DDAAFFTTAARR IISSIIKKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARR ii

DDAAFFTTAARR IISSII iiii

BBAABB II :: VVEEKKTTOORR KKOONNSSTTAANN 111.1 Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor 1

1.2 Aljabar Vektor 2

1.3 Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang 4

1.4 Perkalian Antar Vektor 10

1.5 Penggunaan Vektor Dalam Geometri 20

BBAABB IIII :: FFUUNNGGSSII VVEEKKTTOORR 22882.1 Fungsi Vektor 28

2.2 Kurva Vektor 29

BBAABB IIIIII :: DDIIFFEERREENNSSIIAALL VVEEKKTTOORR 33443.1 Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor 34

3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor 35

3.3 Gradien, Difergensi dan Curl 38

3.4 Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl 41

BBAABB IIVV :: IINNTTEEGGRRAALL VVEEKKTTOORR 55664.1 Integral Garis 56

4.2 Teorema Green 69

4.3 Medan Gaya Konservatif 76

4.4 Integral Luasan 84

4.5 Teorema Divergensi Gauss 100

4.6 Teorema Stokes 106

DDAAFFTTAARR PPUUSSTTAAKKAA 111111

BAB I

VVEEKKTTOORR KKOONNSSTTAANN

1.1. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor

Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar

(magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan dan

kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu

benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain

sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan

vektor (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar

(magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan

skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan

analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan

aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi

tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai

segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :

v = ABABAB ==

A = titik pangkal (initial point)

B = titik ujung (terminal point)

Panjang vektor v = v = BA : menyatakan besarnya vektor atau

panjangnya vektor vdan tanda panah dalam AB menyatakan arah vektor.

A

B v

POKOK BAHASAN :Pengertian tentang vektor dan notasi vektorAljabar vektorVektor posisi dalam bidang dan ruangPerkalian antar vektorPenggunaan vektor dalam geometri

1

Ada 3 jenis vektor :

a. Vektor Bebas (free vector) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinya

dengan panjang dan arah tetap.

b. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor yang boleh digeser sepanjang

garis kerjanya, misalnya gaya yang

bekerja sepanjang garis lurus.

c. Vektor terikat (binding vector) : vektor yang terikat pada sistem koordinat

yang menunjukkan posisi tertentu.

Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnya

orang bekerja dengan vektor bebas.

1.2. Aljabar Vektor

Vektor nol (null vector)

Ditulis 0 adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak

tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit)

Kesamaan 2 vektor

Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang

sama.

Kesejajaran 2 vektor

Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar,

arahnya bisa sama atau berlawanan.

Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel.

Penjumlahan vektor

Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran

genjang atau aturan segi banyak (poligon)

Misalnya:

a.

CBA =+

atau

A

B

A B

C

AC

B

2

b. ⇒ DCBAE +++=

c. 0EDCBA =++++

Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak

tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.

Penggandaan vektor dengan skalar

Jika m = besaran skalar

dan A = vektor yang panjangnya | A |

maka :

m A = vektor yang panjangnya m kali panjangnya A dan arahnya

sama dengan vektor A jika m positif, atau berlawanan

dengan arah vektor A jika m negatif

Pengurangan vektor

Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari

vektor yang mengurangi

D

A

C

B

A

CB

D

E

E

A B

C

D

3

Jadi: )B(ABA −+=−

⇒

⇒ BAC −=

Jika A = B maka 0BA =−

Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor

Jika C ,B ,A adalah vektor dan m, n adalah skalar maka

1. BA + = AB+ (komutatif terhadap jumlahan)

2. )C B(A ++ = C )BA( ++ (asosiatif terhadap jumlahan)

3. Terdapat vektor 0 sehingga: AA0 0A =+=+ (ada elemen netral)

4. Terdapat vektor A− sehingga: 0 )A(A =−+ (ada elemen invers)

5. (mn) A = )Am(n (asosiatif terhadap perkalian)

6. )BA(m + = BmAm + (distributif terhadap perkalian)

7. (m + n) A = AnAm + (distributif terhadap perkalian)

8. )A( 1 = A (ada invers dalam perkalian)

2.3. Vektor Posisi dalam Bidang dan Ruang

Teorema Dasar Dalam Vektor :

Setiap vektor C pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai

kombinasi linier sembarang 2 vektor A dan B yang tidak paralel dan bukan

vektor nol.

Atau:

C = BnAm + dengan m, n adalah skalar yang tunggal

A

B

A

B−B−

A

4

Bukti :

21 OPOPOPC +==

1OP paralel dengan A sehingga 1OP = Am

C = Am + Bn2OP paralel dengan B sehingga 2OP = Bm

Dalam hal ini m, n adalah skalar yang tunggal. Karena jika tidak tunggal

maka C akan bisa ditulis sebagai berikut :

C = m1 A + n1 B = C = m2 A + n2 B

(m1 - m2) A + (n1 - n2 ) B = 0

Karena A dan B bukan vektor nol dan tidak paralel maka,

m1 - m2 = 0 ⎯→⎯ m1 = m2

n1 - n2 = 0 ⎯→⎯ n1 = n2

Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R3),

sehingga untuk sembarang vektor D dapat ditulis :

D = m1 A + m2 B + m3C

dengan A , B dan C adalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektor

nol dan tidak sebidang.

Dua vektor A dan B dikatakan saling bergantung secara linier (dependent

linear) jika terdapat skalar m dan n yang tidak nol dan m A + n B = 0

Kejadian ini akan terjadi jika :

1. A dan B merupakan vektor nol atau

2. A dan B paralel (sejajar)

A

1PP

2POB

C

5

Contoh :

Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah

segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan

1/2 dari panjang sisi ketiga tersebut.

M titik tengah AC

N titik tengah CB

CBACAB +=

)CBAC(CBACCNMCMN 21

21

21 +=+=+=

= AB21

sehingga AB//MN dan panjang MN = ½ panjang AB

Vektor satuan (unit vector)

Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

AA=a = vektor satuan dari A

dan A = aA

Vektor basis satuan

Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R2 dan pilih 2 vektor satuan i

dan j sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan

sumbu x dan y positif dan berpangkal di O.

y

j

O i x

maka vektor i dan j disebut dengan vektor-vektor basis di R2

Di R3 : sebagai vektor basis yang sejajar dan searah dengan sumbu z

dinyatakan dengan vektor k.

C

NM

A B

6

z

k

i j y

x

Vektor posisi

a. Vektor Posisi dalam R2

Jika i dan j adalah vektor-vektor basis di R2 yaitu vektor satuan yang

masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu X dan sumbu Y dan

berpangkal di titik 0 dalam R2.

Maka sembarang vektor r dari titik 0 ke titik P(x,y) dalam bidang XOY

selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis i dan j .

y

ry j = y j P(X,Y)

r

j

O i rx i = x i x

Sehingga : r = rx i + ry j = x i + y j

rx i = x i ; ry j = y j disebut vektor-vektor komponen

rx = x ⎯→⎯ komponen vektor r pada sumbu X (proyeksi r ke sumbu X)

ry = y ⎯→⎯ komponen vektor r pada sumbu Y (proyeksi r ke sumbu

X)

Vektor r = x i + y j disebut vektor posisi titik P , karena komponen-

komponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P.

Panjang dari r = | r | = 22 yx +

7

b. Vektor Posisi dalam R3 :

Vektor-vektor basis dalam R3 adalah vektor-vektor satuan i , j dan k yang

masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z

positif dan berpangkal di titik 0.

.

z

P(x,y,z)

r

k

j y i O x

r = x i + y j + z k merupakan vektor posisi dari titik P(x,y,z)

x = proyeksi OP ke sumbu X

y = proyeksi OP ke sumbu Y

z = proyeksi OP ke sumbu Z

Panjang dari r = | r | = 222 zyx ++

Secara umum untuk sembarang vektor A = Ax i + Ay j + Az k dalam R3 ,

berlaku :

Panjang 2z

2y

2x AAAAA ++==

Vektor satuan 2

z2

y2

x AAA

Aa++

=

z

kA z

i

jA y

y

x

iA x

α

β

γ

8

Dengan :

Ax, Ay; Az disebut bilangan arah vektor A

Sudut-sudut ; ; yang dibentuk vektor A terhadap sumbu x, y, z positif

disebut arah vektor A

Cosinus sudut-sudut tersebut disebut cosinus arah.

dengan:

AA

AAA

A cos x2

z2

y2

x

x =++

=

AA

AAA

A cos y

2z

2y

2x

y =++

= 1 cos cos cos 222 =++

AA

AAA

A cos z2

z2

y2

x

z =++

=

Menyatakan Suatu Vektor Dalam Koordinat Tegak

1OP = x1i + y1j +z1k

2OP = x2i + y2j + z2k

2121 OPOPPP −=

= (x2i + y2j z2k) – (x1i + y1j z1k)

= (x2 – x1)i (y2 – y1)j + (z2 – z1)k

Sembarang vektor 21PP dalam sistem koordinat bisa dinyatakan

sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis dengan komponen-

komponennya adalah komponen vektor posisi titik ujung dikurangi

komponen vektor titik pangkalnya.

z

)z,y,(xP 1111

)z,y,(xP 2222

Oy

x

9

)z(z)y(y)x(xPP 12122

1221 −+−+−= = panjang vektor 21PP

SOAL-SOAL

1. Tentukan vektor satuan yang sejajar dengan jumlah (resultan) dari

vektor-vektor

1r = 2i + 4j – 5k

2r = i + 2j + 3k

2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor :

A = 3i + 2j + k

B = i + 3j + 5k

C = 2i + j – 4k

akan membentuk sebuah segitiga

3. Ambil sembarang segi 4 ABCD

Titik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi AB; BC; CD dan DA

Buktikan bahwa PQRS menyusun suatu jajaran genjang.

(Cukup dengan membuktikan bahwa PQ = RS atau QR = PS )

1.4. Perkalian Antar Vektor

a. Hasil Kali Skalar (Dot product / Scalar Product)

Ditulis: cosBABA = ; θ = sudut antara vektor A dan B

" "-

-

∠

∠

B Q C

R

DSO

P

10

Proyeksi A pada B Proyeksi B pada A

• Sifat Hasil Kali Skalar :

1. ABBA =

2. 22A0cosAAA ==

3. CABAC)(BA +=+

4. CBCACB)(A +=+

Dalam R3 :

1kkjjii === (krn //)

0ikkjji === (krn ⊥)

Karena :

10cosiiii ==

090cosjiji =°=

Jika: A = Axi + Ay j + Azk

B = Bxi + By j + Bzk

k)BjBiB()kAjAiA(BA zyxzyx ++++=

zzyyxx BABABABA ++=

• Sudut Antar 2 Vektor :

Karena cos BA BA =

A

B

cosA cosB

B

A

z

k

ij

y

x

11

cos θ = BA

BA==>

Contoh :

A = 3i + 6j + 9kBA = 3(-2) + (6)(3) + (9(1) = 21

B = -2i + 3j + k

143963A 222 =++=

14132B 222 =++=

21

4221

14.14321

BABA cos ====

• Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

Vektor-vektor yang tegak lurus (yaitu cos θ = 0) ––> BA atau A ⊥ B

Atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0

Dua vektor paralel jika komponen-komponennya sebanding atau

jika : z

z

y

y

x

x

BA

BA

BA ==

• Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha

Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan

Jika gaya dan jarak perpindahan tidak sejajar

.d cosFW =

= dF

Contoh :

Diketahui :

F = 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang

bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)

Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya F

= arc cos BABA

cosF

F

d

dd =

12

Jawab:

dFW =

d = (2–1)i + (4–0)j + 2(2–1)k = 2i + 4j + k

W = (2i + 2j – 4k) (2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha

b. Hasil Kali vektor (Cross Product / Vector Product

Ditulis: CBA =× hasilnya berupa vektor

Dengan sinBABA =×

Arah dari BA× ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau

sekrup putar kanan.

Sifat hasil kali vektor:

A × B ≠ B × A

A × B = –(B × A) anti komutatif

(kA) × B = k(A × B) = A (kB)

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

(A + B) × C = (A × C) + (B × C)

Dalam R3

siniiii =×

dengan cara yang sama

i × i = j × j = k × k = 0

190 sinjiji =°=×

C

AC

A

B

BB

A

BA×

AB×

z

k

ij

y

x

13

sehingga: i × j = k ; j × k = i; k × i = j

j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j

Jika : A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

BA× = (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk)

= (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k

atau:

BA× =

zyx

zyx

BBBAAAkji

dan

( )( ) ( )2BABBAA sinBAB −==×A

Contoh :

A = 2i – j + k

B = i – 3j + 4k

AA = 22 + 32 + 42 = 6

BB = 2 + 3 + 4 = 9

k5j7 i)16(k)1j(83)4( i

43-111-2kji

BA −−=+−+−−+−=

=×

7525491571BA 222 =++=++=×

Aplikasi dari Hasil Kali Vektor

Menghitung Torsi/Momen

Dalam mekanika momen/torsi dari gaya F terhadap titik Q didefinisikan

sebagai:

14

dFm = F

dengan

d = jarak (dalam arah ⊥)

antara titik Q ke garis gaya F

Jika: r = adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik

sembarang pada garis gaya F

Maka d = sin r ; θ = sudut antara r dengan F

dan

rF sin rFm ×==

Jika Mm = , maka

M = rF× = vektor momen dari gaya F terhadap titik Q

Contoh :

Tentukan vektor momen dari gaya F

terhadap titik O

Jawab:

F = (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k

r = (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k

'

y

r

F' ' ' x0

(2,1)

(4,-2)

d

Qd

Q

F

Lr

15

8k6)k(2j(0)i(0)01203-2kji

M =++−==

864M ==

c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)

Jika:

A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

C = Cx i + Cy j + Cz k

k

BBAAj

BBAAi

BBAACA

yx

yx

zx

zx

zy

zy +−=×

z

yx

yxy

zx

zxx

zy

zy CBBAAC

BBAAC

BBAACBA +−=×

=

zyx

zyx

zyx

CCCBBBAAA

→ disebut hasil kali skalar triple, karena hasilnya merupakan skalar.

Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat:

1. ( ) ( ) BACACBCBA ×=×=×

sehingga:

( ) ( )CBACBA ×=×

Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya

letak tanda × dan nya tidak mempengaruhi hasilnya.

Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.

Sehingga:

CABCABCBA ×−=×−=×

2. Hasil kali skalar tripel: 0CBA =× bila dan hanya bila Cdan B,A

sebidang.

16

Bukti:

a. 0CBA =× ⇒ Cdan B,A sebidang

Jika 0CBA =× maka C BA ⊥× atau

salah satu dari Catau B,A vektor nol

Berarti:

i. Apabila salah satu dari Catau B,A vektor nol, maka pasti

Cdan B,A sebidang

ii. Apabila C BA ⊥× maka C bisa diletakkan sebidang dengan

Bdan A sehingga Cdan B,A sebidang

b. Jika Cdan B,A sebidang ⇒ 0C B A =×

Jika Cdan B,A sebidang, maka C BA ⊥× sehingga 0C B A =×

• Arti Geometris Dari C B A×

Diberikan vektor Cdan B,A

A = OA

B = OB

C = OC

C

B

O A

BAP ×=

BA× = luas jajaran genjang OADB

C B A× = C P = cosC P

17

cosC = tinggi C di atas bidang OADB

Jadi CBA× = volume bidang 6 (paralel epipedum) OADB – CEFG

yang disusun oleh Cdan B,A

Catatan:

Luas jajaran genjang OABC =

'AA OB = sinOA OB

= OA OB×

Contoh :

Buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) 0BACABA =+×++

Bukti:

Misalkan uBA =+

vCA =+

Maka : uvu × = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u

Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga

vektor tersebut sebidang sehingga : uvu × = 0

d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)

Hasil kali vektor tripel adalah :

( ) CBA ××

( )CBA ××

Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak

kurangnya ditukar.

Misalkan :

(i × i) × j = 0 × j = 0

i × (i × j) = i × k = –j

A'B

CA

0 θ )

18

Sifat Hasil Kali Vektor Triple :

1. ( )CBA ×× ≠ ( ) CBA ××

2. ( )CBA ×× = ( )BCA – ( )CBA

( ) CBA ×× = ( ) ( )ACBBCA −

Contoh :

1. Jika: A = 2i + 2j – k

B = i + j + k

C = 3i + j – 2k

Hitung : ( ) CBA ×× ; ( )CBA ××

Jawab:

a. kji

kjikjiBxA

43

)22()12()12(

111222

−−=

−−++−−=

−=

kji

kjikjiCxBxA

101010

)91()122()46(

213431)(

+−=

+++−−+=

−−−=

b. kji

kjikji

CB45

)31()32()12(

213111

++=++−−−−=

−−=×

kjikji

kjiCBA

8913)210()18()58(

451122

+−=−++−+=

−=×

2. Buktikan : )AB)(AA()]BA(A[A ×=×××

Bukti : Misalkan CBA =×

Maka ( )CBA ×× = ( ) ( )CAAACA −

= ( ) ( )( )BAAAABCA ×−×

19

= ( ) ( )( )BAAAA0 ×−

= ( )( )BAAA ×−

= ( )( )ABAA ×

1.5. Penggunaan Vektor Dalam Geometri

a. Persamaan Garis

Dalam R3:

Andaikan l sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan

sebuah vektor v = Ai + Bj + Ck. Maka l merupakan tempat kedudukan

semua titik P(x,y,z) sedemikian hingga PP1 sejajar dengan v

Jadi titik P (x,y,z) terletak pada garis l bila dan hanya bila PP1 = vt

dengan t adalah suatu skalar.

Atau:

(x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k = t (Ai + Bj + Ck)

= t Ai + tBj + tCk

Ini berarti :

⎪⎭

⎪⎬⎫

=−=−=−

tCzztByytAxx

1

1

1

Persamaan parameter garis yang melalui titik (x1,y1,z1) dan paralel

dengan vektor v .

tCzztByytAxx

+=+=+=

1

1

1

),,( zyxP

),,( 111 zyxP

CkBjAiV ++=

20

Atau:

Persamaan standard garis yang

melalui titik (x1, y1, z1) dan paralel

dengan CkBjAiv ++=

Dalam hal ini v = Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis l dan A, B, C

merupakan bilangan arah garis.

Jika salah satu dari A, B dan C nol

Mis. A = 0 maka x – x1 = 0

x = x1

Persamaan standardnya ditulis : C

zzB

yy 11 −=− ; dan x = x1

Contoh :

Tentukan persamaan garis melalui A ( 5,4,1) dan B (3, 1, 6)

⇒

Vektor arah garis v = AB = –2i – 3j + 5k

Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x1,y1,z1) dan titik tertentu

yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka

Persamaan standard garis:

51z

34y

25x −=

−−=

−−

Atau:

34y

25x

−−=

−−

⇒ 3x – 2y – 7 = 0 ∴Persamaan standard garis:

51z

34y −=

−−

⇒ 5y – 3z – 17 = 0 017350723

=−−=−−

zyyx

Persamaan parameter garis:

tztytx

513425

+=−=−=

t = C

xxB

xxA

xx 321 −=−=−

21

Dalam R2 :

Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m maka

vektor arah garis : �l = i + mj

b. Persamaan Bidang

Vektor N ⊥ bidang W sehingga N

disebut Vektor Normal dari bidang w

Jika N = Ai + Bj + Ck

PQ = (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k → PQ terletak pada bidang W

Sehingga PQ ⊥ N ⇒ 0PQN =

Atau:

→ Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang N =

Ai + Bj + Ck

Contoh :

1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3,2,1) ; Q(4,1,5) ;

R(2,4,3).

⇒ bidang pada terletak PRdan PQvektor k2j2iPR

k4jiPQ⎪⎭

⎪⎬⎫

++−=

+−=

kj6i10221411kji

PRPQN ++−=−

−=×=

∴ Persamaan bidang:

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0

–10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0

–10x – 6y + z + 41 = 0

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0

),,( 111 zyxP

),,( zyxQ

N

W )

22

Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai:

dengan N = Ai + Bj + Ck

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2);

tegak lurus pada bidang u = 2x + 3y + z = 8 dan

tegak lurus pada bidang v = x – y + 3z = 0

⇒ u = 2x + 3y + z = 8 → UN = 2i + 3 j + k

v = x – y + 3z = 0 → VN = i – j + 3k

Dicari bidang w yang ⊥ bidang u dan v , berarti wN ⊥ uN dan VN

Atau

k5j5i10311132kji

vNNN uw ++=−

=×=

Persamaan bidang w:

10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0

10x – 5y – 5z – 45 = 0

2x – y – z = 9

c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang

Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan

V = Ax + By + Cz + D = 0

→ Normal bidang vN = Ai + Bj + Ck

Jika A ≠ 0 ⇒ Titik ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− 0,0;

ADQ terletak pada bidang tersebut.

tksjiADrQPk ++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +==

Ax + By + Cz + D = 0

23

P(r,s,t)

N k d

Q(-D/A,0,0)

θ = sudut antara N dan k

sehingga coskd =

NkNddNkNkN =⇒== cos

sehingga:

222 CBA

CtBsADrA

d++

++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=

atau

Jarak titik P(r,s,t) ke bidang

Ax + By + Cz + D = 0

Contoh :

Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2)

B = (6,4,3)

C = (0,5,1)

⇒ AC = -2i + j + k

AB = 4i + k

Normal bidang ACABN ×=

k4j21

112104kji ++−=

−−

=

∴ Persamaan bidang ABC

222 CBA

DCtBsArd

++

+++=

24

–(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0

–x + 2y + 4z – 14 = 0

Jarak titik P(5,5,4) ke bidang –x + 2y + 4z – 14 = 0

21146!105

164114)4(4)5(2)5(1

dd−++−

=++

−++−== =

217

d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang

Diberikan bidang v dengan normal vN

Diberikan bidang w dengan normal wN

(w

v) vN

wN

Jika bidang v dan w berpotongan pada satu garis maka vektor arah

garis tersebut akan ⊥ dengan vN maupun wN

Sehingga jika vektor arah garis tersebut maka wNvN ×=

Contoh :

Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang

2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7

⇒

v = 2x + y – 2z =5 →�Nv = 2i + j – k

w = 3x + 6y – 2z =5 →�Nw = 3i + 6j – 2k

Vektor arah garis:

k15j2i14

263212

kjiwNvNL −−−=

−−−

=×=

25

Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang.

(i) 2x + y + 2z = 5

(ii) 3x – 6y – 2z =7–––––––––––– ––x + 7y = –2

Misalkan diambil : y = 0 → –x = –2

x = 2

(i). 2(2) + 0 – 2z = 5

–2z = 5 – 4

z = – ½

Titik (2,0,-½ ) terletak pada garispotong 2 bidang.

Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :

15z

z0y

142x 2

1

−−=

−−=

−−

e. Sudut Antara Garis dan Bidang

Jika:

garisarah vektorckbjai →++=

0DCkByAx vbidang normalCkBjAiN =+++=→++=

N

v)

φ

)cba)(CBA(CcBbAa

NN cos

222222 ++++++==

sin φ = sin (90 – θ)

26

= )cba)(CBA(

CcBbAa cos222222 ++++

++=

Sehingga sudut antara garis dengan vektor arah ckbjai ++= dengan

bidang v dengan normal bidang CkBjAiNv ++= adalah

)cba)(CBA(CcBbAaarcsin

222222 ++++++=φ

27

BAB II

FFUUNNGGSSII VVEEKKTTOORR

2.1 Fungsi Vektor

Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A

bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor

yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.

Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan,

A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j

Dalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan,

A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3 (t) k

Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3

dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk

fungsi vektor sebagai berikut:

A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3 (x,y,z) k

Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu

partikel dalam ruang.

Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor,

maka ruang tersebut disebut medan vektor. Contoh medan vektor,

misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan sebagainya) dalam suatu

ruangan.

Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi

skalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatu

vektor disebut medan skalar.

Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam suatu

ruang atau batang besi, pada suatu saat.

POKOK BAHASAN :Fungsi VektorKurva Vektor

28

2.2 Kurva Vektor

Sebuah kurva berarah C dalam sistem koordinat kartesius, bisa

disajikan dalam bentuk fungsi vektor:

r(t) = [x(t), y(t), z(t)]

= x(t)i + y(t)j + z(t)k

Pengambilan nilai t = to akan menunjuk suatu titik pada kurva yang

posisinya ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat x(to), y(to) dan

z(to).

Bentuk penyajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan penyajian

parametric dari kurva C, dengan t sebagai parameternya. Dalam

mekanika, parameter t ini biasanya menyatakan waktu dalam satuan

detik.

CONTOH: – Penyajian kurva berarah sebagai fungsi vektor

a. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis Lurus

Dengan persamaan parameter garis lurus

Sembarang garis lurus l yang melalui titik A(a1, a2, a3) dalam ruang bisa

disajikan dalam bentuk fungsi vektor:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ; untuk t = 0 → t = t

dan

33

22

11

tba)t(ytba)t(ytba)t(x

+=+=+=

dengan

a = a1 i + a2 j + a3k → vektor posisi titik A(a1, a2, a3)

yang terletak pada garis l.

b = b1 i + b2 j + b3k → vektor arah garis l

Jadi, persamaan di atas menyatakan persamaan suatu garis yang

melalui titik A dengan vektor posisi r = a dan arahnya sesuai

dengan arah vektor b. Jika vektor b adalah vektor satuan, maka

komponen-komponennya akan merupakan cosinus arah dari arah

l. Dalam hal ini, | t | merupakan jarak setiap titik pada garis l

terhadap titik A.

29

Contoh:

1. Kurva vektor yang berupa suatu garis lurus dalam bidang, yang

melalui titik A(3,2) dengan gradien 1,

⇒

a = 3i + 2j

b = i + j (garidien 1)

sehingga: x(t) = 3 + t

y(t) = 2 + t dan

r(t) = x(t) I + y (t)j = (3+t)i + (2 + t)j

Atau bisa juga ditentukan sebagai berikut:

Persamaan garis yang melalui titik (3,2) dengan gradien 1

adalah :

y – 2 = 1(x – 3) → y = x – 1

Jika, x(t) = t

untuk t = 2 → t = t

y(t) = t – 1

Maka r(t) = x(t)I + y(t)j = ti + (t – 1)j

2. Kurva yang berupa garis lurus melalui titik A(1,0,2) menuju titik

B(3,-4,1)

⇒

Titik awal (1,0,3) ––→ a = i + 0j + 2j

Vektor arah garis b = (3 – 1)I + (– 4 – 0)j + (1 – 2)k

= 2i – 4j – k

x(t) = 1 + 2t

y(t) = 0 – 4t

z(t) = z – t

r(t) = (1 + 2t) i – 4tj + (2 – t)k

t = 0 → t = 1

b. Parabola

(1). Parabola y = x2 ; -2 ≤ x ≤ 2

30

-2 2

y

x

2xy =

x(t) = t (x = t)

y(t) = t2 (karena y = x2)

Sehingga :

r(t) = ti + t2j , dengan t = -2 → t = 2

(2). Parabola : y = x2 , z = 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; di R3

x(t) = t ; t = 0 → t = 2

y(t) = t2

z(t) = 2

r(t) = ti + t2j + 2k

c. Ellips/LingkaranPersamaan umum Ellips dalam koordinat kartesius:

cz,1by

ax

2

2

2

2

==+ di R3

2

z

31

z

y

x

1

1

dibawa ke bentuk parameter, dengan :x (t) = a cos ty (t) = b sin t

z (t) = csehingga bentuk fungsi vektornya menjadi:

r(t) = a cos t i + b sin j + c kJika a = b = r, persamaan ellips diatas menjadi persamaan lingkaran:

1ry

rx

2

2

2

2

=+ atau x2 + y2 = r2 ; z=c di R3

dan persamaan fungsi vektornya :

r(t) = r cos t i + r sin t j + c k

d. Helix PutarHelix putar adalah suatu kurva yang berbentuk seperti spiral yang

terletak pada silinder. Persamaan helix putar yang terletak padasilinder x2 + y2 = a2, dalam bentuk fungsi vektor adalah:

r(t) = cos i + a sin t j + ct k (c ≠0)Jika c > 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kananJika c < 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kiri

Misalnya:Persamaan helix r(t) = cos t i + sin t j + t k adalah persamaan dari

helix putar kanan yang terletak pada silinder x2 + y2 = 1 dan berjarakvertikal 2π, artinya jika dihubungkan dengan garis vertikal (sejajar

32

dengan sumbu z) maka jarak dua titik pada helix akan merupakankelipatan 2π.

Z

Y

X

a. Helix putar kanan b. Helix putar kiri

Z

Y

X

33

Bab III

DDIIFFEERREENNSSIIAALL VVEEKKTTOORR

3.1 Derivatif Atau Turunan Aljabar Dari Fungsi Vektor

Fungsi vektor A(t) dikatakan diferensiabel di titik t jika nilai limit berikut:

(t)A'dtd

tA(t)t)A(t0t

lim==−+→ ada

Dalam hal ini, vektor A’(t) disebut derivatif (turunan) dari vektor A(t)Jadi, jika A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3(t)k,

Maka

kji

kji

(t)A'(t)A'(t)A' dt

dAdt

dAdt

dA (t)A'

32

32

++=

++=

Rumus-rumus untuk derivatif Fungsi Vektor:skalaratau konstanta(ccA'(cA)' == )

B'A' B)'(A +=+

B'ABA' B)'(A +=

B'ABA' B)'(A ×+×=×

)C' B(A C) B'A (C) B(A' C)' B(A ++=

Derivatif Parsial Fungsi VektorUntuk fungsi vektor yang komponen-komponennya terdiri dari duavariabel atau lebih, misalnya:

A(x,y,z) = A1(x,y,z)i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)kmaka, bisa ditentukan derivatif parsial dari A(x,y,z) terhadap x, y atau zsebagai berikut:

kjix

Ax

Ax

AxA 32

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

kjiy

Ay

Ay

AyA 32

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

POKOK BAHASAN :Derivatif atau turunan dari fungsi vektorInterpretasi dari derifatif vektorGradien, divergendi dan curlPenggunaan gradien, divergendi dan curl

34

kjiz

Az

Az

AzA 32

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

CONTOH:

Diberikan fungsi vektor:φ (x,y) = a cos x i + a sin x j + y k

⇒x∂∂φ

= a sin x i + a cos x j

y∂∂φ

= k

• Jika φ = fungsi skalar

A, B = fungsi vektor ; maka:

a. Adtd

dtdA)A(

dtd φ+φ=φ (A dan φ merupakan fungsi t)

b. BxA

xBA)BA(

t ∂∂+

∂∂=

∂∂

(A dan B merupakan fungsi x,

y dan z)

c. BxA

xBA)BA(

x×

∂∂+

∂∂×=×

∂∂

(A dan B merupakan fungsi x,

y, dan z)3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektora. Interpretasi geometris

Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektorr(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, maka:1. Derivatif dari kurva C di P, atau

kjidtz(t)d

dty(t) d

dt x(t)d

dtr(t) d(t)r' +===

merupakan vektor singgung (tangent vector) dari kurva C di P.

2. u = r'r' …………………..→ vektor singgung satuan (unit tangent)

35

)(' 0tr)(: trC

P0tt ====

3. ∫=b

adtr'r'i → panjang kurva C, ≤ t ≤ b (length of a

curve)

4. ∫=t

adtr'r's(t) → panjang busur a ≤ t (arc length of a

curve)

CONTOH:

Diberikan fungsi vektor dari kurva yang berbentuk lingkaran sebagai

berikut: r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j 0 ≤ t 2 , maka:

a) vektor singgung dari kurva di t = 2π

adalah

2t t cos 2 sin t -2(t)r' =+= ji

= -2i

b) iiii −==

−=

22-

22-u

c) Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran):

∫∫ +=2

o

22

o

dt 4costtsindtr'r'

= ∫∫ =2

o

2

o

dt 4dt4

36

= 42t 2o =

b. Interpretasi dalam mekanika

Jika C adalah lintasan suatu benda yang dinyatakan dalam bentuk

fungsi vektor

maka:

dttdrrv )('== → merupakan vektor kecepatan di suatu

titik t.

dtdsr'r'v == → laju (speed) atau besarnya kecepatan

di sautu titik t.

a(t) = v'(t) = r''(t) → vektor percepatan

CONTOH :

1. Gerak Rotasi

Jika C : r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j

⇒ persamaan gerak sebuah partikel P yang bergerak melingkar

berlawanan dengan arah jarum jam.

• Vektor kecepatan di sembarang titik pada lintasan tersebut.

v(t) = r'(t) = Rω sin ωt i + Rω cos ωt j

• Kecepatan sudut (kecepatan angular)

RRtcosRtsinR

Rv 222222 ==++=

• Vektor percepatan

= a = v' = –R ω2t i – R ω2 sin ωt j

= - 2 r(t)

Jadi,

| a | = | -ω r(t)| = ω2 R → percepatan centripetal (dengan arah

menuju pusat lingkaran)

2. Tentukan persamaan lintasan partikel yang bergerak dengan

vektor percepatan a = 2 i – 2 k, jika posisi awalnya dititik (-1,1,2) dan

vektor kecepatan awalnya v(0) = j

37

⇒

∫∫ ∫ +−+++=−++= kctjcictkdtjdtidttv )2()2(202)( 32

∫ ∫ ∫ +−+++= kdtcjdtcidtcttr )2()2()( 32

kctctjctcictct )()()( 632

5242 ++−+++++=

Kecepatan awal :

0,,0)0()0()0( 3232 ===→=++++= cccjkcjcicv

ktjittv 22)( −+=∴

Posisi awal : kjir 2)0( ++−=

kccjcciccr )0.0()0.()0.0()0( 632

5242 ++−+++++=

2,,2... 654654 ==−=→++−=++= ccckjikcjcic

ktjtittr )2()()()( 22 +−+++−=∴

3.3 Gradien, Divergensi Dan Curl

Didefinisikan suatu operator vektor ∇ (dibaca del atau nabla) sebagai

berikut:

kjikjizyxzyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

Jika φ = φ (x,y,z) adalah fungsi skalar, dan

A = (x,y,z) = A1 (x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k

adalah fungsi vektor yang mempunyai turunan pertama yang

kontinu di suatu daerah.

Maka :

1. GRADIEN dari φ (x,y,z) didefinisikan dengan

grad ∇φ=φ = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂

zk

yj

xi

=z

),,(y

),,(x

),,(∂

φ∂+∂

φ∂+∂

φ∂ zyxkzyxjzyxi

= kzyxjzyxizyxz

),,(y

),,(x

),,(∂

φ∂+∂

φ∂+∂

φ∂

38

2. DIVERGENSI dari A(x,y,z):

div AA ∇= =zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂ kji

=z

)zy,x,(Ay

)zy,x,(Ax

)zy,x,(A 32

∂∂+

∂∂+

∂∂

3. CURL atau ROTASI dari A(x,y,z):

Curl A = ∇ × A = ( )kjikji 32 AAAzyx

++×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂

=

32 AAAzyx ∂∂

∂∂

∂∂

kji

2332 AAyx

AAzx

AAzx ∂

∂∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂= kji

= kji ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂

yA

xA

zA

yA

zA

yA 2323

4. Operator Laplace (LAPLACIAN) ∇2 dari φ

∇2 φ = div (∇φ) = div (grad φ)

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂φ∂+

∂φ∂+

∂φ∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂ kjikji

zyxzyx

= φ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂φ∂+

∂φ∂+

∂φ∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zyxzyx

Rumus-Rumus :

Jika A, B fungsi vektor

U,V fungsi skalar, maka

1. ∇ (U + V) = ∇U + ∇V atau grad (U + V) = grad U + grad V

2. B div A div B)(A divatau BAB)(A +=+∇+∇=+∇

39

3. B curl A curl B)(A curlatau BAB)(A +=+×∇+×∇=+×∇

4. )A( UAU)()UA( ∇+∇=∇

5. )A( UAU)()UA( ×∇+×∇=×∇

6. )B(AA)(B)BA( ∇−∇×=×∇

7. B)A(B)BA()A(BA)B()BA( ∇+−∇−∇=××∇

8. B)(AA)(BB)A(A)B()BA( ×∇×+×∇×+∇+∇=∇

9. 2

2

2

2

2

22

zU

yU

xUU)U(

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇=∇∇ disebut Laplace dari U

dan 2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ disebut Operator Laplace

10. ∇ × (∇U) = 0 → curl dari gradien U = 0

11. 0)A( =×∇∇ → divergensi dari curl A = 0

12. 2A)A()A( ∇−∇∇=×∇×∇

CONTOH:

Misalkan φ = x2 yz3 fungsi skalar

A = xz i – y2 j + 2x2 y k fungsi vektor

a. φ∇=φ grad = kjizyx ∂φ∂+

∂φ∂+

∂φ∂

= 2xyz3 i + x2 z3 j + 3x3 yz2 k

b. A A div ∇= = )yx2yxz(zyx

22 kjikji +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂

= z – 2y + 0 = z – 2y

c. A A curl ×∇= =

y

kji

22 x2yxzzyx

−∂∂

∂∂

∂∂

= i (2x2 – 0) – j (4xy – x) + k (0 – 0)

= 2x2 i – (4xy – x) j

40

d. A)( div φ = A)(φ∇

= )y2xy - xz(yzx zyx

2232 kjikji +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂

= kji )zyx(x

)zyx(y

)yz(xx

32433243

∂∂+

∂∂−

∂∂

= 3x2yz4 i – 3x2y2z3 j + 6x4 y2z2 k

e. ( ))x2y xz(yzxA)(A)( curl 2222 kji +−×∇=φ×∇=φ

32423233 zy2xzyx-yzxzyx ∂∂

∂∂

∂∂

= kji

= (4x4yz3 + 3x2 y3 z2) i – (8x3 y2 z3 – 4x3 yz3) j + (–2xy3z3 – x3z4) k

3.4 Penggunaan Gradien, Divergensi dan Curl

a. Derivatif berarah (directional derivatve)

Misalkan temperatur sembarang titik (x,y,z) dalam sebuah ruangan

adalah T(z,y,z). besarnya T(x,y,z) tergantung pada posisi x, y, z dalam

ruang tersebut. sehingga temperatur di suatu titik tertentu mungkin

akan berbeda dengan temperatur di titik lainnya. Karena adanya

perbedaan temperatur ini, maka bisa ditentukan besarnya rata-rata

perubahan (laju perubahan) temperatur dari satu titik ke titik lainnya

persatuan jarak (panjang). Besarnya laju perubahan temperatur

sesaat di suatu titik, akan tergantung pada arah geraknya, atau ke

titik mana yang akan dituju. Oleh sebab itu, laju perubahan ini disebut

dengan derivatif berarah (directional derivative)

Cara menentukan derivatif berarah:

Diberikan suatu medan skalar yang dinyatakan fungsi (x,y,z).

Besarnya laju perubahan dari fungsi (x,y,z) di titik (x0, y0, z0) persatuan

jarak (panjang), dengan arah gerak tertentu, misalkan vektor arah

satuannya u = ai + bj + ck, bisa ditentukan sebagai berikut,

41

tankons====φφφφ

φφφφ∇∇∇∇

)θθθθu

φφφφ

φφφφ

uDatau

uarahdalamdsd

Persamaan garis melalui titik (x0, y0, z0) dengan vektor arah satuan u

= ai + bj + ck, bisa dinyatakan dalam bentuk parameter

szzbsyyasxx

o

o

o

c+=+=+=

Sehingga sepanjang garis tersebut, x, y, z akan merupakan fungsi dari

satu variabel s. Jika x, y, z di atas didistribusikan dalam fungsi φ (x, y, z),

maka φ akan merupakan fungsi dari s, artinya sepanjang garis gerak di

atas φ merupakan fungsi dari satu variabel s, sehingga dsdφ

bisa

dihitung.

φ=φu

u

Ddsd

= cz

by

axds

dzzds

dyysd

dxx ∂

φ∂+∂φ∂+

∂φ∂=

∂φ∂+

∂φ∂+

∂φ∂

= ( )u

cbazyx

kjikji ++=

φ∇

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂φ∂+

∂φ∂+

∂φ∂

Jadi,

u graduDdsd

uu

φ=φ∇=φ=φ

42

Definisi perkalian skalar, diperoleh:

cosu udsd

u

φ∇=φ∇=φ; θ adalah sudut antara ∇φ dan vektor u

Karena u vektor satuan, maka | u | = 1, jadi

cos dsd

u

φ∇=φ nilai ini akan maksimum jika cos θ = 1 atau θ = 0°,

yaitu jika u searah dengan ∇φ.

Harga maksimum dari uds

dφadalah φ∇

CONTOH:

1. Tentukan derivatif berarah dari fungsi f = 2xy – z2 di titik (2, –1, 1) dalam

arah menuju titik (3, 1, -1). Dalam arah manakah derivatif berarah ini

akan berharga maksimum. Berapa nilai maksimumnya.

⇒

a. Vektor arah titik (2, -1,1) menuju (3,1,-1) = (3–2)i + (1+1)j + (-1-1)k = i +

2j – 2k.

Vektor arah satuan = u = 3

2244

22 kjikji −+=++−+

32

zyxf kjikji ++=

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

= 2y i + 2x j – 2z k

(2,- , )ufD = (2,- , )f∇

= 3

22) z2x 2y 2( kjikji −+−+

= ) ,,2(3 )4x4y2( −++

= 33,3)482( 30

3 ==++−

b. Nilai Duf di atas akan maksimum jika arah geraknya searah dengan

∇f, dan besarnya nilai maksimum =

) ,,2(

222 624644z4x4yf

−

=++=++=∇

43

2. Jika (x,y,z) dalam ruangan pada suatu waktu tertentu. Tentukan laju

pertumbuhan temperatur sesaat di titik (2,-1,-1) jika bergerak ke arah

titik (3,1,3)

⇒

Vektor arah satuan = u = )22(344

22 kjikji ++=++++

Laju perubahan temperatur di titik (2, -1, 1) dengan arah u =

) (2,- ,ufD = )22(3

)yzxy( 32 kji +++∇

= ]22[3

)yz3)zxy2(y[ 222 kjikji +++++

=3

)628(3

=−+−

Tanda negatif menunjukkan perubahan yang menurun artinya terjadi

penurunan suhu jika bergerak dari titik (2, -1, 1) ke titik (3,1,3).

b. Gradien sebagai vektor Normal Luasan

Misalkan f(x,y,z) = C adalah persamaan luasan S dalam ruang (R3) dan

fungsi vektor r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k adalah persamaan kurva yang

terletak pada luasan S. Karena r(t) terletak pada f(x,y,z) = C, maka

berlaku

F[x(t), y(t), z(t)] = C

dan

0tC

tz

zf

ty

yf

tx

xf =

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

0dtdz

dtdy

dtdx

zf

yf

xf =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂ kji

0dtr(t) df =∇ → (t)]t'

dtr(t) d[ f =⊥∇

44

P

)(tr

f∇∇∇∇

)(' tr

Karena r(t) merupakan persamaan kurva pada luasan s, maka r'(t) =

dtdr

merupakan singgung kurva r(t), yang berarti vektor singgung

luasan S di titik tertentu. Jadi, ∇f ⊥ vektor luasan ——> berarti ∇f

merupakan vektor normal luasan S di suatu titik.

Dan ffn

∇∇= = vektor normal satuan.

CONTOH:

Tentukan vektor normal dari kerucut putaran:

z2 = 4(x2 + y2) di titik P(1,0,2).

⇒

Persamaan luasan dalam bentuk f(x,y,z) = 0 adalah

f(x,y,z) = 4(x2 + y2) – z = 0

( ,0,2)222 z8y 8x 8)z)y(4(xf kji ++=−+∇=∇

= 8i – 4k

52

8048

66448

ffn kikiki −=−=

+−=

∇∇=

45

c. Penggunaan lain dari Gradien

Misalkan A adalah suatu partikel dengan massa M yang terletak

pada titik tetap Po(xo, yo, zo) dan B adalah suatu partikel bebas

dengan massa m yang berada pada posisi P(x,y,z) dalam suatu ruang,

maka B akan mengalami gaya tarik dari partikel A. menurut hukum

Newton tentang gravitasi, arah gaya p adalah P menuju Po, dan

besarnya sebanding dengan 1/r2, antara P dengan Po.

Sehingga,

2prc= c = GMm

G = 6,67 = konstan

dan 2o

2o

2o )z(z)y(y)x(xr −+−+−= ; r ≥ 0

Dalam hal ini, p merupakan suatu vektor dalam ruang.

Jika vektor jarak dari P ke Po,

r = (x – xo)i + (y – yo)j + (z – zo)k ; | r | = r

danrr

rr −=− = vektor satuan arah dari p

(tanda minus menyatakan arah dari Po ke P)

maka

vektor p = rrcrrrc )/()/(p

rr 32 ==−=−

= kcjcic 3o

3o

3o

rzz

ryy

rxx −−−−−−

———> fungsi vektor yang menyatakan gaya tarik

menarik antara dua partikel.Jika fungsi skala f(x,y,z) = c/r ; r ≥ 0

merupakan potensial dari medan gravitasi tersebut, ternyata bisa

dibuktikan bahwa grad f = p sebagai berikut:

grad f = 2

o2

o2

o )z(z)y(y)x(xc

yyx −+−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂ kji

= +−+−+−

− ic2/32o

2o

2o

o

])z(z)y(y)x2[(x)x2(x-

46

+−+−+−

− jc2/32o

2o

2o

o

])z(z)y(y)x2[(x)y2(y-

+−+−+−

− kc2/32o

2o

2o

o

])z(z)y(y)x2[(x)z2(z-

= kcr

jcr

icr 3

o3

o3

o zzyyxx −−−−−−

= pSelain itu bisa dibuktikan bahwa:

5

2o

32

2 )x3(xx rrr

−+=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

5

2o

32

2 )y3(yy rrr

−+=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

5

2o

32

2 )z3(zz rrr

−+=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

Jika dijumlahkan menjadi:

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

rrr zyx 2

2

2

2

2

2

=

= 5

2o

2o

2o

3)z(z)y(y)x(x33

rr−+−+−+

= 0335

2

3 =+rr

r

Sehingga, karena f = c/r maka

0fatau 0zf

yf

xf 2

2

2

2

2

2

2

=∇=∂∂+

∂∂+

∂∂

Jadi medan gaya yang dihasilkan oleh sebaran massa partikel akan

merupakan fungsi vektor (p) yang merupakan gradien dari fungsi

skalar f (potensial dari medan gravitasi) dan f memenuhi sifat ∇2f = 0

Dalam elektrostatis, gaya tarik menarik antara dua partikel bermuatan

Q1 dan Q2 adalah

rrk

3p = (Hukum Couloumb)

47

dengan:πε

=4

QQk 2 ; ε = konstanta elektrik

Dalam hal ini p adalah gradien dari fungsi potensial f = – k/r ; dengan

∇2f = 0

CONTOH:

Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah

V(x,y) = 110 + 30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan gaya listrik di titik P (2,5).

⇒

Vektor gaya elektrostatik p = grad V

)52(2960

yx2y30

yx2x30p )5,2(2222 jiji +==

++

+=

∴ Arah gayanya searah dengan arah vektor p

Penggunaan DifergensiDalam aliran fluida:

Perhatikan suatu aliran tak tunak (non-steady state) dari fluida

termampatkan (compressible fluid), misalnya gas atau uap, dalam suatu

ruangan. Karena termampatkan, maka besarnya (densitas massa =

massa persatuan volume) akan tergantung pada koordinat x, y, dan z.

Dan karena alirannya tak tunak maka juga tergantung pada t

(berubah-ubah dari waktu ke waktu). Jadi = (x,y,z,t). Misalkan v(x,y,z) =

v1i + v2j + v3k adalah vektor kecepatan sesaat dari partikel fluida di suatu

titik (x, y, z)

Selanjutnya, ambil sembarang bagian volume yang sangat kecil

dari ruangan tersebut, misalkan volume W seperti dalam gambar berikut.

48

z

y

x

2vρρρρ

33 vv ρρρρρρρρ ΔΔΔΔ++++

11 vv ρρρρρρρρ ΔΔΔΔ++++

3vρρρρ

22 vv ρρρρρρρρ ΔΔΔΔ++++

1vρρρρ

zΔΔΔΔ

xΔΔΔΔyΔΔΔΔ

)W

Karena terdapat aliran fluida yang compressible dalam ruangan

tersebut, maka dalam volume W juga akan terjadi perubahan massa

fluida. Untuk mengukur besarnya perubahan massa fluida dalam volume

W, bisa dilakukan dengan mengukur besarnya selisih massa fluida

sebelum masuk dan saat meninggalkan W persatuan waktu.

Jika, massa fluida yang melewati salah satu sisi dari W

Selama Δt ≈ [komponen vektor kecepatan yang ⊥ dengan masing-

masing sisi W] × ρ × [luas permukaan sisi tersebut] × [Δt)

= fluks massa fluida pada masing-masing sisi W.

Maka, untuk menghitung besarnya perubahan massa fluida yang melalui

W, bisa dilakukan dengan menghitung jumlah fluks massa yang keluar

dikurangi dengan jumlah fluks massa yang masuk dari masing-masing sisi

W.

Fluks massa yang masuk selama Δt melalui:

– sisi kiri = ρv2 Δx Δz Δt

– sisi belakang = ρv1 Δy Δz Δt

– sisi bawah = ρv3 Δx Δy Δt

Fluks massa yang keluar selama t melalui:

49

– sisi kanan = (ρv2 + ρv2) Δx Δz Δt

– sisi depan = (ρv1 + ρv1) Δy Δz Δt

– sisi atas = (ρv3 + ρv3) Δx Δy Δt

Jumlah selisih massa fluida persatuan waktu persatuan

Volume = (Σ yang keluar - Σ yang masuk)/volume/waktu

=)t(zyx

ty xvt zxvt zyv 32

ΔΔΔΔΔΔΔρ∇+ΔΔΔρ∇+ΔΔΔρ∇

=zv

yv

xv 32

Δρ∇+

Δρ∇+

Δρ∇

Karena volume W diambil sangat kecil, maka Δx → 0

Δy → 0

Δz → 0

Jadi, besarnya perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan

volume dalam ruangan =

zv

yv

xv

zv

yv

xv 3232

000

lim ∂∇

+∂

∇+

∂∇

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

∇+

Δ∇

+Δ∇

→Δ→Δ→Δ

ρρρρρρ

zyx

= )vvv(zyx 32 kjikji ρ∇+ρ∇+ρ∇⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂

= vρ∇

= )v( div ρ

Sementara itu, telah diketahui bahwa besarnya perubahan massa

fluida persatuan waktu persatuan volume akan sama dengan laju

perubahan (penurunan) densitas massa persatuan waktu, atau =t∂ρ∂

Jadi, t

v div∂ρ∂=ρ

Atau

50

0t

v div =∂ρ∂+ρ

———→ merupakan persamaan kontinuitas dari aliran

non-steady state dari fluida termampatkan

Jika alirannya tunak (steady state), yang berarti bahwa densitas

massanya tidak tergantung pada t (tidak berubah dari waktu ke waktu),

maka:

0t=

∂ρ∂

—→ 0v div =ρ ——→ merupakan kontinuitas untuk aliran steady

state dari fluida termampatkan (compressible).

Untuk aliran steady-state dari fluida tak termampatkan (in compressible

fluid), berarti nya konstan (tidak tergantung pada x, y, dan z) maka,

div ρv = div v = 0 (ρ ≠ 0)

0v div = ——→ persamaan koninuitas dari aliran steady-state

dari fluida tak termampatkan (incompressible fluid).

Penggunaan CurlDalam gerak rotasi

Misalkan sebuah benda berputar uniform dengan kecepatan sudut –

(konstan) mengelilingi sumbu .

51

O

ΩΩΩΩ

R

Pv

r

θθθθ

Didefinisikan vektor kecepatan sudut Ω yang panjangnya , sejajar

sumbu dengan arah mengikuti arah majunya sekrup putar kanan

terhadap gerakan benda.

Jika R adalah vektor dari titik 0 di ke sembarang titik P pada benda,

maka

radius putar titik P:

r = | R | | sin θ |

sehingga,

kecepatan linier titik P

| v | = ω | R | | sin θ| = |Ω| |R | | sin θ | = | Ω × R |

Vektor v ini mempunyai arah ⊥ bidang yang dibentuk oleh Ω dan R,

sehingga Ω, R, dan v membentuk sistem sekrup putar kanan. Jadi hasil

dari perkalian Ω × R, selain memberikan besarnya nilai v juga akan

menentukan arah dari v.

52

Jika titik 0 diambil sebagai titik asal koordinat, maka:

R = xi + yj + zk dan

Ω = Ω1i + Ω2 j + Ω k

sehingga, v = Ω × R bisa ditulis

v = (Ω2z + Ω3 y)i – (Ω1z - Ω2x)j + (Ω1y - Ω1x) k

dan

curl v = ∇ × v =

)x()x()y(zyx

2332 Ω−ΩΩ−ΩΩ−Ω∂∂

∂∂

∂∂

kji

= 2 Ω1 i +2 Ω2 j + 2 Ω3 k = 2 Ω

Jadi,

Kecepatan sudut dari sebuah benda yang bergerak uniform =

½ curl dari kecepatan lintas sembarang titik.

SOAL-SOAL LATIHAN1. Misalkan f = x2 + 9y2 + 4z2

g = xy3 z2

v = xz i + (y – z)2 j + 2xyz k

w = 2y i + 4z j + x2z2 k

Tentukan

a. grad f di titik (3, -1, 0) Jawab : 6i – 18j

b. ∇2f Jawab : 28

c. gf ∇∇ Jawab : 72 xy3 z2

d.yx

2

∂∂∂ g

Jawab : 3 y2 z2

e. vf∇ Jawab : 2x2 z + 18y (y – z)2+ 16 xyz2

f. div w Jawab : 2 x2 z

g. div v (curl v) Jawab : –11

h. div (v × k) Jawab : 0

i. curl (v × k) Jawab : –xi – 2(y – z)j – (2y – z)k

53

j. Dwf di (1, 1, 1) Jawab : 58

k. Dwg di (3, 0, –2) Jawab : 0

l. div (v + w) Jawab : 2y – z + 2xy + 2x2z

2. Jika r(t) menyatakan persamaan kurva lintasan, dengan t = waktu.

Tentukan vektor kecepatan, besarnya laju (speed) dan vektor

percepatan di P[x(t); z(t)], jika

a. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = ti + 3 t2j

Jawab: v = i + 12 j + k ; | v | = 45 ; a = 6 j

b. r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k = ti + 3 t2j + tk, di titik P (4,12,4)

Jawab: v = i + 3j + k ; | v | = ; a = 0

3. Jika vektor posisi dari lintasan sebuah partikel dinyatakan dalam r = r(t)

= t2i – 2tj + (t2 + 2t)k, t waktu.

a. Kapan (pada saat berapa) partikel akan melintas di titik (4,-

4,8). Jawab: t = 2

b. Tentukan vektor kecepatan dan laju partikel di saat melintasi

titik (4,-4,8).

Jawab: v = 4i – 2j + 6k; | v | = 42

c. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva lintasan

partikel tersebut, dan bidang normal dari kurva di titik (4,-4,8)

Jawab: (x – 4)/4 = (y + 4)/(-2) = (z – 8)/6

2x – y + 3z = 36

4. Jika berangkat dari titik (1,1) dalam arah manakah fungsi φ = x2 –

y2 + 2xy akan menurun dengan cepat (menurun secara

maksimum).

Jawab = –i

54

5. Jika diberikan medan skalar r = 22 yx + dan

R = 222 zyx ++ , tentukan

a. Laplace ∇2 dari ln r Jawab : 0

b. Laplace ∇2 dari R Jawab : 2/R

6. Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah V(x,y) = 110 +

30 ln(x2 + y2) volt. Tentukan arah garis-garis ekipotensialnya di titik

P (2,5).

Catatan: garis ekipotensial adalah garis yang tegak lurus

dengan garis gaya elektrotatis.

55

BAB IV

IINNTTEEGGRRAALL VVEEKKTTOORR

4.1 Integral Garis (Line Integrals)

Konsep integral garis merupakan generalisasi (perluasan) dari

konsep integral tertentu ∫a

bdx)x(f .

Dalam integral tertentu ∫a

bdx)x(f , fungsi f(x) diintegrasikan sepanjang

sumbu x dari x = a sampai x = b, dengan f(x) adalah fungsi yang terdefinisi

pada setiap titik pada sumbu x antara sampai b.

Dalam integral garis, akan diintegrasikan suatu fungsi F sepanjang kurva C

dalam ruang atau bidang, dan fungsi F adalah fungsi yang terdefinisi

pada setiap titik di C. Kurva C, oleh sebab itu disebut sebagai ‘lintasan

integrasi’. Lintasan integrasi C merupakan kurva licin (smooth curve) yang

bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor:

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k ; a ≤ t ≤ b

dan r(t) mempunyai derivatif kontinu,

)t('r = kjidt

dz(t)dt

dy(t)dt

)t(dxdtdr +=

= x' (t) i + y'(t) j + z'(t) k

yang tidak nol

Dalam hal ini C merupakan kurva berarah dengan:

A : r(a) = titik awal dari C

B : r(b)= t akhir dari C

Arah dari A ke B sepanjang C disebut arah positif dari C dan dalam

gambar, arah ini ditunjukkan dengan tanda panah.

POKOK BAHASAN :Integral garisTeorema GreenMedan Gaya KonservatifIntegral luasanTeorema divergensi GaussTeorema Stokes

56

Jika A = B C disebut kurva tertutup.

Definisi Integral Garis

Integral garis dari suatu fungsi vektor F(r) sepanjang kurva C yang

terdefinisikan pada a ≤ t ≤ b, didefinisikan sebagai:

dr)r(FC∫ = ∫b

adt

dtdr)t(r[F

= ∫b

adt)t('r)t(r[F

Jika,

r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

kjidt

)t(dzdt

)t(dydt

)t(dxdtdr)t('r ++==

dr = dx(t) i + dy(t) j + dz(t) k

F(r) = F1 i + F2 j + F3 k

maka:

dr)r(FC∫ = [ ])t(dzF)t(dyF)t(dxF 321C ++∫

= ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

b

a321 dt

dtdzF

dtdyF

dtdxF

= [ ]∫ ++b

a321 dt)t('zF)t('yF)t('xF

Integral garis sepanjang lintasan C yang tertutup dinotasikan

dengan ∫C dr)r(F

Contoh

)t(r:C

)b(rB =

)a(rA =

)a(rA =

)b(rB =

C

57

1. Tentukan integral garis ∫C dr)r(F , jika

F(r) = – y i + xy j

C : adalah busur lingkaran seperti dalam gambar berikut dari titik A

ke titik B.

⇒

C : r(t) = cost i + sint j

Sehingga,

x(t) = cost t

y(t) = sin t

0 ≤ t ≤2π

dan F[r(t)]= – sin t i + sin t cos t j

f' = – sin t i + cos t j

∴ ∫C dr)r(F = ∫b

adt)t('r)]t(r[F

= ∫π

+2/

a

22 dt]tcostsint[sin

= ∫∫ππ

−− 2/

0

22/

0tcosdtcosdt

2t2cos1

=2/

o

3 tcos31t2sin

41t

21 π

−−

=31

43100t

4+π=+−−π

2. Tentukan nilai integral garis pada contoh 1, jika

C : garis lurus yang menghubungkan A dan B

⇒

)0,1(A

)1,0(B

C

0

58

C : r(t) = (1 – t) i + t j

x(t)= 1 – t

= t

0 ≤ t ≤ 1

F[r(t)] = –t i + t(1 – t) j

r'(t) = –i + j

∴ ∫C dr)r(F = ∫∫ −=−+1

0

1

0dt]tt2[dt)]t1(tt[

=32

311t

31t

1

0

32 =−=−

Dari dua contoh di atas terlihat bahwa nilai integral garis selain

tergantung pada batas integrasi, juga tergantung pada

lintasannya.

3. Tentukan ∫c dr)r(F , jika

F(r)= z i + j + y k

C : r(t) = cos t i + sin t j + 3t k, 0 ≤ t ≤ 2

⇒

x(t)= cos t

y(t)= sin t

z(t)= 3t

F[r(t)] = 3t i + cos t j + sin t k

r'(t) = –sin t i + cos t j + 3 k

∴ ∫C dr)r(F = [ ]∫π

++−2/

0

2 dttsin3tcostsint3

= ∫ ∫ ∫π π π

+++2/

0

2/

0

2/

0dttsin3dt

2t2cost1tcost3

= tcos3t2sin41t

21]tdtcostcost[3 −++− ∫

59

=π2

−++−0

tcos3t2sin41t

21tsin3tcost3

Interpretasi Integral Garis

Dalam MEKANIKA

Usaha yang dilakukan oleh guru konstan F yang bergerak sepanjang

vektor lurus d adalah dFW =

Jika gaya F tidak konstan (merupakan fungsi variabel), dan bergerak

sepanjang kurva C = r(t), maka besarnya usaha yang dilakukan oleh

gaya F bisa ditentukan dengan menghitung nilai limit dari jumlah

usaha yang dilakukan oleh F sepanjang segmen kecil dari C, jika C

dibagi menjadi n buah segmen kecil-kecil sehingga setiap segmen

mendekati garis lurus.

Untuk sembarang m; 1 ≤ m ≤ n, maka

)]t(r)t(r[)]t(r[FW mmmm −=Δ

Sementara,

m

mmm t

)t(r)t(rlim0t)t('r

Δ−→Δ=

tm = tm + 1 – tm

Jadi,

mmmmmm t)t('r]t)t('r)]t(r[FW ΔΔ≅Δ

karena ∞→n , maka:

∑∑=∞→=∞→

Δ=Δ=n

1mmmmn

n

1mmn

t)t('r)]t(r[FlimWlimW

C

ntb =

1mt +mt0ta =

1t2t 3t

60

= ∫b

adt)t('r)]t(r[F

∫=∴C

dr)r(F WUsaha

Karena )t(vdtdr = = vektor kecepatan

maka: W = ∫ ∫=C

b

adt)t(v)]r[(Fdr)r(F

Dari hukum Newton II : F = ma, bisa diturunkan F = m r''(t) = m v' (t)

Sehingga,

W = ∫∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

b

a

'b

adt

2vvmdt)t(v)t('vm

= [ ] b

a

2b

a

'2 v2mdtv

2m =∫

= [ ]22 )a(vv(b)2m −

dengan 2v2m = energi kinetik

Bentuk-bentuk lain Integral Garis

Bentuk-bentuk berikut merupakan kejadian khusus dari integral garis

∫C dr)r(F ,

Jika F = F1 i ∫C dr)r(F = ∫C 1dxF

F = F2 j ∫C dr)r(F = ∫C 2dyF

F = F3 k ∫C dr)r(F = ∫C 3dzF

Bentuk : dt)]t(r[fdt)r(fb

aC ∫∫ =

C : r(t); a ≤ t ≤ b

Merupakan bentuk khusus dari ∫C dr)r(F , jika

61

F = F1 i dan F1 =dt/dx)]t(r[f , sehingga

)t('xFdtdxFf 11 ==

Jadi,

∫C dr)r(F = ∫C 1 dxF = ∫C dxdt/dx)]t(r[f

= ∫b

adt)t(r[f

Contoh

Tentukan ∫ ++C

2222 dt)zyx( jika

C : r (t) = cos t i + sin t j 3t k ; 0 ≤ t ≤ 2

⇒

f = (x2 + y2 + z2)2

r(t) = cos t i + sin t j + 3t k

x(t)= cos t

y(t)= sin t

z(t)= 3t

f[r(t)] = [cos2t + sin2t + 9t2]2 = (1 + 9t2)2

∫ ++∴C

2222 dt)zyx( = ∫π

+2

0

22 dt)t91(

= ∫π

++2

0

42 dt]t81t181[

= t2 + 6t3 + π2

0

t581

= 53

252592482 π+π+π

62

Sifat-sifat

a. ∫ ∫=C C

dr)r(kdrF(r)k ; konstanta

b. [ ]∫ ∫∫ +=+C CC

dr)r(Gdr)r(FdrG(r)F(r)

c. ∫ ∫∫ +=C CC 21

dr)r(Fdr)r(FdrF(r) ; jika lintasan C dibagi menjadi

dua busur, yaitu C1, dan C2 dengan arah yang sama dengan arah

C.

Contoh Soal

1. Tentukan ∫C drF(r) ; jika

a. F = y2 i – x4 j

C : r(t) = t i + t–1 j ; 1 ≤ t ≤ 3

b. F = y2 i

C : sepanjang kurva x2 + 4y = 4 dari (2, 0) ke (0, 1)

c. F = 3y i + x j

C : segmen garis lurus dari (0, 0) ke (2, 2½ )

⇒

a.⎭⎬⎫

=

=−1t)t(y

t)t(x

jiji2

42

t)t('rttF−

−

−=

−=

∫∴C

drF(r) = [ ]3

1

313

1

22 t31tdttt +−=+ −−∫

=328

311

327

31 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ =−

b. ∫C drF(r) = ∫C2dxy ; 2 ≤ x ≤ 0

C : x2 + 4y2 = 4

4y2 = 4 – x2

y2 =4x4 2−

63

∫C drF(r) =0

2

0

2

32

x31x4

41dx

4x4∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=−

=34)

388(0

41 −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−

c.

Persamaan segmen

garis dari (0, 0) ke (2, ½),

adalah:

y =41 , 0 ≤ x ≤ 2

⎪⎭

⎪⎬⎫=

t41)t(y

t)t(xr(t) = t i +

41 t j

F[r(t)] =43 t i – t j

r'(t) = i + 41 j

1t41dtt

21dtt

41t

43drF(r)

2

0

2

0

22

0C===⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=∴ ∫∫∫

2. Tentukan usaha yang dilakukan oleh harga F = xi – zj + 2yk yang

bergerak sepanjang C : z = y4, x = 1;

dari (1, 0, 0) ke (1, 1, 1)

⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

4tzty1x

r(t) = i + tj + t4k ; 0 ≤ t ≤ 1

F[r(t)] = i – t4j + 2t k

r'(t) = j + 4t3k

21 ),2( 2

1

20),0(

y

x

64

∫=∴C

drFW = [ ] ∫∫ ==+−1

0

1

0

541

0

44 t57dtt4dtt8t

=57

3. Tentukan ∫ +C

22 ds)y(x , jika

C : lintasan y = 2x dari (0, 0) ke (1, 2)

⇒

ds = 22 dydx +

y = 2x dy = 2dx

ds = 5dx)dx2(dx 22 =+ ; 0 ≤ x ≤ 1

∫ +∴C

22 ds)y(x = ∫∫ =+1

0

21

0

22 dxx55dx5)x4(x

=3

55x3

55 1

0

3 =

4. Tentukan ∫ +C

22 dyxdxy ; jika

C : Lintasan trapezium seperti dalam gambar berikut

⇒

∫ +C

22 dyxdxy = ++++ ∫∫ )dyxdxy()dyxdxy(2C

22

C

22

1

)dyxdxy()dyxdxy(4C

22

C

22

3∫∫ +++

Lintasan C1:

)2,2(

)2,0(0),0(

y

x

1),0(

3C

2C

4C

1C

65

2t00dy..........0ydtdx..........tx

≤≤=→==→=

∫∫

∫

==+

=+

2

0

2

0

2

C

22

0dt0)0tdt0(

)dyxdxy(1

Lintasan C2:

2t00dy..........0ydtdx..........tx

≤≤=→==→=

∫∫∫

==

+=+2

0

2

0

2

0

2

C

22

84tdt4

)dt40t()dyxdxy(1

Lintasan C3:

0t2

dt21dy1

21y

dtdxtx

≤≤

=→+=

=→=

6)224

48(0

tt21t

123)1tt

43(

dt21.t)dt)1t

21()dyxdxy(

0

2

232

0

2

22

C

22

3

−=++−

=++=++

++=+

∫

∫∫

Lintasan C4:

0t1dtdy..........ty0dx..........0x

≤≤=→==→=

∫∫

=++

=+0

1

22

C

22

0)dt00t(

)dyxdxy(4

20680dyxdxy 2

C

2 =+−+=+∴∫5. Tentukan besarnya usaha dalam gerakan partikel yang menjalani

lintasan satu putaran elips C dibuang dibidang XOY , jika elips

tersebut berpusat di titik 0 dengan sumbu panjang 4 dan sumbu

pendek 3, dan jika medan gayanya diberikan oleh:

F = (3x – 4y + 2z)i + (4x + 2y – 3z2)j + (2xz – 4y2 + z3) k

Persamaan ellips :

14y

3x

2

2

2

2

=+

66

116y

9x 22

=+ ; z = 0

Misalkan

⎪⎭

⎪⎬⎫

===

0ztsin4ytcos3x

π≤≤+=

2t0tsin4tcos3)t(r ji

F[r(t)] = [9 cost – 16 sint] i + [12 cost + 8 sint] j + [–16 sint] k

r'(t) = –3 sint i + 4 cost j

∴W = ∫π2

++−−0

dt)tsin8tcos12(tcos4)tsin16tcos9(tsin3

= ∫π2

+++−0

22 dt)tcostsin32tcos48tsin48tcostsin27(

= ∫π2

++0

dt)tcostsin548(

= ∫ ∫π2 π2

+0 0

)tsin(dtsin5dt48(

= π=+π=ππ 96096tnsi

25t48

2

0

22

0

Soal-Soal

1. Hitunglah ∫C dr]r[F jika:

F[r]= [x + y] i + [y – x] j

a. C : Parabola y2 = x dari [1, 1] sampai [4, 2]

b. C : Garis lurus dari [1, 1] sampai [4, 2]

c. C : Garis lurus dari [1, 1] ke [1, 2] dan dilanjutkan ke [4, 2]

2. Hutunglah rd.]r[FC∫ jika

z

y

x

34

67

F[r]= [2x – y + 4] i + [5y + 3x – 6] j

a. C : Sekeliling segitiga di bidang xoy dengan titik-titik sudut [0,0]

[3,0], [3,2] yang dijalani berlawanan arah jaru jam.

b. C : Sekeliling lingkungan berjari-jari 4 dan berpusat di [0, 0]

3. Hitunglah ds]yx[C

22∫ + jika

a. C : Sepanjang busur lingkaran x2 + y2 = 4 dari [2, 0] sampai [0,2]

b. C : Sepanjang sumbu x dari [0, 0] ke [1, 0] kemudian dilanjutkan

ke [1, 1]

Jawab

1. a.3

34 ; b. 11 ; c. 0

2. a. 12 ; b. 64

3. a. 4 ; b.35

68

4.2. Teorema Green

Transformasi Integral Rangkap Dua Ke Integral Garis

Integral rangkap dua yang meliputi suatu daerah dalam bidang

XOY bisa ditransformasikan ke dalam integral garis sepanjang batas dari

daerah tersebut atau sebaliknya. Transformasi tersebut dilakukan dengan

teorema Green pada bidang. Transformasi dengan teorema Green ini

penting karena bisa digunakan untuk membantu mengevaluasi

perhitungan integral dengan lebih mudah.

Teorema Green :

Misalkan R adalah daerah tertutup dan terbatas pada bidang XOY

yang batas C nya erdiri atas sejumlah kurva licin (smooth curve) yang

berhingga, misalkan F1(x,y) dan F2(x,y) adalah fungsi-fungsi yang kontinu

dan mempunyai derivatif parsial yF∂∂ 1 dan

xF∂∂ 2 dalam domain yang

memuat R, maka :

⎥⎦

⎤∂∂

⎢⎣⎡ −∂∂

∫∫ yF

xF

R

12 dx dy = ∫ ∫=+C C

drFdyFdxF ][ 21

Integrasi ini dilakukan sepanjang batas C di R.

y

C

R

x

Apabila ditulis dalam bentuk vektor menjadi :

∫∫R kCurlF ][ dxdy

69

= ∫C drF

F = F1(x,y) i + F2(x,y)

CONTOH :

Misalkan : F = (y2 - 7y) i + (2xy + 2x) j F1 = y2 - 7y F2 = 2xy + 2x

C : lingkaran x2 + y2 = 1

y

1

-1 1 x

-1Ruas Kiri :

∫∫ ⎥⎦

⎤∂∂

−⎢⎣⎡∂∂

R yF

xF 12 dx dy = ][∫∫ −−+

Ryy )72()22( dxdy

= 9 ∫∫R dxdy = 9 x luas lingkaran x2 + y2 = 1

= 9

Ruas Kanan :

r(t) = cos t i + sin t j ; 0 t 2

x(t) = cos ty(t) = sin t

F1[r(t)] = sin2 t - 7 sin tF2[r(t)] = 2 cos t sin t + 2 cos t

r'(t) = - sin t i + cos t j

∫C drF = [ ]∫ ++−−π2

0

2 ))(coscos2sincos2()sin)(sin7(sin ttttttt dt

70

= [ ]∫ +++−π2

0

2223 cos2sincos2sin7sin ttttt dt

= [∫ −π2

0

2 cos)cos1( tdt + 27 [ ]∫ −

π2

0

cos1 t dt - 2 ∫π2

0

2 coscos ttd +

∫ +π2

0

)2cos1( dtt

= cos t - +t331 cos ttttt 2sincos2sin 2

1332

47

27 ++−−

π2

0Ι

= πππ 92227 =+⋅

Bukti Teorema Green :

y y C** d p(y) v(x) q(y) C* c u(x) x x a b

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh lengkung C = C* ∪C**

seperti dalam gambar, maka :

a x b ; u(x) y v(x) c y d ; p(y) x q(y)

∫∫ ∂∂

R yF1 dx dy = [∫

b

a∫ ∂∂)(

)(

1xv

xu yF

dy ] dx = ),(1 yxFb

a∫ )(

)(

xvy

xuy

=

=

= [ ]∫ −b

a

xuxFxvxF )](,[)](,[ 11 dx

= dxxvxFb

a

)](,[1∫ - dxxuxFb

a

)](,[1∫

= - dxxvxFa

b

)](,[1∫ - dxxuxFb

a

)](,[1∫

= - dxyxFC

],[**

1∫ - dxyxFC

],[*

1∫

71

= - ∫C yxF ),(1 dx

Secara sama :

∫∫ ∂∂

R xF2 dx dy = [∫

d

c∫ ∂∂)(

)(

2yq

yp xF

dx ] dy = ),(2 yxFd

c∫ )(

)(

yqx

ypx

=

=

= [ ]∫ −d

c

yypFyyqF ]),([]),([ 22 dy

= dyyyqFd

c

]),([2∫ - dyyypFd

c

]),([2∫

= dyyyqFd

c

]),([2∫ + dyyypFc

d

]),([2∫

= dyyxFC

],[*

2∫ + dyyxFC

],[**

2∫ = ∫C yxF ),(2 dy

∴ ∫∫ ∂∂

R xF2 dx dy - ∫∫ ∂

∂R x

F2 dx dy = ∫C yxF ),(2 dy + ∫C yxF ),(1 dx

atau :

⎥⎦

⎤∂∂

⎢⎣⎡ −∂∂

∫∫ yF

xF

R

12 dx dy = ∫ ∫=+C C

drFdyFdxF ][ 21

Luas Daerah Pada Bidang Sebagai Integral Garis Dalam Lintasan Tertutup

Jika F1 = 0 F2 = x , maka ∫∫R dxdy = ∫C xdy

dan

jika F2 = y

F1 = 0 , maka ∫∫R dxdy = - ∫C ydx

sehingga, ∫∫R dxdy = 2

1 ∫ −C

ydxxdy )(

Karena ∫∫R dxdy = A = luas daerah yang dibatasi oleh bidang R

maka,

72

A = ∫∫R dxdy = 21 ∫ −

Cydxxdy )(

Luas Daerah Pada Bidang Dalam Koordinat Polar.

Misalkan : x = r cos dx = cos dr - r sin d y = r sin dy = sin dr + r cos d

A = ∫∫R dxdy = 21 ∫ −

Cydxxdy )(

= 21 )]sin(cossin)cos(sincos[ θθθθθθθθ drdrrdrdrr

C−−+∫

= 21 ]sincossincossincos[ 2222 θθθθθθθθ drdrrdrdrr

C−−+∫

= 21 ]sincos[ 2222 θθθθ drdr

C+∫ = 2

1 θdrC

2∫

A = 21 θdr

C

2∫

CONTOH :1. Dengan menggunakan teorema Green tentukan drrF

C)(∫

sepanjang lintasan C, jika F = 3x2 i - 4xy jC : sekeliling segi 4 dengan batas 0 x 4 ; 0 y 1 dengan arah

berlawanan dengan arah jarum jam.Penyelesaian : y

(0,1) (4,1)

x (0,0) (4,0)

F = 3x2 i - 4xy j

F1 = 3x2 yF∂∂

1 = 0

F2 = 4xy yF∂∂ 2 = -4y

drrFC

)(∫ = ∫ +C

dyFdxF ][ 21

73

Teorema Green :

∫ =+C

dyFdxF ][ 21 ⎥⎦

⎤∂∂

⎢⎣⎡ −∂∂

∫∫ yF

xF

R12 dx dy

= ∫4

0∫ −−1

0

)04( y dy dx = ∫4

0

-2y dx 1

0

= ∫4

0

-2 dx = -2x 1

0 = -8

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi ellips 12

2

2

2

=+by

ax

Penyelesaian : y

b x = a cos dx = - a sin d -a a x y = b sin dy = b cos d

A = 21 ∫ −

Cydxxdy )( = 2

1 )]sin(sin)coscos[2

0

θθθθθθπ

dabdba −−∫

= 21 θθθ

π

dabab ]sincos[ 22

0

2 +∫ = 21 θ

π

bda∫2

0

= 21 ab

π2

0 = ab

3. Tentukan luas Kardioida r = a(1 - cos ) ; 0 2

Penyelesaian :

y

a

2a x

-a

Luas Kardioida = ∫C21 r2 d

= ∫ −π

θ2

0

221 )]cos1([a d

74

= ∫ +−π

θθ2

0

2221 )]coscos21([a d

= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++− ∫π

θθθθ2

0

2

22cos1sin2

2da

= [ ]π

θθθθ2

041

21

2

2sinsin22

++−a

= ]π

θθ 2

041

2

2sin2

32 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −a

= ][ 032

2

−πa =

23 2aπ

SOAL-SOAL :

1. Dengan teorema Green tentukan ])2()[( 222 dyxyydxxyxC

−+−∫ dengan C : lintasan bujur sangkar dengan titik-titik sudut (0,0); (2,0);

(2,2); (0,2) Jawab : 8

2. Dengan teorema Green tentukan ])[( 223 dyxydxyxxC∫ +−

dengan C : daerah yang dibatasi lingkaran x2 + y2 = 4 dan x2 + y2 =16

Jawab : 120

3. Dengan teorema Green tentukan ∫C drrF )( , jika

F = xy2 i - x2y j C : batas daerah yang dibatasi oleh x 0 ; 0 y 1-x2

Jawab : -1/3

4. Tentukan luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh y = x dan y = x3

Jawab : 1/4

5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh hiposikloida 3/23/23/2 ayx =+ Persamaan parameternya adalah : x = a cos3t y = a sin3t ; 0 t 2

Jawab : 3 8

2a

75

4.3. Medan Gaya Konservatif.

Integral Garis yang tidak tergantung pada bentuk lintasan

Dalam bidang (R2) :

Jika F(x,y) = F1(x,y) i + F2(x,y) j r = x i + y j dr = dx i + dy j

Teorema : Syarat perlu dan cukup untuk dyFdxFdrF

CC 21 += ∫∫ tidak

tergantung pada bentuk lintasan C yang menghubungkan duatitik pada daerah R dalam bidang R2 adalah :

xF

yF

∂∂

=∂∂ 21

atau jika bisa ditemukan suatu fungsi φ (x,y) sedemikian hingga :

2

1

Fy

Fx

=∂∂

=∂∂

φ

φ

Kejadian khusus jika C lintasan tertutup dan xF

yF

∂∂=

∂∂ 21 maka

0=∫ drFC

BUKTI :

F dr = F1(x,y) dx + F2(x,y) dy

Karena xF

yF

∂∂=

∂∂ 21 , maka pasti dapat ditemukan fungsi φ (x,y)

sedemikian hingga :

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=∂∂

=∂∂

2

1

Fy

Fxφ

φ

, sebab xyy

F∂∂

∂=∂∂ φ21 =

yxxF

∂∂∂=

∂∂ φ22

76

Jadi : F dr = x∂

∂φ dx +

y∂∂φ

dy = dφ

Misalkan C adalah lintasan dari (x1, y1) ke titik (x2, y2), maka

∫C F dr = ∫),(

),(

22

11

yx

yx

dφ = φ ),(

),(

22

11

yx

yx = φ (x2, y2) - φ (x1, y1)

Terbukti bahwa nilai integralnya hanya tergantung pada batas

integrasinya (batas C) dan tidak tergantung pada bentuk lintasannya.

Jika C lintasan tertutup, maka x1 = x2 dan y1 = y2 sehingga

∫C F dr = 0

CONTOH :

1. a. Buktikan bahwa ∫ −++−)1,2(

)0,1(

324 ])4()32[( dyxyxdxyxy tidak tergantung

pada lintasan yang menghubungkan (1,0) dan (2,1).

b. hitung nilai integral garisnya.

Penyelesaian :

a. F1 = 2xy - y4 + 3 31 42 yxyF −=∂∂

F2 = x2 - 4xy3 xxF

22 =∂∂

- 4y3

Karena xF

yF

∂∂

=∂∂ 21 , jadi integral garis tersebut tidak tergantung pada

bentuk lintasan.

b. Dari 1Fx=

∂∂φ

maka φ = dxyxyx

)32( 4 +−∫ = x2y - xy4 + 3x + g(y)

..............(i)

Dari 2Fy=

∂∂φ

maka φ = dyxyxy

)4( 32∫ − = x2y - xy4 + h(x)

..............(ii)

Fungsi φ = dyFdxFyx ∫∫ = 21

(i) = (ii) x2y - xy4 + 3x + g(y) = x2y - xy4 + h(x)

77

g(y) = 0 h(x) = 3x

∴φ = x2y - xy4 + 3x

∴ ∫ −++−)1,2(

)0,1(

324 ])4()32[( dyxyxdxyxy = φ )1,2(

)0,1( = x2y - xy4 + 3x

)1,2(

)0,1(

= (22.1 - 2.14 + 3.2) - (12.0 - 1.0

+ 3.1)

= 8 - 3 = 5

2. Hitung ∫C F dr , jika :

F = (2xy3 - y2 cos x) i + (1 - 2y sin x + 3x2y2) j

C : sepanjang parabola 2x = y2 dari (0,0) ke (2π

, 1)

Penyelesaian :

F1 = 2xy3 - y2 cos x ----------------- xyxyyF

cos26 21 −=∂∂

F2 = 1 - 2y sin x + 3x2y2 -------------------------- 22 6cos2 xyxyxF +−=∂∂

Karena xF

yF

∂∂=

∂∂ 21 , jadi integral garis tersebut tidak tergantung

pada bentuk lintasan.

Mencari fungsi φ :

Dari 1Fx=

∂∂φ

maka φ = dxxyxyx

)cos2( 23∫ − = x2y3 - y2sinx + g(y)

............(i)

Dari 2Fy=

∂∂φ

makaφ = dyyxxyy

)3sin21( 22∫ +− = y- y2sinx + x2y3 + h(x)

..........(ii)

Fungsi φ = dyFdxFyx ∫∫ = 21

(i) = (ii) x2y3 - y2sinx + g(y) = y - y2sinx + x2y3 + h(x) g(y) = y h(x) = 0

∴φ = x2y3 - y2sinx + y

78

∴ ∫C F dr = φ )1,(

)0,0(

2π

= x2y3 - y2sin x + y )1,(

)0,0(

2π

= ( 12

sin.11.4

232

+− ππ) - (0

- 0 + 0)

= 114

2

+−π =

4

2π

3. Hitung ∫C F dr , jika

F = (x2y cosx + 2xy sinx - y2 ex) i + (x2 sinx - 2y ex) j

C : keliling hiposikloida 3/23/23/2 ayx =+

Penyelesaian :

F1 = x2y cosx + 2xy sinx - y2 ex ------- xyexxxxyF

2sin2cos21 −+=∂∂

F2 = x2 sinx - 2y ex ------ xyexxxxxF

2cossin2 22 −+=∂∂

Karena xF

yF

∂∂

=∂∂ 21 , jadi integral garis tersebut tidak tergantung

pada bentuk lintasan.

Dan karena C lintasan tertutup maka ∫C F dr = 0

Dalam Ruang (R3) :

Jika F(x,y) = F1(x,y) i + F2(x,y) j + F3(x,y) k r = x i + y j + z k dr = dx i + dy j + dz kTeorema :

Syarat perlu dan cukup untuk dzFdyFdxFdrFCC 321 ++= ∫∫ tidak

tergantung pada bentuk lintasan C yang menghubungkan dua titikpada daerah R dalam ruan R3 adalah :

79

Atau :

atau jikabisa ditemukan suatu fungsi φ (x,y)sedemikian hingga :

1Fx=

∂∂φ

; 2Fy=

∂∂φ

;

3Fz=

∂∂φ

BUKTI :

F dr = F1(x,y,z) dx + F2(x,y,z) dy + F3(x,y,z) dz

Karena xF

yF

∂∂

=∂∂ 21 ;

xF

zF

∂∂

=∂∂ 31 ;

yF

zF

∂∂

=∂∂ 32

, maka pasti dapat ditemukan fungsi φ (x,y,z) sedemikian hingga :

3

2

1

Fz

Fy

Fx

=∂∂

=∂∂

=∂∂

φ

φ

φ

, sebab

yzyF

zyzF

xzxF

zxzF

yxxF

xyyF

∂∂∂=

∂∂

=∂∂

∂=∂∂

∂∂∂=

∂∂

=∂∂

∂=∂∂

∂∂∂=

∂∂

=∂∂

∂=∂∂

φφ

αφφ

φφ

23

22

23

21

22

21

Jadi : F dr = x∂

∂φ dx +

y∂∂φ

dy + z∂

∂φdz = dφ

Misalkan C adalah lintasan dari (x1, y1, z1) ke titik (x2, y2, z2), maka

∫C F dr = ∫),,(

),,(

222

111

zyx

zyx

dφ = φ ),,(

),,(

222

111

zyx

zyx = φ (x2, y2, z2) - φ (x1, y1, z1)

Terbukti bahwa nilai integralnya hanya tergantung pada batas

integrasinya (batas C) dan tidak tergantung pada bentuk

lintasannya.

xF

yF

∂∂

=∂∂ 21

xF

zF

∂∂

=∂∂ 31

yF

zF

∂∂

=∂∂ 32

Curl F =∇ x F = 0

80

Kejadian khusus jika C lintasan tertutup dan Curl F = 0 maka0=∫ drF

C

Jika F adalah medan gaya yang bekerja pada suatu obyek yang

bergerak sepanjang lintasan C, maka medan gaya F disebut

medan gaya konservatif apabila usaha yang dilakukan oleh gaya F

untuk menggerakkan obyek sepanjang lintasan C tadi tidak tergantung

pada bentuk lintasannya, tetapi hanya tergantung pada titik awal dan

titik akhirnya saja.

CONTOH :

1.a. Buktikan bahwa F = (2xz3 + 6y) i + (6x - 6yz) j + (3x2z2 - y2) k

adalah medan gaya konservatif.

b. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F untuk menggerakkan

benda dari titik P(1,-1,1) ke titik Q(2,1,-1)

Penyelesaian :

a. F medan gaya konservatif jika ∇ x F = 0 atau Curl F = 0

Curl F =

2223 32662 yzxyxxyxzzyx

kji

−−+∂∂

∂∂

∂∂ = (-2y + 2y)i-(6xz2 -6xz2)j+(6-6)k

= 0

Karena curl F = 0 , maka F merupakan medan gaya konservatif.

b. yxzx

62 3 +=∂∂φ

φ = ∫x (2xz3 + 6y) dx = x2z3 + 6xy + g(y,z) ........... (i)

yzxy

26 −=∂∂φ

φ = ∫y (6x - 2yz) dy = 6xy - y2z + h(x,z) . .......... (ii)

2223 yzxz

−=∂∂φ

φ = ∫z (3x2z2 - y2) dz = x2z3 - y2z + k(x,y ........... (iii)

(i) = (ii) x2z3 + 6xy + g(y,z) = 6xy - y2z + h(x,z)

g(y,z) = - y2z

h(x,z) = x2z3

(i) = (iii) x2z3 + 6xy + g(y,z) = x2z3 - y2z + k(x,y)

81

g(y,z) = - y2z

k(x,y) = 6xy

φ = x2z3 + 6xy - y2z

∴W = drFC∫ = φ

Q

P = x2z3 + 6xy - y2z

)1,1,4(

)1,1,1(

−

−

= [ 42.(-1)3 + 6.(4).1 - 12.(-1)] - [ 12.(-1)3 + 6.1.(-1) - (-1)2. 1] = 15

2. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F = y i + (x+y) j + z5 k yang

bekerja sepanjang lintasan C : x2 + y2 = 1 dan z = y ,

dari titik (0,1,1) sampai titik (1,0,0)

Penyelesaian :

Curl F =

5zyxyzyx

kji

+∂∂

∂∂

∂∂ = (0 - 0)i - (0 - 0) j + (1-1)k = 0

Karena curl F = 0 , maka F medan gaya konservatif W = drFC∫ = φ

)0,0,1(

)1,1,0(

Mencari fungsi φ :

yx=

∂∂φ

φ = ∫x y dx = xy + g(y,z) ............... (i)

yxy

+=∂∂φ

φ = ∫y (x + y) dy = xy + 21 y2 + h(x,z) ............... (ii)

5zz=

∂∂φ

φ = ∫z z5 dz = 61 z6 + k(x,y) ............... (iii)

(i) = (ii) xy + g(y,z) = xy + 21 y2 + h(x,z)

g(y,z) = 21 y2 + h(x,z)

(i) = (iii) xy + g(y,z) = 61 z6 + k(x,y)

82

k(x,y) = xy + g(y,z) -61 z6 = xy +

21 y2 + h(x,z) -

61 z6

(ii) = (iii) xy + 21 y2 + h(x,z) =

61 z6 + k(x,y)

k(x,y) = xy + 21 y2

h(x,z) = 61 z6

φ = xy +21 y2 +

61 z6

W = drFC∫ = φ

)0,0,1(

)1,1,0( = (xy +

21 y2 +

61 z6)

)0,0,1(

)1,1,0( = (0 + 0 + 0) - (0 +

21 +

61 )

= - 32

SOAL-SOAL :

1. Tentukan besarnya usaha W yang dilakukan oleh gaya F = yz i + xz j +

xy k untuk menggerakkan suatu partikel sepanjang garis lurus

dari P(1; 1,1; 1) ke Q(3; 3; 2).

Jawab : 17

2. Hitung drFC∫ , jika

F = 2xy i + (x2 + z) j + y k

C : lintasan x2 + y2 = 1 ; z = x dari (1,0,1) ke (0,1,0)

Jawab = 0

3. Hitung drFC∫ , jika

F = 3x2 e3y i + 3x3 e3y j - 3e-3z k

C : keliling ellips 25x2 + y2 = 25 ; z = 0 berlawanan arah dengan jarum

jam.

Jawab = 0

83

4.4. Integral Luasan / Integral Permukaan ( Surface Integrals)

A. Penyajian Persamaan Luasan / Permukaan

a. Penyajian Dalam Koordinat Kartesius

z = f(x,y) atau g(x,y,z) =

0

Misalnya :

z = 222 zyx ++ atau x2 + y2 + z2 - a2 = 0

x2 + y2 + z2 = a2

merupakan luasan dari bola dengan jari-jari a dan berpusat di titik

O(0,0,0).

z

a

a y

a

x

b. Penyajian dalam bentuk fungsi vektor

r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k , (u,v) ∈ RCONTOH :

1. Luasan berupa bidang segi empat 0 x a ; 0 y b ; z = c z

c x(u,v) = u ; 0 u a y(u,v) = v ; 0 v b z(u,v) = c b y r(u,v) = u i + v j + c k

a

2. Luasan berupa bidang 0 z (a-x) ; 0 x a ; y = c

84

z

a

x(u,v) = u ; 0 u a a-x y(u,v) = c y z(u,v) = v ; 0 v (a-u)

a c r(u,v) = u i + c j + v k

3. Luasan berupa bidang 1=++cz

by

ax

di oktan I

z

c

b x(u,v) = u ; 0 u a y y(u,v) = v ; 0 v

)/1( aub − a z(u,v) = c(1 - u/a - v/b)

r(u,v) = u i + v j + c(1-u/a-v/b) k

4. Luasan berupa bidang y2 z c2 ; 0 y c ; x = a

z c x(u,v) = a

y(u,v) = u ; 0 u c z(u,v) = v ; u2 v c2

z = c2 r(u,v) = a i + u j + v k

c y

a5. Luasan berupa bidang lingkaran y2 + z2 = a2 di x = c ;

z x(u,v) = c

y(u,v) = u cos v ; 0 u a

c y z(u,v) = u sin v ; 0 u 2

r(u,v) = c i + u cosv j + u sinv k

x

85

6. Luasan berupa silinder putar : x2 + y2 = a2 ; -c z c

x(u,v) = a cos u

y(u,v) = a sin u ; 0 u 2

z(u,v) = v ; -c v c

r(u,v) = a cos u i + a sin u j + v k

z c

a y a

x -c

7. Kerucut Putar : z = 22 yx +

z2 = x2 + y2 ; 0 z c

z c x(u,v) = u cos v

y(u,v) = u sin v ; 0 u c

z(u,v) = u ; 0 v 2

-c c y r(u,v) = u cos v i + u sin v j + u k

x

8. Luasan Bola : x2 + y2 + z2 = a2 ; di oktan I dan II a. z

P

u v y x P'

x(u,v) = a cos v cos u ; 0 u

86

y(u,v) = a cos v sin u ; 0 v /2

z(u,v) = a sin v

r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k

b. z

P v

u y

xx(u,v) = a cos u cos v ; 0 u

y(u,v) = a sin u sin v ; 0 v /2

z(u,v) = a cos u

r(u,v) = a cos u cos v i + a sin u sin v j + a cos u k

B. Bidang Singgung Dan Normal Luasan

Untuk menghitug Integral Garis digunakan vektor singgung dari lintasan C,

yaitu r'(t), sehingga integral garis bisa didefinisikan sebagai :

∫ ∫=C

b

a

dttrrFdrrF )(')()(

Secara sama , dalam menghitung Integral Luasan akan digunakan vektor

normal luasan, yang akan ditentukan dari bidang singgungnya. Bidang

singgung suatu luasan S di titik P di S yang dinotasikan dengan T(P),

adalah bidang yang memuat garis singgung di titik P dari semua kurva di

S yang melalui P.

Untuk menentukan bidang singgung T(P) dari suatu luasan S yang

dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(u,v), bisa diturunkan dari

kenyataan bahwa suatu kurva di S bisa dinyatakan dalam bentuk

pasangan fungsi-fungsi kontinu sebagai berikut :

u = u(t) dan v = v(t)

87

Fungsi-fungsi u(t) dan v(t) tersebut menyatakan kurva atau lintasan yang

terletak pada luasan S, sehingga u(t) dan v(t) akan memenuhi

persamaan r(u,v), yaitu :

r~ (t) = r[u(t),v(t)] persamaan kurva yang terletak pada luasan

S : r(u,v)

Misalnya :

Karena Helix putar r~ (t) = a cos t i + a sin t j + ct k terletak pada luasan

S yang berbentuk silinder dengan persamaan r(u,v) = a cos u i + a sin u j

+ v k .

maka kurva atau lintasan yang berbentuk helix putar tersebut bisa

dinyatakan dalam bentuk pasangan fungsi kontinu :

u = t v = ct

yang memenuhi persamaan r(u,v) dari silinder di atas.

Selanjutnya vektor singgung dari kurva r~ (t) = r[u(t),v(t)] bisa ditentukan

dengan dalil rantai :

r~ '(t) = dtdv

vr

dtdu

ur

dtdr

∂∂+

∂∂=

~~ = ru u' + rv v'

Dengan mengambil satu titik P pada luasan S, perhatikan semua kurva

pada S yang melalui P, yang masing-masing kurva tersebut bisa

dinyatakan dalam bentuk pasangan fungsi-fungsi kontinu u(t) dan v(t).

Selanjutnya dari semua kurva yang melalui P tersebut bisa ditentukan

vektor singgung atau r~ '(t) nya. Vektor-vektor singgung ini akan

membentuk satu bidang, yaitu bidang singgung T(P), asal ru dan rv ada

dan keduanya tidak tergantung secara linier (tidak segaris), sehingga :

N = ru x rv 0

yang berarti bahwa N ⊥ pada bidang singgung T(P), oleh karena itu N

merupakan Vektor Normal dari luasan / permukaan S di titik P.

88

n

ru T(P) rv

S

∴Vektor Normal satuan dari luasan S = n = vu

vu

xrrxrr

NN =

Jika S disajikan dalam persamaan g(x,y,z) = 0 maka : n = ggradggrad

.

.

CONTOH :

1. Tentukan vektor normal satuan dari luasan r(u,v) = (u+v) i + (u-v) j

Penyelesaian :

ru = ur∂∂

= i + j

rv = vr∂∂

= i - j

N = ru x rv = 011011

−

kji = i (0) - j (0) + k(-2) = -2 k

∴ n = kk −=−42

2. Tentukan vektor normal satuan dari ellipsoida putar

r(u,v) = cos v cos u i + cos v sin u j + 2 sin v k ; di sembarang titik.

Penyelesaian :

ru = ur∂∂

= - cos v sin u i + cos v cos u j

rv = ur∂∂

= - sin v cos u i - sin v sin u j + 2 cos v k

89

N = vuvuv

uvuvkji

cos2sinsincossin0coscossincos

−−−

= i (2cos2v cosu - 0) - j (-2cos2 v sinu - 0) + k (cosv sinv sin2u + cosv

sinv cos2u)

= 2cos2v cosu i + 2cos2v sinu j + cosv sinv k

| N| = vvuvuv 222424 sincossincos4coscos4 ++

= vvuuv 22224 sincos)sin(coscos4 ++

= vvv 224 sincoscos4 +

= cosv vv 22 sincos4 +

∴ n = ( 2cos2v cosu i + 2cos2v sinu j + cosv sinv k) / cosv

vv 22 sincos4 +

= (2cosv cosu i + 2cosv sinu j + sinv k) / vv 22 sincos4 +

3. Tentukan vektor normal satuan dari bola : x2 + y2 + z2 - a2 = 0

di titik P(x,y,z) sembarang.

Penyelesaian :

g = x2 + y2 + z2 - a2 = 0

grad g = ( kz

jy

ix ∂

∂+∂∂+

∂∂

) (x2 + y2 + z2 - a2) = 2x i + 2y j + 2z k

| grad g | = 222 444 zyx ++ = 2a

∴ n = a

zkyjxi2

222 ++ =

a1 (x i + y j + z k)

4. Tentukan vektor normal satuan dari kerucut putar :

f(x,y,z) = -z + 22 yx + = 0

90

Penyelesaian :

grad f = 22 yx

x+

i + 22 yx

y+

j - k

| grad f | = 122

2

22

2

++

++ yx

yyx

x = 122

22

+++

yxyx

= 2

∴ n = 2

1 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

++

+kj

yxyi

yxx

2222

C. Integral Luasan / Integral Permukaan

Diberikan persamaan luasan S :

r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j + z(u,v) k ; (u,v) ∈ R

dengan vektor normal luasan : N = ru x rv

dan vektor normal satuan : n = NN

Integral Luasan dari suatu fungsi vektor F = F(x,y,z) meliputi luasan S (over

S) didefinisikan sebagai berikut :

∫∫ ∫∫=S R

dudvvuNvurFdAnF ),()],([

Dengan : N(u,v) du dv = n |N| du dv ; karena n = NN

|N| = | ru x rv | = luas jajaran genjang (segi empat) yangdibentuk oleh ru dan rv

( dengan sisi ru dan rv )

Sehingga |N| du dv = elemen luas dA dari S

Jadi : n dA di S = n |N| du dv di R atau N dudv di R.

91

CONTOH :

1. Tentukan integral luasan dari F = y i + 2 j + 2z k , meliputi luasan S yang

berbentuk silinder parabolis y = x2 ; 0 x 2 ; 0 z 3.

Penyelesaian : z

3

4 y

2

x

Persamaan S dalam bentuk fungsi vektor : x(u,v) = u

y(u,v) = u2 ; 0 u 2

z(u,v) = v ; 0 v 3

S : r(u,v) = u i + u2 j + v k

ru = i + 2u j

rv = k

N = ru x rv = 100021 ukji

= 2u i - j

F[r(u,v)] = u2 i + 2 j + 2v k

F[r(u,v)] N(u,v) = (u2 i + 2 j + 2v k ) (2u i - j) = 2u3 - 2

∫∫ ∫∫=S R

dudvvuNvurFndAF ),()],([ = ∫ ∫ −3

0

2

0

3 )22( dudvu

= ∫∫ −−=−3

0

2

0

43

0

)048()242( dvdvuu = 4v

3

0 = 4.3 - 0 = 12

2. Tentukan integral luasan dari F = x2 i + 3y2 k ; meliputi luasan S yang

merupakan bidang dengan persamaan x = y + z = 1 pada oktan I.

92

Penyelesaian : z

Persamaan fungsi vektor : 1

x(u,v) = u ; 0 u 1

y(u,v) = v ; 0 v 1-u 1 y

z(u,v) = 1-u-v x 1

r(u,v) = u i + v j + (1-u-v) k

ru = i - k

rv = j - k

N = ru x rv = 110101−−

kji = i + j + k

F[r(u,v)] = u2 i + 3v2 j

F[r(u,v)] N(u,v) = (u2 i + 3v2 j ) ( i + j + k) = u2 + 3v2

∫∫ ∫∫=S R

dudvvuNvurFndAF ),()],([ = ∫ ∫−

+1

0

1

0

22 )3(u

dvduvu

=

duuuuduuuuduvvuu

])1([])1()1([)( 31

0

1

0

32321

0

321

0

−+−=−+−=+ ∫ ∫∫−

= 1

0

443 )1(41

41

31 uuu −−− =

31

41

41

31 =−−

Nilai dari integral luasan ini akan tergantung dari pemilihan vektor normal

satuan luasan integrasinya ( ingat, untuk vektor normal satuan, selain n

bisa juga dipilih -n). Sehingga integral luasan atau integral suatu fungsi

terhadap / meliputi luasan S yang berarah, bisa dilakukan dengan

memilih salah satu kemungkinan dari dari arah vektor normal satuannya.

Arah dari n = vu

vu

xrrxrr

dikatakan arah positif, sebaliknya -n disebut arah

negatif.

93

Jika kita mengubah arah dari S, yang berarti merubah n menjadi -n ,

maka setiap komponen dari n dikalikan dengan -1, sehingga hasil

integralnya juga akan berubah menjadi -1 kali integral semula.\

Integral luasan ini biasanya muncul dalam masalah-masalah aliran fluida

(flow problem).

Jika F(x,y,z) = (x,y,z) v(x,y,z) = v

dengan : = densitas massa fluida

v = vektor kecepatan aliran fluida

karena F n adalah komponen F dalam arah normalnya, maka :

∫∫S

dAnF = fluks massa fluida yang melintasi luasan S.

= besarnya massa fluida persatuan waktu yang melintasi

luasan S.

CONTOH :

Hitung besarnya fluks massa dari air yang mengalir melintasi silinder

parabolis S : z = x2 , 0 x 2 ; 3 y 5. Jika vektor kecepatan aliran air

tesebut adalah v = -xyz i - 3z2j - k ; besarnya laju (speed) dihitung dalam

meter perdetik dan densitas massa air = 1 kg/liter.

Penyelesaian :

Persamaan fungsi vektor dari S : x(u,v) = u ; 0 u 2

y(u,v) = v ; 3 v 5

z(u,v) = u2

r(u,v) = u i + v j + u2 k ru = i + 2u k ; rv = j

N = ru x rv = 010201 ukji

= (0-2u) - j (0) + k (1-0) = -2u i + k

F(x,y,z) = v = 1 (-xyz i - 3z2j - k) = -xyz i - 3z2j - k

F[r(u,v)] = -u3v i - 3u4 j - k

94

F[r(u,v)] N(u,v) = (-u3v i - 3u4 j - k ) (-2u i + k) = 2u4v -1

∫∫ ∫∫=S R

dudvvuNvurFndAF ),()],([ = ∫ ∫= =

−2

0

5

3

4 )12(u v

dvduvu

=

{ } duuduuuduvvu ]216[]3)9([]5)25([)(2

0

2

0

4445

3

242

0∫ ∫∫ −=−−−=−

= 2

0

5 )25

16( uu − = 4,9845

512 =−

v dalam meter/detik

dalam kg/liter = 1000 kg/m3

A dalam m2

Jadi besarnya fluks massa air di atas = (98,4 m/dt)(1000 kg/m3)(m2)

= 98.400 kg/detik.

D. Integral Meliputi Luasan Tak Berarah

a. Jika Integran merupakan Fungsi Skalar dan Luasan Integrasi

merupakan Fungsi Vektor.

Bentuk Integral Luasan :

∫∫ ∫∫=S R

dudvvuNvurGdArG ),()],([)(

G(r) = fungsi skalar

dA = |N| dudv = | ru x rv| dudv ; yaitu elemen luas dari luasan S

yang dinyatakan dalam persamaan r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k

dengan arah tidak diperhatikan.

Jika G(r) = 1 ; diperoleh :

A(S) = dudvrxrdA vA R

u∫∫ ∫∫=

yang merupakan luas permukaan dari luasan S.

95

b. Jika Integran merupakan Fungsi Skalar dan Luasan Integrasi S

merupakan Fungsi Skalar z = f(x,y).

Sehingga : x = u

y = v

z = f(u,v)

r(u,v) = u i + v j + f(u,v) k = [ u, v, f(u,v)]

ru = [1, 0, fu]

rv = [0, 1, fv]

N = [1, 0, fu] x [0, 1, fv] = [ - fu ; -fv ; 1]

|N| = | [ - fu ; -fv ; 1] | = 221 vu ff ++

Karena : fu = fx = xf∂∂

fv = fy = yf∂∂

, maka :

Dengan : R* =

proyeksi S ke

bidang XOY

Dan arah vektor normal N di S adalah arah positif.

Jika G(r) = 1 , maka :

dxdyyf

xfdASA

S R∫∫ ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛∂∂+==

*

22

1)(

S = proyeksi luasan S di bidang XOY

CONTOH :

1. Tentukan ∫∫S

dArG )( ; jika G(r) = x + 1

S : r(u,v) = cos u i + sin u j + v k ; 0 u 2 ; 0 v 3

dxdyyf

xfyxfyxGdArG

S R∫∫ ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛∂∂+=

*

22

1)],(,,[)(

96

Penyelesaian :

x(u,v) = cos u ; y(u,v) = sin u ; z(u,v) = v

G[r(u,v)] = cos u + 1

ru = -sin u i + cos u j

rv = k

N = ru x rv = 1000cossin uu

kji− = i (cos u) - j (-sin u) + k (0) = cos u i +

sin u j

|N| = uu 22 sincos + = 1

∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ===+=+=∴= =

3

0

3

0

3

0

2

0

3

0

2

0622)(sin)1(cos)( πππ

π πvdvdvuududvudArG

S v u

2. Tentukan ∫∫S

dArG )( ; jika G (r) = 1

S : persamaan bola dengan jari-jari a sebagai berikut

r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k ; 0 u 2 ;

-2π

v 2π

Penyelesaian :

ru = -a cos v sin u i + a cos v cos u j

rv = -a sin v cos u i - a sin v sin u j + a cos v k

N(u,v) = ru x rv = a2 cos2v cos u i + a2cos2v sin u j + a2 cos v sin v k

|N| = a2 vvuvuv 222424 sincossincoscoscos ++

= a2 vvv 224 sincoscos + = a2 v2cos = a2 cos v

Karena G(r) = 1, maka ∫∫S

dArG )( = A(S)

∴ A(S) = ∫ ∫∫ ∫− −−

==2/

2/

2/

2/

22

0

22/

2/

2

0

2 cos2coscosπ

π

π

π

ππ

π

π

π vdvadvvuadudvva

= 2 a2 sin v 2/

2/

π

π− = 2 a2 (1+1) = 4 a2

97

3. Tentukan momen inersia I dari lapisan bola yang homogen dengan

persamaan :

S : x2 + y2 + z2 = a2 ; massanya M, sepanjang sumbu z.

Penyelesaian :

Jika = densitas massa luasan bola (massa persatuan luas)

maka : I = dADS∫∫ 2μ

D = D(x,y,z) = jarak titik P(x,y,z) dipermukaan bola ke sumbu z.

Jadi D2 = x2 + y2

Luas permukaan bola A = 4 a2 = 24 aM

AM

π=

r(u,v) = a cos v cos u i + a cos v sin u j + a sin v k

x = a cos v cos u

y = a cos v sin u

z = a sin v

D2 = x2 + y2 = a2 cos2v cos2u + a2 cos2v sin2u = a2 cos2v

dA = |N| du dv = | ru x rv| dudv = a2 cos v du dv

dudvvaa

MdADIS

∫ ∫∫∫−

==∴2/

2/

2

0

342

2 cos4

π

π

π

πμ = dudvvM

∫ ∫−

2/

2/

2

0

3cos4

π

π

π

π

= ∫∫−−

==2/

2/

23

2/

2/

3

32cos

2cos2

4

π

π

π

π

ππ

MadvvMdvvM

4. Tentukan ∫∫S

dArG )( ; jika G (r) = x2 + y2

S : Kerucut putar z = 22 yx + ; x2 + y2 4

Penyelesaian :

z2 = x2 + y2

z2 4 -2 z 2

Untuk z = 2 x2 + y2 = 4

Jadi proyeksi luasan S di bidang XOY berupa lingkaran : x2 + y2 = 4

Batas Integrasi :

-2 x 2 ;

98

0 y 24 x−

Jika : x = u ; -2 u 2

y = v ; 0 v 24 u−

z = 22 vu +

r(u,v) = u i + v j + 22 vu + k

ru = i + 22 vu

u+

k

rv = j + 22 vu

v+

k

N = - 22 vu

u

+ i +

22 vuv

+ j + k

|N| = 122

2

22

2

++

++ vu

vvu

u = 2

G[r(u,v)] = u2 + v2

duvvudvduvudArGS u

u

v

u

∫∫ ∫ ∫ ∫−=

−

= −

−+=+=∴

2

2

4

0

2

2

4

0

32222 2

)31(22)()(

= ∫−

−+−2

2

222 ])4(314[2 2

3

duuuu

Misalkan :

u = 2 sin t ; u = -2 t = - /2

du = 2 cos t dt ; u = 2 t = /2

tdttttdArGS

cos2])cos4(31cos2.sin4[2)( 2/32

2/

2/

2∫∫∫−

+=π

π

= dtttt ]cos16.31cossin16[2 4

2/

2/

22∫−

+π

π

= dtttt )]4cos21

212cos21(

382sin4[2

2/

2/

2 ++++∫−

π

π

99

= dtttt )]4cos2cos43(68)2cos1(4[2

2/

2/

+++−∫−

π

π

= 2/

2/)]4sin

412sin23(

68)2sin

21(4[2

π

π−+++− ttttt

= { } { }])02

.3(68)0

2(4)0

2.3(

68)0

2(4[2 −−+−−−++− ππππ

= 28)]22

4(22

4[2 πππππ =−−−+

5. Contoh 4 di atas bisa juga dikerjakan dengan cara lain yaitu :

z = 22 yx + ; G = x2 + y2

Sehingga ,

dxdyyf

xfyxfyxGdArG

S R∫∫ ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛∂∂+=

*

22

1)],(,,[)(

fx = 22 yx

x+

fy = 22 yx

y+

yx ff ++1 = 2

dxdyyf

xfyxdArG

S R∫∫ ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛∂∂++=

*

2222 1)()(

= dxdyyxx

x

y∫ ∫−=

−

=

+2

2

4

0

22 2)(2

dan seterusnya.

4.5. Teorema Divergensi Gauss

Misalkan T adalah daerah yang terbatas dan tertutup dalam suatu

ruang yang dibatasi oleh luasan S yang berarah. Dan misalkan

F(x,y,z) adalah suatu fungsi vektor yang kontinu dan mempunyai derivatif

parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat T, maka :

100

∫∫∫ ∫∫=T S

dAFdVzyxdivF ),,(

n = vektor normal satuan dari luasan S dengan arah positif.

Jika F(x,y,z) = F1(x,y,z) i + F2(x,y,z) j + F3(x,y,z) k

n = cos i + cos j + cos k

maka,

∫∫∫ =T

dVzyxFdiv ),,( dxdydzzF

yF

xF

T∫∫∫ ⎥⎦

⎤∂∂

+∂∂

+⎢⎣⎡∂∂ 321

= [ ]dAFFFS∫∫ ++ γβα coscoscos 321

= [ ]∫∫ ++S

dxdyFdxdzFdydzF 321

CONTOH :

1. Tentukan ∫∫S

ndAF dengan menggunakan teorema divergensi

Gauss, jika

F = 7x i + - z k dan

S : x2 + y2 + z2 = 4 bola berjari-jari 2

Penyelesaian :

∫∫S

ndAF = ∫∫∫ =T

dVzyxdivF ),,( ∫∫∫ −T

dxdydz)17( = 6 ∫∫∫T

dxdydz

= 6 x volume bola berjari-jari 2 = 6 x 3)2(43π = 36

2. Tentukan ∫∫S

ndAF , jika F = xy2 i + y3j + 4x2z k

S : silinder x2 + y2 4 ; 0 z 5

Penyelesaian :

div F = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂ k

zj

yi

x xy2 i + y3j + 4x2z k = y2+ 3y2+ 4x2 = 4x2+ 4y2

= 4(x2+ y2)

101

∫∫S

dAnF =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫= −=

−

= −⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−=+

5

0

2

2

4

0

5

0

2

2

2/322222

2

)4(3144)(4

z x

x

y

dxdzxxxdydxdzyx

Misalkan :

x = 2 sin t ; x = -2 t = - /2

dx = 2 cos t dt ; x = 2 t = /2

∫∫S

ndAF = 4 tdtdzttt cos2)cos8.31cos2.sin4( 3

5

0

2/

2/

2∫ ∫−

+π

π

= 4 dtdztt )cos3

162sin4( 45

0

2/

2/

2∫ ∫−

+π

π

= 4 [ ]dztdttt )4cos21

212cos21(

38)2cos1(4[

5

0

2/

2/

++++−∫ ∫−

π

π

= 4 ∫ =5

0

328 ππdz z5

0 = 160

3. Hitung ∫∫S

dAnF ; jika F = 2xy2 i + x cos z j - yz k

dan S : luasan yang membentuk volume tertutup yang dibatasi oleh

luasan z = 1-x ; 0 y 2 ; di oktan I seperti dalam

gambar berikut :

z

1

1-x

2 y

1

Penyelesaian :

div F = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂+

∂∂ k

zj

yi

x2xy i + x cos z j - yz k = 2y + 0 -y = y

Batas Volume T : x = 0 x = 1

y = 0 y = 2

102

z = 0 z = 1-x

∫∫S

dAnF =

dxxdxyxdydxxydzdydxyx y

x

z

)4)(1(21)1()1(

1

0

2

0

21

0

2

0

1

0

1

0

1

021

2

0∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ −=−=−=

= =

−

=

= 2 ( )211

0

221 =− xx

4. Model Aliran Panas (Flow Problem)

Aliran panas yang terjadi pada suatu benda akan mengalir ke arah

menurunnya temperatur/suhu (dari temperatur tinggi menuju temperatur

rendah ).dari percobaan fisika ditunjukkan bahwa laju aliran panas akan

proporsional dengan gradien dari temperaturnya. Hal ini berarti

bahwa kecepatan aliran panas V dalam suatu benda atau penghantar

bisa dinyatakan dalam persamaan :

V = - grad U(x,y,z,t)

dengan :

U(x,y,z,t) = temperatur

t = waktu

= konstanta konduktivitas thermal dari benda /

penghantar

Berdasarkan informasi ini akan diturunkan model matematis untuk

aliran panas, yang disebut dengan persamaan panas (heat equation).

Penyelesaian :

Misalkan T adalah suatu daerah dalam penghantar / benda tersebut.

S adalah batas luasan dari daerah T

(i). Banyaknya panas yang melalui atau meninggalkan T persatuan

waktu adalah : ∫∫S

dAnV

dengan V n = komponen dari V dalam arah positif dari n.

∫∫S

dAnV = ∫∫∫ Κ−T

dxdydzgradUdiv )( = - ∫∫∫∇T

dxdydzU2

103

dengan zzyyxx UUUU ++=∇2

(ii). Total panas dalam T :

H = ∫∫∫T

dxdydzUαρ

dengan : = konstanta panas spesifik dari material pembentuk

benda / penghantar

tersebut.

= densitas massa (massa persatuan volume) dari

material.

Laju penurunan panas dari H :

- dxdydztU

tH

T∫∫∫ ∂

∂−=∂∂ αρ

Besarnya laju penurunan panas = banyaknya panas yang

meninggalkan T persatuan waktu

Sehingga,

∫∫∫∫∫∫ ∇Κ−=∂∂

TT

dxdydzUdxdydztU 2αρ

( ) 02 =∇Κ−∂∂

∫∫∫ dxdydzUtU

T

ρα

Karena persamaan ini harus dipenuhi untuk sembarang daerah T,

maka integrand dari bentuk terakhir tersebut harus = 0.

Jadi,

02 =∇Κ−∂∂ U

tUαρ

UtU 2∇Κ=∂∂αρ

UtU 2∇Κ=∂∂

αρ≈

dengan : c2 = αρΚ

UctU 22∇=∂∂

104

Jika aliran panas tersebut tidak tergantung pada t ( aliran steady state

), maka : 0=∂∂

tU

sehingga persamaan panas menjadi :

disebut persamaan Laplace

SOAL-SOAL :

1. Hitung ∫∫S

ndAF ; jika F = x i + 2y2 j - xz k

S : Luasan yang membatasi volume tertutup yang berupa 1/4 bagiansilinder y2 + z2 = 4 ; 0 z 3 sebagai berikut ,

2. Hitung ∫∫S

ndAF ; jika F = xy i - y j + 2z k

S : Luasan yang membentuk volume tertutup yang dibatasi luasan z =1-x2 ; 0 z 3 sebagai berikut ,

3. Hitung ∫∫S

ndAF ; jika F = xz i - sin2y j + sin 2y k

02 =∇ U

105

S : Luasan yang membatasi volume tertutup berupa 1/4 bola dioktan I

4.6. Teorema Stokes Transformasi antara Integral Luasan dengan Integral Garis

Misalkan S adalah luasan berarah dalam ruang dan batas-batas dari S

adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan F = F(x,y,z) adalah fungsi

vektor kontinu yang mempu- nyai derivatif parsial pertama yang

kontinu dalam domain yang memuat S, maka :

[ ]∫ ∫∫=C S

dAnCurlFdSsrF )('

dengan :

n = vektor normal satuan dari S

Arah dari kurva C mengikuti arah dari n, sebagai berikut :

n

C

C n

n positif arah C berlawanan arah dengan jarum jam

n negatif arah C searah dengan arah jarum jam.

r' = dsdr

= vektor singgung satuan dari lintasan C

s = panjang busur C

Dari ∫∫ ∫∫=S R

dudvNFdAnF ; jika F digantikan dengan Curl F

dan

N = N1 i + N2 j + N3 k = ru x rv

maka,

∫∫ ∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

∂∂

−∂∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂−

∂∂

=S R

dudvNyF

xF

NxF

zF

Nz

FyF

dAnCurlF 312

231

123

106

= [ ]∫ ++C

dzFdyFdxF 321

R adalah proyeksi luasan S di bidang XOY yang dibatasi oleh kurva C .

Catatan :

Teorema Green dalam bidang (R2) merupakan kasus khusus dari

Teorema Stokes, jika F = F1 i + F2 j

Curl F n = Curl F k = yF

xF

∂∂−

∂∂ 12

Sehingga teorema Stokes menjadi : [ ]∫∫∫ +=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

dyFdxFdAyF

xF

S21

12

= ∫C

drF

CONTOH :

1. Tentukan ∫C

drF , jika F = y i + xz3 j - xy3 k

C : lingkaran x2 + y2 = 4 di bidang z = -3

Penyelesaian :

Karena kurva C yang membatasi S terletak pada bidang z = -3 ,

berarti sejajar dengan bidang XOY, maka n = k

Sehingga ,

Curl F =

33 zyxzyzyx

kji

−∂∂

∂∂

∂∂ = i (-3zy2 -3xz2) - j(0) + k(z3 -1)

Curl F n = Curl F k = z3 - 1 3−=z = -27 - 1 = -28

∫C

drF = ∫∫−S

dxdy28 = -28 ∫∫S

dxdy = -28 x luas lingkaran x2 + y2 = 4

= -28 x 22 = -112

107

2. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F = 2xy3 sin z i + 3x2y2 sinz j +

x2y3cosz k

dalam perpindahannya seputar kurva perpotongan antara

paraboloida z = x2 + y2 dan silinder (x-1)2 + y2 = 1.

Penyelesaian :

Usaha = ∫C

drF = [ ]∫ ∫∫=C S

ndACurlFdSsrF )('

Curl F =

zyxzyxzyxzyx

kji

cossin3cos2 222222

∂∂

∂∂

∂∂

= i(3x2y2cosz - 3x2y2cosz) - j(2xy3cosz - 2xy3cosz) + k(6xy2sinz -

6xy2sinz)

= 0

∴W = ∫∫ =S

dAn 00

3. Tentukan ∫C

drF , jika F = (2xz3 + 6y) i + (6x - 6yz) j + (3x2z2 + y2) k

C : Lintasan yang membatasi bidang x + y + z = 1 di oktan I.

Penyelesaian :

Curl F =

2223 32662 yzxyzxyxzzyx

kji

+−+∂∂

∂∂

∂∂

= i(2y+2y) - j(6xz2-6xz2) +

k(6-6)

= 4y i

Persamaan fungsi vektor luasan x + y + z = 1 ,

x(u,v) = u ; 0 u 1

y(u,v) = v ; 0 v 1-u

108

z(u,v) = 1-u-v

r(u,v) = u i + v j + (1-u-v) k

ru = i - k

rv = j - k

N = ru x rv = 110101

−−kji

= i + j + k

Curl F[r(u,v)] = 4v i

F[r(u,v)] N(u,v) = 4v

∫∫ ∫∫=S R

dudvvuNvurFCurldAnCurlF ),()],([ = ∫ ∫−1

0

1

0

)4(u

dvduv

=

1

0

321

0

1

0

221

0

21

0

]31[2]21[2)1(2)2( uuuduuuduuduv

u+−=+−=−= ∫ ∫∫

−

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

31112 =

32

SOAL-SOAL :

1. Hitung ∫C drF ; jika F = 2x i + z j - y k

C : lintasan tertutup yang terdiri dari garis lurus dari (4,0,0) ke (4,2,0)

dilanjutkan kurva z = 4 - y2 dari (4,2,0) ke (4,0,4) dilanjutkan ke garis

lurus dari (4,0,4) ke (4,0,0) seperti yang digambarkan sebagai berikut ,

z

4

2 y

4

2. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F = x i - z j + 2y k dalam

perpindahannya se- pan jang lintasan yang terdiri dari segmen-

109

segmen lintasan lurus dari titik (0,0,0) ke titik (0,1,0) dilanjutkan ke

lintasan x2 + y2 = 1 dari (0,1,0) ke (1,0,0) dilanjutkan dengan lintasan

lurus ke titik (0,0,0)

3. Hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F = xy i + y j + 2z k yang

bekerja sepanjang lintasan tertutup dari titik A(0,0,0) ke titik

B(0,0,1) dilanjutkan ke titik C(1,0,1) kemudian ke titik D(1,0,0)

kembali ke titik A(0,0,0).

4. Hitung ∫C drF ; jika F = y i + (x+z) j + y k

dan C : adalah lintasan tertutup berupa lingkaran x2 + z2 = 4 di y = 3

110

DDAAFFTTAARR IISSIIKKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARR ii

DDAAFFTTAARR IISSII iiii

BBAABB II :: VVEEKKTTOORR KKOONNSSTTAANN 111.1 Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor 1

1.2 Aljabar Vektor 2

1.3 Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang 4

1.4 Perkalian Antar Vektor 10

1.5 Penggunaan Vektor Dalam Geometri 20

BBAABB IIII :: FFUUNNGGSSII VVEEKKTTOORR 22882.1 Fungsi Vektor 28

2.2 Kurva Vektor 29

BBAABB IIIIII :: DDIIFFEERREENNSSIIAALL VVEEKKTTOORR 33443.1 Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor 34

3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor 35

3.3 Gradien, Difergensi dan Curl 38

3.4 Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl 41

BBAABB IIVV :: IINNTTEEGGRRAALL VVEEKKTTOORR 55664.1 Integral Garis 56

4.2 Teorema Green 69

4.3 Medan Gaya Konservatif 76

4.4 Integral Luasan 84

4.5 Teorema Divergensi Gauss 100

4.6 Teorema Stokes 106

DDAAFFTTAARR PPUUSSTTAAKKAA 111111

111