K2 Penyelesaian pers. linair.doc

8/17/2019 K2 Penyelesaian pers. linair.doc

1/15

PEMECAHAN NUMERIK DENGAN ALJABAR dan

SISTEM TRANSENDENTAL

1.1 Pendahuluan

Operasi aritmatika yang ditampilkan modern dengan komputer digital adalah

bentuk-bentuk dari aljabar klasik. Berdasarkan alasan ini, yang menjadi perhatian

utama kita dalam buku ini adalah 2 masalah dasar yaitu:

1. Perkiraan sebuah persamaan diferensial dari sebuah aljabar atau persamaantranscendental.

2. emecahkan masalah sistem aljabar atau persamaan e!uation.

"tu adalah masalah utama yang akan kita bahas terlebih dahulu.

1.# atrik dan $item %inear

$ecara umum sistem persamaan linear aljabar dari n persamaan di dalam n tidak

diketahui &1,&

2,&

',((,&

n dapat kita tuliskan dalam bentuk pada persamaan )1.1*

+11

&1a

12&

2a

1'&

'((.a

1n&

n b

1

+21

&1a

22&

2a

2'&

'((.a

2n&

n b

2

+n1&1an2&2an'&'((.ann&n bn

ika matriks &, b dan a didefinisikan dalam persamaan matriks, maka kita akan

mendapatkan persamaan )1.2*

&1 b

1 a

11 a

12 ( a

1n

& &2 , b b2 , + a21 a22 ( a2n


2/15

&n b

n a

n1 a

n2 ( a

nn

Persamaan )1.2* jika mengikuti hukum dasar dari matriks operasi maka sistem

dapat ditulis sebagai persamaan )1.'*

+/ b

0engan menggabungkan persamaan )1.1* dan )1.'* maka kita akan saling tukar-

menukar dengan yang sesuai.

ari kita asumsikan + adalah non-singular, jadi untuk mendapatkan + dan b, &

dalam persamaan )1.'* yang ada adalah unik, di samping itu , komponen-komponen dari

factor & dapat diberikan secara eksplisit dari ukum ramer3s dalam hubungan dengan

determinant.

Bagaimanapun jika dalam satu percobaan untuk menge4aluasi determinan dandengan demikian secara tepat dapat ditemukan nilai numerical dari &

1,&

2,(.,&

n. maka

berdasarkan ukum ramer3s digunakan untuk n 2,', dan #, untuk penambahan nilai

dari n, dan metoda lain yang harus digunakan. $ejak kita tertarik dengan nilai relatif

yang besar dari n, maka kita akan diperkenalkan dengan beberapa karakter yang

sepantasnya kita aplikasikan dalam memecahkan masalah-masalah yang umum dan

yang mana akan memungkinkan kita untuk memecahkan persamaan )1.1* secara tepat

dan efisien.

0efinisi 1.1

$istem 1.1 akan diubah menjadi sistem diagonal dominant.

ijii aa Σ≥ " 1,2,(,n

j1

" j


3/15

$istem 1.2 akan diubah menjadi diagonal determinant

#&1 2&

2 2&

' 1

&1 - '&2 - &' 5

&1 &

2 2&

' 6

0efinisi 1.2

$istem 1.2 akan diubah menjadi sistem diagonal dominant.

iniiiiiiii aaaaaa ,....,,.,,.........,ma/

1,1,21 +−≥ i 1,2,',(,n

$istem 1.2 akan diubah menjadi diagonal determinant

7&1 #&

2 - '&

' 6

&1 - '&

2 - &

' 6

&1 - #&

2 #&

' 1

0efinisi 1.'

0efinisi 1.1 dapat dikatakan tridiagonal jika dan hanya jika elemen dari matrik +

adalah 6 kecuali aii, a

j, a

j1, dan a

j1,jdimana 8 1,2,(,n9 1,2,(, n-1

ontoh:

#&1 &2 1 &

1 - '&

2 &

' 6

&2 '&

' - &

# -1

&' &

# - &

7 6

&# ; 2&

7 1


4/15

0alam definisi 1.' liminasi ?auss

0ari persamaan )1.1* pilih sebuah persamaan yang koefisiennya &1, disebut a

k1, yang

nilainya lebih besar atau sama dengan dari koefisien lain pada persamaan tersebut.


5/15

11

&1

12&

2

1'&

' (

1,n-1&

n-1

1n&

n

1

22

&2

2'

&'

(2,n-1

&n-1

2n

&n

2

)1.C* ''

&' (

',n-1&

n-1

'n&

n

'

nn

&n

n

Dang senilai dengan )1.1*, untuk ii @ 6, 1 1,2,(,n

+khirnya dengan substitusi ulang, ditemukan &n, &

n-1,(,&

', &

2, &

1.

ontoh :

Perhatikan persamaan berikut :

)1.#* &1 #&

2 ; &

' &

# 2

)1.7* &1 - 2&

2 ; '&

' &

# #

)1.5* #&1 - &

2 2&

' - &

# 2

)1.* &2 - #&

# 2


6/15

$elanjutnya, karena pada )1.#3* koefisien &2 lebih besar nilainya dari pada daripada

koefisien lain dalam )1.#3*, persamaan ini ditulis terpisah. enjadi ,

)1.#3* 1A# &2 ; 'A2 &

' 7A# &

# 'A2

$elanjutnya, tambahkan bilangan pengali yang sesuai dari )1.#3* ke setiap persamaan

)1.73*, dan )1.3*. 0engan cara ini )1.73* dan )1.3* berkurang menjadi :

)1.733* ; 6A1 &' '6A1 &

# 6A1

)1.33* 5A1 &' - 'A1 &

# -5A1


7/15

substitusikan &# 6, &

' -1 ke persamaan )1.#3* dihasilkan &

2 6 dan substitusikan &

#

6, &' -1, &

2 6 ke dalam persamaan )1.5* dihasilkan &

1 1

aka persamaan )1.#* - )1.* terselesaikan.atatan, biasanya akan tampak lebih sederhana persamaan seperti )1.7E* :

-&' '&

#

ika mengerjakannya hanya dengan menggunakan kertas dan pensil.

Bagaimanapun, hal ini tidak berlaku karena komputer digital akan membagi dan

membulatkannya, oleh karena itu koefosien-koefisien akan terhitung dengan tampilan

desimal dan bukan pecahan.

Penjelasan metode tersebut contohnya akan diberikan dalam sebuah rumus

umum.

1.# Persamaan ridiagonal

ika persamaan )1.1* adalah tridiagonal dan dominan diagonal , ada

penyelesaiannya dan unik )Geiringer *. Hntuk beberapa persamaan, metode >liminasi

?auss biasanya dapat digunakan secara efisien pada program komputer seperti

HI"J+ 116C untuk nilai n sampai rata-rata 2666 dan dapat dikodifikasi sebagai

berikut. isalkan K1, K

2, (., K

n dan L

1, L

2,(, L

n-1 dari

)1.F* K1 a

11

)1.16* L j

)a j,j1

*AK j, j 1,2,(,n-1

)1.11* K j a

jj- a

j,j-1 L

j-1, j 2,',(,n.

$elanjutnya M1, M

2,(,M

n dari

)1.12* M1 b

1A K

1

)1.1'* Nj )bj- a j,j-1

M j-1

*A K j,

j 2,',(,n.

+khirnya diperoleh hasil /1,/2,(,/n dari

)1.1#* &n

Nn


8/15

)1.17* &k N

k -&

k1 L

k,.k n-1, n-2,(',2,1.

asil proses subtitusi Persamaan umum eleminasi ?auss terlihat jelas dari )1.1#* dan)1.17*.

ontoh:

Persamaan metode tridiagonal:

6

62

62

62

12

7#

7#'

#'2

'21

21

=+=+−

=+−+=+−+=+−

x x

x x x

x x x

x x x

x x


9/15

$elanjutnya,

2

11 −= Z ,

'

12 −= Z ,

#

1' −= Z ,

7

1# −= Z ,

5

17 −= Z

asil akhirnyaG

5

17 −= x

'

1

7

#

5

1

7

1# −=

−

−−−= x

2

1

#

'

'

1

#

1

' −=

−

−−−= x

'

2

'

2

2

1

'

12 −=

−

−−−= x

5

7

2

1

'

2

2

11 −=

−

−−−= x

1.7 etode Hmum Ie=ton

eknik iterasi untuk mengatasi kelompok sistem linear dan non linear disebut metode

umum ne=ton.


10/15

dengan grafik 1.1. akan terlihat, jelas bah=a perhitungan akar real )1.1F* sama dengan

real nol dari )1.26*

$eperti terlihat pada grafik tersebutG−

x nol dari f)/*.


11/15

$etelah slope n1, angka real /)n1* ditentukan dengan persamaan:

)1.27* −=+ *)*1) nn x x*)P

*)*)

*)

n

n

x f

x f dengan 6*) *)P ≠n x f

Prosedur iterasi tersebut disebut etode ne=ton.

Pada kondisi yang baik, metode ne=ton dapat digunakan untuk menentukan akar realdengan drajat kebenaran yang sangat tinggi.

elas, ada nilai yang dimiliki metode ini dimana hasil dari akar real dengan sedikit

iterasi dibandingkan dengan metode ne=ton sebelumnya.

)1.25* *)P*)*) *6)*6)*6) x f x x x f y −⋅=− τ

)1.2* −= *6)*1) x x*)P

*)1*6)

*6)

x f

x f

τ

dengan τ . f3) *)n x * 6≠

)1.2C* −=+ *)*1) nn x x*)P

*)1*)

*)

n

n

x f

x f

τ

dengan f3) *)n x * 6≠

$upaya lebih sederhana maka ω τ

=1 dan persamaan )1.2C* menjadi:

)1.2F* −=+ *)*1) nn x x*)P

*)*)

*)

n

n

x f

x f ω dengan f3) *)n x * 6≠

Dang disebut persamaan umum Ie=ton.


12/15

ontoh soal:

entukan akar positif dari:

'22' 2' =−+ x x x

0engan metode ne=ton

$olusi

Hntuk contoh ini, persamaan umum rumus Ie=ton adalah:

)1.'6* /)n1* n )n* - ω Q/)n*R'S'Q/)n*R2-2/)n*-2S'

'Q/)n*R2 2/)n*-2

0iperkirakan nilai S' nilainya 1., anggap ω 1.' dan /)6* 2 dan perhitungannya

sampai 1 angka dibelakang koma akan membentuk satu persamaan yang berasal dari

persamaan )1.'6*

/)1* 1.#, /)2* 1.#

sejak /)1* /)2*, iterasi selanjutnya akan mencapai nilai rata-rata / 1.#. $eperti langkah

sebelumnya, jika ω 1, nilai rata-rata /)1* 1.5, /)2* 1.# dan /)'* 1.# akan

membutuhkan langkah yang lebih banyak dibandingkan bila nilai ω 1.'. $olusi

eksak adalah / S2 akan dihitung sampai satu angka dibelakang koma.

ika persamaan di ba=ah ini harus diselesaikan menjadi 2 4ariabel

)1.'1* f 1)/

1,/

2* 6

)1.'2* f 2

)/1

,/2

* 6


13/15

aka penyamaan persamaan )1.2F* yang dapat kita gunakan untuk persamaan )1.'1*dan

)1.'2* adalah

)1.''* /1)n1* /

1)n* -ω

1

*)

2

*)

11

*)

2

*)

11

,),)

x

x x f x x f

nn

nn

∂∂

)1.'#* /2)n1* /

2)n* -ω

2

*)

2

*1)

12

*)

2

*)

12

,)

,)

x

x x f

x x f nn

nn

∂∂ +

Penting untuk diingat bah=a dalam persamaan )1.'#* hasil /1

)n1*, bukan /1)n*, digunakan

untuk mengkalkulasi /2)n1*. aka data baru yang dihasilkan lebih bisa digunakan

apabila tersedia.

ontoh 1

Pertimbangkan system linier

2/1

- /2

-'

/1- 2/

2 -'

solusi yang akan dihasilkan bila /1 -1, /

21, maka

f 1)/

1,/

2* 2/

1 ; /

2 '

f 2)/

1,/

2* /

1 ; 2/

2 '

selanjutnya )1.''* dan )1.'#* akan berubah menjadi

)1.'7* /1)n1* /1)n* - ω Q2/1)n* ; /2)n* 'RA2)1.'5* /

2)n1* /

2)n* - ω Q/

1)n* ;2/

2)n* 'RA2

ika /1)6* /

2)6* dan untuk ω 1, ini akan mengikuti persamaan )1.'7* dan )1.'5* maka

/1)1*

2

'− ,/2)1* #

' , /1)2*

C

F− ,/2)2*

15

17 , /1

)'* -'2

''

/2

)'* 5#

5' ,(.


14/15

aka, untuk /1)n1*, sementara /

1)6* 6, /

1)1*

2

'− , /1)2* C

F− , /1)'* - '2

'' , sementara

untuk /2

)n1* , /2

)6* 6, /2

)1* #

' , /2

)2* 15

17 , /2

)'* 5#

5' , 4ariabel ini akan bertemu

dalam nilai /1 1, /

2 1.

ontoh 2

Pertimbangkan sistem transendental

-e/1 ; /1 '/

2 ' 6

e/2 ; /2 2/1 ' 6

solusi eksak dari persamaan diatas tidak diketahui, maka

f 1)/

1, /

2* -e/1 ; /

1 '/

2 '

f 2)/

1, /

2* e/2 ; /

2 2/

1 1

Hntuk system ini, persamaan umum rumus ne=ton direduksi menjadi

)1.'* /1)n1* /

1)n* - ω Qe/1)n* /

1)n* '/

2)n* - 'RAQe /

1)n*1R

)1.'C* /2)n1* /

2)n* - ω Q/

2)n* /

2)n* -2/

1)n1* 1RA Qe /

2)n*1R

Hntuk /1)6* /

2)6* 6 dan ω 1.7, persamaan )1.'* dan )1.'C* menjadi

)1.'F* /1)1* 6 ; 1.7 Qe6 6 ; '.6 ; 'RA Qe6 1R 1.7

)1.#6* /2)1* 6 ; 1.7 Qe6 6 ; 2 )1.7* 1RAQ e6 1R 6.7

asil persamaan )1.'F* dan )1.#6* akan dimasukkan ke persamaan )1.'* dan )1.'C*

untuk menghasilkan /1)2* dan /

2)2* dan iterasi akan terus berlanjut dalam model berulang.

+khirnya, persamaan )1.''* dan )1.'#* menjadi system general yang paling bisa terjadi

)1.#1* f 1)/

1, /

2, /

',(../

k-1, /

k * 6

)1.#2* f 2)/

1, /

2, /

',(../

k-1, /

k * 6

)1.#'* f ')/

1, /

2, /

',(../

k-1, /

k * 6

)1.##* f k

-1

)/1

, /2

, /'

,(../k-1

, /k

* 6


15/15

)1.#7* f k )/

1, /

2, /

',(../

k-1, /

k * 6

maka persamaan rumus Ie=ton untuk persamaan )1.#1* ; )1.#7* adalah

)1.#5* /1)n1* /

1)n* - ω

1

*)1

*)*)

'

*)

2

*)

11

*)1*)*)'*)2*)

11

,,....,,)

,,...,,)

x

x x x x x f

x x x x x f n

k k nnnn

nk k

nnnn

∂

∂ −

−

)1.#* /2)n1* /

2)n* - ω

2

*)1

*)*)

'

*)

2

*)

12

*)1

*)*)'

*)

2

*)

12

,,....,,)

,,...,,)

x

x x x x x f

x x x x x f n

k k nnnn

n

k k nnnn

∂

∂ −

−

)1.#C* /')n1* /

')n* - ω

'

*)1

*)*)

'

*)

2

*)

1'

*)1

*)*)'

*)

2

*)

12

,,....,,)

,,...,,)

x

x x x x x f

x x x x x f n

k k nnnn

n

k k nnnn

∂

∂ −

−

)1.#F* /1k-1)n1* /k-1)n* - ω

1

*)1*)*)'*)

2*)

11

*)1

*)*)'

*)

2

*)

11

,,....,,)

,,...,,)

−

−−

−−

∂

∂

k

nk k

nnnnk

n

k k nnnn

k

x

x x x x x f

x x x x x f

)1.76* /k )n1* /

k )n* - ω

k

n

k k nnnn

k

n

k k nnnn

k

x

x x x x x f

x x x x x f

∂

∂ −

−

*)1

*)*)

'

*)

2

*)

1

*)1

*)*)'

*)

2

*)

1

,,....,,)

,,...,,)

Penggunaan rumus menjadi persamaan )1.#1* ; )1.#7*, akan disebut persamaan umum

rumus Ie=ton untuk system.

K2 Penyelesaian pers. linair.doc

Documents

Transcript of K2 Penyelesaian pers. linair.doc