blogardliyan.files.wordpress.com€¦ · ii DAFTAR ISI DAFTAR...

Click here to load reader

  • date post

    25-Sep-2020
  • Category

    Documents

  • view

    16
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of blogardliyan.files.wordpress.com€¦ · ii DAFTAR ISI DAFTAR...

  • i

    BAHAN AJAR

    KALKULUS 2

    Disusun Oleh: Drs. Moch. Chotim, MS.

    Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc

    JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

    UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011

  • ii

    DAFTAR ISI

    DAFTAR ISI ............................................................................................................ ii BAB I. ANTI TURUNAN ...................................................................................... 1

    I.1 Turunan ......................................................................................................... 1 I.2 Antiturunan ................................................................................................... 6 I.3 Evaluasi ....................................................................................................... 20

    BAB II. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN ................................... 21 II.1 Notasi Sigma ............................................................................................ 21 II.2 Induksi Matematika .................................................................................. 24 II.3 Jumlah Riemann ....................................................................................... 25 II.4 Integral Tertentu ....................................................................................... 29 II.5 Teorema-teorema Integral Tertentu .......................................................... 32 II.6 Pendiferensialan Integral Tertentu terhadap Batas Atasnya ....................... 38 II.7 Evaluasi ................................................................................................... 44

    BAB III. PENGGUNAAN INTEGRAL .............................................................. 46 III.1 Luas Daerah Bidang Datar........................................................................ 46 III.2 Volume Benda Putar ................................................................................ 46

    BAB IV. FUNGSI LOGARITMA, FUNGSI EKSPONEN, DAN FUNGSI HIPERBOLIK ........................................................................................................ 49

    IV.1 FUNGSI LOGARITMA ........................................................................... 49 IV.2 Bilangan e ................................................................................................ 54 IV.3 Logaritma Asli Sebagai Anti Turunan ...................................................... 55 IV.4 Fungsi Eksponen Asli ............................................................................... 59 IV.5 Hampiran Nilai bilangan e ........................................................................ 65 IV.6 Fungsi Eksponen dan Logaritma Untuk Bilangan Pokok Yang Lain ......... 67

    BAB V. TEKNIK INTEGRAL .............................................................................. 68 V.1 Teknik Substitusi ...................................................................................... 68 V.2 Integral Fungsi Trigonometri .................................................................... 73 V.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri ..................................................... 84 V.4 Integral Parsial ......................................................................................... 95 V.5 Integral Fungsi Rasional. .......................................................................... 99 V.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x ......................... 112

    DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 117

  • 1

    BAB I. ANTI TURUNAN

    I.1 Turunan

    Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari pengertian tentang

    fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi

    yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk = ( ), sedangkan

    fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam

    bentuk ( , ) = 0.

    Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.

    1. = 2 − √2− 3

    2. = 3 − 4 + 3

    3. = √

    4. + − 25 = 0

    5. + − 2 = 0

    6. − 2 + − 5 = 0

    Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan

    contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk

    eksplisit dapat diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua

    fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit.

    Perhatikan contoh 5 di atas. Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan

    turunannya.

    Tulis ( + )x = . Jelas ∆ = –

    Karena 0x maka xt

    Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain

    Definisi I-1

    Turunan fungsi = ( ) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan ’( ) dan

    didefinisikan oleh f’(x) = x

    xfxxfx

    )()(lim0

    , asalkan limitnya ada.

  • 2

    ’( ) = xt

    xftfxt

    )()(lim , asalkan limitnya ada.

    Notasi lain untuk turunan = ( ) dinyatakan dengan )(, xfDdxdy

    x , dxxdf )( .

    Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka

    turunannya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial yaitu dengan

    cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini

    diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.

    Contoh I-1

    Berikut cara mencari dxdy dari beberapa fungsi yang diberikan.

    1. Dipunyai = x + .

    Berdasarkan definisi di atas diperoleh

    x

    xfxxfdxdy

    x

    )()(lim0

    = x

    xxxx

    0

    lim

    = x

    xxxx

    0

    lim . xxxxxx

    = 0

    limx }{

    )()(xxxx

    xxx

    = xxxxx

    x

    0lim

    = xxxx

    1lim0

    = x2

    1

    2. Dipunyai y = )1(

    3x .

    Berdasarkan definisi di atas diperoleh

    x

    xfxxfdxdy

    x

    )()(lim0

  • 3

    = x

    xxxx

    13

    )1(3

    lim0

    = )}1)(1{()1(3)1(3lim

    0 xxxxxxx

    x

    = )1)(11(

    3lim0 xxx

    = 2)1(3x

    Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh

    di atas disebut fungsi yang differensiabel (dapat diturunkan).

    Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:

    xxfxxf

    dxdy

    x

    )()(lim0

    = x

    xxxLimnn

    x

    )(0

    =x

    xxxxnnnxxnnxnxx nnnnnn

    x

    )(...)(!3

    )2)(1()(!2

    )1(

    lim

    33221

    0

    = x

    xxxnnnxxnnxnx nnnn

    x

    )(....)(!3

    )2)(1()(!2

    )1(

    lim

    33221

    0

    = ])(....)(!3

    )2)(1()(!2

    )1([lim 123210

    nnnn

    xxxxnnnxxnnnx

    = nx 1n

    3. Dipunyai x 02522 y

    Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:

    d(x )2 + d(y )2 - d(25) = d(0)

    022 ydyxdx

    x + y dxdy = 0

    yx

    dxdy

  • 4

    4. Tentukan dxdy dari x2y + xy2 – 2 = 0.

    Penyelesaian:

    Jelas d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0)

    (x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0

    (2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0

    dxdy = - 2

    2

    22

    xxyyxy

    Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) adalah fungsi yang

    masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real, maka dengan

    menggunakan definisi turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan

    fungsi sebagai berikut.

    1. dxd (c) = 0

    2. dxd (x) = 1

    3. dxd (xn) = nxn1

    4. dxd (un) = nun1

    dxd (u)

    5. dxd ( u + v) =

    dxd (u) +

    dxd (v)

    6. dxd (u – v) =

    dxd (u)

    dxd (v)

    7. dxd ( u v w ... ) =

    dxd (u)

    dxd (v)

    dxd (w) ...

    8. dxd (cu) = c

    dxd (u)

    9. dxd (uv) = u

    dxd (v) + v

    dxd (u)

    10. dxd (uvw) = uv

    dxd (w) + uw

    dxd (v) + vw

    dxd (u)

  • 5

    11. dxd (

    vu ) = 2v

    dxdvu

    dxduv

    Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

    Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan

    dxdy =

    xxfxxf

    x

    )()(lim0

    , dapat ditunjukkan beberapa turunan fungsi geometri di

    bawah ini.

    y = cos x, maka

    dxdy =

    xxfxxf

    x

    )()(lim0

    = x

    xxxx

    cos)cos(lim0

    = x

    xxxxxx

    x

    2)(sin

    2)(sin2

    lim0

    = 2

    sin2

    )2sin(2lim0

    xx

    xxx

    = -sin x.

    Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:

    1. dxd (sinx) = cos x

    2. dxd (cos x) = -sin x

    3. dxd (tan x) = sec2x

    4. dxd (cot x) = -csc2x

    5. dxd (sec x) = sec x tan x

    6. dxd (csc x) = -csc x cot x

  • 6

    I.2 Antiturunan

    Antiturunan merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya

    harus dikaitkan dengan turunan fungsi.

    Menurut definisi turunan, jika y = x maka xdx

    dy2

    1 .

    Dengan cara yang sama, diperoleh

    1. Jika y = x +3 maka xdx

    dy2

    1 .

    2. Jika y = x - 3 maka xdx

    dy2

    1 .

    3. Jika y = x - 100 maka xdx

    dy2

    1

    4. Jika y = x + 71 maka

    xdxdy

    21

    , dan seterusnya.

    Dengan kata lain, untuk y = x + C, C R maka xdx

    dy2

    1 .

    Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di atas

    dapat disederhanakan dengan √

    = √ + .

    Hal ini berarti bahwa fungsi y = Cx , dengan C R mempunyai turunan

    xdxdy

    21

    atau antiturunan dari f(x) =

    x21 adalah F(x) = x + C, C R .

    Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable

    (terintegralkan).

    Definisi antiturunan diberikan di bawah ini.

    Dalam hal yang lebih umum, bentuk √

    = √ + dinyatakan dengan

    ∫√

    = √ + .

    Definisi I-2

    Dipunyai : ⟶ dan : ⟶ .

    Jika ( ) = ( ) untuk setiap maka. F disebut suatu anti turunan f pada selang I.

    Jika merupakan suatu titik ujung dari I maka ,( ) hanya perlu turuanan satu sisi.

  • 7

    Jadi, Jika y = f(x) mempunyai antiturunan F(x) + C, maka

    ∫ ( ) = ( ) + , .

    Bentuk ∫ ( ) = ( ) + , f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti

    turunan.

    Bukti:

    Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk

    f(x) dx = F(x) + C, C Real. Kita cukup menunjukkan bahwa )(])([ xfCxFDx

    Dalam kasus di atas rrr

    x xxnrC

    rxD

    )1(1

    11

    1

    Kelinearan integral diberikan oleh teorema berikut.

    Bukti:

    Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan

    dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.

    1. [ ∫ ( ) ] = [∫ ( ) ] = ( )

    Teorema I-5

    Dipunyai f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai turunan dan K suatu konstanta. Untu

    f dan g berlaku aturan di bawah ini.

    1. dxxKf )( = K dxxf )( ,

    2. dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ,

    3. dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ,

    Teorema I-4

    ∫ sin = − cos + dan ∫ cos = sin +

    Teorema I-3

    Jika r sebarang bilangan rasional kecuali 1, maka

    Crxdxx

    rr

    1

    1

    .

  • 8

    2. [ ∫ ( ) ∫ ( ) ] = [∫ ( ) ] + [∫ ( ) ] = ( ) + ( )

    3. [ ∫ ( ) ∫ ( ) ] = [∫ ( ) ] [∫ ( ) ] = ( )− ( )

    Contoh I-2

    Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas.

    1. dxxx 2 Penyelesaian:

    Jelas dxxx 2 = xdxdxx 2

    = 22

    13

    21

    31 CxCx

    = Cxx 2321

    31

    2. dxx

    x22 1

    Penyelesaian:

    Jelas dxx

    x22 1

    = dxxxx

    12 24

    = dxxdxxxdx

    xx 12 24

    = dxxdxxdxx 2/12/32/7 2

    3. dxx

    xx

    3

    2)1(

    Penyelesaian:

    Jelas dxx

    xx

    3

    2)1(=

    3

    2 )12(x

    xxxdx

    = dxx

    xdxx

    xdxx

    x 33

    2

    3

    3

    2

    = dxxdxxdxx 3/23/53/8 2

    = Cxxx 3/53/83/1153

    43

    113 .

  • 9

    Contoh I-3

    1. Hitunglah . .1144 2 dxxx Penyelesaian:

    Jelas )114( 2 xd = 8x dx.

    Jadi dxxx 1143 2 = 11421 2x d(8x)

    = Cx 2/3

    )114(21 2/32

    = 2/32 )114(31

    x + C.

    2. Hitunglah .52

    32

    dyy

    y

    Penyelesaian:

    Jelas d(2y )52 = 4y dy.

    Jadi

    dyy

    y52

    32

    = ydyy 3)52( 2/12

    = ydyy 443)52( 2/12

    = ydyy 4.)52(43 2/12

    = Cy 2/1

    )52(.43 2/12

    = Cy 5223 2 .

    Teorema I-6

    Diberikan f fungsi yang differensiabel dan n bilangan rasional dengan n ≠ 1, maka:

    ,1

    )()(')(1

    Crxfdxxfxf

    rr C Real.

  • 10

    3. Hitunglah .)26sin(3 dxx Penyelesaian:

    Tulis U = 6x + 2.

    Jelas dU = 6 dx atau 3 dx = 2

    dU .

    Jadi dxx )26sin(3 = 2sindUU

    = CU )cos(21

    = .)26cos(21 Cx

    4. Hitunglah .sincos1 xdxx Penyelesaian:

    Tulis A = .cos1 x

    Jelas A xcos12 dan 2A dA = (-sin x) dx.

    xdxx sincos1 = dAAA )2.(

    = -2 dAA2

    = CA 332

    = .)cos1(32 3 CA

    Contoh I-4

    Tentukan: (a) dxxx ).cos2( dan (b) dxx ).12( . Penyelesaian:

    (a) Jelas dxxdxxdxxx .cos.2).cos2(

    = )(sin)( 212 CxCx

    = )(sin 212 CCxx

    = Cxx sin2 .

    (b) Jelas dxdxxdxx .2).12( = Cxx 2 .

  • 11

    Teorema berikut diperlukan untuk menentukan integral tak tentu fungsi-

    fungsi komposisi yang juga dikenal dengan teorema penggantian.

    Bukti:

    Dipunyai IRg .

    Jadi )]([)]([' xgfxgF )]([)]([)]]([[

    xgfxgdxgFd

    .

    Jadi CxgFxgdxgf )]([)]([)].([

    CxgFdxxgxgf )]([).(')].([ .

    Contoh I-5

    Tentukan: (a) dxx.2cos.2 , dxx .)5(10 9 , dan (c) dxxxx ).23()62( 263 . (a) Strategi:

    (1) Ingat rumus:

    Cxdxx sin.cos . (2) Jika x diganti 2x, diperoleh:

    Cxxdx 2sin)2(.2cos .

    Penyelesaian:

    Jelas dxx.2cos.2

    = )2(.2cos xdx = Cx 2sin .

    (b) Strategi: (1) Ingat rumus:

    .10

    .10

    9 Cxdxx

    (2) Jika x diganti (x+5), diperoleh

    (3) .10

    )5()5(.)5(10

    9 Cxxdx

    Penyelesaian:

    Jelas dxx .)5(10 9

    = dxx 9)5(10

    = )5()5(10 9 xdx

    = Cx 10

    )5(.1010

    = Cx 10)5( .

    Teorema I-7 (Penggantian)

    Dipunyai )(xgy mempunyai turunan pada gD dan IRg dengan I adalah suatu

    selang. Jika )(xfy terdefinisi pada selang I sehingga )()(' xfxF , maka

    CxgFdxxgxgf )]([).(')].([ .

  • 12

    (c) Strategi: (1) Ingat rumus:

    Cxdxx7

    .7

    6 .

    (2) Jika x diganti 623 xx ,

    Diperoleh:

    )62()62( 363 xxdxx

    = Cxx 7

    )62( 73.

    (3) Jelas dxxxxd ).23()62( 23

    Penyelesaian:

    Jelas dxxxx ).23()62( 263

    = )62()62( 363 xxdxx

    = Cxx 7

    )62( 73.

    Bukti:

    Dipunyai dUVdVUVUd ..).( .

    Jadi )..().( dUVdVUVUd

    dUVdVUVU ...

    dUVVUdVU ... .

    Teorema ini efektif apabila dVU . sulit dicari, akan tetapi dUV . dengan mudah dapat ditentukan.

    Contoh I-6

    Tentukan: (a) dxxx .cos. dan (b) ..sin.2 dxxx

    Teorema I-8 (Integral Parsial)

    Jika )(xUU dan )(xVV adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka I, maka dUVVUdVU ... .

  • 13

    (a) Strategi:

    (1) Ubah dxxx .cos. menjadi

    )(sin. xdx (2) Tulis )(xUx dan )(sin xVx .

    (3) Gunakan Teorema 7.

    Penyelesaian:

    Jelas dxxx .cos.

    = )(sin. xdx

    = dxxxx .sinsin. = Cxxx cossin.

    (b) Strategi

    (1) Ubah dxxx .sin.2 menjadi

    )(cos.2 xdx .

    (2) Tulis )(2 xUx dan

    )(cos xVx .

    (3) Gunakan Teorema 7.

    (4) Ubah dxxx .cos. menjadi

    )(sin. xdx (5) Gunakan sekali lagi Teorema 7

    Penyelesaian:

    Jelas dxxx .sin.2

    = )(cos.2 xdx

    = )](.coscos.[ 22 xdxxx

    = dxxxxx .cos.2cos.2

    = )(sin.2cos.2 xdxxx

    = ).sinsin.(2cos.2 dxxxxxx

    = Cxxxxx cos2sin.2cos.2 .

    Berikut ini disenarai beberapa rumus teknis yang diperoleh berdasarkan

    pengalaman.

    No Rumus Teknis No Rumus Teknis

    1 Cxdx 9 Cxdxxx csc.cot.csc 2 C

    xdxx2

    .2

    10

    Cxx

    dx

    12 sin1

    = Cx 1cos

    3 C

    nxdxx

    nn

    1.1

    11

    Cxx

    dx

    12 tan1

    = Cx 1cot

    4 Cxdxx cos.sin 12 Cxxxdx

    12 sec1

    = Cx 1csc

  • 14

    5 Cxdxx sin.cos 13 CaU

    Ua

    dU

    122 sin

    = CaU

    1cos

    6 Cxdxx tan.sec 2 14 CaU

    aUadU

    122 tan1

    = CaU

    a 1cot1

    7 Cxdxx cot.csc 2 15

    CaU

    aUU

    dU 12

    sec1

    1

    = CaU

    a 1csc1

    8 Cxdxxx sec.tan.sec

    Contoh I-7

    Tentukan:

    (a) dxx.21 (b) dxxx .21 (c) 12.2xdxx (d) dxx.sin 3

    (e) dxx.sin 4 (f) dxx.sin (g) xdxx

    cos1.sin (h) dxx.tan 4

    (i) xxdx

    ).1( (j) 522 xx

    dx (k) 24 xx

    dx (l) 22

    .

    xx

    dxx

    Strategi:

    (1) Ingat rumus Cxdxx 23

    23

    21

    . .

    (2) Jika x diganti (1-2x), diperoleh:

    (3) Cxxdx 23

    23

    21 )21(

    )21(.)21(

    (4) Ingat bahwa dxxd 2)21(

    Penyelesaian:

    (a) Jelas dxx.21

    = dxx 21

    )21(

    = )21(.)21(21

    21

    xdx

    = Cx

    23

    23

    )21(.

    21

    = Cxx 3

    21)21( .

  • 15

    Strategi:

    (1) Ubah dxxx .21 menjadi bentuk yang ada seperti pada contoh (a).

    Penyelesaian:

    (b) Jelas dxxx .21

    = dxxx .)21)].21(1[21

    = dxxdxx .)21(21.)21

    21

    23

    = dxx .)2121 dxx .)21(4

    123

    = 6

    21)21( xxCxx

    1021)21( 2

    (c) Penyelesaian:

    Jelas 12.2xdxx =

    dxxx .)12(2 2

    1

    =

    dxxx .)12].(1)12[( 21

    =

    dxxdxx .)12(.)12( 21

    21

    =

    )12(.)12(21)12(.)12(

    21 2

    121

    xdxxdx

    = Cxxx 123

    12)12( .

    Strategi:

    (1) Ingat dxxxd .sin)(cos

    (2) Ingat Cxdxx3

    .3

    2

    (3) Jika x diganti cos x diperoleh:

    Cxxdx

    3cos)(cos.cos

    32 .

    Penyelesaian:

    (d) Jelas dxx.sin 3

    = dxxx .sin.sin 2

    = )(cos).cos1( 2 xdx

    = )(cos.cos)(cos 2 xdxxd

    = Cxx 3

    coscos3

    .

  • 16

    Strategi:

    (1) Ingat rumus

    2sin = 22 sincos

    = 2sin21 = 1cos2 2 .

    Penyelesaian:

    (e) Jelas dxx.sin 4

    = dxx .)(sin 22 =

    dxx

    2

    22cos1

    = dxxdxxdx .cos41.2cos

    21

    41 2

    = )2(2cos41

    4xxdx

    dxx .2

    4cos141 2

    = dxxx

    81

    42sin

    4

    )4(.4cos321 xdx

    = Cxdxxx

    324sin

    81

    42sin

    4

    = Cxxx

    324sin

    42sin

    83 .

    Strategi:

    (1) Tulis yx

    (2) Jelas x

    dxdy2

    (3) Jadi dxx.sin

    = dyyy .sin.2

    = )(cos. ydy . (4) Selanjutnya gunakan integral parsial,

    yaitu: dUVUVUdV .

    Penyelesaian:

    (f) Jelas dxx.sin

    = )(cos. ydyt

    = dyyyy .coscos. = Cyyy sincos.

    = Cxxx sincos. .

  • 17

    Strategi:

    (1) Ingat dxxxd .sin)cos1(

    (2) Ingat

    Cxdxx 21

    21

    .2

    (3) Jika x diganti xcos1 , diperoleh:

    )cos1(.)cos1( 21

    xdx

    = Cx 21

    )cos1(2

    Penyelesaian:

    (g) Jelas xdxx

    cos1.sin

    =

    )cos1()cos1( 21

    xdx

    = Cx 21

    )cos1(2

    = Cx cos12 .

    Strategi:

    (1) Ingat rumus:

    ,tan1sec 22 xx

    dxxxd .sec)(tan 2 ,

    Cxdxx3

    .3

    2 , dan

    Cxdxx tan.sec 2 .

    Penyelesaian:

    (h) Jelas dxx.tan 4

    = dxxx .tan.tan 22

    = dxxx ).1.(sectan 22

    = dxxdxxx .tan.sec.tan 222

    = dxxxdx ).1(sec)(tan.tan 22

    = dxdxxx .sec

    3tan 23

    = Cxxx tan3

    tan3 .

    Strategi:

    (1) Tulis yx .

    (2) Jelas x

    dxdy2

    .

    Penyelesaian:

    (i) Jelas xxdx

    ).1(

    = 212 ydy

    = Cy 1tan.2

    = Cx 1tan.2 .

  • 18

    Strategi:

    (1) Tulis 522 xx menjadi

    4)1( 2 x

    (2) Ingat rumus:

    Cx

    xdx 12 tan1

    (3) Jika x diganti 2

    1x , diperoleh:

    Cxx

    xd

    21tan

    12

    12

    11

    2

    Penyelesaian:

    (j) Jelas 522 xxdx

    = 4)1( 2xdx

    =

    1

    214

    12x

    dx

    =

    12

    12

    1

    21

    2x

    xd

    = C

    x

    22

    1tan 1

    .

    Strategi:

    (1) Ubah 24 xx menjadi:

    4)42..2( 2 xx

    = 2)2(4 x .

    (2) Ingat Rumus:

    Cxx

    dx

    12 sin1

    .

    Penyelesaian:

    (k) Jelas 24 xx

    dx

    = 2)2(4 x

    dx

    =

    2

    221

    )2(21

    x

    xd

    = C

    x

    22

    2sin 1

    Strategi:

    (1) Ingat )1(2)2(2

    x

    dxxxd

    .

    (2) Tulis )]1(1[ xx

    dan

    22 )1(12 xxx .

    Penyelesaian:

    (l) Jelas 22

    .

    xx

    dxx

    = dxxx

    x .2

    )1(12

    =

    22 )1(12

    ).1(

    xdx

    xx

    dxx

  • 19

    = )2()2(21 22

    12

    xxdxx

    2)1(1

    )1(

    x

    xd

    = 22 xx Cx )1(sin 1 .

  • 20

    I.3 Evaluasi

    Kerjakan soal-soal di bawah ini.

    1. Periksa kebenaran pernyataan berikut ini:

    (a) 20 )( xxF adalah anti turunan dari xxf 2)( .

    (b) xxF 1)( merupakan antu turunan x

    xf

    121)(

    (c) xxxF 2cos.)( merupakan anti turunan dari xxxxf 2sin.22cos)( .

    (d) xxxF .)( merupakan anti turunan dari xxxf .)( pada .

    2. Jika suatu fungsi )(xfy terdefinisi untuk 0x , melalui titik (4,0), dan

    gradien garis singgung di setiap titik ditentukan oleh persamaan

    21

    21

    )(' xxxf

    , tentukanlah persamaan fungsi f .

    3. Berikan masing-masing 3 buah contoh untuk membenarkan Teorema 5, yaitu:

    dxxgdxxfdxxgxf ).().()].()([ dan .).(.).(. dxxfKdxxfK 4. Hitunglah anti turunan dari:

    (a) 23 2)( xxxf (b) 22sin.3)( xxxf

    5. Tentukan:

    (a) dxxx .4

    (b) dxxx .12

    (c) xx 215

    (d) dxxx .sin1.cos

    (e) 3 cos1.sin

    xdxx

    (f) xdxx

    1.2

  • 21

    BAB II. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN

    Pada BAB 2 ini dibicarakan teorema yang cukup melandasi tentang integral,

    yaitu teorema dasar kalkulus 1 dan 2. Dengan ditemukannya dua teorema ini dunia

    menjadi gempar. Perhitungan integral yang tadinya harus dihitung dengan waktu la-

    ma, bahkan perlu dibantu dengan mesin hitung, dengan kledua teorema ini pekerjaan

    menjadi cukup sederhana dan dapat diselesaikan dengan cepat tanpa bantuan mesin

    hitung. Dibuka dengan pasal yang berisi tinjau ulang tentang notasi sigma.

    II.1 Notasi Sigma

    Perhatikan jumlah 10 bilangan asli pertama: 1 + 2 + 3 + … + 10. Bentuk ini

    dapat ditulis dengan

    10

    1

    10321i

    i

    yang dibaca"sigma I, I dari 1 sampai 10". Dengan cara serupa, dapat dinyatakan:

    (a)

    50

    1

    22222 )50(321s

    s ,

    (b)

    n

    iin aaaaa

    1321 ,

    (c)

    10

    1

    1101

    31

    21

    11

    n n , dan

    (d)

    n

    i in 3 121

    1.21

    15.21

    14.21

    13.21

    .

    Contoh II-1

    Jelas 1032110

    1

    i

    i

    = )10543()21(

    =

    10

    3

    2

    1 iiii .

    Contoh II-2

    Tulis dengan notasi sigma bentuk-bentuk berikut ini:

    (a) 22222 ,

    (b) 15131197531 ,

  • 22

    (c) 18161412108642 , dan

    (d) 1018265503726171052 .

    Strategi:

    (1) Tulis 2ic untuk setiap i = ,2,3,4,5.

    Penyelesaian:

    (a) Jelas 22222

    = 54321 ccccc

    =

    5

    1iic

    =

    5

    1

    2i

    .

    Strategi:

    (1) Ingat: Bilangan asli ganjil yang ke-n

    adalah 2 . n. 1.

    Penyelesaian:

    (b) Jelas 15131197531

    =

    8

    1

    )12(i

    i .

    Strategi:

    (1) Ingat: Bilangan asli genap yang ke-n

    adalah 2 . n.

    (2) Jelas 18 = 2 . 9.

    Penyelesaian:

    (c) Jelas 2 + 4 + 6 + … + 18 =

    9

    1

    2n

    n .

    Strategi:

    (1) Jelas: 112 2 ,

    125 2 ,

    110101 2 .

    Penyelesaian:

    (d) Jelas

    10

    1

    2 )1(10011052i

    i

    Berikut ini disajikan beberapa teorema yang sering digunakan. Khususnya dalam

    perhitungan integral tentu melalui limit jumlah Riemann.

    Teorema II-1

    (a) cncn

    i.

    1

    untuk sembarang konstanta c,

    (b)

    n

    ii

    n

    ii accac

    11

    ... .

    (c)

    n

    i

    n

    ii

    n

    iiii bdacbdac

    1 11

    ..)..(

  • 23

    Strategi:

    Tulis cci untuk setiap ni ,...,2,1 .

    Bukti (a):

    Jelas

    n

    ii

    n

    icc

    11

    = nccc 21

    = ccc

    = cn. .

    Bukti (b):

    Jelas nn

    ii acacacac .... 21

    1

    = )( 21 naaac

    =

    n

    iiac

    1

    . .

    Bukti (c):

    Jelas

    n

    iii bdac

    1

    )..( = )..()..()..( 2211 nn bdacbdacbdac

    = nacacac ... 21 + nbdbdbd ... 21

    =

    n

    iiac

    1

    . +

    n

    iibd

    1

    . .

    Contoh II-3

    Hitunglah: (a)

    6

    1

    5i

    dan (b)

    5

    1

    2 )54(i

    ii

    Penyelesaian:

    (a) Jelas

    6

    1

    5i

    = 6 . 5 = 30.

    (b) Jelas

    5

    1

    2 )54(i

    ii =

    5

    1

    2

    ii +

    5

    1

    4i

    i -

    5

    1

    5i

    .

    = (1+4+9+16+25) + 4(1+2+3+4+5) + 5 . 5

    = 90.

  • 24

    II.2 Induksi Matematika

    Induksi matematika merupakan pembuktian kebenaran suatu pernyataan P(n) benar

    untuk setiap bilangan asli atau bilangan cacah n. Dua langkah baku dalam

    induksi matematik, yaitu:

    pertama P(1) benar dan

    kedua P(k+1) benar apabila P(k) benar.

    Dengan demikian dapat dinyakan:

    Contoh II-4

    Buktikanlah: (a) 2

    )1(321 nnn ,

    (b) nn .22 untuk setiap bilangan asli n,

    (c) 83 n habis dibagi 2n untuk setiap bilangan asli n,

    (d) 6

    )12)(1(941 2 nnnn ,

    (e) 2

    1

    3

    2)1(

    nnin

    i

    , dan

    (f) 30

    )196)(1( 23

    1

    4

    nnnnnin

    i.

    Buktinya sederhana. Berikut ini hanya dibuktikan butir (a), sedang butir yang lain

    diserahkan pembaca sebagai latihan.

    P(1) benar

    P(n) benar P(k+1) benar apabila P(k) benar

  • 25

    Bukti (a):

    Tulis

    n

    iin

    1

    321 .

    Tulis )(nP :

    n

    i

    nni1 2

    )1( .

    Jelas )1(P :

    1

    1 2)11.(1

    ii .

    Jelas

    1

    1

    1i

    i dan 12

    )11.(1

    .

    Jadi )1(P benar.

    Dipunyai P(k) benar.

    Jadi 2

    )1(1

    kkik

    i.

    Jelas

    1

    1

    k

    ii = )1(

    1

    kik

    i= )1(

    2)1(

    kkk =

    2]1)1).[(1( kk .

    Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.

    Jadi P(n) benar.

    Jadi 2

    )1(321 nnn .

    II.3 Jumlah Riemann

    Pada pasal ini disajikan pengertian jumlah Riemann suatu fungsi yang meru-pakan

    dasar pendefinisian integral tentu.

    Definisi II-2

    Dipunyai [a,b] suatu selang tutup. Suatu partisi nP untuk selang [a,b] adalah sembarang

    himpunan yang terdiri (n+1) bilangan

    nxxxx ,,,, 210 , dengan

    bxxxxa n 210 .

  • 26

    Contoh II-5

    Jelas bahwa

    3

    25,2,

    23,

    34,

    45,16P adalah suatu partisi untuk selang [1,3]. Agar

    lebih memahami konsep yang dikembangkan, perhatikanlah gambar berikut

    ini.

    Gambar II-1 6P suatu partisi untuk [1,3]. memperlihatkan bahwa dengan partisi 6P ,

    selang [1,3] terbagi menjadi 6 buah subselang, yaitu:

    ]25,2[],2,

    23[],

    23,

    34[],

    34,

    45[],

    45,1[ , dan ]3,

    25[ .

    Panjang untuk tiap subselang tidak perlu sama, sebagai contoh, panjang subselang

    pertama ditulis dengan:

    011 xxx = 145 =

    41 .

    Selanjutnya:

    122 xxx = 45

    34 =

    121 ,

    233 xxx = 34

    23 =

    61 ,

    344 xxx = 232 =

    21 ,

    455 xxx = 223 =

    21 , dan

    566 xxx = 233 =

    21 .

    Panjang subselang terbesar dinyatakan dengan 6P dibaca denga "norm 6P ". Dengan

    demikian pada contoh ini 21

    6 P .

    1 45

    34

    23

    2 25

    3

    Gambar II-1 6P suatu partisi untuk [1,3].

  • 27

    Contoh II-6

    Periksa apakah

    1,

    54,

    53,

    52,

    51,

    61,0 merupakan suatu partisi untuk selang [0,1]. Jika

    merupakan suatu partisi, tentukan normnya.

    Penyelesaian:

    Tulis P =

    1,

    54,

    53,

    52,

    51,

    61,0 .

    Jelas .154

    53

    52

    51

    610

    Jadi P suatu partisi untuk selang [0,1].

    Jelas

    531,

    53

    54,

    52

    53,

    51

    52,

    61

    51,0

    61maksP =

    51,

    301,

    61 =

    51 .

    Contoh II-7

    Tentukan jumlah Riemann untuk fungsi 825)( 23 xxxxf pada selang [0,5]

    dengan partisi 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik sampel

    5,01 t , 5,12 t , 5,23 t , 6,34 t , dan 55 t .

    Penyelesaian:

    Jelas 5R =

    n

    iii xtf

    1

    ).(

    = xtfxtfxtfxtfxtf 5544332211 ).().().().().(

    = )45).(5()2,34).(6,3()22,3).(25()1,12).(

    23()01).(

    21( fffff

    = (7,875).(1,1)+(3,125).(0,9)+(-2,625)(1,2)+(-2,944).(0,8)+ (18).1

    = 23,9698.

    Definisi II-3

    Dipunyai ],[: baf suatu fungsi, nP suatu partisi untuk selang [a,b], dan

    ],[ 1 iii xxt . Bangun

    xtfR iin ).( .

    Bangun nR disebut Jumlah Riemann untuk f pada selang [a,b].

  • 28

    Gambar situasinya:

    Contoh II-8

    Hitunglah jumlah Riemann untuk fungsi xxF 9)( pada selang [0,9]

    menggunakan partisi 0 < 1 < 2 < 4 < 6 < 7 < 9 dan titik sampel it yang

    merupakan titik-titik tengah subselan ke i.

    Penyelesaian:

    Jelas 00 x , 11 x , 22 x , 43 x , 64 x , 75 x , dan 96 x .

    Selanjutnya: 21

    2010

    201

    01

    xx

    xt ,

    23

    2121

    212

    12

    xxxt ,

    32

    2422

    1223

    xxxt ,

    52

    4642

    2334

    xxxt ,

    213

    2676

    234

    45

    xx

    xt , dan

    82

    7972

    4556

    xxxt .

    Y 18

    15 12 9 6 3 2,5 3,6 0 X 0,5 1,5 4,5 -3 -6

    Gambar II-2 Interpretasi Geometri dari 5R

  • 29

    Jadi

    6R =

    6

    1

    ).(i

    ii xtf

    = xtfxtfxtfxtfxtfxtf 665544332211 ).().().().().().(

    = )79)(6()67)(5()46)(4()24)(3()12)(23()01)(

    21( ffffff

    = 2.31.42.52.61.2

    151.2

    17

    = 6410122

    152

    17

    = 40.

    II.4 Integral Tertentu

    Pada pasal ni didefinisikan pengertian integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann

    sebagai berikut.

    Catatan:

    (a) Definisi formal integral tertentu diberikan dengan ,

    (b) Dalam kasus selang [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang, maka

    0P nm ,

    (c) Pada bentuk b

    a

    dxxf ).( , f disebut integrn, a disebut batas bawah, dan b disebut

    batas atas integral,

    Definisi II-4

    Dipunyai fungsi ],[: baf .

    Jika

    n

    iiiPxtf

    10).(lim ada

    maka dikatakan fungsi f terintegralkan secara Riemann pada selang [a,b].

    Selanjutnya ditulis

    n

    iiiPxtf

    10).(lim =

    b

    a

    dxxf ).(

    disebut integral tertentu (integral Riemann) fungsi f dari a ke b.

  • 30

    (d) Dalam kasus fungsi f kontinu pada selang [a,b] dan 0)( xf pada [a,b],

    b

    a

    dxxf ).( menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f, garis x = a, garis

    x = b, dan sumbu X,

    (e) Integral tertentu adalah suatu bilangan riil yang dapat bernilai positif, nol,

    atau negatif.

    Contoh II-9

    Hitunglah b

    a

    dxx ).3( .

    Penyelesaian:

    Tulis 3)( xxf

    Bangun partisi untuk selang [1,4] yang membagi selang [1,4] menjadi n buah

    subselang yang sama panjang.

    Jelas nn

    xi314

    untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.

    Jelas 10 x , nx 311 , n

    x 3.212 ,…, nixi

    3).1(11 , nixi

    3.1 , dan 4nx

    .

    Pilih ii xt untuk setiap ],[ 1 iii xxt .

    Jadi 23331)31()( ni

    ni

    niftf i .

    Jadi b

    a

    dxx ).3( =

    n

    iiiPxtf

    10).(lim

    =

    n

    in nni

    1

    3.23lim

    =

    n

    i

    n

    in ni

    n 112169lim

    =

    nn

    nnnn

    .62

    )1(.9lim 2

    =

    nn

    nnnn

    .62

    )1(.9lim 2

    = 629 =

    23

    .

  • 31

    Contoh II-10

    Hitunglah 1

    0

    2 .dxx .

    Penyelesaian:

    Bangun partisi untuk selang [0,1] yang membagi selang [0,1] menjadi n buah

    subselang yang sama panjang.

    Jelas nn

    xi101

    untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.

    Jelas 00 x , nx 11 , n

    x 22 ,…, nixi

    11

    , n

    ixi , dan 1nx .

    Pilih n

    ixt ii1

    1

    .

    Jadi 1

    0

    2 .dxx =

    n

    iiiPxtf

    10).(lim

    =

    n

    in nni

    1

    2 3.23lim

    =

    n

    inii

    n 12

    3 )12(1lim

    =

    n

    i

    n

    i

    n

    inii

    n 1112

    3 121lim

    =

    nnnnnnnn 2

    )1(.26

    )12)(1(1lim 3

    =

    222

    116

    )12)(1(limnn

    nn

    nnn

    = 31 .

    Contoh II-11

    Hitunglah b

    a

    dxx. .

    Penyelesaian:

    Bangun partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah

    subselang yang sama panjang.

    Jelas n

    abxi

    untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.

  • 32

    Jadi ax 0 , nabax 1 , n

    abax )(22

    ,…,n

    abiaxi))(1(

    1

    ,

    nabiaxi

    )( dan bxn .

    Pilih 1 ii xt .

    Jadi b

    a

    dxx. =

    n

    iiiPxtf

    10).(lim

    = n

    abn

    abian

    in

    .))(1(lim1

    =

    n

    ini

    nab

    naba

    1

    2

    )1()(lim

    =

    n

    i

    n

    ini

    nab

    naba

    1

    2

    1

    )1(1)(lim

    =

    nnnn

    abnn

    aban 2

    )1(..)(lim2

    = 2

    2 222 aabbaab

    = .2

    22 ab

    II.5 Teorema-teorema Integral Tertentu

    Definisi integral; tertentu dari fungsi f pada selang [a,b] dapat diperluas untuk kasus

    = , atau < yang didefinisikan sebagai berikut.

    Teorema II-6

    Jika fungsi f kontinu pada selang [ , ], maka f terintegral secara Riemann pada selang

    [ , ].

    Definisi II-5

    (a) Jika f (a) terdefinisi maka a

    a

    dxxf 0).( .

    (b) Jika a > b dan a

    b

    dxxf ).( terdefinisi, maka a

    b

    dxxf ).( = b

    a

    dxxf ).( .

  • 33

    Teorema II-7

    Bukti:

    Tulis f (x) = 1.

    Jelas f terdefinisi pada .

    Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang

    yang sama panjang.

    Jelas n

    abxi

    untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.

    Pilih sembarang ],[ 1 iii xxt .

    Jadi b

    a

    dxxf ).( =

    n

    iiiPxtf

    10).(lim =

    n

    n

    i nab

    1.1lim = )(lim.1 ab

    n n

    = ab .

    Teorema II-8

    Buktinya sederhana, diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

    Bukti:

    (1) Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n bah

    subselang yang sama panjang.

    Teorema II-9

    Jika fungsi-fungsi f dan g terintegral pada selang [a,b], maka fumgsi-fungsi (f + g) dan

    K.f dengan K konstanta terintegralkan, yaitu:

    (1) b

    a

    dxxgxf )()( = b

    a

    dxxf ).( + b

    a

    dxxg ).( .

    dan

    (2) b

    a

    dxxfK ).(. = b

    a

    dxxfK ).(.

    b

    a

    dxK. =

    n

    iiPxK

    10.lim = )( abK .

    b

    a

    n

    iiP

    abxdx10

    lim

  • 34

    Jadi b

    a

    dxxgxf )()( =

    n

    iiiiPxtgtf

    10.)()(lim

    =

    n

    iiiPxtf

    10).(lim +

    n

    iiiPxtg

    10).(lim

    = b

    a

    dxxf ).( + b

    a

    dxxg ).( .

    Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

    Interpretasi geometri Teorema II-10:

    Bukti:

    Kasus a < c < b:

    Teorema II-11

    Jika fungsi f kontinu pada suatu selang yang memuat , , dan maka

    b

    a

    dxxf ).( = c

    a

    dxxf ).( + b

    c

    dxxf ).(

    tanpa memperhatikan urutan , , dan .

    Teorema II-10

    Jika D adalah daerah daerah tertutup yang dibatasi grafik fungsi f , garis x = a, x = b,

    dan sumbu X maka

    b

    a

    dxxfL .)(

    Y f X 0 a b Gambar II-3 Grafik f pada [ , ]

  • 35

    Buat [partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang

    yang sama panjang dan c merupakan suatu titik ujung suatu subselang.

    Tulis

    n = m + p

    dengan m merupakan banyak subselang dalam selang [a,c] dan p adalah banyak

    subselang dalam selang [c,b].

    Tulis

    kmk xz dan kmk tu .

    Jadi b

    a

    dxxf ).( =

    n

    iiiPxtf

    10).(lim

    =

    m

    i

    n

    kkkiinzufxtf

    1 1).(.).(lim

    =

    n

    iiinxtf

    1

    ).(lim +

    n

    kikpzuf

    1

    ).(lim

    = c

    a

    dxxf ).( + b

    c

    dxxf ).( .

    Kasus c < a < b:

    Berdasarkan kasus 1, dapat disimpulkan bahwa

    b

    c

    dxxf ).( = a

    c

    dxxf ).( + b

    a

    dxxf ).( .

    Jelas a

    c

    dxxf ).( = c

    a

    dxxf ).( .

    Jadi b

    c

    dxxf ).( = c

    a

    dxxf ).( + b

    a

    dxxf ).(

    b

    a

    dxxf ).( = c

    a

    dxxf ).( + b

    c

    dxxf ).( 5tanpa memperhatikan urutan dari a, b, dan

    c.

    Teorema II-12

    Jika f terintegral pada selang [ , ] dan 0)( xf pada selang [ , ] maka

    b

    a

    dxxf 0).( .

  • 36

    Bukti:

    Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang

    yang sama panjang.

    Jelas

    n

    iiiPxtf

    10).(lim .

    Andaikan b

    a

    dxxf 0).( .

    Pilih 0)(],[ iiii tfbat .

    Ini adalah suatu kontradiksi.

    Jadi b

    a

    dxxf 0).( .

    Bukti:

    Dipunyai )()( xgxf pada selang [ , ].

    Jelas 0)()( xfxg pada selang [ , ].

    Jadi b

    a

    dxxfxg 0)].()([

    0).().( b

    a

    b

    a

    dxxfdxxg

    b

    a

    b

    a

    dxxgdxxf ).().( .

    Teorema II-13

    Jika f dan g terintegral pada selang [ , ] dan )()( xgxf pada [ , ]

    Maka

    b

    a

    b

    a

    dxxgdxxf ).().( .

  • 37

    Bukti:

    Dipunyai )(min xfmbxa

    dan )(xfmaksMbxa

    .

    Jelas Mxfm )( .

    Jadi b

    a

    b

    a

    b

    a

    dxMdxxfdxm .).(. b

    a

    abMdxxfabm )().()( .

    Interpretasi geometri Teorema II-14:

    Contoh II-12

    Hitunglah: (a) 1

    0

    2 ).( dxxx (b) 1

    0

    2 .6 dxx (c) 1

    0

    2 ).763( dxxx .

    Strategi:

    (1) ingat 21.

    1

    0

    dxx dan 31.

    1

    0

    2 dxx .

    Penyelesaian:

    (a) Jelas 1

    0

    2 ).( dxxx

    Teorema II-14

    Jika f kontinu pada selang [ , ], )(min xfmbxa

    , dan )(xfmaksMbxa

    ,

    maka

    b

    a

    abMdxxfabm )().()( .

    Y M m X 0 a b Gambar II-4 Terlihat bahwa luasan yang dinyatakan dengan

    b

    a

    abMdxxfabm )().()(

  • 38

    (2) Gunakan teorema kelinieran

    = 1

    0

    21

    0

    .. dxxdxx

    = 31

    21 =

    65 .

    (b) Jelas ∫ 6 = 2 ] = 2.

    (c) Jelas ∫ (3 − 6 + 7) = − 3 + 7 ] = 1 − 3 + 7 = 5.

    II.6 Pendiferensialan Integral Tertentu terhadap Batas Atasnya

    Contoh II-13

    Tentukan:

    ( )∫

    ( )∫ (3 − 1)

    Penyelesaian:

    (a) Jelas ∫ = = − .

    Jadi ∫

    = = .

    Atau

    Berdasarkan Teorema II-15 diperoleh

    ∫= .

    (b) Jelas ∫ (3 − 1) = − = −

    ∫ ( )= ( )

    Teorema II-15

    Jika f kontinu pada selang [ , ] dan suatu titik dalam [ , ]

    maka

  • 39

    Jadi ∫ ( )

    = = 6 − 2 .

    Atau

    Berdasarkan Teorema II-15 diperoleh

    ∫ (3 − 1)=

    ∫ (3 − 1)( ) .

    ( )

    = (3 − 1). 2 = 6 − 2 .

    Berikut ini merupakan teorema nilai rata-rata integral

    Berikut ini merupakan teorema substitusi dalam integral tertentu

    Teorema Dasar Kalkulus

    Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu,

    berikut teorema tersebut :

    Contoh II-14

    1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka

    11

    11

    ra

    rbdxx

    rrb

    a

    r

    Teorema II-18

    Jika ( ) kontinu pada [ , ] dan ( ) sebarang anti turunan ( ),

    maka b

    a

    dxxf )( = F(b) – F(a). Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = baxF )]([

    ( ) ( ) = ( )( )

    ( )

    Teorema II-17

    Jika mempunyai turunan kontinu pada [ , ] dan f kontinu pada daerah nilai maka

    ( ) = ( )( − )

    Teorema II-16

    Jika f kontinu pada selang [ , ] dan maka terdapat suatu bilangan antara dan

    sedemikian hingga

  • 40

    Penyelesian

    Karena F(x) = 1

    1

    rx r suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut teorema dasar

    Kalkulus .11

    )()(11

    ra

    rbaFbFdxx

    rrb

    a

    r

    Contoh II-15

    1. Jelas

    0 4cos2

    4cos dxxdxx 24

    41.

    4cos8

    0

    dxx

    2. Jelas dxx

    x

    5

    52

    5

    4= 0.

    Tentukan hasil integral

    1. dxx 2

    0

    )2(

    Penyelesaian:

    dxx 2

    0

    )2( = 2

    0

    2

    22

    xx

    =

    200.2

    222.2

    22

    = (4+2) – (0+0) = 6

    2. 2

    0

    32 )1( dxxx

    Penyelesaian:

    Misalnya u = (x 13 ) du = 3x 2 dx dxxdu 23

    Teorema II-19

    Jika ( ) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat (− ) ( ) , maka:

    dxxfa

    a

    )( = 2 dxxfa

    0

    )( dan

    Jika ( ) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat (− ) = − ( ),

    maka dxxfa

    a

    )( = 0.

  • 41

    Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:

    2

    0

    32 )1( dxxx = 9

    1 3duu =

    9

    1

    2

    6

    u =

    61

    691 =

    690

    3. 4

    1

    )1( duuu

    Penyelesaian:

    Misal p = u p 2 = u 2p dp = du

    Untuk u = 1 maka p = 1

    Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:

    4

    1

    )1( duuu = 2

    1

    2 2.)1( pdppp

    = 2

    1

    32 )22( dppp

    = 2

    1

    43

    42

    32

    pp

    =

    4343 )1(

    42)1(

    32)2(

    42)2(

    32

    =

    42

    328

    316

    = 4

    303

    14 =

    431

    4.

    8

    42 15xxdx

    Penyelesaian:

    Misal A = 152 x A 2 x 152

    2A dA = 2x dx

    Untuk x = 4 maka A = 1

    Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga

    8

    42 15xxdx =

    7

    1 AAdA

    =

    7

    1

    dA = [A] 71 = 7 – 1= 6

    5. Jelas 10

    6225 x

    dx = 10

    655ln

    5.21

    xx

  • 42

    = 5656ln

    101

    510510ln

    101

    = 11ln1013ln

    101

    6. Tentukan b

    a

    dxxf )(

    dengan f(x) =

    2,21,2

    10,2

    untukxxxuntuk

    xuntukx

    Penyelesaian:

    Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat

    b

    a

    dxxf )( b

    c

    c

    a

    dxxfdxxf )()( , c ),( ba

    sehingga:

    b

    a

    dxxf )( 2

    1

    5

    2

    1

    0

    22 dxxdxxdx

    = 52

    2

    1

    1

    0

    2

    22

    xxx

    = (1-0) +(4-2) + 112/5

    = 29

    8.

    3

    3

    x dx

    Menurut definisi fungsi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan

    3

    3

    x dx = 3

    0

    x dx +

    0

    3

    x dx.

    = 0

    3

    23

    0

    2

    22

    xx

    = (8/3 – 0) – (0 – 8/3)

    = 3

    16

  • 43

    Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:

    1. 8

    1

    31 dxx

    2. dxxx 2)1(

    = dxxxx 21 = dxxxxx )2( 2 , dengan sifat integral diperoleh

    = xdx - xx2 dx + dxx2

    = 33

    225

    12

    31)

    52(2

    21 CxCxCx

    = 32132

    52

    31)

    52(2

    21 CCCxxx

    = Cxxx 325

    2

    31)

    52(2

    21

  • 44

    II.7 Evaluasi

    Kerjakan soal-soal berikut ini

    1. dzz

    z

    22 )1(

    2. dss

    ss3

    2)1(

    3. dxxx 3)2(

    4.

    1

    1

    22 4 dxxx

    = 2 221

    0

    4 xx dx

    Misal 24 x = u

    4-x 2 = u 2 atau x 2 = 4 - u 2

    -2x dx = 2 u du atau dx = duxu

    5.

    2

    2

    24 dxx

    6. 3

    0 1 xdx

    7. 4

    2

    216 dxx

    x

    8. 27

    83/1xx

    dx

    9. 2

    0 2sin dxx

    10. 3/

    0

    2 3sin

    xdxx

    11. 2/

    0 2cos3

    xdx

    12. 11

    3

    32 dxx

    13. 9

    4 11

    xx dx

    14. dxex x2

    0

    3 2

    15. 4/

    6/ 2sin

    xdx

    16.

    2

    12 22xx

    dx

    17.

    2

    12 )1(

    )1( dxxx

    x

    18.

    2

    12)2(

    )2(xx

    dxx

    19. 2

    1

    2 )1ln( dxxx

    20. 4/

    0 sin2

    xdx

    21.

    1

    22 34

    )1( dxxx

    x

    22. 4

    0

    12 dxxx

    23. 3

    13

    2

    31 dx

    xxx

    24. a

    a

    dxxa8

    33/13/1

    25. 2/

    0

    2 3sin3cos

    xdxx

  • 45

    26. xdxx 3cos3sin2/

    0

    2

    27. Hitunglah b

    a

    dxxf )( , jika:

    a. f(x) =

    21,2)1(210,2

    xuntukxxuntukx

    b. f(x) =

    21,110,1 2

    xuntukxxuntukx

    c. f(x) =

    20,2202,1 2

    xuntukxxuntukx

    d. f(x) = 2x untuk - 44 x

    e. f(x) = xx , untuk -1 2 x

    f. f(x) = (x- x ) 2 g. f(x) = x x2 , untuk - 21 x

  • 46

    BAB III. PENGGUNAAN INTEGRAL

    III.1 Luas Daerah Bidang Datar Pada bagian ini dibicarakan tentang penggunaan integral tertentu untuk

    menghitung luas daerah pada bidang Datar.

    III.2 Volume Benda Putar Suatu daerah D pada bidang datar apabila diputar dengan suatu poros tertentu akan

    menghasilkan suatu benda putar. Volum benda putar tersebut dapat dihitung dengan

    menggunakan integral tertentu.

    = − ( )

    Teorema III-3

    Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f yang kontinu pada [ , ] dan

    ( ) < 0 untuk setiap [ , ], = , = dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D,

    maka

    = [ ( )− ( )]

    Definisi III-2

    Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh dua grafik fungsi f dan g dengan ( ) ≥ ( )

    untuk setiap [ , ], = , = dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D, maka

    = ( )

    Definisi III-1

    Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsif dengan ( ) ≥ 0 untuk setiap

    [ , ], = , = dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D, maka

  • 47

    1. Metode Cakram Dipunyai fungsi f kontinu pada selang [ , ]. Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik

    f, sumbu X, x = a, dan x = b diputar dengan poros sumbu X akan membangun suatu

    benda putar. Volum benda putar tersebut akan dicari dengan menggunakan

    metode cakram sebagai berikut.

    Buat partisi untuk selang [ , ]. Pilih titik sampel ti ∈[xi−1, xi ].

    Volum cakram ke-i adalah

    = . [ ( )] .∆ .

    Jadi

    = lim‖ ‖→

    . [ ( )] .∆ = [ ( )]

    2. Metode Cincin Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik fungsi g dan h dengan ( ) ≥ ℎ( )

    pada [ , ], = , dan = . Akan ditentukan volum benda yang terjadi jika

    daerah D diputar terhadap sumbu X.

    Buat partisi untuk selang [ , ] pada sumbu X.

    Pilih titik sampel ti ∈[xi−1, xi ].

    Tulis Vi : volum cincin ke-i.

    Jelas

    = . [ ( )] .∆ − . [ℎ( )] .∆

    = . [[ ( )] − [ℎ( )] ].∆ .

    Jadi

    = lim‖ ‖→

    . [[ ( )] − [ℎ( )] ].∆ . = [[ ( )] − [ℎ( )] ]

    3. Metode Sel Silinder (Kulit Tabung) Dipunyai daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu dengan ( ) ≥ 0

    pada selang [ , ], garis = , garis = , dan sumbu X. Akan ditentukan volum

    benda yang terjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu Y. Bangun partisi untuk

    selang [ , ].

    Pilih titik sampel ti ∈[xi−1, xi ] dengan ti berada tepat di tengah subselang

    [ , ]. Jadi = atau 2 = − .

    Tulis Vi = volume silinder ke – i.

  • 48

    Jelas = . . ( ) − . . ( )

    = . ( )( − )

    = . ( )( + )( − )

    = 2 . . ( )∆ .

    Jadi

    = lim‖ ‖→

    2 . . ( )∆ = 2 ( ) .

  • 49

    BAB IV. FUNGSI LOGARITMA, FUNGSI EKSPONEN, DAN FUNGSI HIPERBOLIK

    IV.1 FUNGSI LOGARITMA Fungsi logaritma merupakan fungsi yang sering dijumpai dalam te-rapan.

    Sebagai contoh model pertum-buhan populasi dan model peluruhan radio aktif yang

    sederhana. Pada bab ini diawali dengan membangun fungsi logaritma asli.

    Dipunyai

    C1n

    xdxx1n

    n untuk n –1. Masalahnya sekarang bagaimana

    mencari xdx . Bangun fungsi f: (0,+)R dengan

    t1)t(f . Jelas bahwa f kontinu.

    Grafik f disaji-kan berikut ini.

    Y

    f

    1

    T

    1 x=1+h Gambar IV-1 Grafik fungsi f dengan ttf 1)( .

    Langkah selanjutnya bangun pengaitan R),0(:F dengan x

    1 tdt)x(F . Akan

    ditunjukkan F merupakan suatu fungsi.

    (1) Ambil sembarang ),0(x .

    Kasus x = 1:

    Jelas R0t

    dt)1(F1

    1 .

    Pilih 0 R.

    Jelas 0 = F(1).

    Kasus x > 1:

    Tulis x = 1 + h, h > 0.

    Jelas )h1(F)x(F = h1

    1 tdt = 0x R

    +.

    Pilih Rx0 .

    Jelas )x(Fx0 .

  • 50

    Kasus 0 < x < 1:

    Tulis x = 1 – , 0 < < 1.

    Jelas F(x) = F(1 – ) = 1

    1 tdt =

    1

    1 tdt = 1x R

    – .

    Pilih 1x R.

    Jelas 1x = F(x).

    Jadi Ry),0(x y= F(x).

    (2) Ambil sembarang ),,0(x,x 21 21 xx .

    Jelas F(x1)= 1x

    tdt

    1=

    2x

    tdt

    1=F(x2).

    Jadi ),,0(x,x 21 21 xx , F(x1) = F(x2).

    Jadi F suatu fungsi.

    Sekarang dikaji lebih mendalam mengenai sifat-sifat fungsi F tersebut.

    Berdasarkan sifat-sifat yang teridentifikasi, akan dapat dibuat sket grafik F.

    Fungsi R),0(:F yang di-definisikan sebagai x

    1 tdt)x(F memi-liki

    sifat-sifat: (a) F(1) = 0.

    (b) F(x) > 0 apabila x > 1.

    (c) F(x) < 0 apabila 0 < x < 1.

    (d) F(x) ada pada (0,+).

    Bukti:

    Tulis )t(ft1 .

    Jelas f kontinu pada (0,+).

    Jadi F(x) ada dan x1)x(F .

    (e) F kontinu pada (0,+).

    (f) Grafik F naik.

    Bukti:

    Ambil sembarang 2121 xx),,0(x,x .

    Jelas )x(F 1 1

    1

    x

    tdt =

    2

    1

    x

    tdt = F(x2).

  • 51

    Jadi 2121 xx),,0(x,x , F(x1) = F(x2).

    Jadi grafik F naik.

    (g)

    )x(Flimx

    dan

    )x(Flim0x

    .

    (h) Grafik F cekung ke bawah.

    Bukti:

    Ambil sembarang ),0(x .

    Jelas x > 0.

    Jelas F(x) = dx

    xFd )]([ = dx

    d x )( 1 = 2x1

    0.

    Jadi grafik F cekung ke bawah. Berdasarkan sifat-sifat fungsi F ini, dapat

    dibuat sket grafik F sebagai berikut .

    Y f

    X

    0 1

    Gambar IV-2 Grafik F dengan x

    1 tdt)x(F .

    Selanjutnya fungsi yang diba-ngun ini diberi lambang dengan

    F(x) = ln x

    dan disebut dengan fungsi logaritma asli.

    Berdasarkan definisi itu, diperoleh suatu teorema:

    Teorema IV-1

    ..

    Contoh IV-1

    Tentukan f(x) apabila:

    (a) f(x) = ln 2x,

    (b) f(x) = ln (3x2 + 5), dan

    (c) f(x) = ln7(2x – 3).

    0dengan1)(ln xxdx

    xd

  • 52

    Strategi:

    (1) Ingat rumus xdx

    xd 1)(ln .

    (2) Jika x diganti 2x, diperoleh:

    xxd

    xd21

    )2()]2[ln( .

    (3) Gunakan aturan rantai

    Penyelesaian (a):

    Jelas dx

    xfdxf )]([)(

    = dx

    xdxdxd )2(.)2()2(ln

    = 2.21x

    = x1 .

    Strategi:

    (1) Ingat rumus xdx

    xd 1)(ln .

    (2) Jika x diganti (3x2 + 5), diperoleh:

    5x3

    1)5x3(d)]5x3[ln(d

    22

    2

    .

    (3) Gunakan aturan rantai

    Penyelesaian (b):

    Jelas dx

    )]x(f[d)x(f

    = dx

    )5x3(d.)5x3(d)]5x3[ln(d 2

    2

    2

    = 5x3

    x62

    .

    Strategi:

    (1) Ingat rumus 67

    7)( xdxxd

    .

    (2) Jika x diganti ln7(2x–1), diperoleh:

    )12(ln7)]12[ln()]12([ln 67

    x

    xdxd

    .

    (3) Gunakan aturan rantai.

    Penyelesaian (c):

    Jelas dx

    xfdxf )]([)(

    = dx

    xd )]12([ln 7

    = dxxd

    xdxd

    xdxd )12(.

    )12()]12([ln

    .)]12([ln)]12([ln 7

    = 2.12

    1)].12(ln.7[ 6

    x

    x

    = 12

    )12(ln.14 6

    xx .

  • 53

    Berikut ini disajikan beberapa teorema yang berkaitan dengan fungsi logaritma

    asli.

    Bukti (a):

    Ambil sembarang (0, +).

    Bangun : (0, +) dan : (0, +) dengan ( ) = ln dan ( ) = ln .

    Jelas xdx

    axdaxdaxdxf 1)(.

    )()(ln)( dan

    xdxxdxg 1)(ln)( .

    Jadi ( ) = ( ) + ln = ln + .

    Pilih = 1.

    Jelas = ln .

    Jadi ln = ln + ln .

    Pilih = .

    Jadi ln( ) = ln + ln .

    Bukti (b):

    Ambil sembarang (0, +).

    Bangun : (0, +) dan : (0, +) dengan ( ) = dan ( ) = .

    Jelas xdx

    dd

    dxf b

    x

    bx

    bx 1)(.)()(ln

    )( dan xdx

    xdxg 1)(ln)( .

    Jadi ( ) = ( ) + = + .

    Pilih = .

    Jelas C = – ln b.

    Jadi ln = ln − ln

    Pilih x = a.

    Jelas ln ba = ln a – ln b.

    Teorema IV-2

    Jika , , , > 0, > 0, dan rasional maka:

    (a) ln( ) = ln + ln .

    (b) blnalnbaln

    (c) aln.raln r

  • 54

    Bukti (c):

    Buktinya sederhana, diserahkan kepa-da pembaca sebagai latihan.

    IV.2 Bilangan e

    Karena fungsi f: (0,+)R de-ngan f(x) = ln x kontinu, naik, dan mempuinyai

    range Rf = R, maka teorema nilai rata-rata untuk turunan menjamin adanya x secara

    tunggal sehingga ln x = 1. Bilangan ini diberi lambang dengan e. Dengan demikian

    dapat didefinisikan:

    Definisi IV-3

    Telah ditunjukkan bahwa bi-langan e merupakan bilangan irrasional dan hampiran e

    teliti sampai 12 desi-mal adalah

    e 2,718281818459.

    Dari Teorema I-2, diperoleh:

    ln en = n. ln e = n . 1 = n.

    Dari persamaan ini dapat ditentukan titik-titik yang terletak pada grafik f(x) = ln x.

    Hasilnya dicatat dalam daftar berikut ini.

    Daftar 1: nilai ln en

    n x = en f(x) = ln en

    –2 0,13534 –2

    –1 0,36788 –1

    0 1 0

    1 2,71828 1

    2 7,38906 2

    ln e = 1.

  • 55

    Jika titik-titik ini digambar, akan diperoleh gambar berikut ini:

    Y

    (e2,2) (e,1) (1,0) X (e– 1,–1) (e–2 ,–2 ) (e–3,–3 )

    Gambar 3: Grafik f (x) = ln x

    IV.3 Logaritma Asli Sebagai Anti Turunan Berdasarkan definisi fungsi lo-garitma asli dapat diturunkan teorema berikut

    ini.

    Teorema IV-4

    Bukti:

    Tulis )x(fx1 dan xln)x(F .

    Ambil sembarang x R, x 0.

    Kasus x < 0:

    Jelas )(lnln xx .

    Jadi dx

    xfdxF )]([)(

    = dx

    xdxdxd )(.)()][ln(

    = x1 = ( ).

    Kasus x > 0:

    Jelas xx lnln .

    Jadi dx

    xfdxF )]([)(

    = dx

    xd )(ln

    = x1 = ( ).

    Jadi ( ) suatu anti turunan ( ).

    Jadi anti diferensial ( ) adalah ( ) + .

    Jadi Cxx

    dx ln .

    Jika x R, x 0 maka

    Cxx

    dx ln .

  • 56

    Contoh IV-2

    Tentukanlah integral-integral berikut ini:

    (a) 3x2

    dx (b) dx

    xsinxxcos1 (c)

    dxx2x

    1x2 (d)

    dx1x

    x3x 2 .

    Penyelesaian (a):

    Jelas 3x2

    dx = 3x2

    )3x2(d21

    = C2

    3x2ln

    .

    Strategi:

    (1) Ingat Cxlnx

    dx

    (2) Jika x diganti (2x+3), diperoleh:

    C3x2ln3x2

    )3x2(d

    .

    (3) Jelas d(2x+3) = 2 dx.

    (4) Adakan koreksi akibat pengganti-

    an.

    Penyelesaian (b):

    Jelas dx

    xsinxxcos1 =

    xsinx)xsinx(d

    = Cxsinxln .

    Strategi:

    (1) Ingat Cxlnx

    dx

    (2) Jika x diganti (x + sin x), diper-

    oleh:

    Cxsinxlnxsinx

    )xsinx(d

    .

    (3) Jelas d(x + sin x) = (1 + cos x) dx.

    (4) Adakan koreksi akibat pengganti-

    an.

    Penyelesaian (c)

    Jelas

    dxx2x

    1x2 =

    x2x)x2x(d

    21

    2

    2

    = C2

    x2xln 2

    .

    Strategi:

    (1) Ingat Cxlnx

    dx

    (2) Jika x diganti (x2 + 2x), diper-

    oleh:

    Cx2xlnx2x

    )x2x(d 22

    2

    .

    (3) Jelas d(x2 + 2x) = 2(x + 1) dx.

    (4) Adakan koreksi akibat penggan-

    tian.

  • 57

    Penyelesaian (d):

    Jelas dx

    1xx3x 2

    =

    dx].1x

    2)2x[(

    =

    1x

    dx2dx)1x(

    = C1xln2x2

    x2 .

    Strategi:

    (1) Sederhanakan 1x

    x3x 2

    menjadi

    1x

    2)2x(

    .

    (2) Ingat Cxlnx

    dx

    (3) Jika x diganti (x + 1), diper-

    oleh:

    C1xln1x

    )1x(d

    .

    (4) Jelas d(x + 1) = dx.

    (5) Adakan koreksi akibat penggan-

    tian.

    Perhatian 1:

    Contoh IV-3

    Dipunyai f: (e– 2 ,1)R , f (x) = ln x.

    (a) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f, sumbu X, x = e– 2, dan x = 1.

    (b) Tentukan panjang busur grafik f.

    Penyelesaian:

    Grafik f:

    Y X . Gambar IV-3 Grafik ( ) = ln .

    Bentuk Cx 32ln21 dapat ditulis dalam bentuk lain, sbagai contoh:

    Tulis C = 1ln21 C .

    Jadi Cx 32ln21 = 1ln2

    132ln21 Cx

    1

  • 58

    Penyelesaian (a):

    Tulis A: luas daerah yang diminta

    Jelas A =

    1

    2

    )(e

    dxxf =

    1

    2

    lne

    dxx =

    1

    2

    lne

    dxx =

    1

    1

    2

    2 )(ln.ln.e

    exdxxx

    =

    1

    1

    2

    2ln.e

    edxxx = 1

    e2 2x)2(

    e1

    = 22112ee

    = 112 e.

    Penyelesaian (b):

    Dipunyai ( ) = ln .

    Jelas f(x) = dx

    xfd )]([ = xdx

    xd 1)(ln .

    Tulis l: panjang busur grafik f.

    Jelas l = dxxfe

    1

    2

    2

    )]([1

    = dxxe

    1

    22

    11

    = dxx

    x

    e

    1 2

    2

    1 .

    Tulis + 1 = .

    Jelas 2x.dx = 2y.dy dan 12 yx .

    Batas y:

    x y

    e– 2 14 e

    1 2

    Jadi l =

    2

    1412

    2

    ey

    dyy

    = dxy

    e

    2

    141

    11 2

    =

    2

    14

    2

    14

    2

    14 1

    )1(

    2

    1

    1

    )1(

    2

    1

    eee y

    yd

    y

    yddx

    = x + 2141

    1ln21

    eyy =

  • 59

    1e2 4 Cee

    1111ln

    1212ln

    21

    4

    4

    Contoh IV-4

    Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafk ( ) = − , sumbu X, = 1, dan

    = .

    Penyelesian:

    Grafik f:

    Y 1 f 1 e X

    Gambar IV-4 Grafik : [1, ] dengan ( ) = − .

    Tulis A: daeah yang diarsir.

    Jelas 1 x < e 111 xe

    .

    Jadi e

    ex

    x 110 .

    Jelas A = e

    dxxf1

    )( = e

    dxx

    x1

    1 = e

    dxx

    x1

    )1( = e

    xx

    1

    2

    ln2

    ( =

    211

    2

    2e

    = 2

    32 e 2,19.

    Jadi hampiran luas daerah yang diarsie adalah 2,19 satuan luas.

    IV.4 Fungsi Eksponen Asli

    Dipunyai fungsi f: (0,+)R dengan f(x) = ln x. Jelas f kontinu dan grafik f

    naik. Ini menunjukkan bahwa fungsi f memiliki invers. Fungsi ekspo-nen asli

    dibangun dengan diawali dengan definisi berikut ini.

    Definisi IV-5

    Jika x (0,+) didefinisikan y = ln x x = ey.

  • 60

    Berdasarkan definisi ini, fungsi invers untuk f ditulis f –1 dengan

    f –1(x) = ex, – < x < + .

    Jelas

    (f f –1)(x) = f [f –1(x)] = ln (ex) = x

    dan

    (f –1 f )(x) = f –1 [f (x)] = e ln x = x.

    Karena f –1 merupakan invers f, maka untuk menggambar grafik f –1 diperoleh

    dengan mencerminkan grafik f terhadap garis y = x. Daftar nilai f dan f –1 terlhat pada

    daftar berikut ini.

    Daftar nilai f:

    x ... e– 2 e– 1 1 e e2 ...

    ln x ... –2 –1 0 1 2 ...

    Daftar nilai f –1:

    x ... –2 –1 0 1 2 ...

    ex ... e– 2 e– 1 1 e e2 ...

    Grafik f dan f –1 seperti tampak pada gambar berikut ini.

    Y y= x X

    Gambar IV-5 Grafik f (x) = ln x dan inversnya.

    Berikut ini disajikan beberapa teorema fungsi eksponen asli.

    Teorema IV-6

    Jika x1, x2 R dan r rasional maka (1) 2121. xxxx eee

    (2) 212

    1xx

    x

    x

    eee

    (3) 11 )( rxrx ee

  • 61

    Bukti:

    (1) Tulis 11xey dan 22

    xey .

    Jelas 11 ln yx dan 22 ln yx .

    Jadi x1 + x2 = ln y1 + ln y2 x1 + x2 = ln (y1.y2) y1.y2 = 21e xx

    2121. xxxx eee .

    (2) Tulis 11xey dan 22

    xey .

    Jelas 11 ln yx dan 22 ln yx .

    Jadi 2121 lnln xxxx 2

    121 ln x

    xxx 21exx xx

    2

    1 .

    (3) Bukti untuk (3) diserahkan pembaca sebagai latihan.

    Teorema IV-7

    Bukti:

    Ambil sembarang x R.

    Dipunyai ln ex = x.

    Jelas dx

    xddx

    ed x )()][ln( 1)(.

    )()][ln(

    dxed

    eded xx

    x

    1)(.1 dxed

    e

    x

    x x

    x

    edxed

    )( .

    Interpretasi Geometri Teorema 4.7

    Y (1,e) 0 (e,1) X Gambar IV-6 Grafik fungsi f: R R , dengan f(x) = ex.

    Jika x R maka xx

    edxed

    )( .

  • 62

    Gambar IV-6 Grafik fungsi f: R R , dengan f(x) = ex. merupakan grafik fungsi : dengan f (x) = ex.

    Teorema IV-7 menyatakan bahwa

    f ’(x) = f (x).

    Ini berarti bahwa kecenderungan garis singgung di sembarang titik (x, y) pada grafik f

    sama dengan koordinat y titik tersebut.

    Sebagai contoh:

    (a) kemiringan garis singgung di titik (– 1, 1/e) adalah 1/e.

    (b) kemiringan garis singgung di (0,1) adalah 1, dan

    (c) kemiringan garis singgung di titik (1, e) adalah e.

    Contoh IV-5

    Tentukan dxdy apabila:

    (a) y = e6x (b) y = ex.sin x. Penyelesaian:

    (a) Jelas dxed

    dxdy x )( 6

    = dx

    xdxd

    ed x )6(.

    )6()( 6 = 6.6xe = 6 . e6x.

    Stratetgi:

    (1) Ingat rumus xx

    edxed

    )( .

    (2) Jika x diganti 6x, diperoleh xx

    exd

    ed 66

    )6()( .

    (3) Selanjutnya gunakan aturan rantai.

    Penyelesain (b) :

    Jelas dx

    eddxdy xx )( sin.

    = dx

    xxdxxd

    ed xx )sin.(.

    )sin.()( sin.

    = ))(sin)(sin..(sin.dx

    xdxdx

    xdxe xx

    = xxexxx sin.).sincos.(

    = )sincos..(sin. xxxe xx .

    Strategi:

    (1) Ingat rumus xx

    edxed

    )( .

    (2) Jika x diganti x.sin x, diperoleh:

    xsin.xxsin.x

    e)xsin.x(d)e(d .

    (3) Selanjutnya gunakan aturan rantai.

  • 63

    Contoh IV-6

    Tentukan semua ekstrim relatif untuk fungsi f: R R dengan f (x) = x2.e– x .

    Strategi:

    (1) Tentukan dx

    xfd )]([ .

    (2) Tentukan bilangan kritis untuk f.

    Tulis dengan x1 dan x2.

    (3) Tentukan )(xf

    (4) Tentukan tanda )( 1xf dan )( 2xf

    (5) Gunakan uji turunan kedua

    Y 3 f 2 1 X -2 -1 1 2 3 4

    Gambar IV-7 Grafik f : R R, f (x) = x2.e– x .

    Penyelesaian:

    Jelas dx

    xfdxf )]([)( = dx

    exd x ).( 2 = dxxde

    dxedx x

    x )(.)(.2

    2

    = xedx

    xdxd

    edx xx

    2.)(

    .)()(

    .2

    = )2( x

    exx .

    Jelas 0)( xf )2( xexx = 0 x = 0 x = 2.

    Jadi titik kritis f adalah x1 = 0 dan x2 = 2.

    Selanjutnya dx

    exexdxfxx ).2.()(

    2

    = dx

    exddx

    exd xx ).(.2).(2

    =

    dxxde

    dxedx x

    x )(.)(.2

    2

    +

    dxxde

    dxedx x

    x )(.)(. =

    xedx

    xdxd

    edx xx

    2.)(.)()(.2

  • 64

    +

    xx

    edx

    xdxd

    edx )(.)()(. = xxxx eexexex ..2.2

    = xexx ).13( 2 .

    Jadi 01)0()( 1 fxf dan 01)2()( 22 e

    fxf .

    Jadi f (0) = 0 merupakan minimum re-latif f dan f (2) = 24e

    merupakan mak-simum

    relatif f.

    Teorema IV-8

    Teorema IV-8 merupakan akibat langsung Teorema IV-7, yaitu:

    (1) ex merupakan suatu anti turunan ex.

    (2) anti diferensial ex adalah ex + C.

    (3) dengan demikian

    Cedxe xx . .

    Contoh IV-7

    Tentukan integral-integral berikut ini

    (a) dxe x3 dan

    (b) dxex x .. 123

    Penyelesaian (a):

    Jelas dxe x3 = )3(31 3 xde x

    = Cex

    3

    3

    .

    Strategi:

    (1) ingat rumus Cedxe xx . (2) jika x diganti (-3x), diperoleh:

    Cexde xx 33 )3(. (3) jelas d(–3x) = –3.dx

    (4) adakan koreksi dengan ada nya

    penggantian itu.

    Untuk setiap x R, Cedxe xx .

  • 65

    Penyelesaian (b):

    Jelas dxex x .. 123

    = )1(.31 313 xde x

    = Cx 3

    13 .

    Strategi:

    (1) ingat rumus Cedxe xx . (2) jika x diganti (x3 – 1), diperoleh:

    Cexde xx 13133

    )1(. .

    (3) jelas d(x3 – 1) = 2x2.dx

    (4) adakan koreksi dengn adanya

    penggantian itu.

    IV.5 Hampiran Nilai bilangan e Mencari hampiran untuk bi-langan e menggunakan definisi

    e

    dtt

    e1

    1.1ln

    agak sulit. Untuk keperluan ini diberi-kan definisi lain untuk bilangan e se-bagai

    berikut:

    Definisi IV-9

    Hasil untuk hampiran nilai e, dicatat pada daftar berikut.

    Daftar 2: Nilai e untuk beberapa nilai n.

    n

    n

    n

    11

    n

    n

    n

    11

    1 2,000000 500 2,715569

    5 2,488320 1.000 2,716924

    20 2,653298 2.500 2,717738

    50 2,691588 5.000 2,718010

    100 2,704814 10.000 2,718146

    250 2,712865 100.000 2,718268

    … … … …

    Jika nilai n diperbesar, akan diperoleh nilai hampiran untuk bilang-an e, yaitu:

    e 2,7182818 …

    memanfatkan Definisi IV-9.

    x

    x x11lime

  • Teorema IV-10

    Bukti:

    Jelasx

    x xr1lim

    =

    x

    x xr1lim

    =

    r.rx

    xrx11lim

    =

    r

    rx

    rx

    rx11lim

    = re .

    Contoh IV-8

    Hitunglah nilai limit berikut ini:

    (a) x

    x x

    11lim , (b) x

    x x

    31lim , (c) x

    x x

    261lim

    , (d)

    x

    x x

    2

    11lim .

    Penyelesaian:

    (a) Jelas x

    x x

    11lim = )1.(

    )(11lim

    x

    x x=

    111lim

    x

    x x= e–1 =

    e1 .

    (b) Jelas x

    x x

    31lim =

    3.3

    3

    11lim

    x

    x x

    =

    3.3

    33

    11lim

    x

    x x

    =

    3

    3

    33

    11lim

    x

    x x = e3.

    (c) Jelas x

    x x

    261lim

    =

    12.6

    6

    11lim

    x

    x x

    =

    12

    6

    66

    11lim

    x

    x x = e12.

    (d) Jelas x

    x x

    2

    11lim = xx

    x xx

    1111lim = x

    x

    x

    x xx

    11lim.11lim

    = 1

    11lim.11lim

    x

    x

    x

    x xx = e .

    e1 = 1.

    x

    x

    r

    xre

    1lim

  • IV.6 Fungsi Eksponen dan Logaritma Untuk Bilangan Pokok Yang Lain

    Dengan menggunakan definisi fungsi eksponen asli, domain f (x) = ax, x > 0

    dapat diperluas untuk semua bilangan real, baik rasional atau tak rasional. Untuk

    membangun perluasan ini diperlukan teorema-teorema berikut ini.

    Teorema IV-11

    Teorema IV-12

    Bukti:

    Ambil sembarang a, x R, a > 0, dan r bilangan rasional.

    Dipunyai ax = ex. ln a.

    Jika x diganti r, diperoleh: ar = er. ln a.

    Jadi aln.rr elnaln aln.raln r . Teorema IV-13

    Bukti:

    Tulis [ex]r = y.

    Jelas ln y = ln [ex]r = r. ln ex = r.x.

    Jadi y = er.x [ex]r = ex.r.

    Teorema IV-14

    Hanya dibuktikan untuk (c), bukti yang lain diserahkan pembaca sebagai latihan.

    Bukti (c):

    Jelas (ax)y = (ex.ln a)y = exy.ln a = xyaeln = axy.

    Jika a, x, y R dan a > 0 maka (a) yxyx aaa .

    (b) yxyx

    aaa

    (c) (ax)y = ax.y.

    Jika x,r R maka [ex]r = ex.r.a

    Jika a R, a > 0, dan r bi-langan rasional, maka aln.raln r .

    ax = ex. ln a, x R.

  • BAB V. TEKNIK INTEGRAL

    Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan

    antiturunan suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam

    menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik

    pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan

    teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-

    teknik integral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi

    Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral Parsial, Integral

    Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional yang memuat fungsi

    Trigonomteri.

    Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan.

    V.1 Teknik Substitusi

    Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi

    pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk

    rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

    a. nx dx = 11

    nx n + C, asalkan n -1 atau

    b. dxxfxf n )(')( =

    1)( 1

    nxf n + C, asalkan n -1

    Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya

    menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari

    bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian

    setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan

    mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat

    dilakukan dengan metode substitusi.

    Perhatikan beberapa contoh berikut:

    1. x1 dx

    Misal u = x1

  • xu 12

    )1()( 2 xdud

    dxudu 2

    Substitusi bentuk terakhir ke x1 dx, diperoleh

    duuu )2( = -2 duu2 Dengan rumus dasar di dapat

    x1 dx = -2 duu2

    = -2 Cu

    3

    3

    = - Cx 3)1(32

    2. dxx 11)123( Misal A = 3x + 12

    d(A) = d(3x+12)

    dA = 3 dx

    dx = 3

    dA

    Sehingga dxx 11)123( = 311 dAA

    = dAA1131

    = CA )12

    (31 12

    = CA 12361

    = Cx 36

    )123( 12

    3. xCos 22 dx Misal A = 2x

    d(A) = d(2x)

    dA = 2 dx

  • dx = 2

    dA

    xCos 22 dx = 2cos2 dAA

    = ACos2 dA21

    = AdA2cos21

    = dAA

    22cos1

    21

    = AdAdA 2cos41

    41

    = CAA 82sin

    4

    = Cxx 84sin

    42

    = Cxx 84sin

    2

    4. xx 44 2 (4x+2) dx Jawab

    Misal A = xx 44 2

    A 2 = 4x 2 4x

    2A dA = (8x+4) dx

    2A dA = 2(4x+2) dx

    A dA = (4x+2) dx

    Sehingga

    xx 44 2 (4x+2) dx = A .A dA

    = dAA2

    = CA 331

    = 3 2 4431 xx + C

  • 5. 43ttdt

    Jawab

    Misal P = 43 t

    P 2 = 3t + 4 t = 3

    42 P

    d(P 2 ) = d(3t+4)

    2P dp = 3 dt dt = Pdp32 , sehingga

    43ttdt =

    p

    dppP )32)(

    34(

    2

    = dpP )82(91 2

    6. 22

    16 xdxx

    Jawab

    Misal U = 216 x

    U 2 = 16 - x 2 x 2 = 16 - U 2

    d(U 2 ) = d(16 - x 2 )

    2U du = (-2x)dx

    dx = dux

    U

    22

    16 xdxx =

    uxuu )16( 2

    du

    = dux

    u

    216

    = - duux )16(1 2

    = 23

    1 316 C

    xuC

    xu

  • = Cx

    xxx

    x

    316)16(1616

    22

    2

    = Cxx

    xx

    3

    )16()16(16 2/322/12

    Soal-soal

    Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

    1. dttt 2/3)2( Jawab

    Misal M = (t+2) 23

    M 2 = (t+2) 3

    2M dM = 3(t+2) 2 dt

    dttt 2/3)2( = 2)2(32..

    tMdMtM

    = dMMtt 2

    2)2(32

    = 32 31

    )2(32 M

    tt

    + C

    = 29

    2 )2()2(92

    tt

    t + C

    = Ctt 25

    )2(92

    2. dxx

    x

    sin

    3. 123tdt

    4. dx

    xx

    2sin2cos1

    2

    5.

    dttt

    ttt13

    13sin)16(2

    2

    6. 92xxdx

  • 7. dxxx 2/3)23(

    8. dx

    xx

    162

    9. dxx

    3sin

    10. xxdx

    2cos16sin

    11. dxx )42cos(

    12. dxxx )1sin( 2

    13. dxxx )1cos( 32

    14. dxxx 7/122 )3(

    15. dx

    xxx1

    322

    16.

    dx

    eeee

    xx

    xx

    22

    22

    17. dte

    et

    t

    6

    3

    4

    18. dxxx

    442

    19. 44xxdx

    20. dxxx cos21sin

    V.2 Integral Fungsi Trigonometri

    Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih

    rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi

    acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi

    trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

    1. xsin dx = -cos x + C

    2. xcos dx = sin x + C

  • 3. tan x dx = ln Cx sec

    = -ln Cx cos

    4. cot x dx = - ln Cx csc

    = ln Cx sin

    5. xsec dx = ln Cxx tansec

    6. csc x dx = ln Cxx cotcsc Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk

    integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

    A. ,sin xdxm dan xdxmcos dengan m bilangan ganjil atau genap positip Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau

    m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan

    identitas 1cossin 22 xx atau sin x2 = 1 - cos x2 atau cos x2 = 1 - sin x2 .

    Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran

    dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

    Contoh:

    1. xdx3sin Jawab

    xdx3sin = dxx 1)13(sin

    = xxsinsin 2 dx

    = )cos()cos1( 2 xdx

    = )(coscos)cos(1 2 xdxd

    = -cos x + Cx 3cos31

    2. dxx 5cos Jawab

    dxx 5cos = x1)15(cos dx

  • = xdxxcoscos4

    = )(sin)sin1( 22 xdx

    = )(sin)sinsin21( 42 xdxx

    = )(sinsin)(sinsin2)(sin1 42 xxdxxdxd

    = sin x - Cxx 53 sin51sin

    32

    3. dxx)2(sin 5 Jawab:

    Misal u = 2x, du = 2dx atau dx = 2

    du

    Sehingga 2sin)2(sin55 duudxx

    = udu5sin21

    = uduu sinsin21 4

    = )cos()cos1(21 22 udu

    = )cos()coscos21(21 42 uduu

    = Cuuu 53 sin101sin

    31cos

    21

    = Cxxx 2sin1012sin

    312cos

    21 53

    Bentuk xdxmcos , dxmsin , jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan

    setengah sudut

    sin x2 = 2

    2cos1 x dan cos 2

    2cos12 xx

    Contoh:

    1. xdx2sin Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

  • xdx2sin = dxx

    22cos1

    = xdxdx 2cos21

    21

    = Cxx 42cos

    2

    2. xdx4cos Jawab

    xdx4cos = 22 )(cos x dx

    =

    dxx

    2

    22cos1

    = dxxx )2cos41

    22cos

    41(

    2

    = xdxdxxdx 2cos

    41

    22cos

    41 2

    = + dxx

    2)4cos1(

    41

    = Cxxxx 32

    4sin84

    2sin4

    = Cxxx 32

    4sin42sin

    83

    3. xdx2sin 4

    Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = 2

    du , sehingga

    xdx2sin 4 = 2sin4 duu

    =

    duu

    2

    22cos1

    21

    = duuu )2cos2cos21(41

    21 2

    = uduududu 2cos812cos

    41

    81 2

    =

    duuududu

    24cos1

    812cos

    41

    81

    42sin

    4xx