Kumpulan Soal Himpunan

1. Diketahui A, B, dan C merupakan suatu himpunan. Jika diketahui (A ∩ B) = (A ∩ C), jelaskan apakah berarti bahwa selalu B = C? Berikan suatu counter example. Jawaban:

Tidak selalu, salah satu counter examplenya yaitu misalkan B merupakan himpunan bagian dari C dan C – B ≠ {}.

2. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Gunakan hukum-hukum aljabar himpunan dan prinsip dualitas untuk menentukan hasil dari operasi himpunan

a. b.

Jawaban:a.

= [Hukum Asosiatif]= [Hukum Distributif]= [Hukum Komplemen]= [Hukum Distributif]= [Hukum Komplemen]= [Hukum Idempoten]

b. = [Hukum Dualitas dari jawaban a]

3. Tentukan banyaknya bilangan non-prima antara 1 dan 2008 (termasuk 1 dan 2008) yang habis dibagi 4 atau 6 tetapi tidak habis dibagi 9 Jawaban:

1

Karena semua bilangan yang dimasukkan dalam perhitungan n(s) di atas dapat habis dibagi oleh 4, 6, atau 9, artinya semua bilangan yang terhitung tersebut tidak satupun merupakan bilangan prima.Oleh karenanya, banyak bilangan prima yang dimaksud adalah 558

4. Jika A dan B masing-masing adalah himpunan, buktikan bahwa Jawaban :

(definisi operasi beda-setangkup)

(hukum distributif)

(hukum asosiatif)

(hukum idempoten)

(hukum komplemen)

(hukum Null) (hukum identitas)

5. Diberikan multiset A = {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5}. Tentukan

(a) A B (b) A B (c) A — B (d) B — A (e) A + B

Jawaban: (a) {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5}(b) {1, 2, 3, 4}(c) {1, 2, 2, 2, 3}(d) {4, 4, 4, 5, 5}(e) {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5}

2

6. Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 300 (termasuk 1 dan 300) yang habis dibagi 3 atau 5 tetapi tidak habis dibagi 15?Jawaban :Misalkan p = banyaknya bilangan bulat antara 1 – 300 yang habis dibagi 3

q = banyaknya bilangan bulat antara 1 – 300 yang habis dibagi 5r = banyaknya bilangan bulat antara 1 – 300 yang habis dibagi 15s = banyaknya bilangan bulat antara 1 – 300 yang habis dibagi 3 atau 5 tetapi tidak habis dibagi 15

Maka,n(p) = 300/3 = 100, n(q) = 300/5 = 60

n(p q) = 300/15 = 20 = n(r)

n(t) = n(p) + n(q) – 2.n(p q)

= 100 + 60 – 2.20 = 100 +60 – 40 = 120

7. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan dengan hukum-hukum himpunan

bahwa (A – B) (A – C) = A – (B C).

Jawaban :

(A – B) (A – C) = (A ) (A ) (Definisi Selisih)= A ( ) (Hukum Distributif)= A (Hukum DeMorgan)= A – (B C) (Definisi Selisih)

8. Tentukan banyaknya bilangan bulat antara 1-200 (termasuk 1 dan 200) yang habis dibagi 4 atau 6 tetapi tidak habis dibagi 9.

Jawaban :

3

9. Tentukan apakah operasi beda setangkup pada himpunan bersifat asosiatif atau tidak, yaitu, jika A, B, dan C adalah himpunan, apakah ? Jelaskan. Jawaban :

Jadi operasi beda setangkup pada himpunan bersifat asosiatif.

10. Jika A dan B masing-masing adalah himpunan, tunjukkan secara aljabar bahwa (A B) A dapat dinyatakan dengan A – B.Jawaban :

(A B) A = ((A – B) (B – A)) A (Definisi beda setangkup)= ((A ) (B )) A (Definisi selisih)= A ((A ) (B )) (Hukum komutatif)= (A (A )) (A (B )) (Hukum distributif)

4

= (A (A )) ((B ) A) (Hukum komutatif)= ((A A) ) (B ( A)) (Hukum asosiatif)= (A ) (B ( A)) (Hukum idempoten)= (A ) (B ) (Hukum komplemen)= (A ) (Hukum null / dominansi)= (A ) (Hukum Identitas)= A – B (Definisi selisih)

11. Misalkan A adalah himpunan bagian dari himpunan semesta (U). Apa hasil dari operasi beda-setangkup berikut?(a) A U (b) A

Jawaban :Diketahui: A U

(a) A U = (A – U) (U – A) (Definisi beda setangkup)= () (A) (Definisi selisih)= (Hukum identitas)

(b) A = (A – ) ( – A) (Definisi beda setangkup)= (A A) ( ) (Definisi selisih)= A (Hukum Idempoten)= U (Hukum komplemen)

12. Di antara bilangan bulat antara 101 – 600 (termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya?Jawaban :

U: {x | 101 x 600, x Z}; Z adalah himpunan bilangan bulatA: {x | x mod 4 = 0, 101 x 600, x Z} Himpunan bilangan bulat diantara 101

dan 600 (termasuk 101 dan 600) yang habis dibagi 4B: {x | x mod 5 = 0, 101 x 600, x Z} Himpunan bilangan bulat diantara 101 dan

600 (termasuk 101 dan 600) yang habis dibagi 5

U = 500 A = 600/4 – 100/4 = 150 – 25 = 125 B = 600/5 – 100/5 = 120 – 20 = 100 A B = 600/20 – 100/20 = 30 – 5 = 25

Yang ditanya: = ?

A B = A + B - 2 A B = 125 + 100 – 50 = 175

= U - A B = 500 – 175 = 325

5

13. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan secara aljabar himpunan bahwa A – (B C) = (A – B) (A – C).

Jawaban :A – (B C) = A (Def.Selisih)

= A ( ) (Hk.DeMorgan) = (A ) (A ) (Hk.Distributif) = (A – B) (A – C) (Def.Selisih) ->>Terbukti !

14. Misalkan A adalah himpunan bagian dari himpunan semesta (U). Apa hasil dari operasi beda-setangkup berikut?(a) A (b) UJawaban :(a) A = (A ) – (A )

= U – = U

(b) U = ( U) – ( U) = U –

= A

15. Di antara bilangan bulat antara 101 – 600 (termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa banyak bilangan yang habis dibagi 4 atau 5 namun tidak keduanya?

Jawaban :misalkan : y = bilangan yang habis dibagi 4

z = bilangan yang habis dibagi 5| y | = 500/4 = 125| z | = 500/5 = 100| y z | = 500/20 = 25| y z | = | y | + | z | - 2 | y z | = 125 + 100 – 50

= 175 bilangan

16. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:(a) P() (b) ´ P() (c) {}´ P() (d) P(P({3}))Jawaban:(a) P() = {}(b) ´ P() = (ket: jika A = atau B = maka A ´ B = )(c) {}´ P() = {}´ {} = {(,))(d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }

6

17. Misalkan X = {4, 5, 6} dan Z = {4, 5, 6, 7, 8}. Tentukan semua kemungkinan himpunan Y sedemikian hingga X Ì Y dan Y Ì Z, yaitu X adalah proper subset dari Y dan Y adalah proper subset dari Z.Jawaban:Y harus mengandung semua elemen X dan sekurang-kurangnya satu elemen dai Z. Dengan demikian, Y = {4, 5, 6, 7} atau Y = {4, 5, 6, 8}. Y tidak boleh memuat 7 dan 8 sekaligus karena Y adalah proper subset dari Z.

18. Jika A dan B masing-masing adalah himpunan, buktikan bahwa Jawaban:

(definisi operasi beda-setangkup)

(hukum distributif)

(hukum asosiatif)

(hukum idempoten)

(hukum komplemen)

(hukum Null) (hukum identitas) Terbukti.

19. Buktikan hukum penyerapan: (a) A (A B) = A dan (b) A (A B) = AJawaban :

(a) A (A B) = (A U) (A B) (hukum identitas) = A (U B) (hukum distributif) = A U (hukum identitas) = A (hukum identitas)Terbukti.

(b) Bukti mengikuti prinsip dualitas dari jawaban (a) A (A B) = (A ) (A B) (hukum identitas)

= A ( B) (hukum distributif) = A (hukum identitas) = A (hukum identitas)Terbukti.

7