Qꞌ Q

P Pꞌ

M

N

A. Pengertian Isometri

Isometri adalah suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan), Translasi

(pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak

(panjang suatu ruas garis). Transformasi U merupakan Isometri bila dan hanya bila pasangan

titik P dan Q dipenuhi P’Q’ =PQ dengan P’ = U (P) dan Q’ = U (Q).

Contoh soal 1:

Misalkan diketahui garis g pada bidang V dan transformasI T di tetapkan sebagai

berikut:

i. Jika p ϵ g maka T (p) = p

ii. Jika p ϵ g maka T (p) = pꞌ ,sehingga g sumbu dari ppꞌ

Apakah tras formasi T ini merupakan suatu isometri?

Penyelesaian:

Ambil dua titik sebarang P dan Q anggota V misalkan T (p) = pꞌ dan T (Q) = Qꞌ,

sehingga di peroleh :

1. g sumbu dari ppꞌ , misalkan g ∩ ppꞌ = { N } , maka PN = Npꞌ

2. g sumbu dari QQꞌ , misalkan g ∩ QQꞌ = { M } ,maka QM = MQꞌ

Perhatikan gambar berikut:

1. Perhatikan ∆ PNM dengan ∆ PꞌNM. Karena PN = NPꞌ, ∠PNM ≅ ∠PꞌNM (siku-

siku), maka ∆ PNM ≅ ∆ PꞌNM akibatnya :

a. PM = PꞌM

b. ∠PNM ≅ ∠PꞌNM

2. Perhatikan ∆ PQM dengan ∆ PꞌQꞌM.

Karena PM = PꞌM, ∠PMQ ≅ ∠PꞌQꞌM dan QM = QꞌM, maka ∆ PQM ≅ ∆ PꞌQꞌM ,

akibatnya PQ = PꞌQꞌ

Karena P dan Q di ambil sembarang titik pada V dapat di simpulkan bahwa untuk

setiap pasangan titik P dan Q pada V ,di peroleh PꞌQꞌ = PQ sehingga transformasi T yang

ditetapkan di atas adalah suatu isometri .

Contoh soal 2:

Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun sebuah budang (datar). Daqn

pemetaan T didefinisikan untuk suatu titik P (x,y) oleh :

T (P) = P'

= (x,-y)

Apakah T suatu isometric ?

Penyelesaian:

Akan dibuktikan bahwa T suatu transformasi menunjukkan T suatu isometri, ambil

sepasang titik A' (a1,-a2) dan B' (b1,-b2), kemudian akan dibuktikan bahwa A' B' = AB.

Y A (a1,a2)

B (b1,b2)

x

B' (b1,-b2)

A' (a1,-a2)

Dengan rumus jarak, diperoleh :

A' B' = √ (a1−b1)2+(−a1−(−b2 ))2

= √ (a1−b1)2+(b2−a2)2

A’

A

B

B ‘

gh

= √ (a1−b1)2+(a2−b2)2

= √ (a1−b1)2+(a2−b2)2

= AB

Jadi , T adalah isometri.

Sofat-sifat isometri :

Teorema 1 :

Setiap isometric bersifat :

1. Isometri adalah kolineasi

Suatu Transformasi dikatakan kolineasi bila hasil Transformasi sebuah garis lurus

akan tetap berupa garis lagi atau jika g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan

membuktikan bahwa T(g) = h adalah suatu garis juga.

Bukti :

Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri.

Akan dibuktikan bahwa T( g ) = h adalah suatu garis juga.

Ambil sembarang A ϵ g dan B ϵ g . Maka Aꞌ = T ( A ) ϵ h , Bꞌ = T ( B ) ϵ h ;

melalui Aꞌ dan Bꞌ ada suatu garis, misalnya hꞌ.

Akan di buktikan hꞌ = h .

Untuk ini akan dibuktikan h' h dan h h'

1) Bukti h'h

Ambil X’ є h’. oleh karena bidang kita adalah Bidang Euclides, maka kita

andaikan (A’ X’ B’), artinya : A’ X’+ X’B’ = A’ B’. oleh karena T suatu

isometri. Jadi suatu transformasi maka ada X sedemikian sehingga T (X) = X’

dan Oleh karena T suatu isometric maka AX = A’X’ ; begitu pula XB = X’B’.

Jadi pula AX + BX = AB Ini berarti bahwa A, X, B segaris pada g. Ini berarti

lagi bahwa X’ = T(X) є h. Sehingga h'h sebab Bukti serupa berlaku untuk

posisi X’ dengan (X’ A’ B’) atau (A’ B’ X’)

2) Bukti h h'

Ada lagi Y’ є h

Maka ada Y є g sehingga T(Y)=Y’ dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y є g

dan AY + YB = AB. Oleh karena T sebuah Isometri maka A’Y’ = AY,

Y’B’= AB. Sehingga A’Y’+Y’B’ = A’B’.Ini berarti bahwa A’, Y’, B’ segaris,

yaitu garis yang melalui A’ dan B’.

Oleh karena h’ satu-satunya garis yang melalui A’ dan B’. Maka Y’ є h’, Jadi

haruslah Bukti h h'

Bukti serupa berlaku untuk keadan (Y A B) atau (A B Y) sehingga h h'. jadi

kalau g sebuah garis maka h = T (g) adalah sebuah garis.

2. Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis

Ambil sebuah sudut ABC

Perhatikan ∆ABC dan ∆A’B’C’

Karena U isometric berarti A’B’= AB

A’C’= AC

B’C’= BC

Karena sisi, sisi, sisi berarti Δ ABC≃ΔA'B'C'

Akibatnya m∠CAB=m∠C ' A ' B '

m∠ABC=m∠ A ' B ' C '

m∠ACB=m∠A ' C ' B'

Jadi isometri mempertahankan besar sudut.

3. Isometri Mengawetkan kesejajaran dua garis

Kita harus memperlihatkan bahwa a’ ⁄⁄ b’ . Andaikan a’ memotong b’ disebuah titik

P’ jadi P’ є a’ dan P’ є b’. oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T(P) = P’

dengan P є a dan P є b. Ini berarti bahwa a memotong b di P ; jadi bertentangan dengan yang

diketahui bahwa a ⁄⁄ b Maka Pengandaian bahwa a’ memotong b’ SALAH. Jadi haruslah

a’ ⁄⁄ b’.

Contoh soal:

Diketahui garis g = {( x , y )│ y=−x }, dan garis h = {( x , y )│ y=2 x−3}. Apabila Mg

adalah refleksi pada garis g. Tentukanlah persamaan garis h' = Mg (h).

Penyelesaian :

Oleh karena Mg sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut sifat

isometri h' adalah sebuah garis. Garis h' akan melalui titik potong antara h dan g.

Persamaan y = 2x – 3

Misalkan, y = 0

y = 2x – 3

0 = 2x – 3

-2x = -3

x = 32

( 32

, 0 )

Misalkan, x = 0

y = 2x – 3

y = 2 (0) – 3

y = -3 (0, -3 )

kemudian di refleksikan menjadi (0, −32

) dan ( 3, 0)

rumus persamaan garis :

y− y1

y2− y1 = x−x1

x2−x1

y−(−32 )

0−(−32 )

= x−03−0

y+( 32 )

32

= x3

3 ( y+( 32 )) = ( 3

2 ) x

3y + 92 =

32

x kedua ruas di kali 2

6y + 9 = 3x

-3x + 6y + 9 = 0 kedua ruas di kali -3

x – 2y -3 = 0

dengan demikian persamaan h' adalah : h' = {( x , y )│ x−2 y−3=0}seperti pada gambar berikut :

k

m k’

m’

Teorema 2 :

Apabila garis g dan h saling tegak lurus dan T suatu isometri maka T(g) dan T(h)

juga saling tegak lurus .

Bukti:

Ambil garis k, l, m sehingga antara sudut k dan m adalah 90 ke A. Menurut

teorema 8.1 bagian 2) karena T kesebangunan, maka T mengawetkan ukuran sudut. Karena

T(k) = k’ dan T(m) = m’ dan sudut antara k dan m adalah 90 maka sudut antara k’ dan m’⁰

adalah 90 atau k’ ⁰ m’. Jadi mengawetkan ketegaklurusan dua buah garis.

Teorema 3

Komposisi dua buah isometri adalah sebuah isometri .

Bukti : Ambil dua isometri , T1 dan T2 terjadi komposisi dari , T1 dan T2 yaitu:

a. T1 ∘ T2

b. T2 ∘ T1

A R

P

Pꞌ

Rꞌ

Karena T1 ∘ T2 = T2 ∘ T1 adalah isometric maka akan di buktikan T1 ∘ T2 adalah

isometric. Ambil dua titik sebarang A, B ϵ V, misalkan T2 (A) = A1, T2(B) = B1 dan T1(A1)

= Aꞌ, T1(B1) = Bꞌ . Maka

T1 ∘ T2 (A) = T1 [ T2 (A) ] = T1(A1) = Aꞌ

T2 ∘ T1 (B)= T2 [ T2 (B) ] = T1(B1) = Bꞌ

Karena T2 isometri, maka Aꞌ Bꞌ = AB, dan karena T1 isometri maka Bꞌ Aꞌ =

A1B1, karena Aꞌ Bꞌ = A1 B1 ,dan A1 B1 = AB, maka AꞌBꞌ = AB. Jadi T1 ∘ T2 suau isometric.

Contoh soal:

1. Misalkan v bidang Eucilid,A sebuah titik tertentu pada v.Transpormasi T yang di

tetapkan sebagai berikut:

a. T(A) = A

b. Apabila p ∈ v dan p ≠ A, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah

ruas garis AP apakah transformasi T ini suatu isometri ?

2. Di berikan suatu titik A dan transformasi T yang di tetapkan sebagai berikut , p ∈ v

a. Apabila p = A maka T (p) = p

b. Apabila p ≠ A maka T(p) = Q dengan A titik tengah PQ . Apakah

transformasi T ini merupakan isometri ?

Penyelesaian :

1.

Ambil P, R ϵ V, misalkan Q = T (P) dan Rꞌ = T ®, maka AQ = QP dan

ARꞌ = Rꞌ R. Akibatnya Rꞌ P ꞌ = 12

RP. Jada T bukan suatu isometri.

Rꞌ

A

P

2. Perhatikan gambar di bawah ini P,Q ∈ v

Misalkan T (P) = Q dan T (R) = Rꞌ ,sehingga QA = AP dan P,A,Q kolinear , dan

RA = A Rꞌ R,A, Rꞌ kolinear . ∆ RAP dan ∆ QA Rꞌ , karena QA = AP, ∠ PAR ≅ QA Rꞌ dan

RA = A Rꞌ maka ∆ RAP ≅ ∆ QA Rꞌ , akibatnya PR = Rꞌ Q. Jadi T suatu isometri.

Teorema 4

Transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi.

Suatu isometri involusi langsung adalah setengah putaran : suatu isometri involusi lawan

adalah refleksi.

Bukti :

Terdapat dua transformasi T dan I serta komposisi TL. Berdasarkan pengetahuan

yag lalu maka dapat dinyatakan

(TL)-1 = L-1 T-1

Maka (TL) = (L-1 T-1) = [(TL)L-1] T-1

= [T(LI-1)] T-1

= [TI] T-1

= TT-1

= I

Dengan cara yang sama diperoleh (L-1T-1) (TL) = I

Teorema 5 :

Jika P sebuah titik, m sebuah garis dan T isometric maka TSpT-1 = ST(P) dan TMmT-

1 = MT(m).

Q

R

Bukti :

Akan dibuktikan TSpT-1 = ST(P)

Ambil T isometric langsung (atau lawan)

TSpT-1 isometri langsung ………….. (1)

( TSpT-1) . ( TSpT-1 ) = TSp( T-1 .T ) SpT-1

= T Sp │ SpT-1

= T ( Sp . Sp ) T-1

= T │T-1

= T.T-1

= 1………………. (2)

Dari (1) dan (2) didapat TSpT-1 adalah isometric involusi langsung, berarti TSpT-1

adalah setengah putaran atau TSpT-1 = Sx untuk ∀ x ∈ V.

Ambil y = x → TSpT-1 (x) = Sx(x)

T-1. {T S pT −1(x )} = T-1 (x)

( T-1. T ) {S pT−1(x) } = T-1 (x)

Sp T−1(x) = T-1 (x)

T-1 = P

T {T−1(x )} = T(P1)

(TT-1) (x) = T(P)

x = T(P)

Jadi, terbukti bahwa TSpT-1 = ST(P)

Akan dibuktikan TMmT-1 = MT(m)

Ambil T isometric langsung (atau lawan)

Maka TMmT-1 adalah isometric lawan ……………(1)

(TMmT-1). (TMmT-1) = TMm (T-1T) MmT-1

= TMm │MmT-1

T (m)

= TMm. MmT-1

= T (Mm Mm)T-1

= T │T-1

= 1 ………………………….(2)

Dari (1) dan (2) didapat TMmT-1 adalah isometric involusi lawan, berarti TMmT-1

adalah isometric involusi lawan. Brarti TMmT-1 adalah refleksi. Atau TMmT-1 =

Mk untuk k sembarang garis ∈ V.

∀ P ∈ V → T MmT-1 (P) = MkP

Jika P ∈ k → TMmT-1(p) = p

T-1{ TMmT-1 (p)} = T-1(p)

{(T-1 T) (MmT-1(p))} = T-1(p)

Mm T-1 (p) = T-1(p)

→ T-1 (p) ∈ m

T . T-1 (p) ∈ T(m)

P ∈ T(m)

P ∈ T(m)

P ∈ k

Jadi, TMmT-1 = MT(m)

B. PARITY

Parity adalah kesamaan suatu isometri dalam bentuk komposit refleksi-refleksi.

Suatu isometri yang merupakan komposisi sejumlah genap dari refleksi-refleksi disebut

isometri langsung, sedangkan isometri yang merupakan komposisi sejumlah ganjil dari

refleksi-refleksi disebut isometri lawan.

Definisi :

Misalkan ( P, Q, R ) adalah ganda tiga titik yang tidak koliniear (tidak segaris).

Apabila urutan perputaran P, Q, R sesuai dengan perputaran jarum jam maka P, Q, R di

sebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P, Q, R berlawanan

dengan arah perputaran jarumjam maka P, Q, R memilki orientasi positif.

Definisi :

Suatu Transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi itu

mempertahankan orientasi. Sedangakan Transformasi T disebut transformasi lawan jika dan

hanya jika transformasi itu mengubah arah orientasi.

Definisi :

Misalkan T suatu transformasi. T disebut mempertahankan orientasi apabila untuk

setiap Ganda tiga titik A, B, C yang tidak koliner(tak segaris) orientasinya sama dengan

orientasi dari petanya. Sedangakan lainnya disebut mengubah orientasi.

Isometri lawan

misalnya sebuah refleksi (pencerminan)

P R P' Q'

Q R'

∆ PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan ∆ P'Q'R' searah dengan

jarum jam (-).

Isometri langsung

misalnya suatu rotasi (perputaran)

P R'

Q R P' Q'

∆ PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan ∆ P'Q'R' tetap

berlawanan dengan jarum jam (+).

Sifat yang penting dalam geometri transformasi ialah :

a. Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan.

b. Akan tetapi tidak setiap isometri adalah isometric lawan, ini dapat dilihat pada

gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adalah isometri langsung.

c. Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sedbuah isometri lawan.

Contoh Soal:

Perhatikan transformasi yang ditetapkan dalam gambar di bawah ini, sudah

ditentukan bahwa transformasi T ini merupakan suatu isometri. Apakah T ini merupakan

isometric langsung atau isometric lawan?

Penyelesaian:

Misalkan ambil tiga titik koliner sebarang, A,B,dan C.

Kemudian kita cari T(A), T(B), dan T(C).

Misalkan : T(A) = Aꞌ, T(B) = Bꞌ, dan T(C) = Cꞌ.

Kerena (A,B,C) berorientasi positif,sedangkan (Aꞌ, Bꞌ , Cꞌ) berorieantasi negative,

maka transformasi T merupakan transformasi lawan.Akibatnya T suatu isometri

lawan .

C. Persamaan isometric

Teorema 1:

Persamaan isometric dari GAB dengan A( a1, a2 ) dan B( b1, b2 ) adalah :

x ꞌ = x + ( b1 - a1 )

yꞌ = y + ( b2 - a2 )

Teorema 2:

Persamaan umum untuk isometric pada bidang Cartesius adalah :

x ꞌ = ax + by + c

yꞌ = ± bx ± ay + d

dengan: a2 + b2 = 1

Persamaan umum isometric

x ꞌ = ax + by + c

yꞌ = ± bx ± ay + d

dapat dinyatakan dengan bentuk matriks :

( xꞌyꞌ )= [ a b

± b ± a ] ( xy ) + (c

d) Persamaan matriks isometric :

[ a b± b ± a ] = A

Untuk isometric langsung, det (A) = a2 + b2 = 1

Untuk isometric lawan, det (A) = a2 - b2 = -1