InversRANK MATRIKS

Latihan dulu OBE (menentukan invers)

SEBELUMNYA....

DefinisiMisal Ip merupakan matriks diagonal pxp

1. Matriks Ik berukuran kxk disebut identitas kanan untuk setiap himpunan matriks berukuran nxk

2. Matriks In berukuran nxn disebut identitas kiri untuk setiap himpunan matriks berukuran nxk

3. Jika n=k maka In = Ik = I disebut identitas untuk setiap himpunan matriks berukuran nxn

INVERS MATRIKS

1000

0010

0001

DefinisiMisal X adalah matriks kxk. Invers dari X dinotasikan X-1 merupakan matriks kxk sedemikian hingga

XX-1 =X-1X =IJika matriks ada, maka X disebut invertible atau nonsingular, selain itu matriks disebut noninvertible atau singular.

Sifat-sifat invers1. Jika X nonsingular, maka X-1 nonsingular dan (X-1)-1=X2. Jika X dan Y keduanya nonsingular berukuran kxk, maka XY

nonsingular dan (XY)-1=Y-1X-1

3. Jika X nonsingular, maka X’ nonsingular dan (X’)-1=(X-1)’

DefinisiMisal X merupakan matriks kxk sedemikian hingga X’X=I. Maka X disebut ortogonal.

DefinisiMisal x dan y merupakan vektor nx1. Jika Maka x dan y dikatakan ortogonal.

DefinisiMisal x merupakan vektor nx1. Panjang x dinotasikan adalah

ORTOGONALITAS

0'1

n

iii yxyx

x

222

21' nxxxxxx

DefinisiMisal {x1, x2, ... ,xk} merupakan himpunan vektor ortogonal berukuran nx1. Jika masing-masing vektor mempunyai panjang maka vektor-vektor membentuk himpunan ortonormal.

TeoremaMisal X merupakan matriks kxk, X ortogonal jika hanya jika kolom-kolomnya merupakan himpunan ortonormal.

ORTOGONALITAS (2)

DefinisiMisal A merupakan matriks kxk dan x merupakan vektor taknol berukuran kx1. Nilai eigen atau akar ciri dari A adalah bilangan sedemikian hingga

Ax = xVektor x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigen.

ContohDiketahui

tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut

NILAI EIGEN

42

11A

Sifat-sifat nilai Eigen1. Jika A merupakan matriks simetri kxk, maka nilai eigen dari

A semuanya bilangan riil2. Jika A merupakan matriks kxk dan C matriks ortogonal kxk,

maka nilai eigen C’AC sama dengan nilai eigen A.3. Jika A merupakan matriks simetri kxk, maka vektor eigen

yang diperoleh dari nilai eigen matriks A adalah ortogonal.

NILAI EIGEN (2)

TeoremaMisal A merupakan matriks kxk, maka matriks ortogonal P ada sedemikian hingga

Dimana i untuk i = 1, 2, ... , k merupakan nilai eigen dari A

NILAI EIGEN (3)

k

APP

000

000

000

000

' 3

2

1

DefinisiMisal {x1, x2, ... ,xk} merupakan himpunan k vektor kolom. Jika bilangan riil a1, a2, ... , ak tidak semuanya nol sedemikian hingga

ada, maka vektor x1, x2, ... , xk disebut bergantung linier. Selain itu disebut bebas linier.

Misal X matriks berukuran nxk, setiap kolom dari matriks merupakan vektor kolom. Matriks X dalam bentuk vektor kolom ditulis X = [x1 x2 x3 ... xk]. Rank dari X, dinyatakan dengan r(X) didefinisikan sebagai jumlah terbanyak vektor-vektor bebas linier pada himpunan {x1, x2, x3, ... , xk}

RANK MATRIKS

02211 kk xaxaxa

Sifat-sifat Rank1. Misal X adalah matriks nxk dengan rank k dimana nk. Misal

X rank penuh (full rank) maka r(X)=r(X’)=r(X’X)=k.2. Misal X adalah matriks kxk. Maka X nonsingular jika dan

hanya jika r(X)=k.3. Misal X adalah matriks nxk, P adalah matriks nonsingular

nxn dan Q adalah matriks nonsingular kxk. Maka r(X) = r(PX) = r(XQ).

4. Rank dari matriks diagonal sama dengan bilangan tak nol kolom-kolom dari matriks

5. Rank dari XY kurang dari atau sama dengan rank X dan kurang dari atau sama dengan rank Y

RANK MATRIKS (2)

ContohMisal X matriks nxk memiliki rank penuh. Matriks nxn

H=X(X ’X)-1X ‘merupakan matriks idempoten. Saat X memiliki rank penuh, r(X)=k. Saat r(X)=r(X’X), maka r(X’X)=k. X’X merupakan matriks kxk. Sebarang matriks kxk dengan rank k adalah nonsingular. Sehingga, (X’X)-1 ada. Untuk menunjukkan H idempoten,

H2 =[X(X ’X)-1X ‘] [X(X’X)-1X ‘]Gunakan sifat asosiatif untuk perkalian matriks, sehingga diperoleh

H2 =X(X ’X)-1 (X‘X)(X ’X)-1X’Saat (X ‘X)(X ’X)-1X=I maka

H2 =X(X ’X)-1 X ‘=H (H merupakan matriks idempoten)

MATRIKS IDEMPOTEN

DefinisiTrace matriks kxk dinotasikan dengan tr(X), didefinisikan sebagai jumlah elemen-elemen dari diagonal utama.

Sifat-sifat Trace1. Misal c bilangan riil, maka tr(cX)=c tr(X)2. tr(XY) = tr(X) tr(Y)3. Jika X berukuran nxp dan Y berukuran pxn, maka

tr(XY)=tr(YX)

TRACE MATRIKS

k

iiixXtr

1

)(

TeoremaNilai eigen dari matriks idempoten selalu nol atau satu.

TeoremaMisal A matriks simetri kxk dan idempoten dengan rank r. Maka rank A sama dengan trace nya, r(A)=tr(A).

TeoremaMisal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk. Syarat cukup dan syarat perlu untuk matriks ortogonal P sedemikian hingga P’AiP diagonal untuk i=1, 2, 3, ... , m adalah AiAj = AjAi untuk setiap pasangan (i,j).

TRACE MATRIKS (2)

TeoremaMisal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk. Maka:

1. Setiap Ai dimana i=1, 2, 3, ... , m adalah idempoten

2. adalah idempoten3. Ai Aj = 0 untuk ij

TeoremaMisal A1, A2, ... , Am adalah gabungan matriks simetri kxk. Misal r menyatakan rank dan misal ri menyatakan rank Ai dimana i=1, 2, 3, ... , m. Jika minimal dua pernyataan benar, maka

m

iiA

1

m

iiA

1

m

iirr

1

Jika Anxn adalah matriks nonsingular, maka solusi SPL Ax = g ada dan unik. Solusi persamaannya adalah x = A-1g

Jika A tidak bujursangkar, atau bujursangkar tapi singular maka solusinya bisa dicari menggunakan Generalized Inverse (matriks kebalikan umum) dan Conditional Inverse (matriks kebalikan bersyarat).

GENERALIZED INVERSECONDITIONAL INVERSE

DefinisiMisal A adalah matriks mxn. Jika matriks A- ada dan memenuhi 4 kondisi berikut, maka A- disebut generalized inverse dari A:

1. AA- simetris2. A-A simetris3. AA-A = A4. A-AA- = A-

generalized inverse dapat dinyatakan sebagai g-invers

GENERALIZED INVERSE

TeoremaMisal A matriks mxn. Jika rank A adalah m maka A- = A’(AA’)-1 dan AA- = I. Jika rank A adalah n maka A- = (A’A)-1A’ dan A-A = I. Jika rank A adalah r, maka g-invers dari A dapat dihitung

menggunakan langkah:1. Hitung B = A’A atau B = A A’ 2. C1 = I

3. Ci+1 = I(1/i)tr(CiB) – CiB, untuk i=1,2,..r-1

4. A- = rCrA’/tr(CrB)

Catatan: Cr+1B = 0 dan tr(CrB) ≠ 0

GENERALIZED INVERSE (2)