan ratusan yaitu

200 dan hasil dari 5 x 5 yaitu 25, dengan demikian 152 = ….?

1 x 2 = 2 = …. (2 merupakan nilai dua ratusan)

5 x 5 = 25

152 = 225

Selesaikanlah 352 = ….

3 x 4 = 12…(1 nilai seibu dan 2 nilai dua ratusan)

5 x 5 = 25

1225

Catatan: hanya dapat dipergunakan pada bilangan kuadrat yang nilai

satuannya adalah bilangan 5

5

Selesaikanlah 33

Penyelesaian

33 = 3 x 3 x 3

= 9 x 3

= 27

b. Penjumlahan bilangan berpangkat

1. 22 + 3

3 tidak sama dengan 5

5

22 + 3

3 diselesaikan dengan cara menyederhanakan tiap-tiap

bilangan berpangkat yaitu:

22 = 2 x 2 = 4

33 = 3 x 3 x 3 = 27

22 + 3

3 = 4 + 27

= 31

2. 42 + 4

2 = ….

Penyelesaian 1

42 + 4

2 = 2 x 42

= 2 x 16

= 32

Penyelesaian 2

42 + 4

2 = 16 + 16

= 32

c. Pengurangan bilangan berpangkat

1. Selesaiakanlah 32 – 2

3

32 – 2

3 = 9 – 8

= 1

2. Selesaiakanlah 32 – 22

Penyelesaian 1

32 – 2

2 = 9 – 4

= 5

Penyelesaian 2 (menjumlahkan bilangan pokoknya)

32 – 2

2 = 3 + 2

= 5

6

Syarat : setiap pengurangan dua buah bilangan berpangkat dua

berurutan misalnya (32 – 22) maka dimungkinkan dapat

diselesaikan dengan cara penjumlahan kedua bialangan bilanagn

tersebut.

d. Perkalian dan pembagian bilangan berpangkat

Selesaikanlah

1. 22 x 2

1 = 2

3 = 2 x 2 x 2 = 8

2. 32 x 3

2 = 3

4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

3. 53 : 5

2 = 5

3-2 = 5

Kesimpulan: jika bilangan faktornya sama, untuk perkalian pangkat

dijumlahkan dan untuk masalah pembagian pangkat dikurangkan

C. Akar Pangkat dari Bilangan-Bilangan

Bilangan berpangkat dua atau akar pangkat dua adalah merupakan dua

sejoli yang dalam operasi hitung saling invers, seperti halnya perkalian dan

pembagian, penjumlahan dan pengurangan adalah operasi-operasi yang saling

invers.

Pada umumnya akar pangkat dua dalam penulisan adalah bahwa

pangkatnya tidak ditulis atau dengan pengertian jika pangkat tidak dituli

berarti pangkat akar tersebut adalah pangkat dua.

Pemakaian

Akar pagkat dua dari x ditulis penulisan sebenarnya

Akar pangkat 3 dari a ditulis

Akar pangkat n dari y ditulis

Penyelesaian akhir dari suatu bilangan berpangkat lebih besar dari satu

adalah membagi pangkat bilangan dengan akar.

1. Hubungan bilangan berpangkat dengan akar pangkat

Contoh hubungan bilangan berpangkat dalam bilangan akar kuadrat

Bilangan Kuadrat Bilangan Akar kuadrat

0 0 0 0

1 1 1 1

7

2 22 4 2

3 32 9 3

4 42 16 4

5 52 25 5

Contoh 1

Jika kuadrat dari 5 adalah 25, maka akar pangkat dua dari 25 adalah 5.

Penyelesaian = 5

= = = 52/2

= 51 = 5;

Pangkat akar adalah dua dan tidak ditulis

Pangkat bilangan dibagi akar

= 0

= 1

= q; maka = p

Contoh 2

Selesaikanlah

Penyelesaian

= ….

Jadi 8 = 2 x 2 x 2 atau 8 = 22 x 2

Contoh 3

Selesaikanlah

Jawaban:

8

= =

2. Menaksir akar kuadrat dari bilangan yang bukan kuadrat

Menaksir akar kuadrat dari bilangan yang bukan akar kuadrat dapat

diselesaikan dengan berbagai cara:

Contoh 1:

Selesaikanlah :

Penyelesaian

Garis bilangan.

3 ? 4

Taksiran Pertama

Garis bilangan yaitu 3,5

Perhitungan tanpa garis bilangan

terletak antara dan

= 3 dan

Bilangan yang terletak di antara 3 dan 4 adalah:

9

Taksiran pertama belum memenuhi karena 3,5 x 3,5 = 12,25

Taksiran kedua

Taksiran menurut garis bilangan adalah 3,5 ; maka

(belum memenuhi).

Taksiran ketiga

Taksiran pertama dan kedua digabung dan dibagi dengan dua

Jadi (“ artinya mendekati).

Contoh 2:

Selesaikanlah

Penyelesaian:

Taksiran 1

terletak antara

5 dan

Bilangan yang terletak di atas 5 dan di bawah 6 adalah 5,5

Tanda “ ” artinya mendekati.

Taksiran 2

Taksiran 1 = 5,5

10

Taksiran 3

Jadi

Contoh 3:

Selesaikanlah dan (diambil dua desimal)

Penyelesaian:

= 2,24

Contoh 4

Selesaikanlah

Penyelesaian:

Contoh 5

Selesaikanlah

Penyelesaian:

Dalam contoh 3 bahwa

Dengan demikian

= 7,503 10 = 75,03.

Contoh 6

Selesaikanlah :

Penyelesaian:

Pertama-tama dikalikan dengan atau dan seterusnya

11

12

Kesulitan Belajar Siswa dalam Bilangan Pangkat dan Akar

serta Cara Pemecahannya

1. Siswa kurang tahu makna dari bilangan berpangkat

Bilangan berpangkat pada prinsipnya menyatakan perkalian antara

bilangan itu sendiri dengan dirinya dan pangkat bilangan tersebut

dijumlahkan misalnya = bilangan 3 dua kali dikalikan yaitu 3 x 3 karena

pangkat dua.

Untuk lebih memahami pengartian tentang bilangan berpangkat dan

penyelesaiannya dari soal bilangan berpangkat dapat digunakan berbagai

cara. Salah satunya adalah menggunakan alat-alat disekeliling kita yaitu

kertas bujur sangkar atau kelereng sebagai alat bantu dalam pengkajian

pelajaran.

2. Siswa Kurang tahu makna dari akar pangkat

Bilangan berpangkat dua atau akar pangkat dua pada prinsipnya

merupakan dua operasi hitung yang saling invers , seperti halnya perkalian

dan pembagian, penjumlahan dan pengurangan, dan operasi-operasi yang

saling invers.

Untuk lebih memahami siswa tentang akar pangkat siswa harus terlebih

dahulu memahami bilangan berpangkat. Salah satu solusi yang dapat

diambail dalam mengkonkritkan bilangan akar pangkat yaitu dengan bujur

sangkar atau kelereng. Berikanlah kesempatan pada siswa dengan memberi

sebuah pemecahan masalah seperti diketahui sebuah bujursangkar dengan

luas tertentu misalnya bujur sangkar ABCD dengan luas 25 cm.

a. Mintalah kepada siswa untuk menentukan sisi bujur sangkar tesebut.

b. Untuk mempermudah siswa, bujur sangkar tersebut dibuat dengan garis

bantu dengan bujur sangkar yang berukuran 1 x 1. Sehingga pada bujur

sangkar ABCD terdapat 25 bujur sangkarr kecil.

c. Mintalah siswa untuk menentukan sisi bujur sangkar dengan menghitung

bujur sangkar kecil. Jadi, didapat sisi bujur sangkar adalah 5 bujur sangkar

kecil yang sama nilanya dengan bujur sangkar kecil.

13

3. Siswa kurang memahami bilangan berpangkat nol

4. Siswa kurang memahami penarikan akar bilangan yang tidak termasuk

kuadrat sempurna seperti

Untuk membantu siswa dalam mengatasi kesulitan ini dapat dilakukan

dengan pendekatan yaitu dengan mengira-ngira. Pada dapat dilakukan

dengan beberapa cara, yaitu: dengan garis bilangan.

3 ? 4

Taksiran pertama garis bilangan yaitu 3,5

Perhitungan tanpa garis bilangan

terletak antara dan

= 3 dan

Bilangan yang terletak di antara 3 dan 4 adalah:

Taksiran pertama belum memenuhi karena 3,5 x 3,5 = 12,25