STRUKTUR ALJABARGRUPOID, dan HUKUM

PENCORETAN

TUJUAN

• Mahasiswa akan dapat membuktikan bahwa suatu sistem adalah struktur aljabar, grupoid, semigrup, monoid, kuasigrup dan loop

Cakupan

– Komposisi biner– Struktur aljabar– Grupoid– Unsur kesatuan– Komutatif– Daftar Cayley– Hukum Pencoretan

STRUKTUR ALJABAR

• Adalah himpunan tak kosong dengan sebuah/beberapa operasi tertutup (komposisi biner).

• Beri contoh-contoh struktur aljabar dan yang bukan struktur aljabar

GRUPOID

• Adalah struktur aljabar dengan satu operasi tertutup (komposisi biner).

• Simbol (G, )

• Beri contoh-contoh grupoid dan yang bukan grupoid

Operasi Komutatif

• Grupoid (G, ) disebut komutatif jika xy = yx, untuk setiap x,y G.

• Beri contoh-contoh grupoid yang komutatif dan yang tidak komutatif.

Daftar Cayley

• A = {0, 1, 2, 3} dengan operasi tambah modulo 4

• B={1, 2, 3, 4} dengan operasi perkalian modulo 5

• Buatlah daftar Cayleynya.

Unsur Kesatuan

• Grupoid G mempunyai unsur kesatuan kiri=e jika ex = x untuk setiap xG.

• Grupoid G mempunyai unsur kesatuan kanan=f jika xf =x untuk setiap xG.

Teorema

• Jika grupoid G mempunyai unkes kiri=e dan unkes kanan=f, maka e=f.

Akibat:

• Jika suatu grupoid punya unkes kiri lebih dari sebuah, maka tdk ada unkes kanan.

• Jika suatu grupoid punya unkes kanan lebih dari sebuah, maka tdk ada unkes kiri.

Ciri tertutup, unkes & komutatif pada Daftar Cayley

• Apa ciri grupoid yang tertutup?

• Apa ciri grupoid yang tidak tertutup?

• Apa ciri adanya unkes kiri?

• Apa ciri adanya unkes kanan?

• Apa ciri berlakunya sifat komutatif?

• Apa ciri adanya invers untuk setiap elemen?

Hukum Pencoretan

• Grupoid (G,) memenuhi pencoretan kiri jika ab = ac mengakibatkan b=c.

• Grupoid (G,) memenuhi pencoretan kanan jika ba = ca mengakibatkan b=c.

• Jika (G,) komutatif dan memenuhi pencoretan kiri, maka pasti memenuhi pencoretan kanan. Sebaliknya? Mengapa?

• Beri contoh-contoh grupoid yang memenuhi dan yang tidak memenuhi hukum pencoretan.

Ciri pencoretan kiri dan kanan

• Apa ciri grupoid yang memenuhi pencoretan kiri dilihat dari tabel Cayley?

• Apa ciri grupoid yang memenuhi pencoretan kanan dilihat dari tabel Cayley?

• Apa ciri grupoid yang memenuhi pencoretan kiri dan kanan (sekaligus) dilihat dari tabel Cayley?

Contoh:

• Beri contoh tabel Cayley untuk grupoid yang memenuhi pencoretan kiri, tetapi tidak memenuhi pencoretan kanan.

• Beri contoh yang sebaliknya.• Beri contoh yang memenuhi keduanya.• Bilamana suatu grupoid memenuhi hukum

pencoretan terbatas? Tak terbatas?• Beri contoh-contoh untuk terbatas dan tak

terbatas.

Penutup

– Komposisi biner: tertutup– Struktur aljabar: sistem dengan satu atau

lebih operasi tertutup– Grupoid: sistem dengan satu operasi tertutup– Unsur kesatuan: ae=ea=a– Komutatif: ab=ba– Daftar Cayley: daftar yang menunjukkan

operasi antar elemen pada sistem berhingga– Hukum Pencoretan ab=ac berarti b=c, juga

ba=ca berarti b=c